第1章 集合与逻辑讲义-2026届高三数学一轮复习

第一章 集合与逻辑 第1讲 集合的概念 【知识梳理】 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； 注：元素互异性常用于求解含参数的集合问题. （2）集合常用的三种表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为； （4）五个特定的集合及其关系图：表示自然数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集，表示复数集. 2.集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称是的子集，记作（或）； （2）真子集：如果集合是集合的子集，但集合中至少有一个元素不属于，则称是的真子集，记作或； ，既要说明中任何一个元素都属于，也要说明中至少存在一个元素不属于. （3）集合相等：若，且，则； 两集合相等：中任意一个元素都符合中元素的特性，中任意一个元素也符合中元素的特性. （4）空集：不含任何元素的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.记作； 注：对任何集合有，若则. （5）子集的个数：含有个元素的集合共有个子集，其中有个真子集，个非空子集. 【典型例题】 【例1】（1）若集合，，则下列关系中正确的是（ ） A.； B.； C.； D.. （2）若，若，则_____________. 【例2】将下列集合用列举法表示： （1）集合 （2）集合 【例3】（1）已知集合，求集合的子集的个数； （2）已知集合，，若，求实数的值. 【例4】（1）设集合，，若，求与的值； （2）已知集合，求、的值. 【例5】已知集合，.若，则实数的取值范围为____________. 【备用题1】已知，若（其中表示正实数集），求实数的取值范围. 【备用题2】有限非空数集满足条件：若，则（实数）. （1）若，试写出中的其他元素； （2）请设计一个满足条件的集合，用列举法表示出来； （3）从上面的解答中，你能得出什么结论？并说明理由. 第2讲 集合的运算 【知识梳理】 1.集合间的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即且.图示： （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即或.图示： （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即且.图示： 求集合的补集的前提是“是全集的子集”，集合其实是给定的条件.从全集中取出集合的全部元素，剩下的元素构成的集合即为. 2.常用结论 （1）子集的性质：，，，； （2）交集的性质：，，； （3）并集的性质：，，，，； （4）补集的性质：，，，，； （5）等价关系：，； （6）Venn图：如图所示，用集合、表示图中I、II、III、IV四个部分所表示的集合分别是、、、. 【典型例题】 【例1】（1）设集合，，若，则_____. （2）记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则____________，_________________. （3）已知全集，若集合，，则集合_________________. 【例2】（1）设集合，，则____. （2）设集合，，若，则实数的取值范围是_______________. 【例3】（1）设集合，，若，则实数的取值范围是___________ （2）图中阴影部分所表示的集合为_________________. （3）设全集，已知，，，求集合、. 【例4】设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设全集为，若，求实数的取值范围. 【备用题1】设、是两个非空集合，定义与的差集且. （1）设集合，，求； （2）设集合，请分别用列举法和描述法写出一个集合，使得. 【备用题2】已知两个正整数集合，，其中.若，且，且的所有元素之和是，求集合、. 第3讲 命题与充要条件、反证法 【知识梳理】 1.充分条件、必要条件与充要条件 （1）如果，则是的充分条件； 是的充分非必要条件是指：； 是的一个充分非必要条件是指：，在解题中要弄清他们的区别，以免出现错误 （2）如果，则是的必要条件； （3）如果既有，又有，记作，则是的充要条件. 充要关系与集合的子集之间的关系 设，. （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若，则是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； （3）若，则是的充要条件. 2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（=） 大于（>） 小于（<） 是 或 否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 且 正面词语 都是 任意 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 存在 至少有两个 一个也没有 3.反证法的基本步骤 （1）否定结论，提出假设（假设结论的反面成立）； （2）推出矛盾（从假设出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾）； （3）推翻假设，肯定结论. 【典型例题】 【例1】试判断下列各组中是的什么条件？ （1），； （2），； （3），； （4），二次函数的图像与轴有两个不同的交点； （5），或； （6）或，. 【例2】已知命题，命题， （1）若、中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围； （2）若、中至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 【例3】用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A.假设、、都是偶数 B.假设、、都不是偶数 C.假设、、至多有一个偶数 D.假设、、至多有两个偶数 【例4】已知、都是正数，且，求证：和中至少有一个成立. 【备用题1】已知集合，，：，：，并且是的充分条件，求实数的取值范围. 【备用题2】完成下列表格： 序号 集合 条件 命题 （1） 是的充分条件 （2） （3） 是的必要条件 （4） 是的充分必要条件 （5） 【备用题3】求证：方程的解是唯一的. 学科网（北京）股份有限公司 $