专题01 集合的初步（专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 集合的初步 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断元素（集合）与集合的关系 1 题型二、集合元素互异性的应用 1 题型三、列举法与描述法的综合表示 2 题型四、子集（真子集）个数问题 2 题型五、根据集合元素个数求参数 2 题型六、根据集合包含关系求参数 2 题型七、集合的并、交、补综合运算 3 题型八、根据集合运算结果求参数 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断元素（集合）与集合的关系 1．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 3．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 4．设集合，，则、之间的关系为 ． 题型二、集合元素互异性的应用 5．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 6．已知集合，若，则 . 7．已知集合，若，则的值为 . 8．已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 题型三、列举法与描述法的综合表示 9．已知集合，，记且.则 ， . 10．集合可以用列举法表示为 . 11．集合用列举法表示为 . 12．已知集合，且，则M等于 （用列举法） 13．集合用列举法表示为 . 题型四、子集（真子集）个数问题 14．（24-25高一上·上海·期中）已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 15．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 16．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 17.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 18.（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 题型五、根据集合元素个数求参数 19．已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 20．集合中有且只有一个元素，则的取值可以是 . 21．集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 22．已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 . 题型六、根据集合包含关系求参数 23．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 24．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 25．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 26．若，，，则的取值范围是 27．已知集合，若，求的取值范围 28．已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为 题型七、集合的并、交、补综合运算 29．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 30．若集合，，则 . 31．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 32．全集是不大于的素数，若，，，则集合 . 33．（2025·上海嘉定·二模）已知集合，集合，则＝ ． 34．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 35．若全集，集合，，则= 题型八、根据集合运算结果求参数 36．设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 37．设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 38．已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 39．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 40．已知，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 41．已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 42．已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 1．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 2．已知，，，记，，若，则集合为 . 3．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种． 4．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 . 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 6．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： （1）对于任意，，若，则； （2）对于任意，，若，则 下列命题正确的是 填序号 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素. 7．Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 8．（24-25高一上·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 9．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 12．（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 13．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的初步 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断元素（集合）与集合的关系 1 题型二、集合元素互异性的应用 1 题型三、列举法与描述法的综合表示 3 题型四、子集（真子集）个数问题 4 题型五、根据集合元素个数求参数 6 题型六、根据集合包含关系求参数 8 题型七、集合的并、交、补综合运算 9 题型八、根据集合运算结果求参数 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断元素（集合）与集合的关系 1．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 2．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 3．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【详解】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤ 4．设集合，，则、之间的关系为 ． 【答案】 【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 又因为集合中的元素是的整数倍， 所以N. 故答案为：. 题型二、集合元素互异性的应用 5．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 6．已知集合，若，则 . 【答案】14 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 7．已知集合，若，则的值为 . 【答案】 【分析】分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 8．已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【答案】0 【分析】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【详解】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 题型三、列举法与描述法的综合表示 9．已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 10．集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，显然不成立， 当时，可得，不符合题意， 所以集合可以表示为集合. 故答案为：. 11．集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 12．已知集合，且，则M等于 （用列举法） 【答案】 【分析】根据列举法列举所以情况即可求. 【详解】由于，所以是6的正因数， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 综上可得， 故答案为： 13．集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】依题意逐个验证即可. 【详解】时，时，时，时，时，时，不合题意， 故满足题意的有， 故答案为：. 题型四、子集（真子集）个数问题 14．（24-25高一上·上海·期中）已知非空集合，且满足：“若则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】先根据非空集合，确定集合的个数，再排除不满足条件的集合即可. 【详解】首先：因为非空集合，所以集合的个数为：个， 其中：，，不满足条件：“若则”. 故满足条件的集合的个数为：4. 故答案为：4 15．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 【答案】 【分析】根据条件得，再利用子集的个数得，即可求解. 【详解】因为，又有且仅有个子集， 所以有两个元素，则， 若时，，此时满足题意， 若，则，此时违反互异性， 所以， 故答案为： 16．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 【答案】3 【分析】根据集合的包含关系确定集合中一定含有的元素以及可能含有的元素，从而得到其个数． 【详解】因为集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素， 所以或或， 所以满足条件的M个数为3. 故答案为：3. 17.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 18.（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 【答案】6 【分析】依题意，集合S中的元素，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可. 【详解】因为非空集合，且若，则必有， 则有1必有6，有2必有5，有3必有4， 又集合S是U的真子集，那么满足上述条件的集合S可能为： ，，，，，，共6个. 所以满足条件的集合S共有6个. 故答案为：6. 题型五、根据集合元素个数求参数 19．已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式列式求解即可. 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 20．集合中有且只有一个元素，则的取值可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】讨论、，结合集合中元素个数求参数范围，即可得答案. 【详解】当时，，此时满足题设； 当时，只有一个根，则； 综上，的取值可以是，0，1. 故答案为：（答案不唯一） 21．集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 【答案】 【分析】根据集合子集个数确定集合中元素个数，分和求解即可. 【详解】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素， 所以方程即只有一个根， 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，原方程化为，所以， 解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为. 故答案为：. 22．已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可得解. 【详解】集合表示关于的方程的解集， 因为集合中只有一个元素， 当，即，解得，此时，符合题意； 当，则，解得或， 当时，时，符合题意； 综上可得的所有可能取值组成的集合为. 故答案为： 题型六、根据集合包含关系求参数 23．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 24．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 25．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合. 故答案为： 26．若，，，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据和讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】，，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为：. 27．已知集合，若，求的取值范围 【答案】或 【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答. 【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则， 当时，由，得或，解得或， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 28．已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】求出集合B，根据建立不等式求解即可. 【详解】由可得， 当时，不等式无解，即,不符合. 当时，由不等式解得，即， 由则需，解得， 所以， 当时，由不等式解得，即 由则需，解得. 综上，或. 故答案为： 题型七、集合的并、交、补综合运算 29．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 【答案】 【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 30．若集合，，则 . 【答案】 【分析】集合A表示直线去掉一个点，集合B表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集. 【详解】依题意，集合B表示上的点，集合A表示直线上的点， 故集合中元素表示直线与二次函数的交点，联立得(舍)， 故直线与二次函数有1个交点，故集合中有1个元素,. 故答案为：. 31．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据运算“*”，，利用集合的交集和补集运算求解. 【详解】解：因为集合，，，， 所以，则， 又， 所以， 故答案为： 32．全集是不大于的素数，若，，，则集合 . 【答案】 【分析】本题首先可根据素数的定义得出，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果. 【详解】因为全集是不大于的素数，所以， 因为，所以， 因为，， 所以可绘出韦恩图，如图所示： 由韦恩图可知，， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于的自然数中，只能被和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题. 33．（2025·上海嘉定·二模）已知集合，集合，则＝ ． 【答案】 【分析】根据交集的定义计算. 【详解】. 故答案为：. 34．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】由集合运算求出，然后得到. 【详解】，∴， 故答案为： 35．若全集，集合，，则= 【答案】 【分析】首先求并集，再求补集. 【详解】，所以. 故答案为： 题型八、根据集合运算结果求参数 36．设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 37．设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合及，结合图形分析出阴影部分表示的集合，再根据交集的定义求解即可； （2）先分析出选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到，然后分和两种情况讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）因为全集，集合或， 当时，， 所以或. 所以图中阴影部分表示的集合或． （2）①；②；③， 选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到， 当时，，解得； 当时，或， 解得或，所以. 综上可知，实数的取值范围是． 38．已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出，再由交集的定义即可得出答案； （2）由可得，由子集的定义列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】（1），当时，， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以，解得：， 所以实数m的取值范围为. 39．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 40．已知，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据并集与补集的运算求解即可； （2）分与由条件列不等式求范围即可. 【详解】（1）当时，， 所以或，又， 所以或； （2）当时，有，解得； 当时，有，解得， 综上所述a的取值范围为. 41．已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，或． (2)存在， 【分析】(1)代入，，根据集合的运算律求解; (2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果. 【详解】（1）当，时，． 又， 所以， ，或． （2）假设存在实数满足条件． 因为，所以由，得． 由，得解得  故存在，，使得． 42．已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集、交集的知识来求得正确答案. （2）先求得，然后根据是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以或， 因为， 所以或； （2）因为，， 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以或 解得， 综上，a的取值范围为. 1．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 2．已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或, 故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 3．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种． 【答案】 【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案. 【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法； 当A中最大的数为2时，A可以是或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为3时，A可以是，，或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为时，A可以是，，，，，，, 或，B可以是的非空子集，有（种）选择方法. 当中最大的数为时，可以是：，， ，， ，是，有（种）选择方法. 所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“中最小的数大于中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 4．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 . 【答案】31 【分析】结合题意先判断出的第211个子集，再由真子集个数求解即可； 【详解】因为， 所以由题意可得的第211个子集为， 所以其真子集个数为个， 故答案为：31 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 6．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： （1）对于任意，，若，则； （2）对于任意，，若，则 下列命题正确的是 填序号 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素. 【答案】④ 【分析】利用特殊集合验证排除选项，推出结果即可． 【详解】解：对于，令，， ，有个元素，错误． 对于，令，， ，有个元素，错误 对于，令，， ，有个元素，错误． 对于，由题可设其中，则且和分别为集合中最小和最大的元素， 由性质可知，且为集合中最大的元素，即，则， 同理可知，，即， 若，则 ，即，显然不合题意； 若即，则，，，即，则有个元素． 故答案为：． 7．（22-23高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可. 【详解】对于①.，设，则，故①的集合与M相等； 对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等； 对于③.当 时，，故③的集合与M不相等； 对于④.令， ， 其中，故④的集合与M相等； 故答案为:①②④ 8．（24-25高一上·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 【答案】D 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元. 9．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 10．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合“可分集合”的定义，结合，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，集合，当去掉元素时，剩余元素组成的集合为， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以①正确； 对于②，对于三元集，若去掉元素，剩余的元素组成的集合为， 把集合分成两个非空集合，可得集合，， 根据集合元素的互异性，可得，所以分成两个的集合的元素之和不相等， 所以三元集可能是“可分集合”，所以②不正确； 对于③中，集合，若去掉元素，剩余元素组成集合， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以③不正确； 对于④中，若四元集是“可分集合”，不妨设， 若去掉，则；若去掉，则， 所以，显然与矛盾，所以集合不可能是“可分集合”； 对于⑤中，假设五元集是“可分集合”，不妨设， 则必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以或， 也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以有或， 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾， 所以假设不成立，所以五元集一定不是“可分集合”，所以⑤正确. 综上可得，只有①⑤正确. 故选：B. 【点睛】方法点拨：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 11．已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系证明即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式集合元素个数的范围，最后求出最大值即可． 【详解】（1）由题意得，； （2）∵，，且， ∴集合也有四个元素，且都为非负数，∵， 又∵，∴且， ∴集合中其他元素为，，， 即， 剩下的， ∵， ∴，， 即，故； （3）设表示集合A中的元素个数， 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ∴， ， 实际当满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为. 12．（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【答案】(1) (2)①可能成立，，②不可能成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①可以举出实例，②可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果. 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为 （2）①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【点睛】方法点睛：对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 13．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 【答案】(1)该集合不具有性质； (2)① 证明见解析；②. 【分析】（1）由即可求解； （2）①设A中元素，由定义累加即可解决；②要使的元素个数的最大，则，，即可解决． 【详解】（1）由题知，集合， ， 该集合不具有性质． （2）①因为， 不妨设，则， 故， 故的最大值大于等于． ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 所以元素个数最多的集合. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$