第1章 集合与逻辑（复习课件）数学沪教版2020必修第一册

单元复习课件 第一章集合与逻辑 沪教版2020必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能够掌握集合的概念、元素与集合间的关系、集合与集合间的关系、集合的基本运算； 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明； 2. 熟练地掌握集合的文氏图表示和数轴表示法,培养数形结合思想； 4. 掌握命题真假的判断且能正确地对一个命题否定，并熟练使用反证法证明一些典型的命题. 单元学习目标 单元知识图谱 1. 集合的概念 集合中元素的特征 ① 、② ⁠、无序性 集合的表示方法 ③ 、④ ⁠、图示法 常见数集的记法 自然数集(非负整数集)，记作⑤ ⁠；正整数集，记作 ⑥ 或⑦ ；整数集，记作⑧ ⁠；有理数集， 记作⑨ ；实数集，记作⑩ ⁠ 元素与集合之间的 关系 “属于”或“不属于”，分别记为“⑪ ”或 “⑫ ⁠” 确定性　 互异性　 列举法　 描述法　 N　 N*　 Z＋　 Z　 Q　 R　 ∈　 ∉　 考点串讲 2. 集合间的基本关系 关系 定义 符号语言 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 ⑬ 都是集合B中的元素，就 称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 真子 集 如果集合A⊆B，但至少存在一个元素x∈B，且⑭ ，就称集合A是集合B的真子集 ⑮ (或BA) 相等 若A⊆B，且⑯ ，则A＝B A＝B 每个元素　 x∉A　 AB　 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. B⊆A　 考点串讲 规律总结 (1) A ⊆ B (子集) (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即∅⊆ A ，∅B ( B ≠∅). (3)任何一个集合是它本身的子集，即 A ⊆ A . 空集只有一个子集，即它本身. (4)含有 n 个元素的集合的子集个数是2 n ，非空子集的个数是2 n －1，真子集的个数 是2 n －1，非空真子集的个数是2 n －2. (5)对于集合 A ， B ， C ，如果 A ⊆ B ，且 B ⊆ C ，那么 A ⊆ C . 考点串讲 3. 集合的基本运算 运算 集合语言 图形语言 符号语言 并集 {x｜x∈A，或x∈B} ⑰ ⁠ 交集 {x｜x∈A，且x∈B} ⑱ ⁠ 补集 {x｜x∈U，且x∉A} ⑲ ⁠ A∪B　 A∩B　 　 考点串讲 常用结论 集合的运算性质 (1) A ⊆ B ⇔ A ∩ B ＝ A ⇔ A ∪ B ＝ B ⇔⊇ (2)＝∪，＝∩ 考点串讲 4. 充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的① 条件，q是p的② ⁠条件 p是q的③ ⁠条件 p⇒q且p q p是q的④ ⁠条件 p⇒q且p⇐q p是q的⑤ ⁠条件 p⇔q p是q的⑥ ⁠条件 p⇒ q且q⇒ p 充分　 必要　 充分非必要　 必要非充分　 充要　 既非充分也非必要　 考点串讲 陈述句 的否定形式 x>1 x≤1 x>1或y>1 x≤1或y≤1 集合A中满足性质p的元素 至少有两个 集合A中满足性质p的元素 最多有一个 所有的a满足性质p 至少存在一个a不满足性质p 所有的a不满足性质p 至少存在一个a满足性质p 5. 一些常用的否定性质 考点串讲 6. 反证法步骤 考点串讲 题型一、元素与集合 例1. (1)若集合 P ＝{ x ∈N｜ x≤ }， a ＝2 ，则(　D　) A. a∈P B. {a}∈P C. {a}⊆P D. a∉P D (2)设全集 U ＝{1，2，3，4，5}， 集合 M 满足＝{1，3}，则(　) 【解析】由题意知 M ＝{2，4，5}，故选A. A. 2∈M B. 3∈M C. 4∉M D. 5∉M A 题型剖析 题型一、元素与集合 (3)已知集合 A ＝{0， m ， m 2－5 m ＋6}，且2∈ A ， 则实数 m 的值为 ⁠. 1或4 【解析】因为 A ＝{0， m ， m 2－5 m ＋6}，2∈ A ，所以 m ＝2或 m 2－5 m ＋6＝2. 当 m ＝2时， m 2－5 m ＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以 m ＝2不符合题意. 当 m 2－5 m ＋6＝2时， m ＝1或 m ＝4， 若 m ＝1， A ＝{0，1，2}符合题意；若 m ＝4， A ＝{0，4，2}符合题意.所以实数 m 的值为1或4. 题型剖析 1.已知集合 A ＝{ x ｜4 ax 2－4( a ＋2) x ＋9＝0}中只有一个元素，则实数 a 的取值不可能为(　ABD　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 C 【解析】当 a ＝0时，－8 x ＋9＝0，解得 x ＝ ，所以 A ＝{ }，符合题意；当 a ≠0 时，由题意，得Δ＝[4( a ＋2)]2－4×4 a ×9＝0，解得 a ＝1或 a ＝4.故选C. 2.已知集合 A ＝{ y ｜ y ＝ x 2＋2}，集合 B ＝{( x ， y )｜ y ＝ x 2＋2}，下列关系正确的是(　AB　) A A. (1，3)∈B B. (0，0)∈B C. 0∈A D. A＝B 【解析】∵集合 A ＝{ y ｜ y ≥2}＝[2，＋∞)，集合 B ＝{( x ， y )｜ y ＝ x 2＋2}是由抛 物线 y ＝ x 2＋2上的点组成的集合，∴A正确，BCD错误，故选A. 针对训练 题型二、集合的表示方法 例2.用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集； (2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2>6的解的集合； (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； 解　{0，－1}. 解　{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}. 解　{x|x>8}. 解　{1,2,3,4,5,6}. 解 解集用列举法表示为{(2，－1)}. 题型剖析 针对训练 题型三、集合之间的关系 例3 （1）设集合 P ＝{ y ｜ y ＝ x 2＋1}， M ＝{ x ｜ y ＝ x 2＋1}，则集合 M 与集合 P 的关系是(　D　) A. M＝P B. P∈M C. MP D. PM 【解析】∵ P ＝{ y ｜ y ＝ x 2＋1}＝{ y ｜ y ≥1}， M ＝{ x ｜ y ＝ x 2＋1}＝R，∴ P M . 故选D. D 题型剖析 题型三、集合之间的关系 (2)满足条件{1，2}⊆ A{1，2，3，4，5}的集合 A 的个数是 (　C　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 [解析]　解法一　因为集合{1，2}⊆ A {1，2，3，4，5}，所以集合 A 可以是{1， 2}，{1，2，3}， {1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2， 4，5}，共 7 个.故选C. C 解法二　问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C. 题型剖析 1.下列与集合{2 024,1}表示同一集合的是(　　) A.(2 024,1) B.{(x,y)|x=2 024,y=1} C.{x|x2-2 025x+2 024=0} D.{x=2 024,y=1} 解 由x2-2 025x+2 024=0,解得x=2 024或x=1,所以{x|x2-2 025x+2 024=0} ={2 024,1},C正确; 选项A不是集合,选项B表示点集,选项D是两条直线构成的集合.故选C. C 针对训练 2. 设 a ,b∈R，集合{1,a + b ,a }＝{0, ,b }，则 a 2 024＋ b 2 025＝ ⁠. 【解析】由题意知 a ≠0，因为{1， a ＋ b ， a }＝{0， ， b }，所以 a ＋ b ＝0，则 ＝－1，所以 a ＝－1， b ＝1.故 a 2 024＋ b 2 025＝1＋1＝2. 2　 针对训练 3.设集合U={2,3,4},对其子集引进“势”的概念:①空集的“势”最小;②非空子集的元素越多,其“势”越大;③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第6位的子集是　　　　.  解 集合U={2,3,4},将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,结果为⌀,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{2,3,4},排在第6位的子集是{2,4}. 针对训练 题型四、集合的交、并、补运算 例4（1）集合A={2,3x},B={x,y},若A∩B={3},则A∪B=　　　　. 解 若A∩B={3},则3x=3,y=3,所以x=1,所以A∪B={1,2,3}. （2）设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3},则(A∩B)∪C=(　　) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} A 题型剖析 题型四、集合的交、并、补运算 （3）已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 因此M∩N中的元素个数为2. 题型剖析 题型四、集合的交、并、补运算 (4)如图,U是全集,M,N是U的两个子集,则图中的阴影部分可以表示为(　 ) A.M∩N B.∪N C.M∩ D.N∩ D 题型剖析 1.已知集合 A ＝{( x ， y )｜ x ， y ∈N*， y ≥ x }， B ＝{( x ， y )｜ x ＋ y ＝ 8}，则 A ∩ B 中元素的个数为(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【解析】由题意得， A ∩ B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以 A ∩ B 中元素 的个数为4，故选C. C 针对训练 A. {x｜x＝3k，k∈Z} C. {x｜x＝3k－2，k∈Z} B. {x｜x＝3k－1，k∈Z} D. ∅ 2.设全集 U ＝Z，集合 M ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋2， k∈Z}，则＝(　A　) A 【解析】解法一　 M ＝{…，－2，1，4，7，10，…}， N ＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以 M ∪ N ＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}，故选A. 解法二　集合 M ∪ N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能 被3整除的整数集，故选A. 针对训练 3.已知非空集合 A ， B ， C 满足( A ∩ B )⊆ C ，( A ∩ C )⊆ B . 则(　D　) A. B＝C B. A⊆(B∪C) C. (B∩C)⊆A D. A∩B＝A∩C 【解析】解法一　由非空集合 A ， B ， C 满足( A ∩ B )⊆ C ，( A ∩ C )⊆ B ，作出符合 题意的三个集合之间关系的Venn图，如图所示，故排除A，B，C，选D. D 解法二　根据题意，取 A ＝{1，2}， B ＝{2，3}， C ＝{2，3，4}，则 A ∩ B ＝ {2}， A ∩ C ＝{2}， B ∪ C ＝{2，3，4}， B ∩ C ＝{2，3}，所以 B ≠ C ， A ⊈( B ∪ C )，( B ∩ C )⊈ A ，故排除A，B，C，选D. 针对训练 题型五、由集合间关系、集合运算求参数 例5(1)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于 A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3 解析　当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A； 解得m＝3或m＝2. 题型剖析 (2)已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围为 ⁠. 【解析】因为 B ⊆ A ，所以分以下两种情况： ①若 B ＝∅，则2 m －1＜ m ＋1，此时 m ＜2； ②若 B ≠∅，则解得2≤ m ≤3. 由①②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为(－∞，3]. (－∞，3]　 题型五、由集合间关系、集合运算求参数 题型剖析 (3)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}. ①若∪B＝R，求a的取值范围； 解　∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴＝{x|x<0或x>2}. ∵∪B＝R， ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}. 题型五、由集合间关系、集合运算求参数 题型剖析 ②是否存在a使∪B＝R且A∩B＝∅？ 解　由(1)知∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾. 即这样的a不存在. 题型五、由集合间关系、集合运算求参数 题型剖析 1.若集合A={x|ax-2=0},B={x|x2+3x+2=0},且A⊆B,则实数a的取值不可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 【解析】由x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2,则B={-2,-1}.当A=⌀时,方程ax-2=0无解,则a=0,满足题意;当A≠⌀时,方程ax-2=0有解,则a≠0且x=,因为A⊆B,所以∈B,因此=-1或=-2,即a=-2或a=-1.综上所述,a的值为-2,-1,0.故选D. 针对训练 A. (－∞，1] B. (－∞，0] C. (－∞，1) D. (－∞，0) C 2.设集合 A ＝{ x ｜ x ＞ a }，集合 B ＝{0，1}，若 A ∩ B ≠∅， 则实数 a 的取值范围是(　C　) 【解析】因为集合 A ＝{ x ｜ x ＞ a }，集合 B ＝{0，1}，若 A ∩ B ＝∅，则 a ≥1，故 当 A ∩ B ≠∅时， a ＜1.故选C. 针对训练 题型六、“补集”的应用 例6.向50名学生调查对 A ， B 两种观点的态度，结果如下：赞成观点 A 的学生人 数是全体人数的 ，其余的不赞成；赞成观点 B 的学生人数比赞成观点 A 的多3人， 其余的不赞成；另外，对观点 A ， B 都不赞成的学生人数比对观点 A ， B 都赞成的 学生人数的 多1人，则对观点 A ， B 都赞成的学生有 人. 21　 题型剖析 题型六、“补集”的应用 【解析】赞成观点 A 的学生人数为50× ＝30，赞成观点 B 的学生人数为30＋3＝33. 如图，记50名学生组成的集合为 U ，赞成观点 A 的学生全体为集合 A ，赞成观点 B 的学生全体为集合 B . 设对观点 A ， B 都赞成的学生人数为 x ，则对观点 A ， B 都不 赞成的学生人数为 ＋1，赞成观点 A 或赞成观点 B 的学生人数为30＋33－ x .依题意 30＋33－ x ＋ ＋1＝50，解得 x ＝21.故对观点 A ， B 都赞成的学生有21人. 题型剖析 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行,经调查,亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱.小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况,每人至少观看过其中一类比赛,有15人观看过这3类比赛,18人没观看过球类比赛,20人没观看过田径类比赛,16人没观看过游泳类比赛,因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失,记为m,则由上述可推断出m=(　　) A.16 B.17 C.18 D.19 如图,则a+b+c+x+y+z=50-15=35　①.因为有18人没观看过球类比赛,所以b+c+z=18,因为有20人没观看过田径类比赛,16人没观看过游泳类比赛,所以a+c+y=20,a+b+x=16,所以2(a+b+c)+x+y+z=54　②,由①②得a+b+c=19,则m=x+y+z=35-19=16.故选A. A　 针对训练 题型七、集合中的“新定义”问题 例7 (1)已知集合 M ＝{1，2，3，4，5，6}，集合 A ⊆ M ，定义 M ( A )为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所有非空子集时，对应的M ( A )的和记为 S ，则 S ＝ ⁠. 【解析】由 M ＝{1，2，3，4，5，6}得， M 的非空子集 A 共有26－1个，其中最小值 为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个， 最 小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故 S ＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5 ＋1×6＝120. 120　 题型剖析 题型七、集合中的“新定义”问题 (2)若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有 公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合 A ＝{ x ｜－ t ＜ x ＜ t ， t ＞0}和集合 B ＝{ x ｜ x 2－ x －2＜0}，若集合 A ， B 构成“偏食”，则实 数 t 的取值范围为 ⁠. (1，2)　 【解析】由题意，可知集合 A ＝{ x ｜－ t ＜ x ＜ t ， t ＞0}，集合 B ＝{ x ｜－1＜ x ＜ 2}，因为集合 A ， B 构成“偏食”，所以解得1＜ t ＜2.所以实 数 t 的取值范围为(1，2). 题型剖析 1.在整数集Z中，被5除所得余数为 k 的所有整 数组成一个“类”，记为[ k ]，即[ k ]＝{5 n ＋ k ｜ n ∈Z}( k ＝0，1，2，3，4)，给出 如下四个结论，不正确结论为(　ACD　) A. 2 023∈[3] B 【解析】由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×(－1)＋3，所以 －2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数 a ， b 属于同一“类”，所以整数 a ， b 被5除的余数相同，从而 a － b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数 a ， b 属于同 一“类”的充要条件是 a － b ∈[0]，故D正确.故选B. B. －2∈[2] C. Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D. 整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0] 针对训练 题型八、充分条件、必要条件 例8.（1）(2016·上海)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析　a>1⇒a2>1，a2>1⇒a>1或a<－1， 所以“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件. 题型剖析 题型八、充分条件、必要条件 (2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________. a>2 解析　根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系， 应有{x|－2<x<－1}{x|－a<x<－1}， 所以－a<－2，解得a>2. 题型剖析 题型八、充分条件、必要条件 题型剖析 题型八、充分条件、必要条件 (4)命题：“任意x∈R，x2≠x”的否定是 A.任意x∉R，x2≠x B.任意x∈R，x2≠x C.存在x∉R，x2≠x D.存在x∈R，x2＝x 解析　先将“任意”改为“存在”，再否定结论，可得命题的否定为存在x∈R，x2＝x. 题型剖析 题型八、充分条件、必要条件 (5)设命题p：对任意的x∈R，ax2＋x＋2>0，若p为真命题，则实数a的取值范围是________. 解析　因为命题p是真命题， 题型剖析 题型八、充分条件、必要条件 （6）求证:1)“a>1 000”是“|a-1 000|=a-1 000”的充分不必要条件; 2)“A=⌀”是“=R”的充要条件. 【解析】1)充分性:当a>1 000时,|a-1 000|=a-1 000,充分性成立; 必要性:由|a-1 000|=a-1 000,得a-1 000≥0,a≥1 000,必要性不成立. 所以“a>1 000”是“|a-1 000|=a-1 000”的充分不必要条件 (2)充分性:若A=⌀,则=R,充分性成立; 必要性:若=R,则A=⌀,必要性成立. 所以“A=⌀”是“=R”的充要条件. 题型剖析 1.设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析　由|x－1|<1可得0<x<2， 所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集. 故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要不充分条件. 针对训练 2.命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立.若命题p为真命题，求实数a的取值范围. 解　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意； 当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根， 得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0. 综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}. 针对训练 3.命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________________________. 解析　把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定. 所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 针对训练 4.设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}.q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}.且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， 针对训练 针对训练 题型九、反证法 题型剖析 题型九、反证法 题型剖析 1.用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于60”这一命题，那么假设的内容是 . 三角形内所有角均小于60 针对训练 针对训练 数学抽象 逻辑推理 课堂总结 感谢聆听! (5)方程组的解集. 1．用适当的方法表示下列集合： (1)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14,3x＋2y＝8))的解集； (2)所有的正方形； (3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合． 【解】　(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14,3x＋2y＝8，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－2，))故解集为{(4,-2)}． (2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}． (3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}． 解：联立解得或 因为B⊆A，所以＝2或＝3， 当m≠0时，B＝， ∴∴－1≤a≤0. （3）写出“”的一个必要不充分条件为 . 【解析】若，则不一定有；若则， 所以是的必要不充分条件， 即的一个必要不充分条件是. 所以解得a>. a> 解得－≤a<0或a≤－4. ∴a的取值范围为. ∴或 5.使不等式成立的一个充分不必要条件是 . 【解析】解不等式得， 设，不等式的充分不必要条件构成集合， 所以， 所以不等式的充分不必要条件可以是.（答案不唯一） 例9（1） 用反证法证明命题“若，则、都不为0”时，反设成： . 【解析】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾， 所以题设命题的证明，应假设，有、至少有一个为0. 所以答案：若，假设、至少有一个为0. （2）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） 【解析】假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立. 2.已知∈（0，+∞），若,求证：中至少有一个数不大于1. 【解析】证明：假设全都大于1，即， 设（i＝1，2，3，4），则， 代入可得b1+b2+b3+b4＝6， 由可得 7＝（b1+1）（b2+1）（b3+1）（b4+1）＞1+b1+b2+b3+b4=7， 矛盾，故假设不成立， 因此，中至少有一个数不大于1. $$