第六讲 探索规律（考向预测+知识梳理+8个考点讲练+能力提升练 共39题）-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第六讲 探索规律『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+8个考点讲练+能力提升练 共39题】 ［原卷版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 3 知识点梳理01：数字中的规律 3 知识点梳理02：图形中的规律 3 知识点梳理03：算式中的规律 3 知识点梳理04：数形结合中的规律 3 知识点梳理05：周期规律 3 知识点梳理06：找规律问题常见策略 3 考点分类真题汇编讲练 4 重难点考点一 算式的规律（整数） 4 重难点考点二 算式的规律（分数） 4 重难点考点三 整数排列的规律 5 重难点考点四 分数排列的规律 5 重难点考点五 图形的变化规律 6 重难点考点六 图形的运动规律 6 重难点考点七 数表中的规律 7 重难点考点八 简单覆盖规律 8 能力提升过关检测 9 预测一：主要知识点 涵盖数与式的规律（如数字排列、算式找规律）、图形的规律（如几何图形的计数、拼接与变化、图形的对称与旋转）、事物循环的规律（如周期现象、排列组合规律）以及逻辑推理问题等四大类。核心要求是通过观察、实验、归纳、类比等方法，发现隐含在数字、图形或情境中的变化法则，并能用代数式或图形语言准确表达。 预测二：重点难点 重点是观察分析数列、数表及图形的变化趋势，准确找出核心递推关系或周期规律；难点是跨领域规律的综合识别，例如将图形规律转化为数字规律求解，以及涉及多步骤、非线性规律（如平方、立方、隔项规律）的推理与验证，还包括规律的反向推导与实际应用建模。 预测三：考察方向 主要以填空题、选择题、操作题和解答题中的压轴小题形式出现，约占试卷总分的8%-12%。常结合数列求和、几何图形面积变化、周期问题（如日历、钟表）等生活场景进行考查。侧重考察观察能力、归纳能力、抽象概括能力以及利用规律解决复杂问题的思维深度。 预测四：预测难度 整体难度中等偏易，基础题与中档题占比约90%，侧重对基础数列、简单图形循环规律的快速识别与应用；难题占比约10%，通常为结合多个知识点的复杂规律题，如分数数列、递推规律、几何动态变化等，要求较强的逻辑思维与分类讨论能力，整体强调观察的敏锐度与归纳的严谨性。 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 重难点考点一 算式的规律（整数） 【典例精讲】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是( )。 【变式训练1】（2024·山东青岛·小升初真题）把0，1，2，…，9十个数字填入下面的小方格中，使三个算式都成立。 ＋＝ －＝ ×＝ 【变式训练2】（2024·重庆九龙坡·小升初真题）指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 重难点考点二 算式的规律（分数） 【典例精讲】（2025·福建龙岩·小升初真题）已知，，按这样的规律，请计算：。 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 【变式训练2】（2024·陕西汉中·小升初真题）先阅读，再答题。 因为1－，所以； 因为，所以； 因为，所以。 (1)根据以上材料，请写出：＝( )。 (2)＝( )。 重难点考点三 整数排列的规律 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【变式训练1】（2025·重庆北碚·小升初真题）在生活中，有些人将2月8日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指8月2日，还是指2月8日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有12个月，请问用这种记法，一年中有______天会造成混淆。 【变式训练2】（2024·安徽淮北·小升初真题）斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是( )。这个数列中的第100个数是( )数。（奇或偶） 重难点考点四 分数排列的规律 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）已知一列数：、、、、、、、、、、（不化简），那么是第______个分数。 【变式训练1】（2025·河南焦作·小升初真题）按规律填数：，，，( )，，( )。 【变式训练2】（2024·福建泉州·小升初真题）一列分数，，，，。根据这5个分数的排列规律，第8个分数是( )。 重难点考点五 图形的变化规律 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【变式训练1】（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 【变式训练2】（2025·江西上饶·小升初真题）新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 重难点考点六 图形的运动规律 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）如图的三角形数组是我国古代数学家辉发现的，称为杨辉三角形。根据图中的数组成的规律，可以确定a、b所表示的数的和是( )。 【变式训练2】（2025·四川内江·小升初真题）现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 重难点考点七 数表中的规律 【典例精讲】有n个连续自然数，按照1，2，3，4，5，…，n-3，n-2，n-1，n的顺序依次排成一排，每次框出4个连续的自然数，共可得到（ ）个不同的和． A．n B．n-1 C．n-2 D．n-3 【变式训练1】下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由8×9个方格组成的． （1）若的位置是(0，4)，你能指出的位置吗？     （2）从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标．     （3）若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标． 【变式训练2】小明有一张长方形纸，其宽再增加5.5cm恰好成为一个正方形，长与宽的和是21.5cm．按下图这种方式粘在一起，粘合部分的宽度为1.5cm，则将9张长方形纸粘合后的长度是( )cm． 重难点考点八 简单覆盖规律 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，在5×5的方格内，放入一枚棋子，每次只能向上、向右或向左下移动一格，例如： 对于以下初始位置，棋子是否可以经过24次移动走遍所有方格？若能，请画出一种走法；若不能，请说明理由。                                                【变式训练2】（2024·四川成都·小升初真题）有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 1．（2025·四川凉山·小升初真题）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 2．（2025·山东临沂·小升初真题）“？”处的图形是哪一个？（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁鞍山·小升初真题）填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 9．（2025·四川·小升初真题）有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( )（判断对错） 10．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 11．（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 12．（2022·福建南平·小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 13．（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。 请你根据下面的倍恩回答问题： 字母按规律加密后会得到新字母，如： 明文A→密文D  明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR ①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。 ②用规律加密和解密。 加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。         　 ③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画） 14．（2025·吉林长春·小升初真题）现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 15．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第六讲 探索规律『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+8个考点讲练+能力提升练 共39题】 ［解析版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 3 知识点梳理01：数字中的规律 3 知识点梳理02：图形中的规律 3 知识点梳理03：算式中的规律 3 知识点梳理04：数形结合中的规律 3 知识点梳理05：周期规律 3 知识点梳理06：找规律问题常见策略 3 考点分类真题汇编讲练 4 重难点考点一 算式的规律（整数） 4 重难点考点二 算式的规律（分数） 5 重难点考点三 整数排列的规律 8 重难点考点四 分数排列的规律 10 重难点考点五 图形的变化规律 12 重难点考点六 图形的运动规律 13 重难点考点七 数表中的规律 16 重难点考点八 简单覆盖规律 19 能力提升过关检测 23 预测一：主要知识点 涵盖数与式的规律（如数字排列、算式找规律）、图形的规律（如几何图形的计数、拼接与变化、图形的对称与旋转）、事物循环的规律（如周期现象、排列组合规律）以及逻辑推理问题等四大类。核心要求是通过观察、实验、归纳、类比等方法，发现隐含在数字、图形或情境中的变化法则，并能用代数式或图形语言准确表达。 预测二：重点难点 重点是观察分析数列、数表及图形的变化趋势，准确找出核心递推关系或周期规律；难点是跨领域规律的综合识别，例如将图形规律转化为数字规律求解，以及涉及多步骤、非线性规律（如平方、立方、隔项规律）的推理与验证，还包括规律的反向推导与实际应用建模。 预测三：考察方向 主要以填空题、选择题、操作题和解答题中的压轴小题形式出现，约占试卷总分的8%-12%。常结合数列求和、几何图形面积变化、周期问题（如日历、钟表）等生活场景进行考查。侧重考察观察能力、归纳能力、抽象概括能力以及利用规律解决复杂问题的思维深度。 预测四：预测难度 整体难度中等偏易，基础题与中档题占比约90%，侧重对基础数列、简单图形循环规律的快速识别与应用；难题占比约10%，通常为结合多个知识点的复杂规律题，如分数数列、递推规律、几何动态变化等，要求较强的逻辑思维与分类讨论能力，整体强调观察的敏锐度与归纳的严谨性。 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 重难点考点一 算式的规律（整数） 【典例精讲】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是( )。 【答案】69 【思路引导】根据题意可知，每一个算式的第一个加数依次从4，5，6，7，…，这是从4开始的自然数，后一个数与前一个数相差1，4可以写成：3＋1；5可以写成5＋2；6可以写成3＋3；7可以写成3＋4；…；第n个算式的第一个加数可以写成n＋3。 每一个算式的第二个加数依次是2，8，14，20，…，后一个数与前一个数相差6；2可以写成：6×1－4；8可以写成：6×2－4；14可以写成：6×3－4；20可以写成：6×4－4；…，第二个数可以写成：（6n－4）；第n个算式的得数是：（n＋3）＋（6n－4），再化简为：7n－1，计算出n＝10时的结果。 【完整解答】根据分析可知，第n个算式的得数是：7n－1。 当n＝10时： 7×10－1 ＝70－1 ＝69 有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是69。 【变式训练1】（2024·山东青岛·小升初真题）把0，1，2，…，9十个数字填入下面的小方格中，使三个算式都成立。 ＋＝ －＝ ×＝ 【答案】7＋1＝8；9－6＝3；4×5＝20 【思路引导】根据题意，需利用0－9十个数字不重复使用的条件，结合加、减、乘运算规则推导：从乘法算式入手：因为乘法结果是两位数，0在乘法里特殊（若0在乘数，积个位为0；若在积的十位，积是十几等），先找乘积为两位数且数字不重复的组合，如2×5＝10、4×5＝20、5×6＝30等。搭配加减算式：确定乘法算式后，用剩下数字组成加、减算式，保证数字不重复。比如选4×5＝20，剩下1，3，6，7，8，9，可组成7＋1＝8，9－6＝3 。 【完整解答】以4×5＝20为例： 乘法：4×5＝20 加法：从剩下1，3，6，7，8，9选，7＋1＝8 减法：剩下9，6，3，9－6＝3 7＋1＝8； 9－6＝3； 4×5＝20（答案不唯一） 【变式训练2】（2024·重庆九龙坡·小升初真题）指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 【答案】 【思路引导】因为②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，所以⑧＝7×8×9，⑨＝8×9×10，分别计算出⑧和⑨的值；因为⑨－⑧＝⑧×A，所以A＝（⑨－⑧）÷⑧，按顺序计算出A的值即可。 【完整解答】⑧＝7×8×9＝56×9＝504 ⑨＝8×9×10＝72×10＝720 ⑨－⑧＝720－504＝216 216÷504＝＝＝ 答：A的值是。 重难点考点二 算式的规律（分数） 【典例精讲】（2025·福建龙岩·小升初真题）已知，，按这样的规律，请计算：。 【答案】 【思路引导】已知，，可以发现规律：对于（n为正整数），可转化为。即可转化为，则原式变为。然后利用乘法分配律计算即可。 【完整解答】 ＝ 所以。 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 【答案】；1； 5670； 【思路引导】（1）先算括号内的加法，先把小括号里的异分母进行通分再相加得到的结果乘2后，再算括号外的分数除法，据此得到结果； （2）利用加法交换律先把和交换位置，得到，再利用加法结合律和减法性质得到简便计算，据此得到结果； （3）首先将8.77×567转化为877×5.67，再利用乘法分配律简便计算，据此得到结果； （4）先把化成，化成，化成，化成，化成，化成，化成，再去掉括号计算，据此得到结果。 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝2－1 ＝1 （3）123×5.67＋8.77×567   ＝123×5.67＋877×5.67 ＝（123＋877）×5.67 ＝1000×5.67 ＝5670 （4）1－ ＝1－－－－－－－ ＝1－1＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋ ＝ 【变式训练2】（2024·陕西汉中·小升初真题）先阅读，再答题。 因为1－，所以； 因为，所以； 因为，所以。 (1)根据以上材料，请写出：＝( )。 (2)＝( )。 【答案】(1)－ (2) 【思路引导】（1）根据题意可知，＝1－；＝－；＝－，…，由此可知，算式规律是＝－，据此解答。 （2）根据算式规律，算式＋＋＋＋＋＋＋化为：1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－；最后化为：1－，进而解答。 【完整解答】（1）根据分析可知，＝－ （2）＋＋＋＋＋＋＋ ＝1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ ＋＋＋＋＋＋＋＝ 重难点考点三 整数排列的规律 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【答案】D 【思路引导】A．保本意味着“折后售价＝成本价”，未说明打几折，无法确定不打折时的利润率。 B．成活率＝成活棵数÷总棵数×100%。 C．假设大牛有4只，小牛有3只，用大牛的数量减去小牛的数量求出多的数量，再用多的数量除以小牛的数量即可求出大牛比小牛多的分率。 D．1＝1×1×1，8＝2×2×2，125＝5×5×5，216＝6×6×6，可以发现，第n个数就是n×n×n。 【完整解答】A．例如打八折保本，假设原价是100元，则成本价是100×80%＝100×0.8＝80（元） （100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 若打八折出售正好保本，则不打折时该商品获25%的利润，而非20%，该选项错误。 B．100÷（100＋3）×100% ＝100÷103×100% ≈0.971×100% ＝97.1% 成活率是97.1%，而非100%，该选项错误。 C．（4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 大牛比小牛多，而非，该选项错误。 D．4×4×4 ＝16×4 ＝64 括号中的数应为64，该选项正确。 【变式训练1】（2025·重庆北碚·小升初真题）在生活中，有些人将2月8日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指8月2日，还是指2月8日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有12个月，请问用这种记法，一年中有______天会造成混淆。 【答案】132 【思路引导】由题可知，当日期大于12时，不会造成混淆，所以只有每个月的前12天可能造成混淆。又因为1月1日，2月2日，…，12月12日这样的日子不会造成混淆，所以一年中有12×12－12＝132（天）会造成混淆。 【完整解答】号的天数共有：（天）； 其中日和月相同的，如、等共有12天； 一年中有（天）会造成混淆。 【变式训练2】（2024·安徽淮北·小升初真题）斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是( )。这个数列中的第100个数是( )数。（奇或偶） 【答案】 89 偶 【思路引导】根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； 根据题意可知，这组数据是按照偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，每3个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以3，余数是几，就从第1个数数，没有余数，则就是最后一个数，据此解答。 【完整解答】第八个数5＋8＝13 第九个数8＋13＝21 第十个数13＋21＝34 第十一个数21＋34＝55 第十二个数34＋55＝89 100÷3＝33（组）……1（个） 所以这个数列中的第100个数是偶数。 斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是89。这个数列中的第100个数是偶数。 重难点考点四 分数排列的规律 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）已知一列数：、、、、、、、、、、（不化简），那么是第______个分数。 【答案】88 【思路引导】观察数列规律，每个分母为n的分数分子从1递增到n，再递减到1，所以共有2n－1个分数。计算分母1到9的分数总数，再确定分母10中的位置。 【完整解答】每个分母为n的分数数量为2n−1，因此： 分母为1：1个分数 分母为2：3个分数 分母为3：5个分数 分母为4：7个分数 分母为5：9个分数 分母为6：11个分数 分母为7：13个分数 分母为8：15个分数 分母为9：17个分数 分母为10时，分子从1递增到10，是第7个， 所以（个） 因此，是第88个分数。 【变式训练1】（2025·河南焦作·小升初真题）按规律填数：，，，( )，，( )。 【答案】 【思路引导】所给分数的分子依次是1、2、3，呈现出依次加1的规律。所给分数的分母依次是2、3、4，也呈现出依次加1的规律。对于第四个数，分子应该是3＋1＝4，分母应该是4＋1＝5，所以这个数是。对于第六个数，分子应该是5＋1＝6，分母应该是6＋1＝7，所以这个数是。 【完整解答】由分析可知，分数的分子依次加1的规律，分母也是依次加1的规律。 第四个数： 分子：3＋1＝4 分母：4＋1＝5 所以这个数是。 第六个数： 分子：5＋1＝6 分母：6＋1＝7 所以这个数是。 即，，，，，。 【变式训练2】（2024·福建泉州·小升初真题）一列分数，，，，。根据这5个分数的排列规律，第8个分数是( )。 【答案】 【思路引导】根据题意，一列分数，，，，，根据这5个分数的排列规律可知：第n个分数的分子就是n，分母是n2＋1，据此解答。 【完整解答】一列分数，，，，，根据这5个分数的排列规律，第8个分数的分子是8，分母是82＋1＝64＋1＝65。 因此第8个分数是。 重难点考点五 图形的变化规律 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【思路引导】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【完整解答】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 【变式训练1】（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 【答案】 40 4n 【思路引导】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【完整解答】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 【变式训练2】（2025·江西上饶·小升初真题）新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 【答案】 4n＋2 5n＋1 【思路引导】如图所示，制作一个六边形需要6个磁力球和6根磁力棒，每多一个六边形，多4个磁力球和5根磁力棒，据此解答。 【完整解答】根据分析，可以把第1个六边形需要的磁力球个数记为：2＋4，需要磁力棒的个数记为：1＋5 所以六边形的个数与磁力球个数的关系是：磁力球个数＝2＋4×六边形的个数，即磁力球个数＝4n＋2； 六边形的个数与磁力棒个数的关系是：磁力棒个数＝1＋5×六边形的个数，即磁力棒个数＝5n＋1； 所以，第n个图形需要（4n＋2）个磁力球，（5n＋1）根磁力棒。 重难点考点六 图形的运动规律 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。 【答案】 18 30 15 【思路引导】1. 表一规律推导：观察表一，第1行是1，2，3，4...（第1行第n列数为n），第2行是2，4，6，8...（第2行第n列数为2n），第3行是3，6，9，12...（第3行第n列数为3n）……由此得出核心规律：表一中第m行第n列的数＝（行号与列号的乘积）同时，每一行的数公差为行号m，每一列的数公差为列号n。 2. 求a（表二）：表二数字排布为“12在上，15在中间，a在下”。12是第3行第4列或第4行第3列（3×4＝12），15是第3行第5列或第5行第3列（3×5＝15）（同一行，公差为3），15也属于第5列，a是第3行第6列（或第6行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。 3. 求b（表三）：表三数字排布为“20和24同行，25和b同行，20和25同列”。20是第4行第5列（4×5＝20），24是第4行第6列（4×6＝24，该行公差为4）；25是第5行第5列（5×5＝25，该列公差为5），因此b是第5行第6列，按规律计算得出结果即可。 4. 求c（表四）：表四数字排布为“8和c差一行，c和20同列”。结合答案特征，8为第2行（或第4行），20为第4列（或第5列），故c为第3行第5列（或第5行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。   【完整解答】1.计算a：第3行第6列：3×6＝18（或第6行第3列：6×3＝18）。故a＝18。 2.计算b：第5行第6列：5×6＝30。故b＝30。 3.计算c：第3行第5列：3×5＝15（或第5行第3列：5×3＝15）。故c＝15。    【考点剖析】解决数表规律题的核心是先推导行、列通用表达式（如本题“行号×列号”），再结合截取部分的数字排布确定目标数的行、列位置，最后代入计算；若数字有多种位置可能，需通过排布特征筛选唯一解。 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）如图的三角形数组是我国古代数学家辉发现的，称为杨辉三角形。根据图中的数组成的规律，可以确定a、b所表示的数的和是( )。 【答案】26 【思路引导】从图中我们可以发现，在杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的肩膀上的两个数的和，据此求出a和b的数，再相加，即可解答。 【完整解答】a：3＋3＝6 b：10＋10＝20 6＋20＝26 三角形数组是我国古代数学家辉发现的，称为杨辉三角形。根据图中的数组成的规律，可以确定a、b所表示的数的和是26。 【变式训练2】（2025·四川内江·小升初真题）现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①___________；②___________；③___________。（如果是空格，用“×”表示） 【答案】 292 × 364 【思路引导】分析题目，如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方，即（2n－1）2，因为172＝289，192＝361，即最接近365的奇数的平方是361，据此画出以数361为右下角的数的排列，再根据361右面的一个数比它大1确定362的位置，再根据同一列上面的一个数比下面一个数大1进一步确定出365的位置，最后确定出需要填空的数。 【完整解答】19×19＝361 根据分析可知，以365为中心的九宫格如图：。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①292；②×；③364。（如果是空格，用“×”表示） 重难点考点七 数表中的规律 【典例精讲】有n个连续自然数，按照1，2，3，4，5，…，n-3，n-2，n-1，n的顺序依次排成一排，每次框出4个连续的自然数，共可得到（ ）个不同的和． A．n B．n-1 C．n-2 D．n-3 【答案】D 【解析】按照题中的计算方法，四个数字只能得到1一个和，五个数字能得到2个和，六个数字能得到3个和，也就是得到的和是自然数的个数减3． 【完整解答】1、2、3、4四个数只能得到一种和，4-3=1； 1、2、3、4、5，能得到1+2+3+4=10，2+3+4+5=14，得到两种和，5-3=2； 1、2、3、4、5、6，能得到1+2+3+4=10，2+3+4+5=14，3+4+5+6=18，得到三种和，6-3=3； 所以n个自然数可以得到（n-3）种和． 故答案为D． 【变式训练1】下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由8×9个方格组成的． （1）若的位置是(0，4)，你能指出的位置吗？     （2）从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标．     （3）若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标． 【答案】（1） (4，3) （2） （3）4步，行进路线如上题图. 【完整解答】（1）解： 的位置是(4，3). （2）解：8个位置；如图： （3）解：至少需4步，行进路线如上题图. 【变式训练2】小明有一张长方形纸，其宽再增加5.5cm恰好成为一个正方形，长与宽的和是21.5cm．按下图这种方式粘在一起，粘合部分的宽度为1.5cm，则将9张长方形纸粘合后的长度是( )cm． 【答案】109.5 【完整解答】第一步：简单覆盖规律，当2张长方形纸粘合时，其粘合处为2-1=1处，1×1.5=1.5cm 当3张长方形纸粘合时，其粘合处为3-1=2处，2×1.5=3cm …… 当9张长方形纸粘合时，其粘合处为9-1=8处，8×1.5=12cm 此时长度为9×长方形的长-12 第二步：长方形的宽再增加5.5cm恰好成为一个正方形，则长方形的长和宽的差为5.5cm，又长与宽的和是21.5cm，所以长方形的长为（21.5+5.5）÷2=13.5cm 则所求长度为9×13.5-12=109.5（cm） 重难点考点八 简单覆盖规律 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【完整解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 【变式训练1】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，在5×5的方格内，放入一枚棋子，每次只能向上、向右或向左下移动一格，例如： 对于以下初始位置，棋子是否可以经过24次移动走遍所有方格？若能，请画出一种走法；若不能，请说明理由。                                                【答案】见详解 【思路引导】我们用颜色给格子涂色，帮助我们找到规律。我们按照一定的规则给每个格子涂上红、黄、蓝三种颜色（对应颜色1、2、3），然后发现三种颜色的格子数量不一样：红色和黄色各有8个，蓝色有9个。然后我们观察棋子的移动方式：每次只能向上、向右或向左下走一格。通过分析发现，棋子每走一步，颜色会按照固定的顺序变化（比如从红色到黄色，再到蓝色，再回到红色......）。因此，要走完25个格子，起点和终点的颜色必须相同（因为颜色变化是循环的）。由于蓝色格子比其他两种颜色多一个（有9个），所以起点和终点都必须是蓝色格子，这样才能保证走完所有格子。据此解答 【完整解答】（1）棋子在A可以，如图： （2）棋子在B不能，如图所示： 可以进行三染色，用1、2、3代替三种颜色，图中颜色1和3各有8个，2有9个，一个成功的路线必须是2一3一1一2一3一1—2一......＞1一2，从2开始到2结束，因为B不在2号位置，故不能。 （3）棋子在C可以，如图： （4）棋子在D可以，如图： 【变式训练2】（2024·四川成都·小升初真题）有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 【答案】A 【思路引导】30分钟里有6个5分钟。第一个5分钟，传染给2个人，这样就有3个病毒感染者。第二个5分钟，3个病人传染给6个人，这样一共就有9个病毒感染者。依此类推，从而计算出第6个5分钟会有多少人感染。 【完整解答】30÷5＝6（个） 第一个五分钟：1＋1×2＝3（人） 第二个五分钟：3＋3×2＝9（人） 第三个五分钟：9＋9×2＝27（人） 第四个五分钟：27＋27×2＝81（人） 第五个五分钟：81＋81×2＝243（人） 第六个五分钟：243＋243×2＝729（人） 故答案为：A 【考点剖析】解决本题的关键是比较小的数据出发，找出规律，从而解决问题。 1．（2025·四川凉山·小升初真题）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 【答案】D 【思路引导】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【完整解答】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 2．（2025·山东临沂·小升初真题）“？”处的图形是哪一个？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先判断外面大直角的方向，依次顺时针旋转90度，可以确定是B或D，里面小直角依次是顺时针旋转45度，据此判断。 【完整解答】据分析观察接下来外面的大直角顺时针旋转90度，直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，里面的小直角顺时针旋转45度，则直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，即。 故答案为：D 3．（2025·辽宁鞍山·小升初真题）填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【思路引导】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【完整解答】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】每个数恰好等于它前两个数之和，根据第8个数和第9个数分别是76和123，可以倒推第7个、第6个……，直至推出第1个数。 【完整解答】第7个：123－76＝47 第6个：76－47＝29 第5个：47－29＝18 第4个：29－18＝11 第3个：18－11＝7 第2个：11－7＝4 第1个：7－4＝3 即这9个数为3、4、7、11、18、29、47、76、123。 故答案为：C 5．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 【答案】B 【思路引导】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。 【完整解答】第7个图形中木块的总数是： （块） 第7个图形中看得到的块数是： （块） 第7个图形中看不到的块数是： （块） 故答案为：B 【考点剖析】本题核心考查“图形规律探索，立体空间想象，数列运算”的综合能力，需通过观察图形推导数量规律，结合平方数、等差数列求和计算，同时想象立体结构区分可见和不可见木块。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【完整解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 【答案】76 【思路引导】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。 【完整解答】（20－1）×4 ＝19×4 ＝76（个） 第20个图形一共有76个直角三角形。 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 【答案】 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【思路引导】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【完整解答】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 9．（2025·四川·小升初真题）有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】这一列数中，分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n－1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；所以还有10个分母是11的分数，由此求解。 【完整解答】分母是11的分数一共有；2×11－1＝21（个） 从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1＋3＋5＋7＋…＋21 ＝（1＋21）×11÷2 ＝22×11÷2 ＝121（个） 还有10个分母是11的分数 121－10＝111 有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，是第111个数。原题说法正确。 故答案为：√ 10．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)81 (2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【思路引导】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【完整解答】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 11．（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 【答案】（1）52－1＝6×4＝24 （2）9999 【思路引导】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。 可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8 那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80 可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。 （2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。 【完整解答】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1） 52－1＝6×4＝24（答案不唯一） （2）101×99 ＝（100＋1）×（100－1） ＝1002－1 ＝10000－1 ＝9999 12．（2022·福建南平·小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【答案】(1)7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 (2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 (3)C (4)4088483 【思路引导】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【完整解答】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【考点剖析】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。 13．（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。 请你根据下面的倍恩回答问题： 字母按规律加密后会得到新字母，如： 明文A→密文D  明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR ①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。 ②用规律加密和解密。 加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。         　 ③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画） 【答案】①密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 ②SDQGD；FRIEND ③ZOO 【思路引导】（1）首先观察字母变化的规律，总结加密方法。 通过对比明文字母和密文字母的位置关系，发现每个明文字母在字母表中向右移动3个位置得到密文字母。例如：A（第1位）→D（第4位）；O（第15位）→R（第18位）；T（第20位）→W（第23位）。 同理明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母，据此写出规律。 （2）应用规律进行加密和解密即可。 （3）解密时，当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环：C（第3位）左移3位→Z（第26位），R（第18位）左移3位→O（第15位），据此解答。 【完整解答】（1）我发现的加密规律是：密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 （2）加密：将明文PANDA的每个字母向右移动3个位置：P→S，A→D，N→Q，D→G，A→D，所以明文PANDA→密文SDQGD； 解密：密文IULHQG的每个字母分别向左移动3个位置：I→F，U→R，L→I，H→E，Q→N，G→D，所以密文IULHQG→明文FRIEND。 （3）根据解密规律以及当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环原则，题目密文字母对应明文字母如下：C→Z，R→O ，R→O，所以密文CRR→明文是ZOO。 （写一写，画一画见字母表中） 【考点剖析】这道题的难点在于需要从有限例子中归纳出“字母向右数3位”的加密规则，同时还要掌握字母表循环逻辑，并完成加密到解密的逆向思维转换。 14．（2025·吉林长春·小升初真题）现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【思路引导】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【完整解答】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝24 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【考点剖析】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 15．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【答案】见解答 【思路引导】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【完整解答】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【考点剖析】本题考查了数表中的规律的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $