第十三讲 计数(拓展提高奥数篇）10个考点讲练+能力提升练 共45题-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十三讲 计数『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【10个考点讲练+能力提升练 共45题】 ［解析版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 1 考点讲练一 平面图形计数 1 考点讲练二 立体图形计数 3 考点讲练三 加法原理 5 考点讲练四 乘法原理 7 考点讲练五 排列组合 8 考点讲练六 容斥原理 11 考点讲练七 抽屉原理 12 考点讲练八 统计与概率 14 考点讲练九 递推法计数 16 考点讲练十 对应法计数 18 能力提升 过关检测 20 考点讲练一 平面图形计数 【典例精讲】（2024六年级下·贵州遵义·竞赛）如图中有( )个三角形。 【答案】64 【思路引导】依次列举出单个的三角形个数，两个三角形组合而成的三角形个数，三个三角形组合而成的三角形个数，四个三角形组合而成的三角形个数，八个三角形组合而成的三角形个数，十二个三角形组合而成的三角形个数，最后相加求和即可解决。 【完整解答】单个的三角形个数：24个； 两个三角形组合而成的三角形个数：20个； 三个三角形组合而成的三角形个数：8个； 四个三角形组合而成的三角形个数：4个； 八个三角形组合而成的三角形个数：4个； 十二个三角形组合而成的三角形个数：4个； 24＋20＋8＋4×3 ＝44＋8＋12 ＝52＋12 ＝64（个） 因此图中一共有64个三角形。 【变式训练1】（2024六年级·全国·竞赛）如图，由若干个小等边三角形构成，其中每个三角形的顶点都被称为格点，则以图中的格点为顶点的等边三角形有( )个。 【答案】66 【思路引导】可以分成1个三角形组成，4个三角形组成，9个三角形组成； 如图，在每个六边形中，有2个正三角形，有7个小六边形和1个大六边形，这样的三角形有16，从大六边形内的一点有2个正三角形，这样的点有6个，这样的三角形就有12个，最后相加即可。 【完整解答】1个三角形组成：24个； 4个三角形组成：12个； 9个三角形组成：2个 24＋12＋2＋16＋12＝66（个） 则以图中的格点为顶点的等边三角形有66个。 【变式训练2】（2024六年级·广东深圳·竞赛）如图中的9个点在2×2方格的格点处，请你用线段连接任意两个格点，如果所连的线段内部不经过其它格点，这样的线段称为“简单线段”，共可连接出（    ）条“简单线段”。 A．64 B．72 C．36 D．28 E．21 【答案】D 【思路引导】根据题意分类来列举，先列举出横向的“简单线段”有多少条，再列举竖向的“简单线段”有多少条，最后列举出斜向的“简单线段”有多少条，相加求和即可求出共可连接出多少条“简单线段”。 【完整解答】横向：6条； 竖向：6条； 斜向：16条； 一共：6＋6＋16＝28（条） 故答案为：D 考点讲练二 立体图形计数 【典例精讲】（2025六年级·贵州遵义·竞赛）一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有（    ）个。（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体） A．41 B．25 C．15 D．40 【答案】A 【思路引导】要解决这个问题，我们需要先对长方体的体积2310进行质因数分解，然后根据质因数的组合来确定不同的长方体边长组合。 【完整解答】质因数分解：2310＝2×3×5×7×11。 质因数的个数分为（0、0、5）、（0、1、4）、（0、2、3）、（1、1、3）和（2、2、1）五种情况组合： （0、0、5）即长宽高分别是1、1、2310，这1种情况； （0、1、4），即其中有一条棱长为1，有5种情况； （0、2、3），即其中有一条棱长为1，有C＝10（种）情况； （1、1、3），即一个棱长含有3个质因数，另两个棱长各含有1个质因数，共有C＝10（种） 情况； （2、2、1），即一个棱长含有1个质因数，另两个棱长各含有2个质因数，选一个单独的质因数有5种选法，然后把剩下的4个质因数分成两组，有3种分法，共有5x3＝15（种）情况； 综上所述，1＋5＋10＋10＋15＝41（个）。 这样的长方体有41个。 故答案为：A 【变式训练1】（2024六年级·广东深圳·竞赛）用一些棱长是1的小正方体堆放成一个体积尽可能小的立方体，从上向下看这个立方体，如图7a，从正面看这个立体，如图7b，则这个立方体至少有（    ）个小正方体。 A．12 B．11 C．10 D．9 E．8 【答案】C 【思路引导】从上面看，可知这个图形的下层至少有8个小正方体，从正面看，这个图形的上层至少有2个小正方体，据此即可解答问题。 【完整解答】8＋2＝10（个） 所以这个立方体至少有10个小正方体。 故答案选：C 【变式训练2】用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。 【答案】50 【思路引导】从上往下，总共4层，数出每一层的小正方体的个数，相加得到总数。 【完整解答】第一层：7个； 第二层：7＋5＝12个； 第三层：3＋12＝15个； 第四层：1＋15＝16个； 7＋12＋15＋16＝50（个） 【考点剖析】本题考查的是立体几何计数问题，在分层计数的时候，可以利用相邻两层的关系求解问题。 考点讲练三 加法原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）如图为一幅街道图，从出发经过十字路口，但不经过走到的不同的最短路线有多少条？ 【答案】18条 【思路引导】题中要求从A经过B但是不经过C到D点，先从A标数到B，向上或者向右标数，从A向上的两个点每个点标1，从A向右的两个点每个点标1，从A到B之间的点对应的数等于这个点下面和左面的数的和，根据加法原理，逐步求出每个点的走法数；然后再从B标数到D，要求不经过C点，其中C处不标数或者标0，从B点向上走，依次标出上面的点到D点之间每个点的走法数，整个过程，只有向上、向右是允许的。 【完整解答】 答：从出发经过十字路口，但不经过走到的不同的最短路线有18条。 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）如图，某城市的街道由五条东西向马路和七条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B处，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？ 【答案】120种 【思路引导】求从A到B的最短路线的数量，顺序判断方向，向上、向右是允许的，另外两个方向是不允许的，从A开始依次标数，任意一点的路线数等于它左边的点路线数＋它下边的点路线数，在每个交叉点标注出从A到该点的路线总数，逐步推导至B点。根据题意，C点不允许通过，所以可以把C点上的数看作0。 【完整解答】采用标数法，如图所示，共有120种。 答：有120种不同走法。 【考点剖析】标数法的核心原理： 1.最短路线的要求：只能沿固定方向走（比如本题只能向右/向上，不能走回头路），否则路线就不是最短。 2.任意一个交叉点的路线数＝能到达它的前一个点的路线数之和。 另外，在遇到有障碍物的最短路线问题，用标数法计数时，要把障碍物所在点的数看作0来做。 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）在图中，从甲地到乙地最近的道路共有多少条？ 【答案】10条 【思路引导】从甲到乙如果要路线最近，则只能向右或者向下走。甲点及甲点所在的列和行上的点标1，到这些点的最近走法都是只有1种，接下来每个点的数字等于它左边和上面的数字之和，根据加法原理，逐步求出每个点的走法数。 【完整解答】 答：从甲地到乙地最近的道路共有10条。 考点讲练四 乘法原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？其中偶数有多少个？ 【答案】120个；48个 【思路引导】用2、3、4、5、7这5个数字组成无重复数字的四位数需要分步确定每一位上的数字，最高位千位上的数字有5种选择，百位数字有4种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，根据乘法原理，每种可能性相乘可得结果；组成偶数需优先确定个位数字，个位数字可以是2或者4，共2种选择，确定完个位，千位从剩下的4个数中任选一个，百位从剩下的3个数中任选一个，十位从剩下的2个数中任选一个，根据乘法原理，每个数位上数的可能性相乘可得结果。 【完整解答】（1）无重复数字的四位数：5×4×3×2＝120（个） （2）四位数中偶数个数：2×4×3×2＝ 48（个） 答：可以组成120个无重复数字的四位数，其中偶数有48个。 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）一个篮球队，五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，C不能做中锋，D不能做控球后卫，而其余3个可以分配到五个位置的任何一个上，共有多少种不同的站法？ 【答案】78种 【思路引导】先找特殊位置，队员 C 不能做中锋，队员 D 不能做控球后卫。去掉C，从剩余四名队员中选择1个人做中锋，剩余4个位置分别有4种选择，3种选择，2种选择，1种选择，根据乘法原理，每个位置的选择相乘计算结果，但是需要排除这些结果中D正好做了控球后卫的站法，如果D做控球后卫，则中锋有除了C和D剩余的3种选择，其余3个位置分别有3种选择，2种选择，1种选择，根据乘法原理，每个位置的选择相乘计算结果，用两次结果相减就是所有不同的站法。 【完整解答】（5－1）×4×3×2×1－（5－2）×1×3×2×1 ＝4×4×3×2×1－3×3×2×1 ＝96－18 ＝78（种） 答：共有78种不同的站法。 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）用6，2，7，0四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 【答案】18个 【思路引导】组成三位数时，最高位（百位）不能为 0。因此百位只能从 6、2、7 这三个非零数字中选择，有3种选法；确定百位数字后，十位从剩下的3个数字中选择1个，有3种选法；个位从剩余的2个数字中选择1个，有2种选法。根据乘法原理，将各数位的选择可能性相乘即可得出结果。 【完整解答】4－1＝3 3×3×2＝18（个） 答：用 6，2，7，0 四个数字可以组成 18 个不同的三位数。 考点讲练五 排列组合 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽安庆·期末）在一次演讲比赛后，参赛的队员每两人之间互相握手一次，一共握手21次，参赛选手共( )人。 【答案】7 【思路引导】每两人握手一次，总握手次数等于“人数×（人数－1）÷2”。因为每次握手会被两人各算一次，所以总次数的2倍等于“人数×（人数－1）”。 【完整解答】21×2＝42（次） 7×（7－1） ＝7×6 ＝42（次） 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，欣欣从中任意拿出6个球，共有多少种不同的取法？ 【答案】18种 【思路引导】本题用小学枚举法解答，默认同颜色球不区分，按取出红球的数量分类讨论： 袋中一共只有3个红球，因此红球的取出数量只能是0、1、2、3，再对应计算剩下需要取的黄球＋白球的组合数： 【完整解答】根据题意，取出的红球、黄球、白球总数为6个，且红球不超过3个，黄球不超过4个，白球不超过5个。 采用枚举法，按取出红球的数量进行分类讨论： 1. 当取出0个红球时：    黄球和白球共6个。    因白球最多5个，故黄球至少1个；因黄球最多4个，故黄球可取 1、2、3、4 个。    对应的白球分别为 5、4、3、2 个。    此情况共有4种取法。 2. 当取出1个红球时：    黄球和白球共5个。    因白球最多5个，故黄球至少0个；因黄球最多4个，故黄球可取 0、1、2、3、4 个。    对应的白球分别为 5、4、3、2、1 个。    此情况共有5种取法。 3. 当取出2个红球时：    黄球和白球 4个。    因白球最多5个，故黄球至少0个；因黄球最多4个，故黄球可取 0、1、2、3、4 个。    对应的白球分别为 4、3、2、1、0 个。    此情况共有5种取法。 4. 当取出3个红球时：    黄球和白球共3个。    因白球最多5个，故黄球至少0个；因黄球最多4个，且总数为 3，故黄球可取 0、1、2、3 个。    对应的白球分别为 3、2、1、0 个。    此情况共有4种取法。 综合以上情况，共有： 4＋5＋5＋4＝18（种） 答：共有18种不同的取法。 【考点剖析】枚举法、分类讨论：红球的取出数量只能是0、1、2、3，再对应计算剩下需要取的黄球＋白球的组合数。 【变式训练2】给定一个正六边形从它的6个顶点中选择3个顶点可以构造出三角形。在所有可能构造出的三角形中发现： ●共有L个锐角三角形； ●共有M个直角三角形； ●共有N个钝角三角形。 两个三角形若至少有一个不同的顶点即使它们全等也视为不同的三角形。请问L×M×N的值是多少？ 【答案】144 【思路引导】通过枚举所有三角形，并根据正六边形内角及对称性，直接判断三角形的类型（锐角、直角、钝角），再统计数量计算乘积。 【完整解答】根据组合数公式可得， 三角形的个数一共有：（个）； 依序将六个顶点标记上A、B、C、D、E、F，如图所示； 观察可知锐角三角形仅有2个：ACE与BDF。故L＝2； 直角三角形共有12个：ABD、ABE、ACD、ACF、ADE、ADF、BCE、BCF、BDE、BEF、CDF、CEF。故M＝12； 钝角三角形共有6个：ABC、ABF、AEF、BCD、CDE、DEF。故N＝6； 因此L×M×N＝2×12×6＝24×6＝144。 答：L×M×N的值是144 【考点剖析】重点考察对三角形按角分类的判定能力，注意正六边形的对称性可以简化枚举过程，但必须逐一验证每个三角形的最大角类型。 考点讲练六 容斥原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）有A、B、C三种书，至少读过一种的有58人，读过A书的有32人，读过B书的有24人，读过C书的有27人，读过A、B两书的有10人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有14人，三种书均读过的有多少人？ 【答案】8人 【思路引导】根据容斥原理，总人数 ＝ 读过 A 人数 ＋ 读过 B 人数 ＋ 读过 C 人数－读过 A、B 人数－读过 B、C 人数－读过 A、C 人数 ＋ 三种均读人数；则：三种书均读人数 ＝ 总人数－（读过 A 人数 ＋ 读过 B 人数 ＋ 读过 C 人数－读过 A、B 人数－读过 B、C 人数－读过 A、C 人数）。 【完整解答】58－（32 ＋ 24 ＋ 27－10－9－14） ＝ 58－（83－33） ＝ 58－50 ＝ 8 （人） 答：三种书均读过的有 8 人。 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）有100名同学回答A、B两个问题。都没有答对的有10人，答对A的有75人，答对B的有83人，只答对一题的共有多少人？ 【答案】22人 【思路引导】本题考查集合中的重叠问题（容斥原理）。首先，总人数－都没有答对的人数＝至少答对一道题的人数； 其次，答对A和答对B的人数加起来，其中两题都答对的被重复计算了1次，所以需要减去至少答对一道题的人数，即：答对 A 题的人数＋答对 B 题的人数－至少答对一道题的人数＝两道题都答对的人数（即重叠部分）； 最后，至少答对一道题的人数－两道题都答对的人数＝只答对一题的人数。 【完整解答】至少答对一道题的人数：（人） 两道题都答对的人数：（人） 只答对一题的人数：（人） 答：只答对一题的共有 22 人。 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）某校五年一班有40人，其中有28人参加了数学小组，30人参加了外语小组，有6人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人？ 【答案】24人 【思路引导】本题考查集合中的重叠问题。首先利用总人数－两个小组都没有参加的人数＝至少参加一个小组的人数；然后将参加数学小组和外语小组的人数相加，此时两个小组都参加的人数被重复计算了一次。最后用两组人数之和－减去至少参加一个小组的人数＝两个小组都参加的人数。 【完整解答】28＋30－（40－6） ＝28＋30－34 ＝58－34 ＝24（人） 答：两个小组都参加的有 24 人。 考点讲练七 抽屉原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）有19本书，分成5份，如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？ 【答案】5种 【思路引导】本题考查整数拆分与列举法的应用。 解题思路是先求出满足“每份至少一本且本数都不相同”这一条件时，5 份书的最小总本数。 总本数－最小总本数＝剩余可分配的本数。 然后通过有序列举的方法，固定前几份的数量，推导后几份的数量，确保每份本数不相同且不重复、不遗漏，从而统计出所有可能的分法。 【完整解答】1. 计算满足条件的最小总本数： 要使 5 份书的本数都不相同且每份至少 1 本，最小的 5 个不同正整数分别是 1、2、3、4、5。 （本） 2. 计算剩余可分配的本数： （本） 3. 利用列举法确定具体分法： 将剩余的 4 本书分配到各份中，需保持每份本数不相同。按从小到大的顺序有序列举： （1）当前 3 份分别为 1、2、3 本时，后 2 份之和为： （本） 满足大于 3 且不相同的两个数之和为 13 的组合有： ① 4 和 9，即：1、2、3、4、9 ② 5 和 8，即：1、2、3、5、8 ③ 6 和 7，即：1、2、3、6、7 （2）当前 3 份分别为 1、2、4 本时，后 2 份之和为： （本） 满足大于 4 且不相同的两个数之和为 12 的组合有： ④ 5 和 7，即：1、2、4、5、7 （注：6 和 6 本数相同，不符合题意） （3）当前 3 份分别为 1、3、4 本时，后 2 份之和为： （本） 满足大于 4 且不相同的两个数之和为 11 的组合有： ⑤ 5 和 6，即：1、3、4、5、6 （4）若第 1 份为 2 本，最小总和为： （本） ，不符合题意。 4. 统计总数： 综上所述，一共有 5 种不同的分法。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31人轮流从袋中取球，每人各取3个球，至少有（    ）人取出的球的颜色完全相同。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 【思路引导】根据题意每人取3个球，球的颜色有三种，共有10种不同的颜色搭配：红红红，白白白、蓝蓝蓝，红红蓝、红红白、白白红、白白蓝、蓝蓝红、蓝蓝白、红白蓝； 所以，（人），（人）；至少有4人取出的球的颜色完全相同。据此解答。 【完整解答】根据分析可得： 口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31人轮流从袋中取球，每人各取3个球，至少有4人取出的球的颜色完全相同。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查的是事件发生的抽屉原理的知识，解答此题要将数据分成多少个抽屉； 【变式训练2】箱子里有红球13个，黄球10个，蓝球15个，从中摸出几个球，才能保证三种颜色的球都至少有4个？ 【答案】 32个 【思路引导】为了保证三种颜色的球都至少有4个，需要考虑最坏情况，即摸出尽可能多的球而没有满足条件（一种颜色少于4个）。最坏情况是摸出数量较多的两种颜色的所有球和第三种颜色的3个球。 这里，红球（13个）和蓝球（15个）数量较多，黄球（10个）数量较少，因此最坏情况是摸出全部红球、全部蓝球和3个黄球，共31个球，此时黄球不足4个。再摸出第32个球必为黄球，保证条件满足。 【完整解答】13＋15＋3 ＝ 31（个） 31＋1＝32（个） 答：从中摸出32个球，才能保证三种颜色的球都至少有4个。 考点讲练八 统计与概率 【典例精讲】2023赛季的火星HBA总决赛在玛尔斯队和阿雷斯队之间展开，两队一直以来水平相当。总决赛是7场4胜制，也就是先取得4场胜利的球队拿到总冠军。现在已经比了3场，玛尔斯队以总比分2∶1领先，那么玛尔斯队获得最后总冠军的概率是（    ）。 A． B． C． D．2 【答案】B 【思路引导】7场比赛已经比克三场，则从后面的4场分类考虑，要想比赛结束，至少还需：4－2＝2（场），所以分别从再打2场，3场，4场讨论玛尔斯队获得最后总冠军的概率，最后求和。 【完整解答】因为目前已比了3场，玛尔斯队以总比分2：1领先，所以玛尔斯队想要获得最后总冠军，在剩下的4场比赛中赢得2场。 每一场比赛中，玛尔斯队获胜的可能性是 如果再比2场比赛结束，则玛尔斯队两场均获胜，其概率为：； 如果再比3场比赛结束，则玛尔斯队前两场一胜一负，第三场一定要胜，其概率为：； 如果再比4场比赛结束，则玛尔斯队前三场一胜两负，第四场一定要胜，其概率为：； 所以玛尔斯队获得最后总冠军的概率为： 故答案为：B 【变式训练1】某市城镇常住居民可支配收入及占比如下图，根据统计图解答下列问题。 （1）若小张经营净收入为10000元，按图中比例，求小张的工资性收入。 （2）若财产净收入和转移净收入所占比不变，工资性收入和经营净收入的比变为3∶1，求工资性收入所占百分比。 【答案】（1）75000元；（2）51% 【思路引导】（1）根据图可知，小张工资性收入占60%，财产净收入占14%，转移净收入占18%，因此经营净收入的占比为：1－60%－14%－18%＝8%。再根据经营净收入为10000元，即可求出小张的工资性收入。 （2）财产净收入和转移净收入所占比不变，即这两个收入的占比之和为：14%＋18%＝32%，工资性收入和经营净收入的占比之和为：1－32%＝68%。然后按比例分配即可求出工资性收入所占百分比。 【完整解答】（1）总收入：10000÷（1－60%－14%－18%） ＝10000÷8% ＝125000（元） 工资性收入：125000×60%＝75000（元） 答：小张的工资性收入为75000元。 （2）工资性收入和经营净收入的占比之和： 1－（14%＋18%） ＝1－32% ＝68% 工资性收入所占百分比：68%×＝51% 答：工资性收入所占百分比为51%。 【变式训练2】从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出： （1）它们能构成多少个三角形？ （2）这些三角形中有多少个直角三角形？ （3）随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【思路引导】从立方体的八个顶点中选3个顶点，总共有56种方法，并且不存在共线的情况，所以一共有56个三角形；当三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，不能构成直角三角形。 【完整解答】从个顶点中任取个顶点都能构成三角形，所以应该有个。 如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有个不是直角三角形。 所以直角三角形共有个。 构成直角三角形的可能性有。 答：能构成56个三角形；有48个直角三角形；构成直角三角形的可能性是。 【考点剖析】本题考查的是概率问题，并且与立体几何中的计数问题相结合，难度较大。 考点讲练九 递推法计数 【典例精讲】如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“我爱学而思”，那么可读成“我爱学而思”的路线有( )条。 【答案】31 【思路引导】只有一个思，可以从后向前考虑，也就是“我爱学而思”和“思而学爱我”的方法数是一样的，然后按照思→而→学→爱→我的顺序进行标数。 【完整解答】如图所示： 共有种。 【考点剖析】本题考查的是最短路径的问题，标数法是求解此类问题最常用的方法。 【变式训练1】如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有( )条。 【答案】127 【思路引导】必须按照“祖国明天更美好”往下读，典型的标数问题，按照祖→国→明→天→更→美→好的顺序进行标数即可。 【完整解答】如图所示： 所以可读成“祖国明天更美好”的路线有127条。 【考点剖析】本题考查的是标数法求解最短路径的问题，在标数的时候注意顺序。 【变式训练2】如图所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成，小兔要从A处做到B处，如果它在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次，那么小兔可以选择的不同路线有( )条。 【答案】6 【思路引导】在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次，也就是求最短路径的问题，用标数法求解。 【完整解答】采用标数法，如图所示： 所以不同路线共有6条。 【考点剖析】本题考查的是标数法计数问题，标数法是求解最短路径问题最常用的方法。 考点讲练十 对应法计数 【典例精讲】数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，，，。问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？ 【答案】种 【思路引导】对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1＋1 1，1 1＋1，1＋1＋1；相当于是2个空隙，每个空隙要么填＋，要么不填，2种选法，可以按照乘法原理来理解。 【完整解答】我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号，有2种可能； 因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有种。 答：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有种。 【考点剖析】本题考查的是计数问题，也可以多写几个数，然后从中找出规律，再应用规律求解问题。 【变式训练1】将1～12这12个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，共有多少种填法？ 【答案】种 【思路引导】要求每行右边比左边的大，可以用阶梯型标数法求解，水平方向表示右边的数，竖直方向表示左边的数。 【完整解答】如图所示： 答：共有132种填法。 【考点剖析】本题考查的是阶梯型标数法问题，考虑其与长方形标数法问题的不同之处。 【变式训练2】圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点（蓝点）的多边形称为红色（蓝色）多边形。不包含红点及蓝点的称无色多边形。试问，以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数可以从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？ 【答案】双色多边形；55个 【思路引导】从任意一个双色的N边形出发（ N≥5时），在去掉这个双色多边形中的红色顶点与蓝色顶点后，将得到一个无色的N－2边形；另一方面，对于一个任意的无色的M边形，如果加上红色顶点和蓝色顶点，就得到一个双色的M＋2边形，所以无色多边形与双色多边形中的五边形以上的图形是一一对应的关系，所以双色多边形的个数比较多，多的是双色三角形和双色四边形的个数。 【完整解答】除红、蓝点之外，再取一个点构成三角形，有10种方法，所以双色三角形有10个； 双色四边形有个，所以双色多边形比无色多边形多个。 答：双色多边形更多一些；多55个。 【考点剖析】本题考查的是对应法计数问题，解题的关键是找出双色多边形的个数与无色多边形个数的对应关系。 1．（25-26六年级上·四川成都·期末）一列动车从成都东站到乐山站要经过成都南站、双流机场站、新津站、彭山北站、眉山东站和青神站。单程共需要设计（    ）种不同的动车票。（不考虑返程票） A．8 B．15 C．21 D．28 【答案】D 【思路引导】从成都东站到乐山站要经过成都南站、双流机场站、新津站、彭山北站、眉山东站和青神站，一共有8个站点，每个站点都与其余8－1＝7（个）站点有一种单程票，往返一共有8×7种单程票，由于不考虑返程票，用往返的单程票的种数除以2即可解答。 【完整解答】8×（8－1）÷2 ＝8×7÷2 ＝56÷2 ＝28（种） 所以单程共需要设计28种不同的动车票。 故答案为：D 2．（2023六年级·广东深圳·竞赛）从自然数1至25中任意取出个数，要求其中必有2个，较大者是较小者的2倍，则的最小值是（    ）。 A．18 B．17 C．19 D．20 E．21 【答案】A 【思路引导】这道题是典型的抽屉原理应用问题。解题的关键在于构造 “抽屉”，将 1 至 25 的自然数按照 “较大数是较小数的 2 倍” 的关系进行分组，从而找到 “最坏情况” 下最多能选取多少个数而不满足条件，进而确定满足条件的最小 k 值。 【完整解答】①构造抽屉：将 1 到 25 的自然数按 “2 倍关系” 分组： 组 1：{1， 2， 4， 8， 16} 组 2：{3， 6， 12， 24} 组 3：{5， 10， 20} 组 4：{7， 14} 组 5：{9， 18} 组 6：{11， 22} 组 7：{13}， {15}， {17}， {19}， {21}， {23}， {25}（共 7 个单元素组） ②计算最坏情况：为避免出现 “2 倍关系”，从每个组中选取最多的数： 组 1：选 3 个（1， 4， 16） 组 2：选 2 个（3， 12） 组 3：选 2 个（5， 20） 组 4－6：各选 1 个 组 7：7 个单元素全部入选总计：3＋2＋2＋1＋1＋1＋7＝17 个数。 ③确定最小值：当选 18 个数时，必然会从前面的组中再选一个数，与该组中已选的数形成 “2 倍关系”。因此，k 的最小值是 18 故答案为：A 【考点剖析】对于 “必有两数满足某种关系” 的问题，优先考虑抽屉原理，通过分组构造抽屉，将问题转化为 “在最坏情况下，最多能选多少个不满足条件的数”。 3．（2023六年级·广东深圳·竞赛）有一批长度分别为2、5、6、7、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形。这些木条共能围成（    ）种不同的三角形。 A．41 B．30 C．20 D．12 E．以上都不对 【答案】A 【思路引导】要围成三角形，必须满足一个重要条件：任意两边的长度加起来，要比第三边更长。因为木条数量很多，我们可以把能围成的三角形分成三类来数：三条边都一样长、两条边一样长、三条边都不一样长，这样数起来就不会乱。 【完整解答】①三条边都一样长（等边三角形），可以选： 2 厘米、2 厘米、2 厘米；5 厘米、5 厘米、5 厘米；6 厘米、6 厘米、6 厘米；7 厘米、7 厘米、7 厘米；10 厘米、10 厘米、10 厘米；11 厘米、11 厘米、11 厘米；一共 6 种。 ②两条边一样长（等腰三角形），我们按 “一样长的两条边” 来分类数： 当一样长的是 5 厘米时，第三边要小于 5＋5＝10 （厘米），可以是 2、6、7 厘米，共 3 种。 当一样长的是 6 厘米时，第三边要小于 6＋6＝12 （厘米），可以是 2、5、7、10、11 厘米，共 5 种。 当一样长的是 7 厘米时，第三边要小于 7＋7＝14 （厘米），可以是 2、5、6、10、11 厘米，共 5 种。 当一样长的是 10 厘米时，第三边要小于 10＋10＝20 （厘米），可以是 2、5、6、7、11 厘米，共 5 种。 当一样长的是 11 厘米时，第三边要小于 11＋11＝22 （厘米），可以是 2、5、6、7、10 厘米，共 5 种。 两边一样长的三角形一共有：3＋5＋5＋5＋5＝23 （种）。 ③三条边都不一样长，我们从短到长来选，只要 “最短的两条边加起来比最长的那条长” 就行： 包含 2 厘米的：2、5、6（2＋5＞6），2、6、7（2＋6＞7），2、10、11（2＋10＞11），共 3 种。 不包含 2 厘米的：5、6、7（5＋6＞7），5、6、10（5＋6＞10），5、7、10（5＋7＞10），5、7、11（5＋7＞11），5、10、11（5＋10＞11），6、7、10（6＋7＞10），6、7、11（6＋7＞11），6、10、11（6＋10＞11），7、10、11（7＋10＞11），共 9 种。 三条边都不一样长的三角形一共有：3＋9＝12 （种） 一共：6＋23＋12＝41 （种） 故答案为：A。 4．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个：要保证取出的玻璃球中两个是同色的，至少要取出( )个。 【答案】 5 4 【思路引导】第①空：先取最不利情况，把两种颜色全部取完，再取1个必是第三种。 第②空：先每种颜色各取1个，再取1个一定和前面某一个同色。 【完整解答】第①空：保证三种颜色都有：2＋2＋1＝5（个） 第②空：保证两个同色：3＋1＝4（个） 5．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有( )个各种大小的三角形。 【答案】27 【思路引导】根据题意，不同大小的三角形有如下四种情况： ①如红色三角形大小的三角形共16个； ②如红色三角形大小的三角形共7个（从上往下计数：1、2两行有1个，2、3两行有2个，3、4两行有4个）； ③如红色小三角形大小的三角形共3个（从上往下计数：1、2、3三行有1个，2、3、4三行有2个）； ④如红色小三角形大小的三角形共1个； 所以共有16＋7＋3＋1＝27（个）各种大小的三角形。 【完整解答】根据分析： 如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有27个各种大小的三角形。 6．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。如果照右图的样子把它切开，能切成( )个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体有( )个，6个面都没有涂色的小正方体有( )个。 【答案】 64 8 8 【思路引导】每条棱平均分成4份，所以小正方体的总个数是（个）；3面涂色的小正方体在正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以3面涂色的小正方体有8个；6个面都没有涂色的小正方体在正方体的内部，需要去掉外层涂色的部分。每条棱去掉外层2个小正方体后，内部形成的正方体棱长为：，所以内部未涂色的小正方体个数为（个），据此得出答案。 【完整解答】由分析知：一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。如果照右图的样子把它切开，能切成64个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体有8个，6个面都没有涂色的小正方体有8个。 7．现在要对甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行核糖核酸抽检，若甲不是第1个也不是第5个检测，丙和丁相邻抽检，不同的检测方案有____种。 【答案】 24 【思路引导】本题考查排列组合知识，需满足两个条件：甲不是第1个也不是第5个检测，丙和丁相邻抽检。通过分情况讨论丙和丁相邻的位置对，计算每种情况下甲、乙、戊的安排方式，最后求和得到总方案数。丙和丁相邻的位置对有4种：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）。每个位置对中，丙和丁有2种顺序（丙左丁右或丁左丙右）。据此解题。 【完整解答】当丙和丁在（1，2）时，剩余位置3、4、5。甲不能是第5个，所以甲可在位置3或4，有2种选择。乙和戊在剩余2个位置，有2种排列。安排甲、乙、戊的不同方案有：2×2＝4（种），丙丁的不同方案有2种顺序，故总方案有：2×4＝8（种）。 当丙和丁在（2，3）时，剩余位置1、4、5。甲不能是第1个或第5个，所以甲只能在位置4，有1种选择。乙和戊在位置1和5，有2种排列。安排甲、乙、戊的不同方案有：1×2＝2（种），丙丁有2种顺序，故总方案有：2×2＝4（种）。 当丙和丁在（3，4）时，剩余位置1、2、5。甲不能是第1个或第5个，所以甲只能在位置2，有1种选择。乙和戊在位置1和5，有2种排列。安排甲、乙、戊的不同方案有：1×2＝2（种），丙丁有2种顺序，故总方案有：2×2＝4（种）。 当丙和丁在（4，5）时，剩余位置1、2、3。甲不能是第1个，所以甲可在位置2或3，有2种选择。乙和戊在剩余2个位置，有2种排列。安排甲、乙、戊的不同方案有：2×2＝4（种）。丙丁有2种顺序，故总方案有：2×4＝8（种）。 总方案数为：8＋4＋4＋8＝24（种）。 8．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）我国的手机号码都是十一位数，在一个手机号码中至少有2个数字是相同的。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】手机号码的位数相当于物体数，手机号码有11位，即物体数是11，可用数字的个数相当于抽屉数，可用的数字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，共 10 个，即抽屉数为10。根据抽屉原理的计算方法：物体数÷抽屉数＝商……余数，至少数＝商＋1。 【完整解答】11÷10＝1……1 1＋1＝2（个） 所以，在一个手机号码中至少有 2 个数字是相同的。 故答案为：√ 9．（24-25六年级下·广东江门·期中）把21张选票投进4个投票箱里，至少有6张选票投进同一个投票箱。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据抽屉原理的计算方法，用物体数除以抽屉数，得到商和余数，至少数等于商加 1。通过计算验证题干中的结论是否成立。 【完整解答】21÷4＝5（张）⋯⋯1（张） 5＋1＝6（张） 所以至少有6张选票投进同一个投票箱。原题说法正确。 故答案为：√ 10．（25-26六年级下·全国·课后作业）一所学校有400人，那么至少有3人同一天出生。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】“同一天出生”指同一年中的同一天，一年最多有365天（不考虑闰年）。 学校有400人，根据鸽巢原理，，因此至少有一个生日有至少2人，但无法保证有至少3人。据此解答。 【完整解答】一所学校有400人，那么至少有2人同一天出生。原题错误； 故答案为：× 【考点剖析】此题考查了利用鸽巢原理解决实际问题的方法的灵活应用。 11．（2026六年级下·全国·专题练习）三支蜡烛分别能燃烧30，40，50分钟（但是不是同时点燃的），已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟。那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有多少分钟？ 【答案】35分钟 【思路引导】本题考查逻辑推理与整数四则运算的应用。先求出三支蜡烛燃烧时间的总和，等于在不同燃烧状态下（一支、两支、三支）所消耗的时间乘以对应蜡烛数量的总和，已知只有一支和三支同时燃烧的时间，可利用总燃烧时长减去这两部分消耗的时长，得到正好两支蜡烛燃烧所消耗的时长，最后除以 2 即可求出对应的时间。 【完整解答】三支蜡烛燃烧时间的总和：30＋40＋50＝120（分钟） 三支蜡烛同时都燃烧的时间和：3×10＝30（分钟） 只有一支蜡烛在燃烧的时间：1×20＝20（分钟） 正好两支蜡烛同时燃烧的时间和：120－30－20＝70（分钟） 70÷2＝35（分钟） 答：正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有 35 分钟。 12．（2026六年级下·全国·专题练习）100个学生每人至少学过英语、法语、俄语三种语言中的一个，学过英语的有41人，学过法语的有52人，学过俄语的有43人，学过英语也学过法语的有16人，学过英语也学过俄语的有11人，学过法语也学过俄语的有15人。问：三种语言都学过的有多少人？ 【答案】6人 【思路引导】本题考查容斥原理。已知总人数及学过各语言的人数和重叠人数，求三种语言都学过的人数。根据容斥原理，三种都学人数＝总人数－（学英语人数＋学法语人数＋学俄语人数－同时学英法语人数－同时学英俄语人数－同时学法俄语人数）。 【完整解答】100 －（41 ＋ 52 ＋ 43－16－11－15） ＝ 100 －（136－42） ＝ 100－94 ＝ 6 （人） 答：三种语言都学过的有6人。 13．（2026六年级下·全国·专题练习）新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出。如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？ 【答案】17人 【思路引导】本题属于集合重叠问题，可利用方程法结合容斥原理的思想进行解答。 先算只参加合唱的人数 ：没参加演奏的人，只包含三类：只跳舞、只合唱、同时参加跳舞和合唱但没参加演奏，这三部分总和是50人。 设只参加合唱的人数为，由题意只参加跳舞的人数是，同时参加跳舞合唱没演奏的是10人，可得 。解得，即只参加合唱的有10人。 算同时参加三种节目的人数 ：题目说同时参加三种的人比只参加合唱的少7人，所以同时参加三种的人数是：（人）。 求目标人数 ：所有参加合唱的人一共分为4类，只合唱、同时跳舞合唱没演奏、同时三种都参加、同时演奏合唱没跳舞（就是要求的人数）。 已知总参加合唱的人数是40人， ，代入已知数计算即可。 【完整解答】解：设只参加合唱的人数有 人，则只参加跳舞的人数为 人。 所以只参加合唱的人数为 10 人。 同时参加三种节目的人数为：（人） （人） 答：同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有 17 人。 14．（2026六年级下·全国·专题练习）在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图），它们的面积都是100平方厘米，并知A、B两圆重叠的面积是20平方厘米，A、C两圆重叠的面积为45平方厘米，B、C两圆重叠面积为31平方厘米，三个圆共同重叠的面积为15平方厘米，求盖住桌子的总面积是多少平方厘米？ 【答案】219平方厘米 【思路引导】这道题用容斥原理计算，思路是： 三个圆的总面积里，两两重叠的部分被重复算了1次，需要减去重复的部分；而三个圆共同重叠的部分，在减去重复的时候被多减了1次，需要再加回来。 计算公式为： 盖住总面积＝三个圆面积之和－两两重叠面积之和＋三个圆共同重叠面积，代入数值计算即可。 【完整解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：盖住桌子的总面积是219平方厘米。 15．（2026六年级下·全国·专题练习）光辉小学六年级在一次语、数联赛中，语文及格的有24人，数学及格的有27人，其中语、数都及格的有14人，另外还有8人语、数都没及格，六年级共有学生多少人？ 【答案】45人 【思路引导】本题考查容斥原理的应用。语文及格人数与数学及格人数之和中，语、数都及格的人数被重复计算了一次。因此，至少一门及格的人数＝语文及格人数＋数学及格人数－语、数都及格的人数。 总人数 ＝ 至少一科及格的人数 ＋ 两科都不及格的人数。 【完整解答】24 ＋ 27－14 ＋ 8 ＝ 51－14 ＋ 8 ＝ 37 ＋ 8 ＝ 45（人） 答：六年级共有学生45人。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十三讲 计数『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【10个考点讲练+能力提升练 共45题】 ［原卷版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 1 考点讲练一 平面图形计数 1 考点讲练二 立体图形计数 2 考点讲练三 加法原理 3 考点讲练四 乘法原理 4 考点讲练五 排列组合 4 考点讲练六 容斥原理 5 考点讲练七 抽屉原理 6 考点讲练八 统计与概率 7 考点讲练九 递推法计数 8 考点讲练十 对应法计数 8 能力提升 过关检测 9 考点讲练一 平面图形计数 【典例精讲】（2024六年级下·贵州遵义·竞赛）如图中有( )个三角形。 【变式训练1】（2024六年级·全国·竞赛）如图，由若干个小等边三角形构成，其中每个三角形的顶点都被称为格点，则以图中的格点为顶点的等边三角形有( )个。 【变式训练2】（2024六年级·广东深圳·竞赛）如图中的9个点在2×2方格的格点处，请你用线段连接任意两个格点，如果所连的线段内部不经过其它格点，这样的线段称为“简单线段”，共可连接出（    ）条“简单线段”。 A．64 B．72 C．36 D．28 E．21 考点讲练二 立体图形计数 【典例精讲】（2025六年级·贵州遵义·竞赛）一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有（    ）个。（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体） A．41 B．25 C．15 D．40 【变式训练1】（2024六年级·广东深圳·竞赛）用一些棱长是1的小正方体堆放成一个体积尽可能小的立方体，从上向下看这个立方体，如图7a，从正面看这个立体，如图7b，则这个立方体至少有（    ）个小正方体。 A．12 B．11 C．10 D．9 E．8 【变式训练2】用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。 考点讲练三 加法原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）如图为一幅街道图，从出发经过十字路口，但不经过走到的不同的最短路线有多少条？ 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）如图，某城市的街道由五条东西向马路和七条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B处，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？ 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）在图中，从甲地到乙地最近的道路共有多少条？ 考点讲练四 乘法原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？其中偶数有多少个？ 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）一个篮球队，五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，C不能做中锋，D不能做控球后卫，而其余3个可以分配到五个位置的任何一个上，共有多少种不同的站法？ 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）用6，2，7，0四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 考点讲练五 排列组合 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽安庆·期末）在一次演讲比赛后，参赛的队员每两人之间互相握手一次，一共握手21次，参赛选手共( )人。 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，欣欣从中任意拿出6个球，共有多少种不同的取法？ 【变式训练2】给定一个正六边形从它的6个顶点中选择3个顶点可以构造出三角形。在所有可能构造出的三角形中发现： ●共有L个锐角三角形； ●共有M个直角三角形； ●共有N个钝角三角形。 两个三角形若至少有一个不同的顶点即使它们全等也视为不同的三角形。请问L×M×N的值是多少？ 考点讲练六 容斥原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）有A、B、C三种书，至少读过一种的有58人，读过A书的有32人，读过B书的有24人，读过C书的有27人，读过A、B两书的有10人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有14人，三种书均读过的有多少人？ 【变式训练1】（2026六年级下·全国·专题练习）有100名同学回答A、B两个问题。都没有答对的有10人，答对A的有75人，答对B的有83人，只答对一题的共有多少人？ 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）某校五年一班有40人，其中有28人参加了数学小组，30人参加了外语小组，有6人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人？ 考点讲练七 抽屉原理 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）有19本书，分成5份，如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？ 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31人轮流从袋中取球，每人各取3个球，至少有（    ）人取出的球的颜色完全相同。 A．3 B．4 C．5 【变式训练2】箱子里有红球13个，黄球10个，蓝球15个，从中摸出几个球，才能保证三种颜色的球都至少有4个？ 考点讲练八 统计与概率 【典例精讲】2023赛季的火星HBA总决赛在玛尔斯队和阿雷斯队之间展开，两队一直以来水平相当。总决赛是7场4胜制，也就是先取得4场胜利的球队拿到总冠军。现在已经比了3场，玛尔斯队以总比分2∶1领先，那么玛尔斯队获得最后总冠军的概率是（    ）。 A． B． C． D．2 【变式训练1】某市城镇常住居民可支配收入及占比如下图，根据统计图解答下列问题。 （1）若小张经营净收入为10000元，按图中比例，求小张的工资性收入。 （2）若财产净收入和转移净收入所占比不变，工资性收入和经营净收入的比变为3∶1，求工资性收入所占百分比。 【变式训练2】从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出： （1）它们能构成多少个三角形？ （2）这些三角形中有多少个直角三角形？ （3）随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？ 考点讲练九 递推法计数 【典例精讲】如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“我爱学而思”，那么可读成“我爱学而思”的路线有( )条。 【变式训练1】如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有( )条。 【变式训练2】如图所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成，小兔要从A处做到B处，如果它在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次，那么小兔可以选择的不同路线有( )条。 考点讲练十 对应法计数 【典例精讲】数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，，，。问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？ 【变式训练1】将1～12这12个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，共有多少种填法？ 【变式训练2】圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点（蓝点）的多边形称为红色（蓝色）多边形。不包含红点及蓝点的称无色多边形。试问，以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数可以从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？ 1．（25-26六年级上·四川成都·期末）一列动车从成都东站到乐山站要经过成都南站、双流机场站、新津站、彭山北站、眉山东站和青神站。单程共需要设计（    ）种不同的动车票。（不考虑返程票） A．8 B．15 C．21 D．28 2．（2023六年级·广东深圳·竞赛）从自然数1至25中任意取出个数，要求其中必有2个，较大者是较小者的2倍，则的最小值是（    ）。 A．18 B．17 C．19 D．20 E．21 3．（2023六年级·广东深圳·竞赛）有一批长度分别为2、5、6、7、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形。这些木条共能围成（    ）种不同的三角形。 A．41 B．30 C．20 D．12 E．以上都不对 4．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个：要保证取出的玻璃球中两个是同色的，至少要取出( )个。 5．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有( )个各种大小的三角形。 6．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。如果照右图的样子把它切开，能切成( )个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体有( )个，6个面都没有涂色的小正方体有( )个。 7．现在要对甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行核糖核酸抽检，若甲不是第1个也不是第5个检测，丙和丁相邻抽检，不同的检测方案有____种。 8．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）我国的手机号码都是十一位数，在一个手机号码中至少有2个数字是相同的。( )（判断对错） 9．（24-25六年级下·广东江门·期中）把21张选票投进4个投票箱里，至少有6张选票投进同一个投票箱。( )（判断对错） 10．（25-26六年级下·全国·课后作业）一所学校有400人，那么至少有3人同一天出生。( )（判断对错） 11．（2026六年级下·全国·专题练习）三支蜡烛分别能燃烧30，40，50分钟（但是不是同时点燃的），已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟。那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有多少分钟？ 12．（2026六年级下·全国·专题练习）100个学生每人至少学过英语、法语、俄语三种语言中的一个，学过英语的有41人，学过法语的有52人，学过俄语的有43人，学过英语也学过法语的有16人，学过英语也学过俄语的有11人，学过法语也学过俄语的有15人。问：三种语言都学过的有多少人？ 13．（2026六年级下·全国·专题练习）新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出。如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？ 14．（2026六年级下·全国·专题练习）在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图），它们的面积都是100平方厘米，并知A、B两圆重叠的面积是20平方厘米，A、C两圆重叠的面积为45平方厘米，B、C两圆重叠面积为31平方厘米，三个圆共同重叠的面积为15平方厘米，求盖住桌子的总面积是多少平方厘米？ 15．（2026六年级下·全国·专题练习）光辉小学六年级在一次语、数联赛中，语文及格的有24人，数学及格的有27人，其中语、数都及格的有14人，另外还有8人语、数都没及格，六年级共有学生多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $