§1 同角三角函数的基本关系（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 §1同角三角函数的基本关系 题型1已知正弦求其它函数（式）值① 题型2已知余弦求其它函数（式）值 基础达标练 题型3已知正切求其它函数（式）值 题型4利用平方关系求参数 同角三角函数的基本关系 题型1sina±cosc和sina~cosa关系的应用 能力提升练 题型2正、余弦齐次式的计算 题型3同角公式的综合应用一-化简、求值 培优拓展练 A 基础达标题 题型1已知正弦求其它函数（式）值 1.已知sina=- 且a是第三象限角，则tana=（） 3 A. 2V5 B. 、 c.25 D.5 5 5 5 【答案】C 【解折】因为sna=-号ma+ora=1,所以easa=1-sa=1-(- 因为o是第三象限角，所以cosu= ,所以tana= sina 25, 故选C 3 cosa 5 2.己知sina= 2'“是第二象限角， 则cosa=() A. B. c.3 D.-5 2 2 【答案】D 【解析】已知sina=2且a是第二象限角，则cosa<0, 由sin2a+cos2a=1可得：cosa=-1-sin2a=1-4=427 故选：D 3.(25-26高一上宁夏固原，月考)若sin20°=m,则tan20°=() m A. B. C.v1-m2 D.V1-m2 V1-m2 V1-m2 m m 【答案】B 1/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解析】因为20°是第一象限角，余弦值为正数， 所以cos20°=V看-sin20=-m,则an20=sin20 m 故选：B cos20° v1-m2 4.(2026高三·全国.专题练习)已知sinx=- 3'则cos.x= tanx= 【答案】 2w2或2w2 或-2 3 4 4 【解析】因为sinx= <0,所以角x为第三或第四象限角 3 若x为第三象限角，则cosx<0,所以cosx=-V1-sin2x=- 122 3 sinx tanx= 3 coSx 22 49 3 若x为第四象限角，则cosx>0,所以cosx=V1-sin2x= 1_22 3 1 sinx 3 tanx= cosx 2v2 4 3 题型2已知余弦求其它函数（式）值 5.已知cosa&=3 0<a<π，则tana=() 4 A. 8.3 D.3 4 【答案】A 【解析】因为cosa=3>0,0<a<,所以sina、 v1 cos2a 4 所以tana= sina 4故选：A cosa 3 6.已知c0s= 5'tana<0,则sina=() A. 3 B.3 D. 4 5 5 5 【答案】B 【解析】因为cosa=-4 0,tana<0,所以角a的终边在第二象限， 5 所以sina=V1-cos2a= 5 3 故选：B 5 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 7.已知cosa=- 若a是第二象限角，则sina=() A.3 B. C. D.5 2 2 2 【答案】A 【解析】因为a是第二象限角，所以sina=V1-cos2a=,1- 5故选：A 4 2 8.设a为第一象限角，且cosa=k,则tana·sin ,-=() A.k B.-k C.1-k2 D.-1-k2 【答案】c 【解析】因为a为第一象限角，且cosa=k>0,所以sina=V-cos2a=V1-k2, sina 又tana,sin 2 -0 cosa=sina=V1-k2.故选：C cosa 题型3已知正切求其它函数（式）值 3,则cosa=() 9.己知c为第四象限角，tana= A.4 3 B. D. 5 5 c3 5 【答案】c sin2a+cos2a =1 【解析】由题意得 tana=sina-4,解得cos2a=9 5 cosa 3 3 又a为第四象限角，则cosa>0,所以cosa= 5 10.己知tano= aE 则sina-2cosa=() A.5 B.V5 C.1 D.-1 5 【答案】A 【解析】因为a∈（石，x),所以sina>0,cosa<0, 又tana=sina_ 1 cosa 2’sin'a+cos2a=1, 解得sina=5 ,cosg=_25，所以sina-2cosa=+3=5 55 ,己知tana=-3,)<a<,则sina:（ 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0 B.310 c.-1o D. 3√10 10 10 10 10 【答案】B 【解析】由tana=-3可得sina=-3,即sina=-3cosa, cosa 又sin2a+cos2a=1,可得10cos2a=1,所以cos2a 1 10 <a<元可得cosa=- 由 10 所以sinu= 3V10 10 10 12.已知tana= 12 ,a是第三象限的角，则sina=」 【答案】 13 【解析】因为a是第三象限的角，所以sina<0, 12 因为tana= 5,所以sina-12 cosa 5 sina 12 联立方程组 ,解得sina=- 12 cosa 5 (正根舍去)， 13 cos2a+sin2a=1 题型4利用平方关系求参数 13.己知sina,cosa是关于x的一元二次方程3x2-x+m=0的两根，则实数n=() A, 3 8.-4 3 C,4 D.4 9 【答案】B 【解析】已知sina,cosa是关于x的一元二次方程3x2-x+m=0的两根， 1 sina +cosa = 3 则有 m sina·cosa= 3 (sina+cosa)2=sin'a+cos'a+2sina.cosa=1+2sina.cosa, 得)1 2m,解得m=- 故达：日 14.若Be[0,2π]，且1-cos2B+V1-sin2B=sinB-cosB， 则B的取值范围是 【答案】 2,π 【解析】因为V1-cos2B+V1-sinB =Vsin2B+Vcos2β=sin B+cosβ=sinB-cosp, 4/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sinβ≥0 cosB≤0 又Be0,2,sB≤x 即B的取值范围是 π 2 15.已知sin, Cos0是关于x的方程2x2-x+t=0的两根，则实数t等于 【答案】 【解析】由方程2x2-x+1=0有两根，得△=1-81≥0，解得1≤g” sina+cosa=2 1 依题意， ,sin2a +cos2a =(sina +cosa)2-2sina cosa= t 1=L,解得1= 1 4 子符合圈 sina cosa 2 3 意，所以实数t等于 4 16.已知sin0= 1-a cos0=3a-l 1+a 1+a 且0e兮，则实数a的值 【答案]日 【解析】：sin20+cos20=1, 当a=1时，sin0=0,cos0=1,不满足0∈e(径，π)，故舍去； 时，sin9 当a= 4 9 5C0s0= 满足0e(5x),所以a= 3 1 B 能力提升题 题型1sinc±coso和sina。cosc关系的应用 1 7.已知xg-2,0sin'x+cos则sinx-cosx A.√2 B.-√2 C.2 D.-2 2 2 【答案】B 【解析】sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)}-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x, 1 又sin4x+cos4x= .1 2所以1-22x=2 5/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以sin'cosx=4又xe ,0 所以sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 所以sin xcosx=- 2,故sinx-cosx= (sinx-cosx)2 =-1-2 sin xco=-2x(》-5 故选：B 18.已知锐角a满足sina-cosa= ,则tana的值为（) A.3 4 B. c.5 4 D.5 5 【答案】B 【解析】由题意，sina-cosa=上O, 则(sina-cosa)2 25,又sna+cos2a=l, 所以2 sinacosa= 24 25 所以(sino+coso)2=1+ 24_49 2525' 因为a为锐角，所以sina+cosa>0,所以sina+cosa= 1② 5 由①和②联立可解得sina= 3 5,cosa= 所以tana= 8-子故达B 1 1 19.已知sin0+c0s0= 则tan0+ =() tane 8 B. 8 C. 3 3 D.- 2 【答案】B 【解析】在等式sin0+cos0 号两边平方可得1+2sn0cos9-行，可得如0cos0= 8 所以tan0+ sin0 cos0 sin20+cos20 1 8 tan 0 cos0 sin sin0 cos0 了故选：B 6 20.若sinx-cosx= 2’则sincosx= sinx+coSx 【答案】 3 8 2 2 【解析】由条件知(sinx-cosx)2=1-2 sinxcosx= 4,则sinxcosx= 3 6/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 令sinx+cosx=t, 两边平方得2=4 +2,得2 所以1=sinr+cosr=±万， 2 题型2正、余弦济次式的计算 21.已知tana=l,则2sina-cosa =() sina +cosa A B.2 C.3 0 1 3 【答案】A 【解析】原式= 2tana-1_2-l_1.故选A tana+11+12 snla+2+sn经-0 22.已知tana=3, =() 2sina+2】 3π +sin(a+3π) A.4 B.2 2 c.5 D.-4 【答案】D sina+2π+sin -a sina +cosa 3+14 【解析】 tana+1 2sin a+2 +sin(a+3π -2cosa-sina -2-tana-2-35 23.若sina=√5cosa,则sina cosa的值是() A B. 3 c.4 D.3 2 【答案】D 【解析】由sina=√3cosa,可得tana=√5， 利用三角恒等式sina+cos2a=1,将sina=√5cosa代入：(V3cosa)2+cos2a=1 1 3cos2a +cos'a =1,4cos2a=1,cos'a 4 则sindcosa=V5cosa-cosa=cosa=V5x{-月 44 所以，sincosa的值是V 4 故选：D 24.已知 cosa cosa-sina =2,则tana= 7/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【路0： 【解析】由 cosa=2,得c0sa=2c0sa-2sina， cosa-sina 即2sina=cosa,所以tana=2 1 cosa 方法二：由 =2,得 =2，解得tana= cosa-sina 1-tana 2 题型3同角公式的综合应用--化简、求值 25.若 <<π，则- cosa v1-cos2(-a) =() cosa sin(π-a A.0 B.1 C.2 D.-2 【答案】c 【解析】~乃<a<元cosa<0,s如a>0,结合诱导公式可得原式= cosa sina=1+1=2. -cosa sina 故选：C 26.若π<< 3π 且c0s= 6 则 1-sina 1+sina 的值是() 2 V1+sina V1-sina A号 B. 12 c. D.2v0 5 【答案】B 1-sina 1+sina 1-sina 1+sina 【解析】 1+sina V1-sina cosa cosa 因为π<a< 3π 所以cosa<0,-l<sina<0,得1-sina>0,l+sina>0, 2 1-sina+1+sina2_=2_12 则原式-cosa+-cosa-cosa55, 6 故选：B 27.对于x∈R,f(x)=cos2x+sinx-1的最大值为() A.-1 B. 3 C.0 4 【答案】D 【解析】令t=sinx,因为xeR,所以t∈[-l,],则cos2x=1-t2, 所以f(x)=cos2x+sinx-1=1-t2+t-1=-t- 12.11 +≤一 244 8/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当1=2时取等号，所以()的最大值为4 故选：D 28.化简 l-2sin(π-2)sin 3-2 的结果为() 2 A.sin 2-cos2 B.sin 2+cos2 C.cos 2-sin 2 D.-(sin 2+cos 2) 【答案】B 【解析】由题意可得： -2sin()2 因为2∈ π3π 2’4 则sin2>si 3π- π√2 4 2,c0s2>c0s 2 可得sin2+cos2> 万互=0 22 所以 2sinπ-2)sin 2 =(sin 2+cos2)2 sin 2+cos 2. 故选：B. 29.在同一平面中的角a和角B满足“sin2a+cos2B=1"是“a=B+2km,k∈Z"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】判断充分性：若sin2a+cos2B=1, 根据同角基本关系式sin2B+cos2B=l,所以sina=±sinB, 当sina=sinB时，a=B+2km,k∈Z或a=2k+1π-B,k∈Z, 当sina=-sinB时，a=-B+2km,k∈Z或a=B+(2k+1π，keZ, 所以充分性不成立， 判断必要性：若a=B+2kπ，k∈Z, 则sina=sinB+2kπ=sinβ， 所以sin2a+cos2B=1,必要性成立， 所以“sin2a+cos2B=1"是“a=B+2k饥，k∈Z"的必要不充分条件. 9/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：B 拓展培优题 1.已知a为第二象限角，且tana=-√5，则cosa=() A. 1 B.- c.3 D.-3 2 2 【答案】B 【解析】由a为第二象限角，知cosa<0, 而tana=-V5,故cosa=-√cos2a= cos-a 1 1 V cos2a+sin2a V1+tan2a 2 2.已知sina= 3 5 ,且oa是第三象限角，那么tana的值是() A.3 B. 3 D. 4 c 3 【答案】B 3 【解析】已知sina=- ，且a是第三象限角，则cosa也为负， 由na+osa=1,将oa=-子爱-专 3 因此tana= sina 53 cosa 44 5 3.若tana=2,则sina cos(-a)=() B. C.+2 D. 2 【答案】B 【解析】若tana=2, sina cosa sina cos(-a)=sina cosa sina cosa sina cosa cos'a tana 22 sina+cos'a sin'a cos'a tan'a+1 4+15 cos2a cos2a cos + 2 4.己知tana=-2,则 =() sin(π-a）-sin 3π 2a A. 3 B.2 C.-2 D.2 10/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C π cos + 2 -sina tan a -2 【解析】因为tana=-2,则 3π sin a +cosa tana+1 sin(-a)-sin -a 2*12. 、2 故选：C 5.己知sina+cosa= 5a(,),sina-cosa-) 1 A 1 B. 。号 【答案】B 【解折】由(6ma+owar-5释1+2 no-司 12 25所以singeosa= 25 > 于是(Sina-cosa}=1-2 sindcosd=l+=，故sina-cosa=± 2525 由于ae(0,x,且sinacosa<0,则sina>0,cosa<0, 因此sina-cosa>0,sina-cosa=5 7 6已知m小且0<则（的值为) A.-万 8. 4 4 c.3 4 D.3 4 【答案】A 【解折】由0<r<了得0<骨<骨 所做传-小，昏可-9 因为导小行+小，所以m小行小-m任小牙 7.若1-tan0-V ,则sin40-cos40=() 1+tan0 3 1 A.一2 B. c.-3 D.3 2 2 【答案】C 【解折1因为an8-5,所以30-am91=50+n8,故am0=35 =2-√3 1+tan0 3 3+V3 sincos0(sin0-cos)(sin)=sinn1 sin20+cos20 tan20+1 11/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又tan20=(2-√3)2=7-4V5, 所以sin40-cos40= (7-4W5-16-4523-253-25 55-2) 7-4V3+18-4V3 42-5 2(2-5)-23-22 8.已知角a的终边上一点P叫2，-6，则2sin(x-asm(}0 +cos'a =( A 8. C.1 D.-1 2 【答案】B 【解析】根据三角函数的定义可知tana=二6 -3, 根据诱导公式和同角三角函数关系式可知 2sinπ-a)sin 2-a +cos'a=2sina cosa+cos'a=2sina cosa +cos'a2tana+1-6+1 1 sin'a +cos'a tan2a+19+12 9.已知ae0,,则sina+-}"是"sina 23 22"的（) 3 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解折】若na+}=eosa=分则sna=t-cosa=士 3 因为a∈(0，到，所以sina=22 3 若sina= 22 3 3 故“sina+-"是'sna-25的充分不必要条件。 2/ 3 10.已知a为锐角，且2tan(π-a)-3cos π +B+5=0,tan(π+a)+6sin(π+B)-1=0,则sinu的值是() A.3V5 8.37 C.31o D. 5 7 10 【答案】C t析】由tan(r-a)--tand,co时2+BE-sinB,tan(r+a)=tama,sin(r+B)三 代入原方程：①2(-tana)-3(-sinβ)+5=0→-2tana+3sinB+5=0 ②tana+6(-sinβ)-l=0→tana-6sinB-1=0,联立求解tana: 由①得：3sinB=2 tana-5,两边乘2得6sinB=4tana-10, 12/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 代入②：tana-(4tana-10)-1=0→-3tana+9=0→tana=3, 己知tana=sina=3,则sina=3cosa, cosa 1 代入sin2a+cos2a=1:(3cosa)2+cos2a=1→10cos2a=1→cosa= √10 (a为锐角，取正)，因此 1310 sina=3× √1010 故选：C 11.（多选题)定义：角0与9都是任意角，若满足0+p=90°，则称0与9“广义互余”.已知 n(π+a=4,下列角B中，可能与角"义互余"的是()了 A.sinp=1 4 B.x+刷-= C.tanB=15 D.tanB-vi5 15 【答案】AC 【解折】由sm(红+a)=-子，得-sina。 4 所以如a号放csa: 4 由题意，若与B“广义互余”，则a+B=90°， 所以sinB=cosa=t 4,cosB=sina=1 ,tanB=+15. 故AC满足，D不满足； 对于B,由cosx+B到=·得cosB=- 不满足 故选：AC 12已知cosa=m,ae(受0 则下列说法正确的是() A.sina =-v1-m2 B.cosπ-a=m 3π。 c.sm+a-m D.tan m V1-m2 【答案】ACD 【解折】由cosa=m,a(0,则sna=--coga=--后，故A正确： 则cos(π-a)=-cosa=-m,故B错误， 13/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 则sin 2 +a=-cosa=-m,故C正确； π sin -0 2 cosa m 则tan -a 故D正确. sina cos - √1-m2 2 故选：ACD 13.已知sina cosa= 12 25 0<a<4,正确的是(） 7 A.sina+cosa=- B.cosa-sina= 5 3 4 C.tana= D.sina 5 【答案】ABC 【解析】对于A,因为(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2 sina cosa=1+ 2449 2525 因为0<a<元，所以sina>0,cosa>0,sina+cosu> 7 所以sina+cosa=,故A正确： 5 对于B,因为(cosa-sina)=sin2a+cos'a-2 sa=1-24- 2525 又因为0<a<子 所以sina>0,cosa>0,cosa>sina,cosa-sina>0, 1 所以csa-sina=写放B正确： 行ina-子所以ana=0g-子，故c正确 4 3 对于C,由A,B可得cosa= cosa 4 对于D,由c可知sina=3, 故D错误 故选：ABC 14.已知角A为ABC的内角，若sinA-3cosA=-1,则下列说法正确的是() 7 A.sin A+Cos A= B.2sin A-cos A= C.tanA= 12 D.sin AcosA= 4 25 【答案】AD 【解析】因为sinA-3cosA=-1,所以sinA=3cosA-1. 因为角A为ABC的内角，所以sinA>0,所以3cosA-1>0,所以cosA> 3 14/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为sin2A+cos2A=1,所以(3cosA-1)2+cos2A=1,所以5cos2A-3cosA=0 所以cosA=,或cosA=0(舍)，所以snA=4 选项A:sinA+cosA=+ 4+?-?,所以选项A正确。 555 选项B:2sinA-cosA=2× 43 =1,所以选项B错误 55 选项C:tanA sinA_5=4,所以选项c错误. cos 4 33 选项D:sin AcosA=于 4×3_12,所以选项D正确。 5525 故选：AD 15.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，且终边过点(3,4)，则sina+cosa sina-cosa 【答案】7 【解析】根据角u的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义式，可以求得tana= 3 4 7 +1 sin a+cos a 所以有 tan a+1 3 一= sin a-cos a tan a-1 4 3=1 1 -1 3 3 cosπ+a+sin-a 16.若tana=2,则 sin 【答案】-3 cos(π+a)+sin(-a) 【解析】 -cosa-sind=-1-tana π sin 2- cosa 因为tana=2,所以-1-tana=-3. 17.已知0为锐角，化简： 1+sin0 1-sin0 -sin0 V1+sin0 【答案】2 cos0 【解析】因为O为锐角，所以1-sin0>0,1+sin0>0, 所以 1+sin0 1-sin0 1-sin20 1-sin20 cose cos0 2c0s=2 1-sin0 1+sin0 1-sin0 1+sin0 1-sin0 1+sin0 1-sin20 cos0 15/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.已知A∈0，，cosA-snA=亏，则cos4+sn4 1 【等】写 【解析】因为Ae(0,),所以cosA>0,sinA>0, cos A-sin A=- 联立 5, cos2 A+sin2A=1 7 解得cosA 5'sin A= 3 (负根舍去)，则c0sA+sinA= os(4z-a)-sinasin(a) 19.已知tana=2.且π<a<2π则 的值等于 sin(-a）sin π 【答案】-5 cos4π-asin sinπ-a) 【解析】原式 cosa(-cosa)sina -cos'asina =C0S0, sin(-a)sin (-sina）cosa -sino·cosa 已知ana=sina=2,即sina=2cosa,与sin'a+cos'a=1联立方程组， cosa 解得：(2cosa+cosa=l,即cos2a=5 1 又因为元<a<2π，且tana=2>0,所以是第三象限角， 因此cosa= V5=-5 20.函数fx)=sin2x+4cosx,-刀sx≤ 则∫(x)的最小值为 6 3 【答案】 51-1.25 【解析】由题意可得f(x)=sin2x+4cosx=1-cos2x+4cosx, 因为-sx 6 3, 据余该函数的图象和性质可得ox片： 令cosx=t,t∈ 则函数转化为gt=-12+41+1, 因为g0)是开口向下，对称轴为1=2×可 4 =2的抛物线， 所以g) [别上单调递赠，=8》-(+4(》1= 16/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以✉的最小值为-子 17/17 §1 同角三角函数的基本关系 题型1 已知正弦求其它函数（式）值 1.已知且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏固原·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 ， ． 题型2 已知余弦求其它函数（式）值 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 8．设α为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 题型3 已知正切求其它函数（式）值 9．已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 11．已知，，则（   ） A． B． C． D． 12.已知是第三象限的角，则 ． 题型4 利用平方关系求参数 13.已知是关于的一元二次方程的两根，则实数（   ） A． B． C． D． 14.若，且，则的取值范围是 ． 15.已知，是关于的方程的两根，则实数等于______. 16.已知，，且．则实数的值_____． 题型1 sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 20.若，则______，______． 题型2 正、余弦齐次式的计算 21．已知，则（   ） A． B． C． D． 22．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 23．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 24．已知，则________． 题型3   同角公式的综合应用----化简、求值 25．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 26．若且，则的值是（   ） A． B． C． D． 27．对于的最大值为（   ） A．－1 B． C．0 D． 28．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 29．在同一平面中的角和角满足“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且是第三象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若，则＝（   ） A． B． C． D． 8．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D． 9.已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知为锐角，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13．已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，且终边过点，则______． 16．若，则_____________. 17．已知为锐角，化简：______. 18．已知，，则_______ 19．已知.且则的值等于______. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 §1同角三角函数的基本关系 题型1已知正弦求其它函数（式）值① 题型2已知余弦求其它函数（式）值 基础达标练 题型3已知正切求其它函数（式）值 题型4利用平方关系求参数 同角三角函数的基本关系 题型1sina±cosc和sina~cosa关系的应用 能力提升练 题型2正、余弦齐次式的计算 题型3同角公式的综合应用一-化简、求值 培优拓展练 A 基础达标题 题型1已知正弦求其它函数（式）值 1.【答案】C 【解析】因为sina=-2, sra+sa=1所以osa=1-ma=1-(- 因为是第三象限角，所以cosa= - ,所以tana= sina_25,故选C 3 cosa 5 2.【答案】D 【解析】已知sina= 2且0是第二象限角，则cosa<0, 由sin'a+cos2a=1可得：cosa=--sin'a=--4 2 故选：D 4 3.【答案】B 【解析】因为20是第一象限角，余弦值为正数， 所以c0s20'=-sin'20:m,则tan20°=sin20 m c0s20= 故选：B V1-m2 4.【答案】 22或2迈 3 3 4 4 【解析】因为simx=一弓0，所以角x为第三或第四象限角. 若x为第三象限角，则cosx<0,所以cosx=-V1-sin2x= -1-22 9 3 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sinx tanx= 3 √2 cosx .2v2 4； 3 舍X为第四象限角，则c03x>0,所以co3x=-E,-29 1 tanx=Sinx 3 cosx 2v2 4 3 题型2已知余弦求其它函数（式）值 5.【答案】A 【解析】因为cosa= >0,0<a<,所以sina=V1-cos2a= , 所以tana= sina 4故选：A cosa 6.【答案】B 【解析】因为cosa=-4 <0,tana<0,所以角a的终边在第二象限， 4 所以sina=V1-cos2a 故选：B 7.【答案】A 【解析】因为a是第二象限角，所以sina=V1-cos2a= 1 5故选：A 42 8.【答案】C 【解析】因为a为第一象限角，且cosa=k>0,所以sina=V1-cos2a=V1-k2, sina 又tana.sin cos=sina=V1-k2.故选：C cosa 题型3已知正切求其函数（式）值 9.【答案】C sin2 a+cos2a=1 【解析】由题意得 tana sina-4,解得cos'a=9 5 c0s3 又a为第四象限角， 则c0sa>0,所以cosa= 3 10.【答案】A 【解析】因为a∈(5，)，所以sina>0,cosa<0, 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 又tana= sina cosa =-2’sin2a+cos2a=1, 解得sina=5 ’c0sa= 25,所以sina-2cosa= 5455 55 11.【答案】B 【解析】由tana=-3可得sina=-3,即sina=-3cosa, cosa 1 又sin2a+cos2a=1,可得10cos2a=1,所以cos2a 10 庙<a<元可得cosa-10 ,所以sina=3@ 10 10 2【路1号 【解析】因为a是第三象限的角，所以sina<0, 因为tana= 5,所以sina-12 12 cosa 5' sina 12 联立方程组 cosa 5 ,解得sina= 12 (正根舍去)， cos2a+sin2a=1 题型4利用平方关系求参数 13.【答案】B 【解析】已知sina,cosa是关于x的一元二次方程3x2-x+m=0的两根， 1 sina +cosa = 3 则有 m sina·cosa= 3 (sina+cosa)2=sin'a +cos'a+2sina.cosa=1+2sina.cosa, 得1+ 见解得m=一2·故选： 3 14.【答案】 【解析】因为V1-cos2B+1-sin2B =sin2B+cos2B=sin B+cos B=sin B-cos B, sinp≥0 cosB≤0' 又B∈0,2m,≤B≤π， 2 即B的取值范围是 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.【答】/-0,75 【解析】由方程2x2-x+1=0有两根，得4=1-8120，解得1≤8 sina cosa 依题意， 之.则sna+cos2a=(6ma+cosa-2 2sino=}1=1,解：得=子，符合题 t 4 sina cosa 2 意，所以实数t等于小了 16【答案】) 【解析】：sin20+cos20=1, 当a=1时，sin0=0,cos0=1,不满足0∈（否，π），故舍去： 当a=时，s=, 9 ,C0s0=- 满足0e(号)，所以a= 3 1 B 能力提升题 题型1sina±coso和sinc·cosc关的应用 17.【答案】B 【解析】sin4x+cosx=(sin2r+cos2x2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x, 又sm'x+eosx=,所以1-2sin2 c- 21 1 所以sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 所以sin xcosx=- 分故nx-c0s=mx-es可--2 in-2x-5 故选：B 18.【答案】B 【解析】由题意，sina-cosa=①， 25’又sin'a+cos2a=l, 1 则(sina-cosa)2= 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 24 所以2 sinacosa= 251 所以(sina+coso)2=1+ 2449 2525’ 因为a为锐角，所以sina+cosa>0,所以sina+cosa= 1②： 5,cosa=3 4 由①和②联立可解得sina= 所以tana= 那-子故选8 19.【答案】B 1 【解析】在等式sin0+cos0=与两边平方可得1+2sin8cos6=4,可得sin9cos9=一 所以tan0+ 1 sin0 cos0 sin20+cos20 1 8 tan cos0 sin0 sin0 cos0 =3=3故选：B. 8 20.【答案】 P 2 2 1 折)由条件知si成-c0sd-2 inro-则sinos 令sinx+c0sx=1,两边平方得2=+，得7= 4 所以1=sinr+cosr=t 2 题型2正、余弦齐次式的计算 21.【答案】A 【解析】原式= 2tana-1_2-1=1.故选A tana+11+12 22.【答案】D sina+2π+sin 【解析】 2 0 sina+cosa tana+1 3+1 4 2sina+ 3π 2 +sina+3π -2cosa-sina -2-tana-2-3 5 23.【答案】D 【解析】由sina=√3cosa,可得tana=√5. 利用三角恒等式sin2a+cos2a=1,将sina=√3cosa代入：(V3cosa)2+cos2a=1 1 3cos'a +cos2a=1,4cos2a =1,cos'a = 4 inacosa=cosa cosa=cosx 44 5/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以，sinacosa的值是V 4 故选：D. 24【路案)05 【解析】由 cosa—=2,得cosa=2c0sa-2sina, cosa-sina 即2sina=cosa,所以tana=2 1 cosa 方法二：由一 =2,得， 1 =2， sa-sina 1-tana 解得tana= 题型3同角公式的综合应用--化简、求值 25.【答案】c 【解析】：<a<元，cosa<0,ina>0,结合诱导公式可得原式=- cosa 2 sina=1+1=2 cosa sina 故选：C 26.【答案】B 【解析】 1-sina 1+sina 1-sina 1+sina 1+sina 11-sina cosa cosa 3π 因为π<o< 2 所以cosa<0,-l<sina<0,得1-sina>0,l+sina>0, 1-sina1+sina 2212 一= 则原式 -cosa -cosa 55, 6 故选：B 27.【答案】D 【解析】令t=sinx,因为xeR,所以t∈[-l,1],则cos2x=l-t2, 所以f(x)=cos2x+sinx-1=1-2+t-1=- 当且仅当t=，时取等号，所以()的最大值为 故选：D 28.【答案】B 【解析】由题意可得： l-2sinπ-2)sin 2=1+2sin 2cos2 =(sin 2+cos2)2. 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为2∈ π3π 则sin2>sin 3π√2 3π√2 24 cos2>cos 421 4 2 可得sin2+cos2> 2√2 22 0 所以 l-2sinπ-2)sin sin 2+cos 2. 2 =(sin 2+cos 2)2 故选：B 29.【答案】B 【解析】判断充分性：若sin2a+cos2B=1, 根据同角基本关系式sin2B+cos2B=l,所以sina=±sinB, 当sina=sinβ时，a=B+2km,k∈Z或a=2k+lπ-B,keZ, 当sina=-sinB时，a=-B+2kπ，k∈Z或a=B+(2k+1π，keZ, 所以充分性不成立， 判断必要性：若a=B+2m,k∈Z, 则sina=sinB+2kπ=sinB, 所以sin2a+cos2B=1,必要性成立， 所以“sin2a+cos2B=1"是“a=B+2km,k∈Z"的必要不充分条件。 故选：B 拓展培优题 1.【答案】B 【解析】由a为第二象限角，知cosa<0, 而tana=-V5,故cosa=-√cos2a= cos-a 1 cos-a+sin-a V1+tan2a=- 2.【答案】B ，且a是第三象限角，则cosa也为负， 3 【解析】已知sina=- 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 因此tana= sina =53 cosa 4 4' 3.【答案】B 【解析】若tana=2, sina cosa sina cosa sina cosa sina cos(-a)=sina cosa cos-a tana 22 1 sin2a+cos2a sin'a cosa tan2a+14+15 cos2acos2a 4.【答案】C cos 2*a -sina tana 【解析】因为tana=-2,则 -2 =-2」 3π sina +cosa tana+1-2+1 sinπ-a-sin -0 2 故选：C 5.【答案】B 【解】由(6ina+coaP=5得1+2naca 25'所以sincosa= 1 12 25 于是(6ina-cosa}=1-2 sinacosa=1+24-49, 7 故sina-cosa=± 2525 由于ae(0,π，且sinacosa<0,则sina>0,cosa<0, 7 因此sina-cosa>0,sina-cosa= 5 6.【答案】A 【解折】由0<x<骨，得0<弩x<号 所以m任小s昏-号 因为刻行行+小，所以o-售小-得小-年 7.【答案】C 【解析】因为am8-5,所以30-an9)=50+n81,放am0=3-6=2-5 1+tan0 3 3+5 sincssincs)(sinsincsincta-1 sin20+cos20 tan20+1 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又tan20=(2-√3)2=7-4V5, 所以sin40-cos40= (7-45-16-4523-25)3-25 5(5-2_5 (7-45)+18-4v542-5)22-5-2W3-22 8.【答案】B 【解析】根据三角函数的定义可知tana= -6 2 =-3, 根据诱导公式和同角三角函数关系式可知 2sinπ-a)sin -a +cos'a=2sina cosa+cos'a=2sina cosa +cos'a=2tana+1=-6+11 π 2 sin2a+cos2a tan2a+1 9+1 2 9.【答案】B 【解析】若sina+ cosa=3,则sina=±V-cos'a=±2v2 1 3 2W2 因为ae(0,π，所以sina= 3 若sina= 2W2 则cosa= t即sina+ =c0sa=± 3 2 3 故“sina+=}是“sna=2y5的充分不必要条件. 23 3 10.【答案】C 折】由tan(r-a)=-tana,co时+BE-sinB,tat+a)=tana,sn(r+)=m 代入原方程：①2(-tana)-3(-sinB)+5=0→-2tana+3sinB+5=0 ②tana+6(-sinβ)-1=0→tana-6sinB-1=0,联立求解tana: 由①得：3sinB=2tana-5,两边乘2得6sinB=4tana-l0, 代入②：tan-(4tana-10)-1=0→-3tana+9=0→tana=3, 己知tana=sina=3,则sina=3cosa, cosa f代入sin2a+cos2a=l:3c0saP+cos'a=l→10cos'a=1→cosa=70 (为锐角，取正)，因此 sina=3x-1_3v10 1010 故选：C 11.【答案】AC 【解折】由sn红+a)=子得-sna=-子 4 9/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以sina=4 故cosa=± 4 由题意，若a与B“广义互余”，则a+B=90°， 15 1 所以sinB=cosa=± cosB=sina=taB5. 故AC满足，D不满足； 对于B,由cosg+引=子有cosB=子，不满足 1 故选：AC 12.【答案】ACD 【解析】由cosa=m,a∈- 0,则sina=-cos2a:--m,故A正确： Γ(2 则cosπ-a）=-cosa=-m,故B错误， 则sin 3π +a =-cosa=-m,故C正确： 2 sin 2 -0 cosa m 则tan -0 ，故D正确. sina cos -0 V1-m2 2 故选：ACD 13.【答案】ABC 2449 【解析】对于A,因为(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2 sina cosa=1+ 25 25 又因为0<a< 所以sina>0,cosa>0,sina+cosa>0, > 所以sina+cosa= 故A正确 对于B,因为(c0sa--sina)=sin2a+cos'a-2 2sinacosa=1-24- 2525 因为0<a<4所以sina>0,cosa>0.cosa>sina,cosa-sina>0 所以cosa-sina= 故B正确， 1 4 3 臂于C由A,B可春cosasin所以ama-ng=敌c正确 cosa 4 对于D,由c可知sina= 3,故D错误 故选：ABC 10/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.【答案】AD 【解析】因为sinA-3cosA=-1,所以sinA=3cosA-1. 因为角A为ABC的内角，所以sinA>0,所以3cosA-1>0,所以cosA> 因为sin2A+cos2A=1,所以(3cosA-1)2+c0s2A=1,所以5cos2A-3cosA=0 所以cosA=,或cos4=0(舍)，所以sinA=4 5 选项A:sinA+cosA= 4+3-?,所以选项A正确 555 达项B2mo=2×;}1所以达项B错关 4 选项CanA=sin4-三=4，所以选项c错误 cosA 3 3 J 选项D:sin AcosA= 4×3_12,所以选项D正确。 5525 故选：AD. 15.【答案】7 4 【解析】根据角a的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义式，可以求得tana= 4. 7 +1 所以有na+cosa=ana+1-?=3=7. sina-cos a tan a-14-l】 33 16.【答案】-3 cos(π+a)+sin(-a 【解析】 )-cosa-sina=-1-tana π sin cosa --0 2 因为tana=2,所以-1-tana=-3 17.【答案】2 cos0 【解析】因为0为锐角，所以1-sin0>0,1+sin0>0, 所以 1+sin0 1-sin0 1-sin20 v1-sin20 cos0 cos02cos02 1-sin0 V1+sin0 1-sin0 1+sin0 1-sin0 1+sin0 1-sin20 cos0 18.【答案】 7 【解析】因为4∈(0,5)，所以cosA>0,sinA>0, 11/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 联立 cos A-sin A= 5 cos2 4+sin24=1 解得cosA=4 Gsin4=3C负根舍去)，则cosA+sin47 5 19.【答案】 、5 5 cos(4x-a).sin a- 【解析】原式 sin(-a)cosa(-cosa)sina-cos'asina=cosa, sin-asn（径+a （-sina).cosa -sina·cosa 己知tana sinc=2,即sina=2cosa,与sin2a+cos2a=1联立方程组， cosa 解得：(2cosa)+cos2a=l,即cos'a=写 1 又因为π<a<2π，且tan=2>0,所以a是第三象限角， 因此cosa= 。5 V5 5 20.【答案】 【解析】由题意可得f(x)=sin2x+4cosx=1-cos2x+4cosx, 因为名≤x≤行· 2π 根据余弦函数的图象和性质可得cosx∈ 6 令cosx=t,te 1 21 则函数转化为g(t=-2+41+1, 因为g0是开口向下，对称轴为1=2x-可 4 2的抛物线， 所以g) [别]上单调递塔，80=8》-（》+4》+1=- 所以到的最小值为-子 12/12