第九讲 图形的拼组（考向预测+知识梳理+10个考点讲练+能力提升练 共45题）-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第九讲 图形的拼组『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+10个考点讲练+能力提升练 共45题】 ［原卷版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 2 知识点梳理一 平面图形的拼接 2 知识点梳理二 立体图形的切拼 3 考点分类真题汇编讲练 4 考点讲练一 平面图形的拼接 4 考点讲练二 平面图形的分割 5 考点讲练三 平行四边形的切拼 6 考点讲练四 图形的折叠问题 6 考点讲练五 图形的密铺 7 考点讲练六 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 7 考点讲练七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 8 考点讲练八 立体图形的切拼（圆柱) 9 考点讲练九 立体图形的切拼（圆锥) 10 考点讲练十 加工方木问题 10 能力提升过关检测 11 预测一：主要知识点 涵盖平面图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等）的拼组、分割与组合；立体图形（长方体、正方体、圆柱等）的拼接、堆叠与搭建；图形拼组后的形状、周长、面积、体积变化规律；利用拼组知识进行图形设计、图案创作；通过拼组方法推导平面图形面积公式、解决简单几何计数问题，以及拼组图形的特征分析与判断。 预测二：重点难点 重点是掌握常见平面、立体图形的拼组方法，判断拼组后图形的形状与特征，理解拼组/分割后图形周长、面积的变化情况；难点是复杂图形的拼组与分割技巧、拼组后图形周长/面积的精准计算、立体图形堆叠后的计数与空间想象、利用图形拼组解决几何推导和实际拼接问题，规避拼组后边长、面数变化的易错点。 预测三：考察方向 以填空、选择、判断、动手操作题、简单解答题为主，常结合图形拼图、图案设计、几何计数、实际搭建场景考查；侧重考查动手操作能力、空间想象能力、图形观察分析能力，注重对图形拼组规律的理解与应用，常与平面图形、立体图形基础特征综合出题。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约90%，侧重简单图形的拼组判断、基础图形拼组后的特征识别、周长面积简单计算；难题集中在复杂图形拼组、立体图形堆叠计数、拼组后几何量变化的综合题型，占比约10%，侧重空间思维与规律运用能力，整体难度偏低，注重基础动手能力与空间观念培养。 知识点梳理一 平面图形的拼接 1. 基本图形拼接特点 两个完全相同的三角形可以拼成：平行四边形、长方形、正方形、大三角形。 关键：只有直角三角形能拼成长方形；等腰直角三角形可拼成正方形。 两个完全相同的长方形可拼成长方形或正方形（当长是宽的2倍时可拼成正方形）。 两个完全相同的平行四边形可以拼成更大的平行四边形。 两个完全相同的梯形可以拼成平行四边形；直角梯形可拼成长方形。 2. 拼接后周长、面积的变化规律 面积不变：几个图形拼接后，总面积 = 各部分面积之和。 周长一定变小：每拼接一次，就会有两条边重合，这两条边不再算在总周长里。 拼接次数越多，重合边越多，周长越短。 3. 图形分割 把一个长方形/正方形分割：可分成多个长方形、正方形、三角形。 把一个平行四边形分割：沿对角线可分成两个完全相同的三角形。 把一个长方形/正方形沿对角线分割：得到两个完全相同的直角三角形。 4. 常见考点 判断几个图形能否拼成指定图形；计算拼接后图形的周长、面积； 数拼接后图形的边、角、对称轴数量。 知识点梳理二 立体图形的切拼 1. 正方体、长方体的切拼 （1）拼接（合拼）：几个完全相同的小正方体拼成长方体： 拼一次 → 减少 2个面 拼n次 → 减少 2n个面 表面积变化：拼接后表面积 = 所有小正方体表面积之和 − 重合面总面积。 体积不变：拼接后总体积 = 各小正方体体积之和。 （2）切割（切开）：把长方体/正方体切一刀：增加 2个面，切几刀就增加 2×刀数 个面。 表面积变化：切割后表面积 = 原表面积 + 新增切面面积。 体积不变：切割后总体积与原来相等。 2. 圆柱、圆锥的切拼 （1）圆柱切拼 横切（平行于底面切）：切成几段，每段还是圆柱，增加2个圆形底面。 竖切（沿直径竖直切）：切面是长方形（或正方形），增加2个长方形面。 （2）圆柱拼成长方体（推导体积公式） 把圆柱底面分成若干扇形，切开可拼成近似长方体。 长方体的长 = 圆柱底面周长的一半 长方体的宽 = 圆柱底面半径 长方体的高 = 圆柱的高 3. 立体图形切拼核心考点 切/拼后表面积增加或减少多少；至少用多少个小正方体拼成大正方体； 切割后各部分体积、表面积计算；判断立体图形切拼后的形状变化。 考点讲练一 平面图形的拼接 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）如下图，5个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个大长方形，那么小长方形长与宽的比是( )。 【变式训练1】（2025·甘肃武威·小升初真题）如图，把一个圆平均分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽为5厘米，则长方形的长为( )厘米。 【变式训练2】（2024·贵州安顺·小升初真题）如图，把一个圆分成若干（偶数）等份，分的份数越多，每一份就越小，剪开后，拼成的图形就越接近于一个长方形。 以下是利用上图推导圆的面积计算公式的过程，请你补充完整： 考点讲练二 平面图形的分割 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）工人师傅需要将如图所示的板材切割成4块大小相等、形状相同的图形，如何分割？请你在图上帮他画出。 【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）如图，（    ）运用了“转化”的思想方法。 A．只有①②④ B．只有②③④ C．①②③④都有 【变式训练2】（2024·辽宁营口·小升初真题）想一想，画一画，算一算。 （1）如图，在长5厘米，宽4厘米的长方形内画一条线段，把长方形分割成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形。 （2）梯形的面积是（    ）平方厘米。 （3）以等腰直角三角形的一条直角边为轴旋转一周后形成的立体图形是（    ），这个立体图形的体积是（    ）立方厘米（保留整数）。 考点讲练三 平行四边形的切拼 【典例精讲】（2024·四川绵阳·小升初真题）用两个完全一样的三角形，拼成平行四边形，三角形的边长分别为6厘米，5厘米，8厘米，这个平行四边形的周长最大是（    ）厘米。 A．22 B．26 C．28 D．38 【变式训练1】把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（    ）总是相等的。 A．面积 B．周长 C．高 【变式训练2】如图，把一个面积是24cm2的三角形割补成一个平行四边形。这个平行四边形的底是8cm，原来三角形的高是（    ）cm。 A．6 B．3 C．1.5 考点讲练四 图形的折叠问题 【典例精讲】（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么( )°，∠2＝( )°。 【变式训练1】（2025·河南开封·小升初真题）奇思把一张长方形纸折叠成如图所示的梯形（单位：cm），这个梯形的高是( )cm，这张长方形纸的面积是( )cm2。 【变式训练2】（2025·浙江杭州·小升初真题）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米。 考点讲练五 图形的密铺 【典例精讲】（2024·广东深圳·小升初真题）下列各题，说法正确的是（    ）。 ①三角形和正五边形都可以密铺。 ②一个图形平移后，得到的图形的面积和原图的面积比是1∶1。 ③盒子里有5个红球和3个白球，再放入2个完全相同的白球，游戏才公平。小军连续摸两次，摸出球放回盒子再摸下一次，摸出的球一定是一个红球，一个白球。 ④一个三角形的两个内角的和等于第三个角，这个三角形一定是直角三角形。 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式训练1】（2024·甘肃定西·小升初真题）下面说法错误的是（    ）。 A．正数和负数表示相反意义的量。 B．所有的多边形都可以密铺。 C．真分数倒数一定大于它本身。 D．互为倒数的两个数成反比例。 【变式训练2】（2024·甘肃白银·小升初真题）下列四种说法中，错误的是（    ）。 A．圆的直径和周长成反比例关系。 B．等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 C．四边形一定可以密铺。 D．运用“转化”思想可以推导出圆柱的体积公式。 考点讲练六 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【变式训练1】（2025·吉林长春·小升初真题）如图，一个边长为12dm的正方体，从顶点挖去一个棱长为3dm的小正方体，以下结论正确的是（    ）。 A．表面积不变，体积变小 B．表面积不变，体积不变 C．表面积变小，体积变小 D．表面积变小，体积不变 【变式训练2】（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 考点讲练七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）将若干个1立方厘米的正方体木块，摆成一个最小的正方体（不包括一块）至少需要（    ）。 A．4块 B．8块 C．16块 D．27块 【变式训练1】（2025·湖南永州·小升初真题）把一个长方体锯成两个小长方体后，表面积增加，体积不变。( )（判断对错） 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽 25米。 （1）最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （2）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了讨论。 请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了。所以它的容积大小范围就在（     ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小峰同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小峰的方法计算该泳池的容积。 考点讲练八 立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）如图，把底面直径为4厘米的圆柱切成若干等份，再拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了20平方厘米，圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 【变式训练2】（2025·四川自贡·小升初真题）如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了80cm2，已知高是10cm，则长方体的体积是( )cm3。 考点讲练九 立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（2024·河北承德·小升初真题）有一个高为8cm、直径为4cm的圆锥形木料，如果把它沿高切成相同的2块，表面积就增加( )平方厘米。（如图） 【变式训练1】（2024·广东韶关·小升初真题）把一个体积60立方厘米的圆柱木块，削成一个体积最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式训练2】（2024·山东聊城·小升初真题）下面（    ）的截面不可能是三角形。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 考点讲练十 加工方木问题 【典例精讲】（2024·四川绵阳·小升初真题）一个长方体木块的长为19厘米，宽是13厘米，高是12厘米，最多可以加工成底面直径是4厘米，高是5厘米的小圆柱体（    ）个。 A．27 B．34 C．35 D．37 【变式训练1】长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 【变式训练2】（2025·江西抚州·小升初真题）把一个正方体木块加工成最大的圆锥。圆锥的底面直径是4厘米。这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．64 1．（2025·浙江杭州·小升初真题）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？ 三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（    ）。 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化。 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一。 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变。 A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．增加10平方分米 B．减少10平方分米 C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 3．（2025·北京丰台·小升初真题）用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少（    ）平方厘米。 A．4 B．6 C．12 D．1 4．（2025·江西吉安·小升初真题）三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变。下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（    ）。 A． B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·小升初真题）将下面的正方体切成体积和形状完全相同的两部分，切面的形状可以是______。（填序号） ①三角形；②四边形：③五边形；④六边形 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个木制模型正好可以将它分割成24个棱长为1厘米的小正方体（如图）。这个木制模型的表面积是________平方厘米。 7．（2025·四川绵阳·小升初真题）将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 8．（2024·云南昭通·小升初真题）等底等高的两个三角形，面积一定相等且能拼成一个平行四边形。( )（判断对错） 9．（2024·河南驻马店·小升初真题）一根圆柱形木料，如果沿着底面直径切成两半，表面积增加120平方厘米。如果平行于底面截成两个小圆柱，表面积增加157平方厘米。则这根圆柱形木料原来的高是6厘米。( )（判断对错） 10．（2024·甘肃兰州·小升初真题）用2个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，用4个完全一样的等腰直角三角形也可以拼成一个正方形。（如图） 如果这个等腰直角三角形的斜边长是10厘米，请你利用上面的知识计算这个等腰直角三角形的面积。 11．（2025·浙江宁波·小升初真题）小海在研究圆柱的体积时，用了不同的方法来推导。 (1)方法一：把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体，如图所示。并且分三步推导求出圆柱的体积： ①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )。 ②长方体的体积＝________________。 ③所以圆柱的体积＝________________。 (2)方法二：根据“面动成体”，圆柱可以看成是无数个等圆的叠加（如图）。它的厚度就是圆柱的高，“体积＝底面积×高”。按照这样的方法，下面不能用“底面积×高”求体积的是图（    ）。 A． B． C． D． 12．（2024·湖北襄阳·小升初真题）把一个高是10分米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似长方体，（如图）已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体积是多少立方分米？ 13．（2024·广西柳州·小升初真题）图①是一块大太阳能板，它由六块同样的小太阳能板拼成，每块小太阳能板长12分米，宽3分米，高2.5分米。 （1）在大太阳能板的四周和上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）要把大太阳能板装入如图②所示的长方体包装箱中，最多能装多少块？请用算式说明理由。 14．（2024·山西晋中·小升初真题）如图演示的是圆柱体积计算公式的推导过程。 （1）推导过程中运用了（    ）思想，圆柱的（    ）变了，（    ）不变。 （2）回顾小学数学学习历程，你还能举出其它运用上面数学思想解决问题的例子吗？写在下面。 15．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第九讲 图形的拼组『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+10个考点讲练+能力提升练 共45题】 ［解析版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 2 知识点梳理一 平面图形的拼接 2 知识点梳理二 立体图形的切拼 3 考点分类真题汇编讲练 4 考点讲练一 平面图形的拼接 4 考点讲练二 平面图形的分割 5 考点讲练三 平行四边形的切拼 8 考点讲练四 图形的折叠问题 10 考点讲练五 图形的密铺 11 考点讲练六 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 14 考点讲练七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 15 考点讲练八 立体图形的切拼（圆柱) 18 考点讲练九 立体图形的切拼（圆锥) 20 考点讲练十 加工方木问题 21 能力提升过关检测 23 预测一：主要知识点 涵盖平面图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等）的拼组、分割与组合；立体图形（长方体、正方体、圆柱等）的拼接、堆叠与搭建；图形拼组后的形状、周长、面积、体积变化规律；利用拼组知识进行图形设计、图案创作；通过拼组方法推导平面图形面积公式、解决简单几何计数问题，以及拼组图形的特征分析与判断。 预测二：重点难点 重点是掌握常见平面、立体图形的拼组方法，判断拼组后图形的形状与特征，理解拼组/分割后图形周长、面积的变化情况；难点是复杂图形的拼组与分割技巧、拼组后图形周长/面积的精准计算、立体图形堆叠后的计数与空间想象、利用图形拼组解决几何推导和实际拼接问题，规避拼组后边长、面数变化的易错点。 预测三：考察方向 以填空、选择、判断、动手操作题、简单解答题为主，常结合图形拼图、图案设计、几何计数、实际搭建场景考查；侧重考查动手操作能力、空间想象能力、图形观察分析能力，注重对图形拼组规律的理解与应用，常与平面图形、立体图形基础特征综合出题。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约90%，侧重简单图形的拼组判断、基础图形拼组后的特征识别、周长面积简单计算；难题集中在复杂图形拼组、立体图形堆叠计数、拼组后几何量变化的综合题型，占比约10%，侧重空间思维与规律运用能力，整体难度偏低，注重基础动手能力与空间观念培养。 知识点梳理一 平面图形的拼接 1. 基本图形拼接特点 两个完全相同的三角形可以拼成：平行四边形、长方形、正方形、大三角形。 关键：只有直角三角形能拼成长方形；等腰直角三角形可拼成正方形。 两个完全相同的长方形可拼成长方形或正方形（当长是宽的2倍时可拼成正方形）。 两个完全相同的平行四边形可以拼成更大的平行四边形。 两个完全相同的梯形可以拼成平行四边形；直角梯形可拼成长方形。 2. 拼接后周长、面积的变化规律 面积不变：几个图形拼接后，总面积 = 各部分面积之和。 周长一定变小：每拼接一次，就会有两条边重合，这两条边不再算在总周长里。 拼接次数越多，重合边越多，周长越短。 3. 图形分割 把一个长方形/正方形分割：可分成多个长方形、正方形、三角形。 把一个平行四边形分割：沿对角线可分成两个完全相同的三角形。 把一个长方形/正方形沿对角线分割：得到两个完全相同的直角三角形。 4. 常见考点 判断几个图形能否拼成指定图形；计算拼接后图形的周长、面积； 数拼接后图形的边、角、对称轴数量。 知识点梳理二 立体图形的切拼 1. 正方体、长方体的切拼 （1）拼接（合拼）：几个完全相同的小正方体拼成长方体： 拼一次 → 减少 2个面 拼n次 → 减少 2n个面 表面积变化：拼接后表面积 = 所有小正方体表面积之和 − 重合面总面积。 体积不变：拼接后总体积 = 各小正方体体积之和。 （2）切割（切开）：把长方体/正方体切一刀：增加 2个面，切几刀就增加 2×刀数 个面。 表面积变化：切割后表面积 = 原表面积 + 新增切面面积。 体积不变：切割后总体积与原来相等。 2. 圆柱、圆锥的切拼 （1）圆柱切拼 横切（平行于底面切）：切成几段，每段还是圆柱，增加2个圆形底面。 竖切（沿直径竖直切）：切面是长方形（或正方形），增加2个长方形面。 （2）圆柱拼成长方体（推导体积公式） 把圆柱底面分成若干扇形，切开可拼成近似长方体。 长方体的长 = 圆柱底面周长的一半 长方体的宽 = 圆柱底面半径 长方体的高 = 圆柱的高 3. 立体图形切拼核心考点 切/拼后表面积增加或减少多少；至少用多少个小正方体拼成大正方体； 切割后各部分体积、表面积计算；判断立体图形切拼后的形状变化。 考点讲练一 平面图形的拼接 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）如下图，5个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个大长方形，那么小长方形长与宽的比是( )。 【答案】3∶2 【思路引导】设小长方形长为x，宽为y，如图长方形对边相等，3倍的小长方形的宽＝2倍小长方形的长，也就是3y＝2x，则x∶y＝3∶2。 【完整解答】设小长方形长为x，宽为y 3y＝2x x∶y＝3∶2。 【变式训练1】（2025·甘肃武威·小升初真题）如图，把一个圆平均分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽为5厘米，则长方形的长为( )厘米。 【答案】15.7 【思路引导】把圆剪拼成近似长方形时，长方形的宽等于圆的半径。已知长方形的宽为5厘米，所以圆的半径为5厘米。把圆剪拼成近似长方形时，长方形的长等于圆周长的一半。根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），可得圆周长的一半（即长方形的长）为：2×3.14×5÷2＝15.7（厘米）。 【完整解答】长方形的宽等于圆的半径，长等于圆周长的一半。 2×3.14×5÷2＝15.7（厘米） 长方形的长为15.7厘米。 【变式训练2】（2024·贵州安顺·小升初真题）如图，把一个圆分成若干（偶数）等份，分的份数越多，每一份就越小，剪开后，拼成的图形就越接近于一个长方形。 以下是利用上图推导圆的面积计算公式的过程，请你补充完整： 【答案】周长的一半；半径 ；r； 【思路引导】将圆平均分成若干个小扇形，然后把这些小扇形拼接成一个近似的长方形；观察拼接后的长方形可以发现，长方形的长是由圆的周长的一部分组成的；因为圆的周长为，而拼接时是将圆的周长平均分成了两部分，分别作为长方形的两条长，所以长方形的长近似于圆周长的一半，即；长方形的宽就是圆的半径r，在拼接过程中，圆的半径成为了长方形的宽，长方形的面积＝长×宽，圆的面积就近似于这个长方形的面积，把圆的面积转化成了长方形的面积，由此推导出圆的面积公式。 【完整解答】由图可知，长方形的面积相当于圆的面积。 长方形的长近似于圆的周长的一半，宽近似于圆的半径。 长方形的面积＝长×宽＝r×r＝ 所以圆的面积：S＝×r＝ 考点讲练二 平面图形的分割 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）工人师傅需要将如图所示的板材切割成4块大小相等、形状相同的图形，如何分割？请你在图上帮他画出。 【答案】见详解 【思路引导】观察板材的形状，根据图形的对称性，沿着板材的对称位置进行合理分割。 【完整解答】先确定板材包含的方格总数，共12个，要分成4块大小相等，形状相同的图形，12除以4等于3，先确定每块的轮廓特征，确保每块包含3小方格且形状完全相同。找到板材的中心区域，将图形分成4个L形。 作图如下： 【考点剖析】本题考查图形分割及对称性。 【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）如图，（    ）运用了“转化”的思想方法。 A．只有①②④ B．只有②③④ C．①②③④都有 【答案】C 【思路引导】①多边形内角和的计算，把多边形转化成若干个三角形，根据三角形的内角和推导出多边形的内角和公式； ②小数乘法的计算运用了“转化”的思想方法，计算小数乘法，先把小数乘法转化为整数乘法，根据整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点； ③根据平行四边形的面积公式的推导方法，把平行四边形转化为长方形，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式； ④圆柱体积公式的推导运用了“转化”的思想方法，即把圆柱切拼成一个近似长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。 据此解答即可。 【完整解答】根据分析： ①②③④运用了“转化”的思想方法。 故答案为：C 【变式训练2】（2024·辽宁营口·小升初真题）想一想，画一画，算一算。 （1）如图，在长5厘米，宽4厘米的长方形内画一条线段，把长方形分割成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形。 （2）梯形的面积是（    ）平方厘米。 （3）以等腰直角三角形的一条直角边为轴旋转一周后形成的立体图形是（    ），这个立体图形的体积是（    ）立方厘米（保留整数）。 【答案】（1）见详解 （2）12 （3）圆锥；67 【思路引导】（1）一个最大的等腰直角三角形的直角边应是长方形的宽，据此画图。 （2）梯形的上底等于长方形的长－长方形的宽，梯形的下底等于长方形的长，梯形的高等于长方形的宽，根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 （3）根据圆锥的特征可知，以等腰直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周，会形成一个圆锥，圆锥的底面半径等于等腰直角三角形的腰，高等于等腰直角三角形的腰，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【完整解答】（1）如图： （2）（5－4＋5）×4÷2 ＝（1＋5）×4÷2 ＝6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 梯形的面积是12平方厘米。 （3）以等腰直角三角形的一条直角边为轴旋转一周后形成的立体图形是圆锥。 3.14×42×4× ＝3.14×16×4× ＝50.24×4× ＝200.96× ≈67（立方厘米） 以等腰直角三角形的一条直角边为轴旋转一周后形成的立体图形是圆锥，这个立体图形的体积是67立方厘米 考点讲练三 平行四边形的切拼 【典例精讲】（2024·四川绵阳·小升初真题）用两个完全一样的三角形，拼成平行四边形，三角形的边长分别为6厘米，5厘米，8厘米，这个平行四边形的周长最大是（    ）厘米。 A．22 B．26 C．28 D．38 【答案】C 【思路引导】要使两个三角形拼成的平行四边形周长最大，那么要把这两个三角形最短的边拼在一起，使较长的两条边作为平行四边形的一组邻边。三角形的边长分别为6厘米，5厘米，8厘米，则拼成的平行四边形相邻的两条边最大是6厘米和8厘米。平行四边形的对边相等，则用一组相邻边的和乘2，可得周长。 【完整解答】通过分析可得： （6＋8）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） 则这个平行四边形的周长最大是28厘米。 故答案为：C 【变式训练1】把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（    ）总是相等的。 A．面积 B．周长 C．高 【答案】C 【思路引导】平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条，且都是相等的，据此对该题进行判断即可。 【完整解答】由分析可得： 由于平行四边形的高有无数条且都是相等的，把平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的高还是等于原来平行四边形的高，所以这两个梯形的高总是相等的。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了对平行四边形的认识和特征的掌握，明确分割后的梯形的高就是该平行四边形的高为解题的关键。 【变式训练2】如图，把一个面积是24cm2的三角形割补成一个平行四边形。这个平行四边形的底是8cm，原来三角形的高是（    ）cm。 A．6 B．3 C．1.5 【答案】A 【思路引导】根据题图可知，平行四边形和三角形等底等面积，等面积等底的情况下，三角形的高是平行四边形的2倍，据此解答即可。 【完整解答】24÷8×2 ＝3×2 ＝6（cm） 故答案为：A 【考点剖析】明确等面积等底的情况下，三角形与平行四边形高的关系是解答本题的关键。 考点讲练四 图形的折叠问题 【典例精讲】（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么( )°，∠2＝( )°。 【答案】 30 60 【思路引导】正方形的四个角都是直角，即90°，经过对折、斜折等操作后，通过观察图形可知，∠2所在的三角形是等边三角形，因为它的三条边长度相等，是正方形的边长折叠得到的，所以其三个内角均为60°，即∠2＝60°。 由折叠特点可知，∠1所在的三角形和下方空白的三角形完全相等，同时∠1等于∠2的一半，即60÷2＝30°。 【完整解答】根据分析可知： 如图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么30°，∠2＝60°。 【变式训练1】（2025·河南开封·小升初真题）奇思把一张长方形纸折叠成如图所示的梯形（单位：cm），这个梯形的高是( )cm，这张长方形纸的面积是( )cm2。 【答案】 10 300 【思路引导】由图可知，梯形复原成长方形后，长方形的长（即梯形的下底）是（18＋6＋6）cm，宽（梯形的高）是10cm，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入计算即可。 【完整解答】18＋6＋6＝30（cm） 30×10＝300（cm2） 所以这个梯形的高是10cm，这张长方形纸的面积是300cm2。 【变式训练2】（2025·浙江杭州·小升初真题）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【答案】6 【思路引导】如图：根据题意得BD＝BC＝6厘米，AD＝AB－BD＝10－6＝4厘米，因为三角形ADE的面积＝×AD×DE，三角形BDE的面积＝×BD×DE，所以三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积＝AD∶BD＝4∶6＝2∶3，又因为三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米），所以三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米）。 【完整解答】根据分析得，BD＝6（厘米） AD＝10－6＝4（厘米） 三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积∶三角形BCE＝AD∶BD∶BC＝4∶6∶6＝2∶3∶3 三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米） 三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米） 【考点剖析】此题主要考查等底等高的三角形面积相等，关键是找准面积的比。 考点讲练五 图形的密铺 【典例精讲】（2024·广东深圳·小升初真题）下列各题，说法正确的是（    ）。 ①三角形和正五边形都可以密铺。 ②一个图形平移后，得到的图形的面积和原图的面积比是1∶1。 ③盒子里有5个红球和3个白球，再放入2个完全相同的白球，游戏才公平。小军连续摸两次，摸出球放回盒子再摸下一次，摸出的球一定是一个红球，一个白球。 ④一个三角形的两个内角的和等于第三个角，这个三角形一定是直角三角形。 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【思路引导】①平面图形能密铺的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角。 ②在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做图形的平移。 平移的特点：物体或图形平移后，它们的形状、大小都不改变，只是位置发生了变化。 ③游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。 盒子里有红球和白球两种颜色的球，那么任意摸出1个球，就有可能摸到这两种颜色的球中的任何一个，所以有两种可能的结果。 ④三角形的内角和是180°，已知三角形的两个内角的和等于第三个角，则三个内角的度数之比是1∶1∶2，根据按比分配的解题方法，分别求出三个内角的度数，再根据三角形按角的分类，得出三角形的类型。 【完整解答】①三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 五边形的内角和是180°×（5－2）＝180°×3＝540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺； 原题说法错误； ②根据平移的特点可知，图形平移后，只改变图形的位置，形状不变、大小不变，所以得到的图形的面积和原图的面积相等，面积比是1∶1，原题说法正确； ③根据可能性知识，盒子里有5个红球和3个白球，再放入2个完全相同的白球，游戏才公平；说法正确； 小军连续摸两次，摸出球放回盒子再摸下一次，摸出的球可能是一个红球，也可能是一个白球；原题说法错误； ④180°÷（1＋1＋2） ＝180°÷4 ＝45° 45°×2＝90° 三角形的三个内角分别是45°、45°、90°，所以这个三角形一定是直角三角形，原题说法正确。 综上所述，说法正确的是②④。 故答案为：C 【变式训练1】（2024·甘肃定西·小升初真题）下面说法错误的是（    ）。 A．正数和负数表示相反意义的量。 B．所有的多边形都可以密铺。 C．真分数倒数一定大于它本身。 D．互为倒数的两个数成反比例。 【答案】B 【思路引导】正数是大于0的数，负数是小于0的数； 正方形、长方形、正三角形、正六边形等可以密铺；正五边形、圆不能密铺； 真分数的分子比分母小，真分数的倒数一定是大于1的假分数或整数，真分数小于1，所以大于1的假分数和整数一定大于真分数，即真分数的倒数一定大于它本身； 相关联的两个量的乘积是定值，则这两个量成反比例。 【完整解答】A．正数和负数表示相反意义的量；原说法正确。 B．正方形、长方形、正三角形、正六边形等可以密铺；正五边形、圆不能密铺；原说法错误。 C．真分数倒数是大于1的假分数或整数，则一定大于它本身；原说法正确。 D．互为倒数的两个数乘积是1，即乘积一定，则互为倒数的两个数成反比例；原说法正确。 故答案为：B 【变式训练2】（2024·甘肃白银·小升初真题）下列四种说法中，错误的是（    ）。 A．圆的直径和周长成反比例关系。 B．等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 C．四边形一定可以密铺。 D．运用“转化”思想可以推导出圆柱的体积公式。 【答案】A 【思路引导】A．判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 B．根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 C．能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。 D．根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱“转化”为一个近似长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，运用了转化的思想。 【完整解答】A．圆的周长÷直径＝π（一定），则圆的直径和周长成正比例关系，原题说法错误； B．等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，原题说法正确； C．四边形的内角和是360°，所以四边形一定可以密铺，原题说法正确； D．运用“转化”思想可以推导出圆柱的体积公式，原题说法正确。 故答案为：A 考点讲练六 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【答案】0.0304平方米 【思路引导】把两个长方体面积最小的面拼成一起，拼成的长方体的表面积最大，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求出一个长方体的表面积，再乘2，等于2个长方体的表面积和，然后减去2个最小面的面积，即等于拼成后的长方体的最大表面积，最后把平方厘米换算成平方米即可解答。 【完整解答】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） ＝0.0304平方米 答：拼成后的长方体表面积是0.0304平方米。 【变式训练1】（2025·吉林长春·小升初真题）如图，一个边长为12dm的正方体，从顶点挖去一个棱长为3dm的小正方体，以下结论正确的是（    ）。 A．表面积不变，体积变小 B．表面积不变，体积不变 C．表面积变小，体积变小 D．表面积变小，体积不变 【答案】A 【思路引导】从顶点挖去一个小正方体，少了原来露在外面的3个面，但是新增了相同的3个面，所以表面积不变； 原来大正方体的体积是其本身所占空间的大小，当挖去一个小正方体后，整体所占空间就减少了小正方体的体积。所以挖去小正方体后，原正方体的体积变小了。 据此判断。 【完整解答】根据分析可知： 一个边长为12dm的正方体，从顶点挖去一个棱长为3dm的小正方体，表面积不变，体积变小。 故答案为：A 【变式训练2】（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 【答案】455立方厘米 【思路引导】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【完整解答】624＝2×2×2×2×3×13 长＞宽＞高 长是13厘米， 2×2×3＝12 12＝5＋7 宽为7厘米，高为5厘米， 13×7×5＝455（立方厘米） 答：这个长方体的体积是455立方厘米。 【考点剖析】本题主要考查了质数的认识、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 考点讲练七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）将若干个1立方厘米的正方体木块，摆成一个最小的正方体（不包括一块）至少需要（    ）。 A．4块 B．8块 C．16块 D．27块 【答案】B 【思路引导】要求摆成最小的正方体（不包括一块），即摆成的正方体棱长至少为2厘米，则体积为2×2×2＝8立方厘米，一个正方体木块体积是1立方厘米，用8除以1得出需要多少块小正方体。 【完整解答】正方体棱长至少为2厘米。 2×2×2＝8（立方厘米） 8÷1＝8（块） 将若干个1立方厘米的正方体木块，摆成一个最小的正方体（不包括一块）至少需要8块。 故答案为：B 【变式训练1】（2025·湖南永州·小升初真题）把一个长方体锯成两个小长方体后，表面积增加，体积不变。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】把一个长方体锯成两个小长方体，会增加两个切面的面积，所以表面积变大；物体所占空间的大小没有改变，因此体积保持不变。 【完整解答】锯开后新增了两个面，表面积增加；两个小长方体所占空间的总和与原来长方体相同，体积不变，因此原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽 25米。 （1）最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （2）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了讨论。 请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了。所以它的容积大小范围就在（     ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小峰同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小峰的方法计算该泳池的容积。 【答案】①1500；2000 ②1750立方米 【思路引导】①根据长方体的体积＝长×宽×高；割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米） 补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米） 泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），再用长方体的体积除以2即可求出泳池的容积。 【完整解答】①50×25×1.2 ＝1250×1.2 ＝1500（立方米） 50×25×1.6 ＝1250×1.6 ＝2000（立方米） 所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②1.6＋1.2＝2.8（米） 50×25×2.8 ＝1250×2.8 ＝3500（立方米） 3500÷2＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 【考点剖析】本题的解题关键是灵活运用长方体的体积（容积）公式解决实际问题。 考点讲练八 立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）如图，把底面直径为4厘米的圆柱切成若干等份，再拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了20平方厘米，圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 87.92 62.8 【思路引导】根据圆柱体积公式的推导方法可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：，那么，把数据代入公式求出圆柱的高，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。 【完整解答】求圆柱的高： 求圆柱表面积： 求圆柱体积： 所以，圆柱的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。 【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 【答案】B 【思路引导】把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了长方体左右两个面的面积，长方体左右面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，已知这个长方体的表面积比原来增加30cm2，用30÷2得出增加的一个面的面积，再接着除以半径可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式，把数据代入公式解答。 【完整解答】30÷2＝15（cm2） 15÷（6÷2） ＝15÷3 ＝5（cm） ×（6÷2）2×5 ＝×32×5 ＝×9×5 ＝9×5 ＝45（cm3） 圆柱的体积是45cm3。 故答案为：B 【变式训练2】（2025·四川自贡·小升初真题）如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了80cm2，已知高是10cm，则长方体的体积是( )cm3。 【答案】502.4 【思路引导】把圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分是2个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形的面积。已知表面积比原来增加了80cm2，那么一个这样的长方形面积是80÷2＝40cm2。高是10cm，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得宽（即底面半径）为40÷10＝4cm。因为长方体的体积等于圆柱的体积，根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径4cm，高10cm代入计算即可。 【完整解答】80÷2＝40（cm2） 40÷10＝4（cm） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 长方体的体积是502.4cm3。 考点讲练九 立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（2024·河北承德·小升初真题）有一个高为8cm、直径为4cm的圆锥形木料，如果把它沿高切成相同的2块，表面积就增加( )平方厘米。（如图） 【答案】32 【思路引导】圆锥形木料沿高切成相同的2块，表面积增加两个三角形切面，三角形的底是底面直径，高是圆锥的高，根据三角形的面积公式：面积＝底×高×，代入数值计算求出两个三角形的面积；据此解答。 【完整解答】4×8××2 ＝32××2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 所以表面积就增加32平方厘米。 【变式训练1】（2024·广东韶关·小升初真题）把一个体积60立方厘米的圆柱木块，削成一个体积最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】20 【思路引导】把一个体积60立方厘米的圆柱木块，削成一个体积最大的圆锥，则这个圆锥与圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，据此解答。 【完整解答】60×＝20（立方厘米） 把一个体积60立方厘米的圆柱木块，削成一个体积最大的圆锥，圆锥的体积是20立方厘米。 【变式训练2】（2024·山东聊城·小升初真题）下面（    ）的截面不可能是三角形。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【思路引导】通过依次分析每个立体图形不同切法下的截面形状，判断哪个立体图形无论怎样切都不会得到三角形截面，据此解答。 【完整解答】A．长方体的截面可能是长方形、正方形、或三角形。当沿着长方体一个顶点相邻的三条棱去切时，截面就是一个三角形。 B．正方体的截面可以是长方形、正方形、甚至三角形。正方体和长方体类似，同样可以沿着正方体一个顶点相邻的三条棱去切，也能得到三角形截面。 C．圆柱的上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面。无论我们怎么切圆柱，当平行于底面切时，截面是圆形；垂直于底面切时，截面是长方形或正方形；斜着切时，截面是椭圆或类似椭圆的形状。所以圆柱的截面不可能是三角形。 D．当平行于底面切圆锥时，截面是圆形；当沿着圆锥的顶点垂直于底面去切时，得到的截面是一个等腰三角形，这个等腰三角形的底边是圆锥底面圆的直径，两腰是圆锥的母线。 故答案为：C 考点讲练十 加工方木问题 【典例精讲】（2024·四川绵阳·小升初真题）一个长方体木块的长为19厘米，宽是13厘米，高是12厘米，最多可以加工成底面直径是4厘米，高是5厘米的小圆柱体（    ）个。 A．27 B．34 C．35 D．37 【答案】B 【思路引导】由题意可知，要充分利用木块加工成圆柱体，首先要把大长方体木块截成长4厘米、宽4厘米、高5厘米的小长方体木块，将长方体木块底层竖着放2×3个，高可放3个，共3×6个，平着放3个，可放4层，共放3×4个，上面纵着放2×2个，最后相加即可。 【完整解答】3×6＝18（个） 3×4＝12（个） 2×2＝4（个） 18＋12＋4＝34（个） 最多可以加工成底面直径是4厘米，高是5厘米的小圆柱体34个。 故答案为：B 【变式训练1】长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 【答案】62.8立方厘米 【思路引导】由题意分析可知，当圆柱的底面直径等于长方体底面的边长，即4厘米，高等于长方体的高，此时削成圆柱是最大的，再根据圆柱的体积公式进行计算即可。 【完整解答】3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 即圆柱的体积是62.8立方厘米。 【变式训练2】（2025·江西抚州·小升初真题）把一个正方体木块加工成最大的圆锥。圆锥的底面直径是4厘米。这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【思路引导】根据题意，把一个正方体木块加工成最大的圆锥，那么圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。已知圆锥的底面直径是4厘米，说明正方体的棱长是4厘米，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积，据此解答。 【完整解答】正方体的棱长等于圆锥的底面直径4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，这个正方体的体积是64立方厘米。 故答案为：D 1．（2025·浙江杭州·小升初真题）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？ 三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（    ）。 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化。 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一。 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变。 A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【答案】D 【思路引导】正方形的中心到各边的距离相等，且等于边长的一半。设原正方形边长为a，中心到边的距离为a。 当两个正方形边平行时，重叠部分为小正方形，此时重叠部分面积为a×a＝，是原正方形面积的； 不管旋转的角度是多少，从正方形中心点作两边的垂线，通过割补将重叠部分转化为正方形，所以重叠部分面积是原正方形面积的，始终不变。 【完整解答】根据分析可知： 在旋转过程中，重叠部分的形状会不断变化，但面积不变，小天说法错误； 重叠部分为小正方形，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一，小亮说法正确； 通过割补重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变，始终是这个正方形的四分之一，小丽说法正确。 因此，小亮和小丽的说法都对。 故答案为：D 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．增加10平方分米 B．减少10平方分米 C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 【答案】A 【思路引导】底面边长为1分米的小长方体，这个小长方体的长和宽都是1分米，高是3分米，底面是一个正方形的小长方体，前后左右4个面的面积相等。 由题意知：这个零件的表面积减少的面积是这个小长方体的上下两个底面（1×1），增加的面积是这个小长方体的4个侧面面积（1×3），据此代入数据计算即可。 【完整解答】减少： 1×1×2 ＝1×2 ＝2（平方分米） 增加： 1×3×4 ＝3×4 ＝12（平方分米） 12－2＝10（平方分米），所以这个零件的表面积增加10平方分米。 故答案为：A 3．（2025·北京丰台·小升初真题）用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少（    ）平方厘米。 A．4 B．6 C．12 D．1 【答案】C 【思路引导】根据图形拼组的方法，用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少长3厘米，宽2厘米的2个长方形的面积，据此解答即可。 【完整解答】3×2×2 ＝6×2 ＝12（平方厘米） 表面积最多减少12平方厘米。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了立体图形的拼组知识，结合题意分析解答即可。 4．（2025·江西吉安·小升初真题）三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变。下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】依据“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变，即可解答。 【完整解答】A．梯形面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； B．平行四边形的底和长方形的长相同，平行四边形的高小于长方形的宽，不符合题意； C．圆面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； D．三角形面积经过“出入相补”原理后和长方形面积相等，符合题意。 综上，只有B选项不符合“出入相补”原理。 故答案为：B 【考点剖析】“出入相补” 原理：图形分割重组后面积总和不变。 5．（2025·湖北武汉·小升初真题）将下面的正方体切成体积和形状完全相同的两部分，切面的形状可以是______。（填序号） ①三角形；②四边形：③五边形；④六边形 【答案】②④/④② 【完整解答】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形，又因为截面为五边形时不过正方体的中心，则题目左图切面是四边形。过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心的截面的形状为正六边形，则题目右图切面是六边形。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个木制模型正好可以将它分割成24个棱长为1厘米的小正方体（如图）。这个木制模型的表面积是________平方厘米。 【答案】54 【思路引导】移动缺口处露出的面补到大正方体缺少的面上，正好能补全成一个完整的正方体，根据正方体的表面积公式计算即可。 【完整解答】大正方体的棱长为：1×3＝3（厘米） （平方厘米） 7．（2025·四川绵阳·小升初真题）将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【答案】50 【思路引导】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个切面的面积，切面的面积与正方体的任意一个面的面积一样。 【完整解答】5×5×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 即将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加50平方厘米。 8．（2024·云南昭通·小升初真题）等底等高的两个三角形，面积一定相等且能拼成一个平行四边形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在拼组平行四边形时，平行四边形两组对边平行且相等，且有公共边，两个完全一样的，也就是形状和大小相同的三角形可以拼成一个平行四边形，面积、周长相等不能保证形状相同，不能拼成一个平行四边形，据此解答即可。 【完整解答】根据分析可知：如图： 两个完全一样的三角形，一定可以拼成一个平行四边形。 原题干说法错误。 故答案为：× 9．（2024·河南驻马店·小升初真题）一根圆柱形木料，如果沿着底面直径切成两半，表面积增加120平方厘米。如果平行于底面截成两个小圆柱，表面积增加157平方厘米。则这根圆柱形木料原来的高是6厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】如果平行于底面截成两个小圆柱，则增加的表面积是两个底面圆的面积，用157÷2即可求得一个圆的面积，再根据变形得求得半径；将圆柱沿着底面直径切成两半，新增加的面是两个长方形，长方形的一条边是底面直径，另一条边是圆柱的高，用120÷2求出一个长方形的面积，再用长方形的面积除以直径，就可以求出圆柱的高；据此解答即可。 【完整解答】157÷2÷3.14 ＝78.5÷3.14 ＝25（平方厘米） 因为5×5＝25，所以说这个圆柱形的木料的底面半径是5厘米。 120÷2÷（5×2） ＝60÷10 ＝6（厘米） 所以，这根圆柱形木料的高是6厘米。 原题说法正确。 故答案为：√ 10．（2024·甘肃兰州·小升初真题）用2个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，用4个完全一样的等腰直角三角形也可以拼成一个正方形。（如图） 如果这个等腰直角三角形的斜边长是10厘米，请你利用上面的知识计算这个等腰直角三角形的面积。 【答案】25平方厘米 【思路引导】看图可知，用4个完全一样的等腰直角三角形拼成一个正方形，正方形的边长＝等腰直角三角形的斜边，根据正方形面积＝边长×边长，求出拼成的正方形面积，除以4即可。 【完整解答】如图： 10×10÷4 ＝100÷4 ＝25（平方厘米） 答：这个等腰直角三角形的面积是25平方厘米。 11．（2025·浙江宁波·小升初真题）小海在研究圆柱的体积时，用了不同的方法来推导。 (1)方法一：把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体，如图所示。并且分三步推导求出圆柱的体积： ①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )。 ②长方体的体积＝________________。 ③所以圆柱的体积＝________________。 (2)方法二：根据“面动成体”，圆柱可以看成是无数个等圆的叠加（如图）。它的厚度就是圆柱的高，“体积＝底面积×高”。按照这样的方法，下面不能用“底面积×高”求体积的是图（    ）。 A． B． C． D． 【答案】(1) 底面周长的一半 半径 长×宽×高 πr2h (2)D 【思路引导】（1）在推导圆柱的体积公式时，把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体。圆柱与长方体相比，体积不变，圆柱的底面积相当于长方体的底面积，高相当于长方体的高，长方体的“长”对应圆柱底面周长的一半， “宽”对应圆柱的半径，因为长方体的体积＝长×宽×高，所以圆柱体积＝底面周长的一半×半径×高，用字母表示为V＝πr2h。 （2）“面动成体”是说一个平面图形沿着某个方向运动，形成立体图形。当立体图形的底面积不变时，它的体积可以用“底面积×高”来计算（因为可以看成无数个相同底面积的面叠加，厚度对应高）。观察以下四个选项的图形，如果上底面积和下底面积是一样的，就可以用这个公式，如果上底面积和下底面积不一样，则不能用。 【完整解答】（1）①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的（底面周长的一半），宽相当于圆柱的（半径）。 ②长方体的体积＝长×宽×高 ③圆柱的体积＝πr×r×h＝πr2h （2）A．圆柱的底面是圆形，且上下底面完全相同（底面积不变），则能用“底面积×高”求体积； B．立体图形是圆柱，底面是圆形，上下底面相同，同理，圆柱底面积不变，能用“底面积×高”求体积； C．立体图形的底面是五边形，且上下底面完全相同（底面积不变），可以看出是无数个相同的五边形底面叠加，厚度是高，能用“底面积×高”求体积； D．立体图形是圆台，圆台的上下底面是大小不同的圆形（底面积不相同），因为底面积在变化，不能看成无数个相同底面积的面叠加，所以圆台不能用“底面积×高”求体积。 故答案为：D 12．（2024·湖北襄阳·小升初真题）把一个高是10分米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似长方体，（如图）已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体积是多少立方分米？ 【答案】125.6立方分米 【思路引导】圆柱体切拼成一个近似长方体体积不变，增加的面积相当于两个长方形的面积，长方形的长等于圆柱的高，长方形的宽等于圆柱的底面半径，增加的面积已知，圆柱的高已知，先求出圆柱的底面半径，再根据圆柱体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积。 【完整解答】40÷2÷10＝2（分米） 3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝125.6（立方分米） 答：圆柱的体积是125.6立方分米。 13．（2024·广西柳州·小升初真题）图①是一块大太阳能板，它由六块同样的小太阳能板拼成，每块小太阳能板长12分米，宽3分米，高2.5分米。 （1）在大太阳能板的四周和上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）要把大太阳能板装入如图②所示的长方体包装箱中，最多能装多少块？请用算式说明理由。 【答案】（1）381平方分米 （2）8块 【思路引导】（1）观察可知，大太阳能板可看作是一个长是分米，宽是分米，高是2.5分米的长方体，由题意可知要求它的上底和侧面积的和，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2即可。 （2）分别用包装箱的长、宽、高，去除以大太阳能板对应的长、宽、高，得×到长、宽、高所在的边对应的块数，再根据，代入数据计算即可。 【完整解答】（1）12×2＝24（分米） 3×3＝9（分米） 24×9＋24×2.5×2＋9×2.5×2 ＝216＋120＋45 ＝381（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是381平方分米。 （2） （块） 答：最多能装8块。 14．（2024·山西晋中·小升初真题）如图演示的是圆柱体积计算公式的推导过程。 （1）推导过程中运用了（    ）思想，圆柱的（    ）变了，（    ）不变。 （2）回顾小学数学学习历程，你还能举出其它运用上面数学思想解决问题的例子吗？写在下面。 【答案】（1）转化；表面积；体积； （2）见详解 【思路引导】（1）通过把圆柱切成若干扇形并重新拼合成近似长方体，把圆柱体转化为近似长方体，近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积多了左右两侧两个长方形的面积，切拼前后圆柱所占空间的大小不变； （2）推导三角形的面积公式时，把两个相同的三角形拼成一个平行四边形来求面积；推导平行四边形的面积公式时，把平行四边形的一个角剪下，移到另一侧，转化成长方形来求面积；推导圆的面积公式时，将圆分割成若干相同的扇形，再拼成近似长方形来推导面积公式，结合自己学习情况解答即可。 【完整解答】（1）分析可知，推导过程中运用了转化思想，圆柱的表面积变了，体积不变。 （2）三角形面积公式的推导过程，平行四边形面积公式的推导过程，圆的面积公式的推导过程。（答案不唯一） 15．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米； （2）14.13立方厘米 【思路引导】小正方体体积是1立方厘米，只有1×1×1＝1（立方厘米），则小正方体的棱长为1厘米。由图可知，长方体长是4个小正方体棱长，1×4＝4（厘米）；长方体宽是3个小正方体棱长，1×3＝3（厘米）；长方体高是2个小正方体棱长，1×2＝2（厘米）。 （1）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可算出这个长方体木块的表面积。 （2）以长方体的长与宽这个面为底，以长方体的高为圆柱的高，这样可以削成一个体积最大的圆柱，则半径是3÷2＝1.5（厘米），高是2厘米，代入公式：，计算即可解答。 【完整解答】（1）1×4＝4（厘米），1×3＝3（厘米），1×2＝2（厘米）。 （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：这个长方体木块的表面积是52平方厘米。 （2）3.14×（3÷2）2×2 ＝3.14×1.52×2 ＝3.14×2.25×2 ＝7.065×2 ＝14.13（立方厘米） 答：削成的圆柱体积最大是14.13立方厘米。 【考点剖析】根据图示，可以先找出长方体长宽高分别是多少厘米，计算长方体表面积。要削成一个体积最大的圆柱，需要以长方体长与高这个面为底，以长方体宽为圆柱的高，代入圆柱体体积公式，就可以计算出削成的体积最大的圆柱。 学科网（北京）股份有限公司 $