第十二讲 数论(拓展提高奥数篇）19个考点讲练+能力提升练 共43题-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十二讲 数论『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【19个考点讲练+能力提升练 共43题】 ［原卷版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 数字问题 2 考点讲练二 数字和问题 2 考点讲练三 数的奇偶性 2 考点讲练四 质数与合数 3 考点讲练五 分解质因数 3 考点讲练六 因数与倍数 3 考点讲练七 公因数与公倍数 3 考点讲练八 约数个数与约数和定理 4 考点讲练九 整数的裂项与拆分 4 考点讲练十 位值原理 4 考点讲练十一 数的整除 5 考点讲练十二 带余除法 5 考点讲练十三 同余定理 5 考点讲练十四 孙子定理（中国剩余定理) 6 考点讲练十五 完全平方数性质 6 考点讲练十六 等量关系与方程 7 考点讲练十七 二元一次方程组 8 考点讲练十八 不定方程的分析求解 8 考点讲练十九 不等方程的分析求解 8 能力提升 过关检测 8 考点讲练一 数字问题 【典例精讲】设集合，则下面选项中正确的是（    ）。 集合A的子集个数为16 2是集合A的子集 ∅是集合A的真子集 A A． B． C． D． 【变式训练】将几个不同的自然数两两之间的和与差按从小到大的顺序排列出来为：2，10，12，34，37，44，46，47，49，81，83，93，则几个不同的自然数分别是：________（从小到大排列）。 考点讲练二 数字和问题 【典例精讲】有连续的14个正整数，它们任何一个的数字之和都不是8的倍数。这14个正整数的和最小是( )。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）把6～11分别填入图中的小圆圈内，使每个大圆上三个数的和为27，三角形每条边上三个数的和是24，那么( )。 考点讲练三 数的奇偶性 【典例精讲】（2025六年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁、戊五人面前分别放置了浓度分别为10%、20%、30%、40%、50%的五瓶酒精溶液，同时旁边还有一瓶重25克的清水。这五人依次从各自正面前的酒精溶液中取出、、、、克滴入清水瓶中。最终，清水瓶中的酒精浓度变为了15%。已知、、、、都是一位数奇数，且互不相同；乙取出的酒精溶液既不是最多的，也不是最少的，但比甲取出的要少。那么五位数是_______。 【变式训练】（2023六年级·广东深圳·竞赛）只用奇数数字构成三位数，所有这些三位数之和是（    ）。 A．69375 B．19375 C．6253 D．34975 E．33300 考点讲练四 质数与合数 【典例精讲】已知有五个连续正整数的乘积可表示成数的120倍其中A与B都是数码。请问这五个连续正整数中的最大数是多少？ 【变式训练】五个不同的质数的平方和为6736，其中有两个质数由相同的数字组成（如其中一个为ab，另一个为ba）。那么这五个质数的总和是________。 考点讲练五 分解质因数 【典例精讲】已知化成小数后是一个循环节21位的纯循环小数。如果循环节组成的多位数能被整除，那么n的最大值是________。 【变式训练】甲、乙、丙三个人参加了运动会的每一个项目，而且取得了每个项目的前三名（没有并列）。前三名的得分是依次减少的三个非零自然数。最后甲得了22分，乙、丙都得了9分。若丙得过一些项目的第一名，甲得过_____个项目的第一名。 考点讲练六 因数与倍数 【典例精讲】一个自然数加1有2个因数，加3有3个因数，加5有6个因数，这个数最小是( )。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）A、B、C三个数，A数是B数的4倍，B数是C数的5倍，如果三数的最大公因数是45，那么三数的最小公倍数是（    ）。 A．900 B．360 C．180 D．90 考点讲练七 公因数与公倍数 【典例精讲】组装某种玩具需要A零件两个，B零件和C零件各一个。加工A零件的甲类工人每人每天可以加工零件72个；加工B零件的乙类工人每人每天可以加工零件32个；加工C零件的丙类工人每人每天可以加工零件24个。如果每天加工的三种零件都正好匹配，全部组装成玩具，无剩余零件，那么至少需安排( )名甲类工人，( )名乙类工人，( )名丙类工人加工零件。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）地震发生时，震源同时传播出纵波和横波。某次地震，监测点先接收到纵波，20秒后又接收到横波。如果纵波的传播速度是6千米/秒，横波的传播速度是4千米/秒，那么震源与监测点相距( )千米。 考点讲练八 约数个数与约数和定理 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）在1155的倍数中，有( )个数恰有1155个因数。 【变式训练】今年是2021年，健康、幸福、爱情、和睦、勤奋、逐梦、富贵、崛起，这八个词每个词刚好是21画。那么8个2021相乘的积有( )个因数。 考点讲练九 整数的裂项与拆分 【典例精讲】原有1克、2克、4克、8克、16克5个砝码，现丢失了其中的一个，因而12克和23克的量都不能称了．丢失的是________克的砝码． 【变式训练】在一场国际象棋比赛中，胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分。甲、乙、丙、丁四个队参加比赛，且每队均比赛了3场。比赛结束后，甲队得了11分，乙、丙两队均得了8分，丁队没有平局，则丁队的得分是（    ）。 A．5分 B．6分 C．7分 D．8分 E．9分 考点讲练十 位值原理 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）将一个六位数中连续的三位数字保持顺序，移动到这个数的最前方或者最后方，得到一个新的数，我们将此视为一次操作。已知六位数123456按照下图操作五次后得到654321，那么②处所代表的数是多少？ 【变式训练】（2025六年级上·全国·竞赛）把7位数变成7位数，已知新7位数比原7位数大3591333，求原7位数是多少？ 考点讲练十一 数的整除 【典例精讲】设为50以内的两位正整数，则（    ）。 A．能被11整除的所有的个数有4个 B．能被3整除的所有的个数有18个 C．能被的个位整除的所有的个数有7个 D．是合数的所有的个数有34个 【变式训练】（2025·吉林长春·小升初真题）如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”。若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），那么为整数时，则称M为“跳跃整数”。 例如：8614满足8＋1＝9，6－4＝2，且P（8614）＝8＋8＝16，Q（8614）＝6＋1＝7，即不是整数，故8614不是“跳跃整数”。 又如：9503满足9＋0＝9，5－3＝2，且P（9503）＝9＋6＝15，Q（9503）＝5＋0＝5，即是整数，故9503是“跳跃整数”。 （1）判断：5745（    ）“跳跃整数”，5341（    ）“跳跃整数”；（填“是”或“不是”） （2）证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； （3）若M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“跳跃整数”，直接写出满足条件的所有M的值。 考点讲练十二 带余除法 【典例精讲】已知数列的通项公式为，其中为正整数，则（    ）。 A．存在正整数，使得 B．5不能整除 C． D．的个位数为3 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）以表示不超过x的最大整数，若要，则自然数的最小值是( )。 考点讲练十三 同余定理 【典例精讲】一个自然数分别除以3、4、6、7，所得余数分别为2、1、5、6，并且四个商的和为859，这个自然数是( )。 【变式训练】（2025六年级·贵州遵义·竞赛）有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5，7，9的倍数。这三个连续自然数最小是( )。 考点讲练十四 孙子定理（中国剩余定理) 【典例精讲】（2025六年级上·全国·竞赛）民间流传着一则故事《韩信点兵》，秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚军大将李锋苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人；忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”根据故事中的条件，韩信是如何算出军中将士人数的呢？ 【变式训练】（2025六年级上·全国·竞赛）一个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，则这个两位数最小值为______。 考点讲练十五 完全平方数性质 【典例精讲】已知数3拥有一些性质：它恰比某一个完全平方数少1，它的五倍也恰比另一个完全平方数少1： 3＝4－1＝22－1 5×3＝16－1＝42－1 数24是另一个有这些相同性质的数： 24＝25－1＝52－1 5×24＝121－1＝112－1 请问在大于25的数中，有这些性质的最小数是多少？ 【变式训练】已知n为正整数且 以9009结尾。请问n的最小可能值是多少？ 考点讲练十六 等量关系与方程 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如下表： 收费方式 月用水量/m3 单价（元/m3） 第一阶梯 0～15 4.5 第二阶梯 15～20 6 第三阶梯 20以上 8 注： ①公摊水费：每户每月10元； ②每月实际应交水费＝阶梯水费＋公摊水费。 （1）若小明家某月用水18立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？ （2）已知某户居民某月的实际应交水费为187.5元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？ （3）若某户某月实际应交水费平均每立方米6.5元，求该户该月用水量。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）用❈表示一种运算符号，如果x❈y，且2❈1，求3❈1的值。 考点讲练十七 二元一次方程组 【典例精讲】解方程组。 【变式训练】若是一组全由1或2组成的数，且 则_______。 考点讲练十八 不定方程的分析求解 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵。两班人数之和最多为( )人。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）某水池装有三个进水管，单独开放甲管24小时可以灌满，单独开放乙管30小时可以灌满；如果按甲，乙，丙的顺序轮流开放各1小时，然后循环往复持续下去，则29小时可以灌满；如果同时打开甲，乙，丙三管，分别开放a，b，c小时（这里a，b，c均为整数），那么，至少需要( )小时恰好灌入半池水。 考点讲练十九 不等方程的分析求解 【典例精讲】（2025六年级上·全国·竞赛）七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是几？ 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）在一列数：，，，，，，…中，从( )开始，1与每个数之差都小于。 1．下图是一个三角形数阵，其中数阵两侧的数比上一行大1，里面的每一个数都是它上一行与之相邻的两个数的和。这个数阵的前8行的和除以7的余数是（    ）。 A．0 B．2 C．4 D．6 E．以上都不对 2．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，它的构成规律是：前两个数分别是1，第3个数等于第1个与第2个数之和：；第4个数等于第2个与第3个数之和：；第5个数等于第3个与第4个数之和：；第6个数等于第4个与第5个数之和：…依次类推。这列数中的第2023个数被7除的余数是（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 E．2 3．鹏鹏在书市上买了数学、童话、英语书共7册。其中童话书、英语书都比数学书多，鹏鹏买了数学书（    ）册。 A．2 B．1 C．3 D．4 E．5 4．（2025·湖北武汉·小升初真题）对于一个自然数，用与这个数互质且大于2的最小自然数替换这个数，称为一次“互质替换”，在黑板上任意写出一个大于2025的自然数，反复进行“互质替换”，最多经过______次“互质替换”首次出现3。 5．（25-26六年级上·河北保定·期末）若n是不为0的自然数，它的倒数是( )；当时，m与它的倒数的和是( )；两个质数的倒数的和是，n是其中一个质数，n可能是( )。 6．请求出下列m的所有可能值，已知m是不超过2022的正整数，2022＋m能整除2022m，求m等于_______。 7．任意m个连续自然数中，若必有一个数的各位数字之和是6的倍数，那么m最小是____。 8．除2以外，所有的质数都是奇数。( )（判断对错） 9．1是奇数，它既不是质数，也不是合数。( )（判断对错） 10．A是质数，A+1就一定不是质数．( )（判断对错） 12．（2025六年级上·全国·竞赛）已知429、791、500被某自然数除所得的余数分别是a＋5、2a、a，求该自然数及a的值。 13．（2025六年级上·全国·竞赛）求512345676除以99的余数是多少？ 14．张经理、李经理、刘经理三人乘飞机出差，三人携带的行李重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李托运费，三人共付了90元，而三人行李共重65千克。如果三人的行李只由一人携带，除免费部分外，应另付行李托运费810元。求每人可免费携带的行李重量是多少千克？ 15．小夏搭乘一辆公交车在一条公路上以恒速行驶，公路上有标有km数的里程牌，它标明与公路起点的距离（以km为单位）。下图为两块里程牌的范例。在小夏睡着前一刻，他注意到公交车经过一块里程牌，牌上写着一个二位数。恰经过一个小时后，小夏睁开眼睛，看到公交车经过另一块里程牌，上面写着一个三位数，此时他注意到该里程牌上三位数的第一位数码等于他睡着前看到的数之第二位数码、三位数的第二位数码是0、三位数的第三位数码等于他睡着前看到的数之第－位数码。然后小夏又恰睡了两个小时才醒来，这时他看到公交车经过另一块里程牌，上面的数与他注意到的第二个里程牌上的数几乎相同，只是第二个数码被另一个数码取代。请问这辆公交车的速度是多少km/h？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十二讲 数论『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【19个考点讲练+能力提升练 共43题】 ［解析版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 数字问题 2 考点讲练二 数字和问题 3 考点讲练三 数的奇偶性 5 考点讲练四 质数与合数 6 考点讲练五 分解质因数 7 考点讲练六 因数与倍数 9 考点讲练七 公因数与公倍数 10 考点讲练八 约数个数与约数和定理 11 考点讲练九 整数的裂项与拆分 13 考点讲练十 位值原理 14 考点讲练十一 数的整除 15 考点讲练十二 带余除法 18 考点讲练十三 同余定理 20 考点讲练十四 孙子定理（中国剩余定理) 22 考点讲练十五 完全平方数性质 23 考点讲练十六 等量关系与方程 25 考点讲练十七 二元一次方程组 27 考点讲练十八 不定方程的分析求解 28 考点讲练十九 不等方程的分析求解 31 能力提升 过关检测 32 考点讲练一 数字问题 【典例精讲】设集合，则下面选项中正确的是（    ）。 集合A的子集个数为16 2是集合A的子集 ∅是集合A的真子集 A A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合 （有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素，则错误；若集合A中有n（n≥0）个元素，则A的子集个数为，则正确；∅是任何非空集合的真子集，则正确；集合间的基本关系：两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作AB，则正确。所以D选项正确。 【完整解答】A选项错误：已知集合，则集合A的子集个数为，则正确；2是集合A中的一个元素而不是子集，则错误；∅是任何非空集合的真子集，则正确 B选项错误：2是集合A中的一个元素而不是子集，则错误；已知集合，则集合A的子集个数为则正确；集合A中的任何一个元素都是集合{0，1，2，3，4}中的元素，所以A{0，1，2，3，4}，则正确 C选项错误：2是集合A中的一个元素而不是子集，则错误；∅是任何非空集合的真子集，则正确；集合A中的任何一个元素都是集合{0，1，2，3，4}中的元素，所以A{0，1，2，3，4}，则正确 D选项正确：已知集合，则集合A的子集个数为，则正确；∅是任何非空集合的真子集，则正确；集合A中的任何一个元素都是集合{0，1，2，3，4}中的元素，所以A{0，1，2，3，4}，则正确 故答案为：D 【变式训练】将几个不同的自然数两两之间的和与差按从小到大的顺序排列出来为：2，10，12，34，37，44，46，47，49，81，83，93，则几个不同的自然数分别是：________（从小到大排列）。 【答案】 16、18、28、65 【思路引导】序列有12个数，表明有4个自然数（因为对于4个自然数，两两组合有6对，每对产生一个和和一个差，共12个值）。序列中最小值为2，因此最小差为2；最大值为93，因此最大和为93。通过尝试假设最小和的值，并结合序列中的其他数字，推导出四个自然数。 【完整解答】设四个自然数为a、b、c、d，且a＜b＜c＜d。两两之间的和与差包括：和a＋b、a＋c、a＋d、b＋c、b＋d、c＋d；差b－a、c－a、d－a、c－b、d－b、d－c。这些值排序后与给定序列一致。 序列中最小值为2，因此b－a＝2。 序列中最大值为93，因此c＋d＝93。 序列中有34，且a＋b是较小的和，尝试a＋b＝34。由a＋b＝34和b－a＝2，解得a＝16，b＝18。 序列中有10和12，这些是差值。假设c－a＝12，则c＝28（因为a＝16）。由c＋d＝93，得d＝65。 验证所有和与差： 和：16＋18＝34，16＋28＝44，16＋65＝81，18＋28＝46，18＋65＝83，28＋65＝93。 差：18－16＝2，28－16＝12，65－16＝49，28－18＝10，65－18＝47，65－28＝37。 将以上值排序：2，10，12，34，37，44，46，47，49，81，83，93，与给定序列一致。 因此，这几个不同的自然数分别是16、18、28、65。 考点讲练二 数字和问题 【典例精讲】有连续的14个正整数，它们任何一个的数字之和都不是8的倍数。这14个正整数的和最小是( )。 【答案】139999993 【思路引导】有连续的14个正整数，它们任何一个的数字之和都不是8的倍数，因此可以知道这14个数一定会跨越9-10，或者99-100，或者999-1000，或者9999-10000……。由此来进行列举说明。 【完整解答】①在100前后，我们发现97和107的数字和是8的倍数，只能找到连续的9个数不是8的倍数，找不到连续的14个数都不是8的倍数。 ②在1000前后，我们发现996和1007的数字和是8的倍数，只能找到连续的10个数不是8的倍数，找不到连续的14个数都不是8的倍数。 ③在10000前后，我们发现9995和10007的数字和是8的倍数，只能找到连续的11个数不是8的倍数，找不到连续的14个数都不是8的倍数。 根据这个规律，即可知道9999993和10000007的数字和是8的倍数，中间刚好有14个数都不是8的倍数。即这14个数分别为：9999993、9999994、9999995、9999996、9999997、9999998、9999999、10000000、10000001、10000002、10000003、10000004、10000005、10000006。 和：9999993＋9999994＋9999995＋9999996＋9999997＋9999998＋9999999＋10000000＋10000001＋10000002＋10000003＋10000004＋10000005＋10000006 ＝10000000×14－7 ＝140000000－7 ＝139999993 故这14个正整数的和最小是139999993。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）把6～11分别填入图中的小圆圈内，使每个大圆上三个数的和为27，三角形每条边上三个数的和是24，那么( )。 【答案】21 【思路引导】先计算六个数的总和，再根据大圆和三角形边上的和分别计算出每条边中间三个数的和以及三个顶点数的和，最后确定各位置的数字。 【完整解答】六个数的总和： 三个圆上的总和： 每条边中间三个数的和： 在6～11中只有9、10、1 1的和为30，所以三条边中间的数分别是9、10、11。 三条边上数的总和： 三个顶点数的和： 即 把6～11分别填入图中的小圆圈内，使每个大圆上三个数的和为27，三角形每条边上三个数的和是24，那么。 【考点剖析】解题的关键在于分析清楚三个圆、三条边、三个顶点以及每条边之间和的关系。 考点讲练三 数的奇偶性 【典例精讲】（2025六年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁、戊五人面前分别放置了浓度分别为10%、20%、30%、40%、50%的五瓶酒精溶液，同时旁边还有一瓶重25克的清水。这五人依次从各自正面前的酒精溶液中取出、、、、克滴入清水瓶中。最终，清水瓶中的酒精浓度变为了15%。已知、、、、都是一位数奇数，且互不相同；乙取出的酒精溶液既不是最多的，也不是最少的，但比甲取出的要少。那么五位数是_______。 【答案】75319 【思路引导】根据奇数的特点，这五个数分别1、3、5、7、9，即总共往清水瓶中倒入了25克的溶液； 甲取出的溶液中的溶质为：10%a 乙取出的溶液中的溶质为：20%b 丙取出的溶液中的溶质为：30%c 丁取出的溶液中的溶质为：40%d 戊取出的溶液中的溶质为：50%e 根据，得出这五种溶液不混入清水中得出的溶液的质量是6。再根据乙取出的酒精溶液既不是最多的，也不是最少的，但比甲取出的要少。通过枚举分情况讨论即可。 【完整解答】 则 当b＝5时，a＝7，c＝3，d＝1，e＝9 7＋2×5＋3×3＋4×1＋5×9＝75 那么五位数是75319。 【变式训练】（2023六年级·广东深圳·竞赛）只用奇数数字构成三位数，所有这些三位数之和是（    ）。 A．69375 B．19375 C．6253 D．34975 E．33300 【答案】A 【思路引导】不能被2整除的数叫作奇数，奇数数字有：1、3、5、7、9， 计算出一共可组成的数，根据每个数字在不同数位出现的次数结合位置原理即可计算。 【完整解答】组成可重复三位数共：5×5×5＝125（个） 其中百位，十位，个位上，1、3、5、7、9各出现：125÷5＝25（次） 故总和为： （1＋3＋5＋7＋9）×25×111 ＝25×25×111 ＝625×111 ＝69375 则只用奇数数字构成三位数，所有这些三位数之和是69375。 故答案为：A 考点讲练四 质数与合数 【典例精讲】已知有五个连续正整数的乘积可表示成数的120倍其中A与B都是数码。请问这五个连续正整数中的最大数是多少？ 【答案】39 【思路引导】将乘积分解为质因数，利用质数37、13、7、5必须在五个连续数中出现，结合估算范围锁定37为其中之一，并推断出13的倍数39与5和7的公倍数35必在列，从而确定这五个数，再通过计算验证，据此解答。 【完整解答】令。 因为，故这五个连续正整数都小于50，因此质数37为其中一个数，即可判断出这五个连续正整数都小于42。接着考虑质因子5、7、13，可再判断出35、39也会在这五个连续正整数中，故有，所以，且。 答：这五个连续正整数中的最大数是39。 【考点剖析】本题的关键是将写成，并对10101进行质因数分解，由此得出乘积中必含质因数37、13、7、5。利用“连续五个自然数中必有一个数是某个质数的倍数”这一性质，结合数值范围，锁定这五个数为35、36、37、38、39。解题时要特别注意质数37较大，对确定范围起到决定性作用。 【变式训练】五个不同的质数的平方和为6736，其中有两个质数由相同的数字组成（如其中一个为ab，另一个为ba）。那么这五个质数的总和是________。 【答案】120 【思路引导】五个不同的质数的平方和为6736，若五个质数都是奇数，则它们的平方和为：奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝奇数，6736是一个偶数，因此其中必有一个质数是2。然后再根据两位数质数有：11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，其中有两个质数由相同的数字组成，则符合条件的有13和31、17和71、37和73，然后再分类讨论计算即可确定这五个质数分别是多少，据此即可求出这五个质数的总和。 【完整解答】奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝奇数，6736是一个偶数，因此其中必有一个质数是2。有两个质数由相同的数字组成，则符合条件的有13和31、17和71、37和73、79和97。 设这5个质数为2、13、31、x、y时， 则， 经试算没有符合条件的x、y； 设这5个质数为2、17、71、x、y时， 则， 经试算没有符合条件的x、y； 设这5个质数为2、37、73、x、y时， 则， 经试算， 因此这5个质数为2、37、73、3、5， 总和为：2＋37＋73＋3＋5＝120。 考点讲练五 分解质因数 【典例精讲】已知化成小数后是一个循环节21位的纯循环小数。如果循环节组成的多位数能被整除，那么n的最大值是________。 【答案】5 【思路引导】循环节是21位的纯循环小数化为分数时分子是循环节组成的多位数，分母是由21个数字9组成的21位数，则循环节组成的多位数可以表示为＝，如果这个多位数能被整除，要看这个多位数最多能分解出来多少个因数3，可以分解出两个因数3，可以分解出两个因数3，是3的倍数但不是9的倍数，因此只能分解出一个因数3，所以循环节组成的多位数一共可以分解出因数3的个数为：2＋2＋1＝5（个），最多能被整除，n的最大值为5。 【完整解答】由分数的循环节组成的多位数可以表示为：＝，如果这个多位数能被整除，要看这个多位数最多能分解出来多少个因数3，其中可以分解出两个因数3，可以分解出两个因数3，是3的倍数但不是9的倍数，因此只能分解出一个因数3，所以循环节组成的多位数一共可以分解出因数3的个数为：2＋2＋1＝5（个），所以n的最大值为5。 【考点剖析】本题重点考查纯循环小数化分数的方法，循环节有几位，对应分数的分母就由几个数字9组成，分子等于循环节组成的多位数，同时综合一个数能被3和9整除的特性来解决问题。 【变式训练】甲、乙、丙三个人参加了运动会的每一个项目，而且取得了每个项目的前三名（没有并列）。前三名的得分是依次减少的三个非零自然数。最后甲得了22分，乙、丙都得了9分。若丙得过一些项目的第一名，甲得过_____个项目的第一名。 【答案】4 【思路引导】假设每个项目第一名得分为a，第二名得分为b，第三名得分为c，已知前三名得分是依次减少的三个非零自然数，则a＋b＋c≥3＋2＋1＝6；甲，乙，丙三人参加了每一个项目且取得了每个项目的前三名，三人总得分＝参加的项目数×（第一名得分＋第二名得分＋第三名得分），三人总得分为：22＋9＋9＝40（分），40＝5×8＝5×（5＋2＋1）＝5×（4＋3＋1），由此可得三人参加五个项目，每个项目的第一名为5分，第二名为2分，第三名为1分或者第一名为4分，第二名为3分，第三名为1分；结合每个人的分数进行排除：如果第一名4分，参加五项最高分为4×5＝20（分）20＜22，不符合条件，所以得分只能为第一种情况。甲参加五项总得分为22分，22＝5＋5＋5＋5＋2可得甲得了四个项目的第一名和一个项目的第二名；乙参加五项总得分为9分，9＝2＋2＋2＋2＋1可得乙得了四个项目的第二名和一个项目的第三名；丙参加五项总得分为9分且得过一些项目的第一名，9＝5＋1＋1＋1＋1可得丙得了一个项目的第一名和四个项目的第三名，符合条件。 【完整解答】假设每个项目第一名得分为a，第二名得分为b，第三名得分为c，由题意可得a＋b＋c≥3＋2＋1＝6，甲乙丙三人的总成绩＝参加的项目数×（a＋b＋c）＝22＋9＋9＝40； 40＝5×8＝5×（5＋2＋1）可得a＝5，b＝2，c＝1 甲参加五个项目总分22分：22＝5＋5＋5＋5＋2，则甲取得四个项目的第一名和一个项目的第二名； 乙参加五个项目总分9分：9＝2＋2＋2＋2＋1，则乙取得四个项目的第二名和一个项目的第三名； 丙参加五个项目总分9分且丙得过一些项目的第一名：9＝5＋1＋1＋1＋1，则丙取得一个项目的第一名和四个项目的第三名； 综上可得符合甲乙丙取得每个项目的前三名（没有并列），甲得过4个项目的第一名。 【考点剖析】本题重点考查分类讨论问题，从分解出来的几种情况中结合题中条件找到正确的那一种。 考点讲练六 因数与倍数 【典例精讲】一个自然数加1有2个因数，加3有3个因数，加5有6个因数，这个数最小是( )。 【答案】166 【思路引导】如果一个自然数有3个因数，则这个自然数一定是一个质数的平方，即只能是：4、9、25、49、121、169……，然后从小到大依次进行验证即可解决。 【完整解答】当原数为：4－3＝1， 1＋1＝2，2有2个因数， 1＋5＝6，6有4个因数，不符合题意； 当原数为：9－3＝6， 6＋1＝7，7有2个因数， 6＋5＝11，11有2个因数，不符合题意； 当原数为：25－3＝22， 22＋1＝23，23有2个因数， 22＋5＝27，27有4个因数，不符合题意； 当原数为：49－3＝46， 46＋1＝47，47有2个因数， 46＋5＝51，51有4个因数，不符合题意； 当原数为：121－3＝118， 118＋1＝119，119有2个因数， 118＋5＝123，123有4个因数，不符合题意； 当原数为：169－3＝166， 166＋1＝167，167有2个因数， 166＋5＝171，171有6个因数，符合题意； 因此这个数最小是166。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）A、B、C三个数，A数是B数的4倍，B数是C数的5倍，如果三数的最大公因数是45，那么三数的最小公倍数是（    ）。 A．900 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【思路引导】题目中给出A、B、C三个数的关系：A是B的4倍，B是C的5倍，且三数的最大公因数是45要求三数的最小公倍数。首先需要明确这三个数之间的倍数关系，用C数表示A、B数，然后根据最大公因数的条件确定各数的组成，最后计算最小公倍数。 【完整解答】B＝5C，A＝4×B＝20C， 已知三数的最大公因数是45，所以C＝45； A＝20×C＝20×45＝900 B＝5×C＝5×45＝225 900是225和45的公倍数，所以三个数的最小公倍数是900。 故答案为：A 【考点剖析】如果三个数是倍数关系，最大公因数就是最小的数，最小公倍数是最大的数。 考点讲练七 公因数与公倍数 【典例精讲】组装某种玩具需要A零件两个，B零件和C零件各一个。加工A零件的甲类工人每人每天可以加工零件72个；加工B零件的乙类工人每人每天可以加工零件32个；加工C零件的丙类工人每人每天可以加工零件24个。如果每天加工的三种零件都正好匹配，全部组装成玩具，无剩余零件，那么至少需安排( )名甲类工人，( )名乙类工人，( )名丙类工人加工零件。 【答案】 8 9 12 【思路引导】如果每天加工的三种零件都正好匹配，全部组装成玩具，无剩余零件，即这个玩具需要2个A，1个B，1个C，即找出72、32、24的最小公倍数后，用最小公倍数除以A、B、C零件每人每天加工的个数即可解答本题。 【完整解答】72＝23×32 32＝25 24＝23×3 [72，32，24]＝25×32＝288 288÷72＝4（名） 288÷32＝9（名） 288÷24＝12（名） 因为组装某种玩具需要A零件两个，B零件和C零件各一个， 所以4×2＝8（名） 则至少需安排8名甲类工人，9名乙类工人，12名丙类工人加工零件。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）地震发生时，震源同时传播出纵波和横波。某次地震，监测点先接收到纵波，20秒后又接收到横波。如果纵波的传播速度是6千米/秒，横波的传播速度是4千米/秒，那么震源与监测点相距( )千米。 【答案】240 【思路引导】先明确纵波和横波传播距离相同，通过假设一个特定的距离数，计算出对应的时间差，再根据时间的倍数关系，求出震源与监测点的距离即可。 【完整解答】根据题意，纵波速度为6千米/秒，横波速度为4千米/秒， 因为6和4的最小公倍数是12，所以，假设距离为12千米。 纵波传播时间： （秒） 横波传播时间： （秒） 假设情况下的时间差：（秒） 实际时间差为20秒， 时间的倍数为； 速度不变，时间的倍数等于距离的倍数。 实际距离： （千米） 如果纵波的传播速度是6千米/秒，横波的传播速度是4千米/秒，那么震源与监测点相距240千米。 【考点剖析】解题的关键在于巧妙地假设出距离，通过求两个数的最小公倍数的方法找到这个数即可。 考点讲练八 约数个数与约数和定理 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）在1155的倍数中，有( )个数恰有1155个因数。 【答案】24 【思路引导】本题需要先把1155分解质因数，再根据因数个数公式，从而确定指数分别是哪些，最后计算出指数分配给质因数的全排列个数即可。 【完整解答】分解1155的质因数：（3、5、7、11均为质数）。 因数个数公式： 若一个数N的质因数分解为： （为不同的质数，为正整数），则N的因数个数为： 解：设所求数为N，则 因为N是1155的倍数，故。 根据因数个数定理，N的因数个数为：      由于（4个质数），所以必须是3、5、7、11的一个排列（每个数对应一个质因数的指数加1）。 因此分别为：3−1＝2、5−1＝4、7−1＝6、11−1＝10。 将2、4、6、10这4个指数分配给3、5、7、11这4个质因数，相当于对4个元素进行全排列，排列数为： 故答案为：在1155的倍数中，有24个数恰有1155个因数。 【考点剖析】本题的关键在于质因数分解和因数个数公式的灵活运用，以及计算全排列公式满足条件的个数等。 【变式训练】今年是2021年，健康、幸福、爱情、和睦、勤奋、逐梦、富贵、崛起，这八个词每个词刚好是21画。那么8个2021相乘的积有( )个因数。 【答案】81 【思路引导】先将2021进行因式分解，然后把因式分解的两个因数代入，最后根据因数个数公式计算出因数的总数即可。 【完整解答】分解2021：2021 ÷ 43 = 47 因此：   ，43和47都是质数。 所以： 根据题意，8个2021相乘可以写成。 的质因数分解 根据因数个数的公式，对于一个数的质因数分解： 其因数的总数为： 根据以上公式可得： 因数的总数为： 那么8个2021相乘的积有81个因数。 【考点剖析】本题核心考点在于因数个数的公式，以及质因数的分解，需要熟练掌握，灵活运用。 考点讲练九 整数的裂项与拆分 【典例精讲】原有1克、2克、4克、8克、16克5个砝码，现丢失了其中的一个，因而12克和23克的量都不能称了．丢失的是________克的砝码． 【答案】4 【完整解答】解：假设能称出12克和23克的物体，可拆分如下： 12=4+8 23=16+4+2+1 很明显，都需要4克的砝码；因为实际是不能秤出12克和23克的重量，故丢失的应是都需要的砝码．即4克的砝码． 故答案为4. 【考点剖析】考查了整数的裂项与拆分. 此题应进行分析，比较，先假设成立，进而得出结论． 【变式训练】在一场国际象棋比赛中，胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分。甲、乙、丙、丁四个队参加比赛，且每队均比赛了3场。比赛结束后，甲队得了11分，乙、丙两队均得了8分，丁队没有平局，则丁队的得分是（    ）。 A．5分 B．6分 C．7分 D．8分 E．9分 【答案】C 【思路引导】甲、乙、丙、丁四个队参加国际象棋比赛，每队均比赛了3场。甲分别和乙、丙、丁各赛一场；乙分别和甲、丙、丁各赛一场；丙分别和甲、乙、丁各赛一场；丁分别和甲、乙、丙各赛一场。已知比赛中胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分，甲队比赛3场得了11分，由11＝5＋5＋1可得甲队胜了两场，输了1场；乙队和丙队均得了8分，由8＝5＋2＋1可得乙，丙各胜一场，各平一场，各输一场；在比赛中胜的总场数与输的总场数是相同的，现在已经胜了2＋1＋1＝4（场），输了1＋1＋1＝3（场），可得丁的3场比赛中输的场数比胜的场数多1场，且丁的3场比赛中没有平局，则丁输了2场，胜了一场；得分为1＋1＋5＝7（分） 【完整解答】已知比赛中胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分，甲队比赛3场得了11分，由11＝5＋5＋1可得甲队胜了两场，输了1场；乙队和丙队均得了8分，由8＝5＋2＋1可得乙，丙各胜一场，各平一场，各输一场；在比赛中胜的总场数与输的总场数是相同的，现在已经胜了2＋1＋1＝4（场），输了1＋1＋1＝3（场），可得丁的3场比赛中输的场数比胜的场数多1场，且丁的3场比赛中没有平局，则丁输了2场，胜了一场；得分为1＋1＋5＝7（分） 故答案为：C 【考点剖析】本题重点考查比赛中的得分问题，涉及整数的拆分及逻辑推理的综合应用。在比赛问题中胜的总场数和输的总场数是相同的，根据题中条件进行推理，一个结果可能有不同的情况，结合题中限定条件进行排除。 考点讲练十 位值原理 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）将一个六位数中连续的三位数字保持顺序，移动到这个数的最前方或者最后方，得到一个新的数，我们将此视为一次操作。已知六位数123456按照下图操作五次后得到654321，那么②处所代表的数是多少？ 【答案】265314 【思路引导】根据题意了解移动规则，从开始操作结果为126345和最终得到的结果 654321 出发，分析其数字组成和顺序，逐步推导即可。 【完整解答】根据题意，设六位数为，那么中间连续的三位数字可能是或者是。 移动也分两种情况，移动到最前方或者移动到最后方。 如果想改变前面的数字，那么就移动到最前方；如果想改变后面的数字，那么就移动到最后方； 因为已知第一次操作：123456 →126345（将“345”移动到最后方） 所以，的操作就是移动到最后方。 因为已知，操作五次后得到结果为654321，首位数字有变动，那么必须有移动到最前面的操作。 所以，的操作就是移动到最前方。 和交替移动情况如下： 初始数：123456   第一次操作：123456 →126345（将“345”移动到最后方，“6”跟到“12”后）   第二次操作：126345 → 263145（将“263” 移动到最前方， “1”跟到“263”后）   第三次操作：263145 → 265314（将“314” 移动到最后方，“5”跟到“26”后）   第四次操作：265314→ 653214（将“653” 移动到最前方，“2”跟到“653”后）   第五次操作：653214 → 654321（将“321” 移动到最后方，“4”跟到“65”后）   故答案为：②处所代表的数是265314 【考点剖析】本题的关键在于，把具体的数字问题转化为抽象的数位问题，通过条件分析逐步推导出答案。 【变式训练】（2025六年级上·全国·竞赛）把7位数变成7位数，已知新7位数比原7位数大3591333，求原7位数是多少？ 【答案】2621259 【思路引导】将看成整体，设为，利用新数比原数大3591333，即新数＝原数＋3591333，建立方程，即可求解。 【完整解答】解：设 ＝621259 答：原7位数是2621259。 考点讲练十一 数的整除 【典例精讲】设为50以内的两位正整数，则（    ）。 A．能被11整除的所有的个数有4个 B．能被3整除的所有的个数有18个 C．能被的个位整除的所有的个数有7个 D．是合数的所有的个数有34个 【答案】A 【思路引导】题目中 A 是 50 以内的两位正整数，即 A∈{10，11，12，…，49}，共 40 个数。我们逐一判断选项即可解决。 【完整解答】选项 A：能被 11 整除的所有A的个数有 4 个 在 10-49 中，能被 11 整除的数是：11、22、33、44，共 4 个。A 正确； 选项 B：能被 3 整除的所有A的个数有 18 个 在 10-49 中：能被 3 整除的数最小的是 12，最大的是 48 个数 为： （48－12）÷3＋1＝13 （个），不是 18 个。B 错误； 选项 C：能被A的个位整除的所有A的个数有 7 个 逐个列举 10-49 中满足 “这个两位数能被个位整除” 的数： 个位 1：11，21，31，41 → 4 个 个位 2：12，22，32，42 → 4 个 个位 3：33→ 1 个 个位 4：24，44 → 2 个 个位 5：15，25，35，45 → 4 个 个位 6：36 → 1 个 个位 7：无 个位 8：48 → 1 个 个位 9：无 合计：17个，远大于 7。 C 错误； 选项 D：A是合数的所有A的个数有 34 个 10-49 中共有 40 个数，先数其中的质数：11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47 → 共 11 个质数。 合数个数为： 40－11＝29 （个），不是 34 个。D 错误。 故答案为A 【考点剖析】整除、约数、质数与合数的基本概念，以及区间内数的计数方法。 先明确 A 的范围，再用列举法或公式法逐一验证选项。 【变式训练】（2025·吉林长春·小升初真题）如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”。若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），那么为整数时，则称M为“跳跃整数”。 例如：8614满足8＋1＝9，6－4＝2，且P（8614）＝8＋8＝16，Q（8614）＝6＋1＝7，即不是整数，故8614不是“跳跃整数”。 又如：9503满足9＋0＝9，5－3＝2，且P（9503）＝9＋6＝15，Q（9503）＝5＋0＝5，即是整数，故9503是“跳跃整数”。 （1）判断：5745（    ）“跳跃整数”，5341（    ）“跳跃整数”；（填“是”或“不是”） （2）证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； （3）若M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“跳跃整数”，直接写出满足条件的所有M的值。 【答案】（1）不是；是 （2）见解析； （3）3765，5341，9503 【思路引导】（1）先根据一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，判断一个四位数是不是“跳跃数”，再根据条件若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），是否为整数时，判断这个“跳跃数”是不是“跳跃整数”。（2）一个四位数可以设为表示的大小是，据此解答这个数是否能被11整除。（3）运用“跳跃整数”的特点来找出满足条件的所有M的值。 【完整解答】（1）5745的千位数字和十位数字的和为：5＋4＝9，百位数字与个位数字的差为：7－5＝2，即5745是“跳跃数”， P（M）＝5＋5×2＝15，Q（M）＝7＋4＝11，，不是整数，则5745不是“跳跃整数”。 5341的千位数字和十位数字的和为：5＋4＝9，百位数字与个位数字的差为：3－1＝2，即5341是“跳跃数”，P（M）＝5＋1×2＝7，Q（M）＝3＋4＝7，1，1是整数，则5341是“跳跃整数”。则 5745不是“跳跃整数”，5341是“跳跃整数”。 （2）设一个四位“跳跃数”为，则： 千位数字和十位数字的和为：a＋c＝9 百位数字与个位数字的差为：b－d＝2，即d＝b－2 2b ＝1000a＋100b＋10c＋d－2b ＝990a＋10a＋98b＋10c＋d ＝990a＋10（a＋c）＋98b＋（b－2） ＝990a＋10×9＋98b＋b－2 ＝990a＋99b＋88 ＝11×（90a＋9b＋8） 则11×（90a＋9b＋8）一定是11的倍数， 即任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除。 （3）因为M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝1000（2a＋1）＋100b＋10c＋d且M是“跳跃整数”， 所以M的千位数字为（2a＋1），百位数字为b，十位数字c，个位数字为d，则： 2a＋1＋c＝9，b－d＝2， 所以2a＋c＝8，b－d＝2， 即c＝8－2a，d＝b－2， 所以P（M）＝2a＋1＋2d＝2a＋2d＋1，Q（M）＝b＋c 即 因为1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数，所以： 当a＝1时，F（M） 当b＝7时，F（M）1 此时：d＝b－2＝7－2＝5 c＝8－2a＝8－2×1＝8－2＝6 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×1＋1000＋100×7＋10×6＋5＝3765 当a＝2时，F（M） 当b＝3时，F（M）1 此时：d＝b－2＝3－2＝1 c＝8－2a＝8－2×2＝4 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×2＋1000＋100×3＋10×4＋1＝5341 当a＝3时，F（M），不管b为何值，F（M）都不是整数，不合题意。 当a＝4时，F（M） 当b＝5时，F（M）＝22＋1＝3 此时：d＝b－2＝5－2＝3 c＝8－2a＝8－2×4＝0 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×4＋1000＋100×5＋10×0＋3＝9503 答：满足条件的所有M的值为：3765，5341，9503。 【考点剖析】根据一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，判断一个四位数是不是“跳跃数”，再根据条件若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），是否为整数时，判断这个“跳跃数”是不是“跳跃整数”。一个四位数可以设为表示的大小是，据此解答这个数是否能被11整除。 考点讲练十二 带余除法 【典例精讲】已知数列的通项公式为，其中为正整数，则（    ）。 A．存在正整数，使得 B．5不能整除 C． D．的个位数为3 【答案】C 【思路引导】数列的性质，给定通项公式 （ 为正整数）。需逐项分析选项： 选项 A 要求存在 使得 ，但计算表明 对所有正整数 成立，故 A 错误。 选项 B 声称 5 不能整除 ，但当 为奇数时 可被 5 整除，2023 为奇数，故 B 错误。 选项 C 给出递推关系 ，经代数验证成立。 选项 D 声称 个位数为 3，根据个位数周期规律，当 时个位数为 3，2022 满足条件，故 D 正确。 【完整解答】A．，所以 对所有正整数 成立，不存在满足条件的 。此选项错误。 B．分析模 5 周期， 周期为 4： 时余 3， 时余 4， 时余 2， 时余 1； 周期为 4： 时余 2， 时余 4， 时余 3， 时余 1。 当 为奇数（即 或 ）时，。2023 为奇数，故 可被 5 整除。此选项错误。 C．由 ，得 ，。计算 ，与 相等，故递推关系成立。此选项正确。 D．分析个位数周期， 个位数周期为 4：3， 9， 7， 1； 个位数周期为 4：2， 4， 8， 6。 因此 个位数周期为 4： 时 5， 时 3， 时 5， 时 7。 2022 ÷ 4 ＝ 505  …… 2，余数为 2，故个位数为 3。此选项正确。 故答案为：CD 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）以表示不超过x的最大整数，若要，则自然数的最小值是( )。 【答案】253 【思路引导】先确定取整函数的规律，将求和式按取整结果分组，通过解不等式找到临界值，再计算剩余项数确定自然数的最小值。 【完整解答】根据题意，整函数的取值规律为： 当1 ≤≤ 14时，， [－5]＝ 0； 当15 ≤≤ 29时， ； 当30 ≤≤ 44时，； 以此类推，每15个数为一组，取整结果依次为0，1，2.…，其中第一组有14项，其余每组有15项。 当是15的倍数时，前14个分数取整都是0，从后面，令每15个分数的取整分别为 1、2、3、⋯、，所以可以得到： ＞2011 ＞2011 ＞2011 即：≤4022 通过代入整数值找到满足条件的最大； 当时，＜4022； 当时，＞4022， 故，当时， ，对应的和为： 剩余需要达到的和：2011−1816＝195      自然数的最小值是253。 【考点剖析】本题取整函数的规律较为复杂，需要观察到每项为一组，且每组的和有特定规律，需要对数字有一定的敏感度和计算能力。 考点讲练十三 同余定理 【典例精讲】一个自然数分别除以3、4、6、7，所得余数分别为2、1、5、6，并且四个商的和为859，这个自然数是( )。 【答案】965 【思路引导】可以设这个自然数为n，根据题意可以得出 n＝3a＋2 n＝4b＋1 n＝6c＋5 n＝7d＋6 且a＋b＋c＋d＝859 可以先分析，除以3余2，除以6余5、除以7余6，即将这个自然数增加1，就可以同时被3、7和6整除，这个数是42，即这个数可以表示为42k－1； 再分析被4除余1，由于42÷4余数为2，则n＝42（2m＋1）－1＝84m＋41。 分别用这个数除以3、4、6、7的商相加为859，求出这个数即可。 【完整解答】设这个数为n＝84m＋41 除以 3 的商：（余 2）。 除以 4 的商：（余 1）。 除以 6 的商：（余 5）。 除以 7 的商：（余 6）。 四个商的和： m＝11 。 则这个自然数是965。 【变式训练】（2025六年级·贵州遵义·竞赛）有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5，7，9的倍数。这三个连续自然数最小是( )。 【答案】 160 【思路引导】设三个连续自然数为a、a＋1、a＋2，根据题意，a是5的倍数，a＋1是7的倍数，a＋2是9的倍数。根据 和的余数等于余数的和（余数的可加性），找到满足条件的最小自然数a。 【完整解答】设三个连续自然数为a。 a是5的倍数，可以设a ＝ 5k（k为自然数） a＋1是7的倍数，根据余数的可加性，则 5k＋1除以7，1除以7的余数是1，则5k除以7的余数是6。 解得k ≡ 4 ，即k ＝ 7m ＋ 4（m为自然数），因此a ＝ 5（7m ＋ 4） ＝ 35m ＋ 20。 同理a＋2是9的倍数，则a＋2＝35m＋20＋2＝35m ＋ 22是9的倍数， 35m＋22＝27m＋18＋8m＋4，其中27m＋18能被9整除，即4除以9的余数是4，则8m除以9的余数应该是的5， 解得m ≡ 4 ，即m ＝ 9n ＋ 4（n为自然数），因此a ＝ 35（9n ＋ 4） ＋ 20 ＝ 315n ＋ 160。 当n ＝ 0时，a ＝ 160，此时三个数为160、161、162，分别满足： 160 ÷ 5 ＝ 32（整数） 161 ÷ 7 ＝ 23（整数） 162 ÷ 9 ＝ 18（整数） 则这三个连续自然数的最小值为160。 考点讲练十四 孙子定理（中国剩余定理) 【典例精讲】（2025六年级上·全国·竞赛）民间流传着一则故事《韩信点兵》，秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚军大将李锋苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人；忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”根据故事中的条件，韩信是如何算出军中将士人数的呢？ 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，韩信的将士的人数除以3，余2；除以5，余3；除以7，余2；利用中国剩余定理，先同时找被3除余2的数，被5除余3的数，被7除余2的数，找到符合条件的最小的数，以后的是一次加上3，5，7的公倍数105，直到加到1000和1100之间。 【完整解答】被3除余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23； 被5除余3的数：3，8，13，18，23； 被7除余2的数：2，9，16，23； 三个条件都符合的最小的数是23 再多次加上3，5，7的公倍数105； 23＋105×10 ＝23＋1050 ＝1073 答：韩信是先找到三个条件都符合的最小数23，再多次加上3，5，7的公倍数105。 【变式训练】（2025六年级上·全国·竞赛）一个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，则这个两位数最小值为______。 【答案】13 【思路引导】根据余数定理，则“加上3后被3除余1”其实用原数还是余1，同理这个两位数除以4也余1，同时考虑取值最小，则这个数就是3、4的最小公倍数再加上1。 【完整解答】3×4＋1 =12+1 ＝13 则这个两位数最小值为13。 考点讲练十五 完全平方数性质 【典例精讲】已知数3拥有一些性质：它恰比某一个完全平方数少1，它的五倍也恰比另一个完全平方数少1： 3＝4－1＝22－1 5×3＝16－1＝42－1 数24是另一个有这些相同性质的数： 24＝25－1＝52－1 5×24＝121－1＝112－1 请问在大于25的数中，有这些性质的最小数是多少？ 【答案】168 【思路引导】根据题意，我们用式子找关系比较方便，据此解题。设有这样性质的数为n，某一个完全平方数为a，另一个完全平方数为b，则有以下式子：n ＝ a2－ 1（a 为正整数），5n ＝ b2 － 1（b 为正整数）。然后再根据n＞25去尝试，知道找到符合条件的最小的数是多少。 【完整解答】设有这样性质的数为n，n ＝ a2－ 1（a 为正整数），5n ＝ b2 － 1（b 为正整数）。 5（a2 － 1） ＝ b2 － 1 即b2 ＝ 5a2 － 4 因为n＞25，且n ＝ a2 － 1 所以a2 － 1 ＞ 25 ， a2 ＞ 26，即a＞ 5 下来从a＝6依次验证： 当a＝6时：b2＝5×36－4＝176，176不是完全平方数，即176不是一个数的平方，不成立； 同理a＝7：b2＝5×49－4＝241，241不是完全平方数，不成立； a＝8：b2＝5×64－4＝316，316不是完全平方数，不成立； a＝9：b2＝5×81－4＝401，401不是完全平方数，不成立； a＝10：b2＝5×100－4＝496，496不是完全平方数，不成立； a＝11：b2＝5×121－4＝601，601不是完全平方数，不成立； a＝12：b2＝5×144－4＝716，716不是完全平方数，不成立； a＝13：b2＝5×169－4＝841，而841＝292，841是完全平方数，符合题意。 即 a＝13，此时：n ＝a2 － 1＝132 － 1 ＝ 169 － 1 ＝ 168 验证：5n ＝b2 － 1 5×168 ＝ 840 ＝841 － 1 ＝292 － 1  ，此时b ＝29。 即n＝ 168符合条件。 答：有这些性质的最小数是168。 【考点剖析】解题关键：我们用式子找关系推导出a2 ＞ 26，从a＝6依次验证，利用b2 ＝ 5a2 － 4求出b的平方，进而求出b， 判断b是不是正整数， 如果b是正整数，则a的取值正确，继续利用n ＝a2 － 1求出n，第一个符合题意的正整数n就是有这样性质的数且最小。 【变式训练】已知n为正整数且 以9009结尾。请问n的最小可能值是多少？ 【答案】1503 【思路引导】题中给出这个平方数的后四位为9009，假设＝根据位值原理可得：＝＋9009＝×10000＋9009＝×＋9×1001，9是一个平方数，若＝9则＝9×＋9×1001＝9×（×＋1001）＝×（×＋1001），如果这个结果是个平方数，则（×＋1001）的结果为平方数， ×＋1001＝×＋1000＋1＝×＋2×500×1＋，根据完全平方公式可得×＝，所以＝×＝×＝ 【完整解答】假设＝根据位值原理可得：＝＋9009＝×10000＋9009＝×＋9×1001，令＝9则＝9×＋9×1001＝9×（×＋1001）＝×（×＋1001）＝×（×＋1000＋1）＝×（×＋2×500×1＋）根据完全平方公式可得＝＋2×500×1＋则×＝，＝×＝×＝，所以的最小可能值为1503。 【考点剖析】本题重点考查平方数的性质，几个平方数相乘结果也是平方数，综合运用乘法分配律和完全平方公式将结果转换为平方数相乘。 考点讲练十六 等量关系与方程 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如下表： 收费方式 月用水量/m3 单价（元/m3） 第一阶梯 0～15 4.5 第二阶梯 15～20 6 第三阶梯 20以上 8 注： ①公摊水费：每户每月10元； ②每月实际应交水费＝阶梯水费＋公摊水费。 （1）若小明家某月用水18立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？ （2）已知某户居民某月的实际应交水费为187.5元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？ （3）若某户某月实际应交水费平均每立方米6.5元，求该户该月用水量。 【答案】（1）95.5元 （2）30立方米 （3）5或35立方米。 【思路引导】（1）利用小明家该月实际应交水费＝15×4.5＋超过15立方米的部分×6＋公摊水费，即可求出结论； （2）设这户居民的该月用水量是x立方米，根据该户居民某月的实际应交水费为187.5元，可列出关于x的方程，解之即可得出结论； （3）设该户该月用水量是y立方米，分0＜y≤15，15＜y≤20及y＞20三种情况考虑，根据该户该月实际应交水费平均每立方米6.5元，可列出关于y的方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论。 【完整解答】（1）根据题意得：15×4.5＋（18－15）×6＋10 ＝15×4.5＋3×6＋10 ＝67.5＋18＋10 ＝95.5（元）。 答：小明家该月实际应交水费95.5元； （2）设这户居民的该月用水量是x立方米， ∵15×4.5＋（20－15）×6＋10＝107.5，107.5＜187.5， ∴x＞20 根据题意得：15×4.5＋（20－15）×6＋8（x－20）＋10＝187.5， 解得：x＝30 答：这户居民的该月用水量是30立方米； （3）设该户该月用水量是y立方米， 当0＜y≤15时，4.5y＋10＝6.5y， 解得：y＝5； 当15＜y≤20时，15×4.5＋6（y－15）＋10＝6.5y， 解得：y＝﹣25（不符合题意，舍去）； 当y＞20时，15×4.5＋（20－15）×6＋8（y－20）＋10＝6.5y， 解得：y＝35 答：该户该月用水量是5或35立方米。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）用❈表示一种运算符号，如果x❈y，且2❈1，求3❈1的值。 【答案】 【思路引导】根据新运算x❈y，且2❈1，再根据解方程的方法进一步求出A。进而求得3❈1的值即可。 【完整解答】因为：x❈y，且2❈1， 所以： 3＋3A＝12 3＋3A﹣3＝12﹣3 3A＝9 3A÷3＝9÷3 A＝3 所以：3❈1 考点讲练十七 二元一次方程组 【典例精讲】解方程组。 【答案】 【思路引导】本题可以用带入消元法来解这个一元二次方程。根据题意可知，将这个算式代入到下面的算式，即可得到：。由此即可解出x是多少，再代入到第一个算式中，就可以求出y是多少。 【完整解答】解：将代入到下面的算式，可得： 即： 将代入到第一个算式中，可得： 因此这个二元一次方程组的解为。 【变式训练】若是一组全由1或2组成的数，且 则_______。 【答案】202 【思路引导】由可得 ；已知这一组全由1或2组成的数，可设有m个1，n个2，因为这一组一共有（m＋n＝2023①）个数，且（m＋2n＝2225②），通过①②可以解答出m和n的值，最后代入式子中化简求值即可解答。 【完整解答】因为， ， 所以。 设中有m个1，n个2，则m＋n＝2023①，m＋2n＝2225②，通过①可得m＝2023－n把它代入②中得：2023－n＋2n＝2225，解得n＝202，则m＝2023－202＝1821。 因此这一组数中有1821个1，有202个2。 无论中哪个数是1，哪个数是2，均有： 因此。 【考点剖析】解答本题的关键是能结合数字的特征及算式的变形，通过已知的条件计算出这一组数中1和2的个数。 考点讲练十八 不定方程的分析求解 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵。两班人数之和最多为( )人。 【答案】37 【思路引导】可以设一班有x人，二班有y人，即根据数关系式：一班种树的棵树＋二班种树的棵树＝115得出方程3x＋5y＝115。则y＝，由于人数是整数，则115－3x能被5整除。再分情况讨论即可。 【完整解答】解：设一班有x人，二班有y人。 3x＋5y＝115 当x＝0时，y＝＝23 总和：0＋23＝23（人） 当x＝5时，y＝＝20 总和：5＋20＝25（人） 当x＝10时，y＝＝17 总和：10＋17＝27（人） 当x＝15时，y＝＝14 总和：15＋14＝29（人） 当x＝20时，y＝＝11 总和：20＋11＝31（人） 当x＝25时，y＝＝8 总和：25＋8＝33（人） 当x＝30时，y＝＝5 总和：30＋5＝35（人） 当x＝35时，y＝＝2 总和：35＋2＝37（人） 两班人数之和最多为37人。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）某水池装有三个进水管，单独开放甲管24小时可以灌满，单独开放乙管30小时可以灌满；如果按甲，乙，丙的顺序轮流开放各1小时，然后循环往复持续下去，则29小时可以灌满；如果同时打开甲，乙，丙三管，分别开放a，b，c小时（这里a，b，c均为整数），那么，至少需要( )小时恰好灌入半池水。 【答案】6 【思路引导】根据甲乙丙三水管开放29小时灌满水池，且甲乙丙轮流各开放1小时可以求出29个小时里面，甲和乙各开放了10小时，丙开放了9小时，据此求出丙的工作效率，然后根据题意可知甲的工作效率×a＋乙的工作效率×b＋丙的工作效率×c＝，据此求出满足题意的a、b、c即可。 【完整解答】29÷3＝9（小时）……2（小时） 即甲和乙水管各开放了9＋1＝10（小时），丙水管开放了9小时 1÷24＝ 1÷30＝ 1－－ ＝1－－ ＝ 即丙水管9小时灌了水池的水，所以丙管的工作效率是 即单独开放丙管36小时可以灌满。 根据题意可得： 即 所以30a＋24b＋20c＝360 即15a＋12b＋10c＝180 因为甲管工作效率最高，考虑180÷15＝12，即尽量让a最大： 即当a＝12时，甲管工作12小时，乙管、丙管都不用开放即可灌满水池的一半，不符合甲、乙、丙三水管同时开放的条件； 当a＝11时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180； 当a＝10时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180； 当a＝9时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180； 当a＝8时，b＝5，c＝0，不符合甲、乙、丙三水管同时开放的条件； 当a＝7时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180； 当a＝6时，b＝0，c＝9，不符合甲、乙、丙三水管同时开放的条件； 当a＝6时，b＝5，c＝3，符合甲、乙、丙三水管同时开放的且a、b、c均是整数而且15a＋12b＋10c＝180，此时至少需要6小时； 当a＝5时，没有办法找到b和c为整数的情况满足15a＋12b＋10c＝180； 当a＝4时，b＝5，c＝6，符合甲、乙、丙三水管同时开放的且a、b、c均是整数而且15a＋12b＋10c＝180，此时至少需要6小时； 再枚举下去，找不到比6小时更小的时间了。即至少需要6小时。 所以如果同时打开甲，乙，丙三管，分别开放a，b，c小时（这里a，b，c均为整数），那么，至少需要6小时恰好灌入半池水 【考点剖析】本题考查了工程问题的应用。属于不定方程整数解的情况，写出不定方程并解答，是解决此题的关键。 考点讲练十九 不等方程的分析求解 【典例精讲】（2025六年级上·全国·竞赛）七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是几？ 【答案】142 【思路引导】这七个数都是这个公约数的不同倍数，因此可以设这个最大公约数为x，则这七个不同的三位数分别为x，2x，3x，……7x，再根据这是七个不同的三位数，因此这七个数的取值一定是大于或者等于100，且小于1000，据此即可确定最大公约数x的取值范围，从而求出x最大是多少。 【完整解答】解：设这个最大公约数为x，则这七个不同的三位数至少为x，2x，3x，……7x。 由题意可知： 解得：， 因此x最大是142。 答：七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是142。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）在一列数：，，，，，，…中，从( )开始，1与每个数之差都小于。 【答案】 【思路引导】这列数的每个数的分子为首项为 1，公差为 2的等差数列，则第n个分数的分子：2n－1；这列数中每个分数的分母比分子大 2，则第n个分数的分母：2n＋1；即第n个分数可以表示为：是一个递增的数列，要使，得出n的取值即可。 【完整解答】 当n=1000时， 从开始，1与每个数之差都小于。 1．下图是一个三角形数阵，其中数阵两侧的数比上一行大1，里面的每一个数都是它上一行与之相邻的两个数的和。这个数阵的前8行的和除以7的余数是（    ）。 A．0 B．2 C．4 D．6 E．以上都不对 【答案】C 【思路引导】第一行为：；第二行的和为：；第三行的和为：；第四行的和为：，依次类推可得第行的和为；每行数的和除以7的余数分别为：0、2、6、0、2、6，可得余数周期为3，根据除数相同时余数的性质可得前8行的和除以7的余数等于前8行每行的和除以7的余数相加的和除以7的余数即：；所以前8行的和除以7的余数为4。 【完整解答】从第一行开始每行中数的和分别为：0、2、6、14、30， 可得每行和的规律为：第行和为， 每行数的和除以7的余数规律为：0、2、6、0、2、6， 根据除数相同时余数的性质可得前8行的和除以7的余数等于前8行每行的和除以7的余数相加的和除以7的余数即：， 所以前8行的和除以7的余数为4。 故答案为：C 【考点剖析】本题重点考查数论问题中余数的性质，利用余数的可加性：几个数的和除以一个数的余数等于每个加数分别除以这个数的余数的和来解决问题。 2．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，它的构成规律是：前两个数分别是1，第3个数等于第1个与第2个数之和：；第4个数等于第2个与第3个数之和：；第5个数等于第3个与第4个数之和：；第6个数等于第4个与第5个数之和：…依次类推。这列数中的第2023个数被7除的余数是（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 E．2 【答案】A 【思路引导】这道题是斐波那契数列的余数问题，直接算第 2023 个数太大了，我们可以先找余数的循环规律，用规律来算，就会简单很多。 【完整解答】我们把数列里的数一个个除以 7，看看余数是多少： 第 1 个数：1 ÷ 7 余 1； 第 2 个数：1 ÷ 7 余 1； 第 3 个数：2 ÷ 7 余 2； 第 4 个数：3 ÷ 7 余 3； 第 5 个数：5 ÷ 7 余 5； 第 6 个数：8 ÷ 7 余 1； 第 7 个数：13 ÷ 7 余 6； 第 8 个数：21 ÷ 7 余 0； 第 9 个数：34 ÷ 7 余 6； 第 10 个数：55 ÷ 7 余 6； 第 11 个数：89 ÷ 7 余 5； 第 12 个数：144 ÷ 7 余 4； 第 13 个数：233 ÷ 7 余 2； 第 14 个数：377 ÷ 7 余 6； 第 15 个数：610 ÷ 7 余 1； 第 16 个数：987 ÷ 7 余 0； 第 17 个数：1597 ÷ 7 余 1； 第 18 个数：2584 ÷ 7 余 1； 第 17、18 个数的余数又变成了 1、1，和最开始一样，说明余数开始循环了。 因此周期长度是：1，1，2，3，5，1，6，0，6，6，5，4，2，6，1，0 2023÷16＝126 …… 7 这说明第 2023 个数的余数，和循环里第 7 个余数是一样的，即余数为6。 故答案选A 【考点剖析】①当数列里的数越来越大时，先算它们除以某个数的余数，很可能会出现循环，用循环规律就能轻松解决。 ②一定要等开头的两个余数再次出现，才能确定完整的循环周期。 3．鹏鹏在书市上买了数学、童话、英语书共7册。其中童话书、英语书都比数学书多，鹏鹏买了数学书（    ）册。 A．2 B．1 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【思路引导】已知数学书、童话书、英语书共7册，则7＝2＋2＋3＝1＋3＋3＝4＋2＋1＝5＋1＋1，其中童话书和英语书都比数学书多，则7＝3＋3＋1＝4＋2＋1都符合条件，不管哪种情况，数学书都是1册。 【完整解答】根据鹏鹏买的数学书、童话书、英语书共7册其中童话书和英语书都比数学书多可知：7＝3＋3＋1＝4＋2＋1符合条件，则数学书买了1册。 故答案为：B 4．（2025·湖北武汉·小升初真题）对于一个自然数，用与这个数互质且大于2的最小自然数替换这个数，称为一次“互质替换”，在黑板上任意写出一个大于2025的自然数，反复进行“互质替换”，最多经过______次“互质替换”首次出现3。 【答案】2 【思路引导】明确“互质替换”的含义。根据不同类型自然数判断“互质替换”的情况，确定最多经过的“互质替换”次数 【完整解答】根据“互质替换”的定义，每次替换得到的数是与原数互质且大于 2 的最小自然数。我们要找大于2的自然数，首先考虑3。 第一步：判断何时替换结果为3。如果当前的数不是3的倍数，那么它与3的公因数只有 1，即它们互质。因为3是大于2的最小自然数，所以替换后的结果就是3。如果当前的数是3的倍数，那么它与3的公因数至少有3，即它们不互质。所以替换后的结果一定不是 3。 第二步：分析替换过程。 情况一：如果在黑板上写出的数不是3的倍数。根据第一步的分析，经过1次“互质替换”，得到的数就是3。 情况二：如果在黑板上写出的数是3的倍数。第一次替换：因为原数是3的倍数，所以替换后的数与原数互质，那么这个替换后的数一定不是3的倍数（否则它们就有公因数3）；第二次替换：因为第一次替换后的数不是3的倍数，根据第一步的分析，它与3互质，所以第二次替换得到的数就是3。 第三步：得出结论，无论起始数是多少，只要它是3的倍数，最多经过2次替换就能得到 3；如果它不是3的倍数，经过1次替换就能得到3。 题目要求“最多”经过多少次，且起始数大于2025，找到大于 2025 且是 3 的倍数的数，例如 2028，所以最多经过2次。 5．（25-26六年级上·河北保定·期末）若n是不为0的自然数，它的倒数是( )；当时，m与它的倒数的和是( )；两个质数的倒数的和是，n是其中一个质数，n可能是( )。 【答案】 5或7 【思路引导】倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。 对于不为0的自然数n，满足 ＝ 1，因此n的倒数是；因为时，所以m＝1÷＝，所以m的倒数就是，然后再把它们加起来；设两个质数分别是a、b，根据题意：，分解35的因数：35＝5×7，且5＋7＝12，5和7都是质数，所以n可能是5或7。 【完整解答】根据分析得出：若n是不为0的自然数，它的倒数是（）；当时，m与它的倒数的和是（）；两个质数的倒数的和是，n是其中一个质数，n可能是（5或7）。 6．请求出下列m的所有可能值，已知m是不超过2022的正整数，2022＋m能整除2022m，求m等于_______。 【答案】 1011或2022/2022或1011 【思路引导】已知2022＋m能整除2022m，因此可以设2022m＝n（2022＋m），然后通过变形求出m、n的值即可。 【完整解答】设2022m＝n（2022＋m） 则2022m＝2022n＋mn， 2022（m－n）＝mn， 所以， 即， 2022＝2×3×337，因此2022的因数中差为1的数是1和2、2和3， 所以或者 因此即可得到m等于2022或1011。 7．任意m个连续自然数中，若必有一个数的各位数字之和是6的倍数，那么m最小是____。 【答案】 9 【思路引导】要保证任意m个连续自然数中必有一个数的各位数字之和是6的倍数，由于6＝2×3，因此这个数的各位数字之和必须同时是3和2的倍数。数字和是3的倍数当且仅当该数是3的倍数，因此这个数的各位数字之和必须是3的偶数倍。然后依次进行验证即可。 【完整解答】符合题意的最小自然数为6，但是在7～14这8个中没有一个数的各位数字之和为6的倍数，所以可知m≥9。又已知在9个连续自然数中，必有三个数为3的倍数，从而它们的各位数字之和也为3的倍数。设这三个数为a、a＋3、a＋6， 若a＋3各位数字之和没有发生进位，则a与a＋3的数字和为一奇一偶； 若a＋3各位数字之和发生了进位，则a＋3与a＋6的数字和为一奇一偶。 所以这三个数中至少有一个数的各位数字之和为偶数且为3的倍数，从而它的数字和是6的倍数。 因此m最小为9。 8．除2以外，所有的质数都是奇数。( ) 【答案】√ 【思路引导】奇数就是不能被2整除的数，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。 【完整解答】除了2以外所有的质数的因数只有1和它本身，即没有因数2，为奇数。例：3、5、7、11、…都是质数且是奇数。 故答案为：√ 9．1是奇数，它既不是质数，也不是合数。( ) 【答案】√ 【思路引导】不是2的倍数的数叫奇数，只有1和本身两个因数的数叫质数，除了1和本身还有别的因数的数叫合数，据此判断即可。 【完整解答】1不是2的倍数，所以1是奇数；1只有因数1，只有1个因数，所以它既不是质数，也不是合数。 故答案为：√ 【考点剖析】解答此题需要掌握奇数、质数、合数的意义。 10．A是质数，A+1就一定不是质数．( ) 【答案】× 【完整解答】A是质数，A+1就一定不是质数，说法错误，例如2是质数，2+1＝3，3是质数； 故答案为×． 11．（2025六年级上·全国·竞赛）求20132013除以4和8的余数分别是多少？ 【答案】1；5 【思路引导】一个数除以4的余数等于其末两位数除以4的余数；一个数除以8的余数等于其末三位数除以8的余数。 【完整解答】20132013的末两位数是13 13÷4＝3……1 所以20132013除以4的余数是1； 20132013的末三位数是013 13÷8＝1……5 所以20132013除以8的余数是5。 12．（2025六年级上·全国·竞赛）已知429、791、500被某自然数除所得的余数分别是a＋5、2a、a，求该自然数及a的值。 【答案】19；a＝6 【思路引导】将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：（429－5）×2＝848，791，500×2＝1000，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故可用同余定理，两两作差，找公因数即可求解。 【完整解答】由题可知（429－5）×2＝848，791，500×2＝1000，三者同余 则848－791＝57，1000－848＝152，57与152公因数为19，所以这个自然数为19的因数，显然1不合题意，故此数为19； 此时所得余数分别为11、12、6，故a＝6 【考点剖析】将被除数进行放大或加减，使得余数相同，把不同余问题，转化为同余问题，再两两作差找公因数是解决此题的关键。 13．（2025六年级上·全国·竞赛）求512345676除以99的余数是多少？ 【答案】84 【思路引导】除数为99系列的求余问题，利用两位截断求和取余法，将原数从右往左，两位数为1段，分成若干个数，再将这些数相加求和，计算和与99相除的余数即可。 【完整解答】从该数的右往左，两位数为一截，将该数截断为5、12、34、56、76共5段 将这5个数求和，即5＋12＋34＋56＋76＝183； 183÷99＝1……84 512345676÷99的余数是84。 14．张经理、李经理、刘经理三人乘飞机出差，三人携带的行李重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李托运费，三人共付了90元，而三人行李共重65千克。如果三人的行李只由一人携带，除免费部分外，应另付行李托运费810元。求每人可免费携带的行李重量是多少千克？ 【答案】 20千克 【思路引导】首先需要理解行李托运费用的计算基于超重部分的重量，且每千克超重费用相同。三人各自携带行李时，总免费行李重量为三人免费额度的总和；行李由一人携带时，免费额度仅为一个人的额度。通过设立超重费用和超重重量的关系，列出方程组，并求解得到每人可免费携带的行李重量。 【完整解答】解：设每人可免费携带的行李重量为 千克，超重行李每千克需付 元。 三人行李总重 65 千克，总免费行李重量为 千克，因此总超重重量为（ ）千克。三人共付托运费 90 元，可得方程： 如果行李由一人携带，免费行李重量为 千克，超重重量为（ ）千克，需付托运费 810 元，可得方程： 将方程 （2） 除以方程 （1）： 答：每人可免费携带的行李重量是 20 千克。 15．小夏搭乘一辆公交车在一条公路上以恒速行驶，公路上有标有km数的里程牌，它标明与公路起点的距离（以km为单位）。下图为两块里程牌的范例。在小夏睡着前一刻，他注意到公交车经过一块里程牌，牌上写着一个二位数。恰经过一个小时后，小夏睁开眼睛，看到公交车经过另一块里程牌，上面写着一个三位数，此时他注意到该里程牌上三位数的第一位数码等于他睡着前看到的数之第二位数码、三位数的第二位数码是0、三位数的第三位数码等于他睡着前看到的数之第－位数码。然后小夏又恰睡了两个小时才醒来，这时他看到公交车经过另一块里程牌，上面的数与他注意到的第二个里程牌上的数几乎相同，只是第二个数码被另一个数码取代。请问这辆公交车的速度是多少km/h？ 【答案】45km/h 【思路引导】根据题意，先将3个里程碑上的数字用字母表示出来，然后根据位值原理及第2个里程牌与第1个里程牌的差即可求出该公交车行驶1小时的距离，最后根据第三个里程牌与第二个里程牌的差即可求出该公交车行驶2小时的距离即可。 【完整解答】解：设第一个里程牌上的数是， 则由题意知第二个里程牌上的数字是， 第三个里程牌上的数字是，且c≠0，得： 公交车行驶1小时的距离： ＝（100b＋a）－（10a＋b） ＝99b－9a ＝9（11b－a） 公交车行驶2小时的距离： ＝（100b＋10c＋a）－（100b＋a） ＝10c 故5c＝9（11b－a）， 因此可知c能被9整除所以c＝9， 所以公交车行驶1小时的距离是5×9＝45（km） 答：这辆公交车的速度是45km/h。 【考点剖析】此题关键是设小夏看到的里程数分别为、、，且c≠0；然后根据位值原理以及题干中的等量关系即可列等式求解。 学科网（北京）股份有限公司 $