第十四讲 几何图形(拓展提高奥数篇）21个考点讲练+能力提升练 共57题-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十四讲 几何图形『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【21个考点讲练+能力提升练 共57题】 ［原卷版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 基础图形的认识 2 考点讲练二 长度和角度 2 考点讲练三 巧求周长 3 考点讲练四 巧求面积 4 考点讲练五 格点与面积 5 考点讲练六 勾股定理 5 考点讲练七 等高模型 6 考点讲练八 等积变形 6 考点讲练九 一半模型 7 考点讲练十 鸟头模型 7 考点讲练十一 蝴蝶模型 8 考点讲练十二 燕尾模型 9 考点讲练十三 相似模型 9 考点讲练十四 圆和扇形 10 考点讲练十五 多角度观察 10 考点讲练十六 立体图形的展开 11 考点讲练十七 表面积相关问题 11 考点讲练十八 体积相关问题 12 考点讲练十九 圆锥和圆柱 12 考点讲练二十 等体积变形 13 考点讲练二十一 染色问题 14 能力提升 过关检测 14 考点讲练一 基础图形的认识 【典例精讲】如下图，图1是一个立体图形图2的侧面展开示意图，它的表面积是________。 【变式训练】有一个边长分别为4cm的等边三角形木块．现将三角板沿水平线翻滚，如下图，那么从B点开始到结束所经过的总长度为多少？ 考点讲练二 长度和角度 【典例精讲】是三角形内2个点，以为顶点，连出一些相互之间没有重叠的三角形，则这些三角形所有内角的和最大可以等于（    ）度。 A．360 B．180 C．540 D．720 E．900 【变式训练】（2024六年级·广东汕尾·竞赛）小华在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示，小红看见了说：“我也来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为2mm小正方形，每个小长方形的长和宽分别为（    ）。 A．10mm、18mm B．18mm、10mm C．6mm、10mm D．10mm、6mm 考点讲练三 巧求周长 【典例精讲】（24-25六年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示，圆O上一点P与边长为10厘米的正方形一个顶点重合。圆O绕正方形顺时针滚动。 （1）点P再次与正方形重合的点是（    ）。 （2）如果圆O绕正方形滚动一圈回到原来的位置，圆心运动轨迹的长度是多少厘米？ 【变式训练】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如左图中两个半径为r的等圆相交且只有一个交点（P1）的位置关系叫作两个圆“相切”，P1点就叫作两个圆的切点，这时发现点O1、P1、O2，在一条直线上。 （1）在左图中添加一个等圆使三个圆相切如右图的位置关系，请用直尺和圆规作图，找到圆心O3并标注在左图中，同时标注另外两个切点P2、P3。（保留作图痕迹） （2）求出作图后的三个“切点”所围成的弧线最短总长。 考点讲练四 巧求面积 【典例精讲】IE浏览器的图标是字母，图中字形的宽度是，半圆及扇形的圆心均在长方形的边上，如果长方形的长为9cm，那么，e字形（阴影部分）的面积是（    ）cm2。（π取3）。 A．60 B．50 C．41 D．31 E．22 【变式训练】（2023六年级下·贵州遵义·竞赛）如图，五个相同的长方形恰好能放置在一个边长为24的正方形里，则每个长方形的面积是（    ）。 A．12 B．18 C．24 D．32 E．36 考点讲练五 格点与面积 【典例精讲】如图，在的方格中，小方格的边长为1，是格点三角形（顶点恰好是小方格的顶点），与恰有一条公共边，且与的面积相等的格点三角形共有___________个。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）如果图中每个小方格代表1cm2，那么大长方形的面积是（    ）cm2。 A．56 B．60 C．58 D．66 考点讲练六 勾股定理 【典例精讲】（2023六年级·广东深圳·竞赛）如图右边的图形叫“勾股树”，完全由正方形和直角三角形构成，其中最大正方形的面积为100，则图中所有正方形的面积之和是（    ）。 A．350 B．400 C．500 D．550 E．600 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，已知一只电子蚂蚁按程序从O点出发，先向东走12厘米到达点A，接着从A点向北走了21厘米到达点B，最后从点B向西走了40厘米到达点C，那么现在电子蚂蚁到出发点O的直线距离是多少？ 考点讲练七 等高模型 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，CE＝2BE，DF＝2CF，连结AE，AF交BD于G，H。已知五边形ECFHG的面积是11.7，则正方形ABCD的边长是( )。 【变式训练】如图，在梯形ABCD中，若AB＝8，DC＝10，S△AMD＝10，S△BCM＝15，则梯形ABCD的面积是________。 考点讲练八 等积变形 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）三角形ABC的面积为1，把它的各边按如图方式延长2倍得到D、E、F，求出△DEF的面积。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，一个大长方形被分割成两个小长方形A和B。小长方形A的长为大长方形长的。若小长方形B的面积为54平方分米，求小长方形A的面积。 考点讲练九 一半模型 【典例精讲】如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下的一块中△ABC的面积应该是多少平方米？ 考点讲练十 鸟头模型 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）如下列图所示，三角形的面积为，且，那么三角形的面积是_________。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如下图，正方形边长为厘米，，．三角形的面积为________平方厘米。 考点讲练十一 蝴蝶模型 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，三角形ABC的面积为60，D、E分别为AB、AC的中点，且DE平行BC。F、G是BC边上的三等分点，求三角形DOE的面积。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，三角形ABE中，AB平行DC，BD交AC于O，AD＝DE，三角形AB0的面积为4，求三角形ABE的面积等于_____。 考点讲练十二 燕尾模型 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，OF平行EC，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6。求∶（1）求△OCF的面积；（2）求△GEC的面积。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图在中，，求的值。 考点讲练十三 相似模型 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，、分别为边上靠近和的五等分点，、分别为边上靠近和的五等分点，如果四边形的面积为3，的面积为5，那么四边形的面积是( )。 【变式训练】如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，CF和DE交于点P。已知BD＝CD，AF＝2BF，CE＝3AE，试求。（请勿用“鸟头”、“燕尾”、“沙漏”等模型解题，否则将被扣分） 考点讲练十四 圆和扇形 【典例精讲】（25-26六年级上·河北石家庄·期末）下面涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】（25-26六年级上·福建龙岩·期末）甲、乙两只蜗牛同时从A地出发，甲爬行外圈的路线，乙爬行内圈的路线（如图）。（    ）到达终点B。 A．甲先 B．乙先 C．同时 D．无法确定 考点讲练十五 多角度观察 【典例精讲】一个由3×3×3的正方体，从中取出一些小正方体后，仍能使得从左面、右面、前面和上面都看到如图的形状，下列说法正确的是（    ）。 ①最少要剩下13个小正方体②最少要剩下15个小正方体 ③最多可剩下20个小正方体④最多可剩下21个小正方体 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【变式训练】小娟有5个盒子，第一个盒子内有2个正方形及8个三角形；第二个盒子内有3个正方形及2个三角形；第三个盒子内有3个正方形及4个三角形；第四个盒子内有4个正方形及3个三角形；第五个盒子内有5个正方形及4个三角形；在盒子中的所有正方形及三角形的边长都相同，小娟想利用这些正方形及三角形沿着边粘贴成一些多面体。若每一个多面体都必须由一个盒子内的全部图形所组成，那么有（    ）个盒子符合要求。 A．4 B．3 C．2 D．1 E．0 考点讲练十六 立体图形的展开 【典例精讲】将一个正方体纸盒沿着棱剪开，展开之后平铺到桌面上，得到的图形不可能是（    ）。 A．B．C． D． 【变式训练】如图是个正八面体，下面四个图形中能形成八面体的图形是（    ）。 A． B． C． D． 考点讲练十七 表面积相关问题 【典例精讲】如图所示的立体图形由14至16个棱长为1厘米的立方块搭成，这个立体图形的表面积（不计底面）至少为（    ）平方厘米。 A．31 B．32 C．34 D．35 E．38 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）题图是几个棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图，数字表示该位置叠加小正方体的个数，那么这个几何体的表面积是( )。 考点讲练十八 体积相关问题 【典例精讲】如图，一个长方体容器中装有120L的水，但没有装满。按不同的方式放置，水深分别为，，则该容器的容积为（    ）。 A．160L B．180L C．200L D．220L E．240L 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）如图，在空的长方体容器内放入一个圆柱体铁块，然后往容器中灌水。5分钟时水面恰好与圆柱体的顶面相平，再过12分钟水灌满容器。已知长方体容器的高是50厘米，圆柱体铁块的高是20厘米，则长方体容器的底面积是圆柱体铁块底面积的( )倍。 考点讲练十九 圆锥和圆柱 【典例精讲】如图是个柱体，高是20厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求这个柱体的表面积和体积。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）有一个高8厘米，容量为50毫升的圆形容器，里面装满了水，现把长16厘米的圆柱垂直放入，使的底和的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把从拿走后，中的水的高度只有6厘米，求圆柱体的体积是多少？ 考点讲练二十 等体积变形 【典例精讲】如图，一个正方体的密闭容器，每条边的长度均为20cm。容器内盛有一些水，在容器的底部焊接着一个长方体实心铁块，铁块的上表面刚好与水面持平。把容器倒置，如图所示（此时铁块仍有一部分在水面以下），量得水面高度为12cm。已知容器底面积是长方体铁块底面积的16倍，则开始时水面高度为（    ）cm。 A．10 B．11.5 C．12.5 D．15 E．16 【变式训练】（2025六年级·全国·竞赛）把圆柱的底面分成16等份，然后把圆柱切开，照如图拼起来，圆柱就转化成一个近似的长方体。如果圆柱的侧面积是40平方厘米，底面半径是5厘米，那么它的体积是_________立方厘米。如果圆柱的高是4厘米，拼成长方体后，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱体的体积是_________立方厘米。 考点讲练二十一 染色问题 【典例精讲】（2025六年级·贵州遵义·竞赛）一个大立方体由64个相同的小立方体组成，这个大立方体的三个面被涂上了颜色，则（    ）。 A．有两个小立方体的三个面都被涂上了颜色 B．最多会有9个小立方体只有两个面被涂上了颜色 C．最少会有8个小立方体只有两个面被涂上了颜色 D．最多会有32个小立方体只有一个面被涂上了颜色 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）下图是4×4×4正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色的小正方体各有多少块？ 1．（24-25六年级下·山东青岛·期中）用边长为4厘米的正方体积木最多可以分割成（     ）个底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱。 A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2023六年级·广东深圳·竞赛）用方格纸剪成面积为4的图形，其形状只能有以下7种，如果用其中的四种拼成一个面积为16的正方形，且这四种图形的标号之和为最小，那么应选（    ）。 A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．①②③⑥ D．①②③⑦ E．②③④⑤ 3．（2023六年级·广东深圳·竞赛）下图中，是一个正方形，是上的点，是上的中点，与交于。已知正方形的面积是180平方厘米，则三角形的面积比三角形的面积大（    ）平方厘米。 A．20 B．25 C．30 D．15 E．10 4．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，已知正方形ABCD的面积为340，E是AB的中点，F、G分别是边BC、AD上的点，且，，连接EG、EC、FG，其中EC、FG交于点O，则三角形EOG的面积为______。 5．（25-26六年级上·浙江宁波·期末）如下图所示，用相同的圆画图，依据前四幅图的规律思考⑤阴影部分的形状。如果每个小圆的半径都是2cm，那么图⑤阴影部分的面积是( )，图n阴影部分的面积是( )。 6．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）小美做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去。若最后得到10张纸片，其中有5张三角形纸片，2张四边形纸片，2张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是( )。 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 8．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）如图，以正方形的4个顶点为圆心，分别画出了同样大小的4个扇形，求阴影部分的面积。 9．（2024六年级·全国·竞赛）求图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 10．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 11．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊的三角形。它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作的圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。 (1)根据以上描述，请你以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形。 (2)如果三角形ABC的边长是3厘米，请计算这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ (3)莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度，因此，一个莱洛三角形无论怎么滚动都会始终保持在一组平行线内运动（如图）。若将第（2）问中的莱洛三角形的顶点A与等边三角形DEF的顶点D重合，且，DE＝6.28厘米，将等边三角形ABC所画的莱洛三角形沿等边三角形DEF的边作无滑动的滚动。当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动的过程中所扫过的区域面积是多少平方厘米？ 12．（2023六年级下·全国·竞赛）学生们玩投包游戏，在操场上放一个篮筐，参加游戏的同学在篮筐外手拉手围成一个圆，8位同学站在圆上投包，看谁投得准。测得一个同学两臂伸平后大约是1.6米。每个同学距篮筐的距离大约是多少米？（得数保留整米数） 13．（2022六年级·广东广州·竞赛）已知等边三角形ABC，D、E、F分别在BC、AC、AB边上，BC＝3BD，BA＝3BF，，则∠ADE＋∠FEB的度数？ 14．（2023六年级·全国·竞赛）小亚有一张宽为6厘米长为94厘米的纸。他想要从这张纸裁出尽可能多的长方形纸片，这些长方形纸片的周长都必须是20厘米且边长都是整数。请问他最多可以裁出多少张长方形纸片？ 15．（24-25六年级上·山东青岛·期末）转化是解决数学问题的一个重要思想方法。运用转化的方法可以把未知的知识转化成已知的知识，把复杂的问题转化成简单的问题。例如，我们在探究除数是小数的除法时，运用商不变的性质把除数是小数的除法转化成除数是（    ）的除法；又如在探究圆的面积的时候，把圆的面积转化成了近似的（    ）的面积。 你能用转化的数学思想方法来解决以下数学问题吗？如图，三个圆的半径都是2米，求阴影部分的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十四讲 几何图形『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【21个考点讲练+能力提升练 共57题】 ［解析版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 基础图形的认识 2 考点讲练二 长度和角度 3 考点讲练三 巧求周长 4 考点讲练四 巧求面积 7 考点讲练五 格点与面积 8 考点讲练六 勾股定理 9 考点讲练七 等高模型 10 考点讲练八 等积变形 13 考点讲练九 一半模型 14 考点讲练十 鸟头模型 16 考点讲练十一 蝴蝶模型 17 考点讲练十二 燕尾模型 19 考点讲练十三 相似模型 20 考点讲练十四 圆和扇形 23 考点讲练十五 多角度观察 25 考点讲练十六 立体图形的展开 27 考点讲练十七 表面积相关问题 28 考点讲练十八 体积相关问题 30 考点讲练十九 圆锥和圆柱 31 考点讲练二十 等体积变形 33 考点讲练二十一 染色问题 35 能力提升 过关检测 36 考点讲练一 基础图形的认识 【典例精讲】如下图，图1是一个立体图形图2的侧面展开示意图，它的表面积是________。 【答案】654.48平方厘米/654.48 cm2 【思路引导】如图所示，展开图左起第一、二个长方形的长宽分别是12cm、10cm；左起第三个长方形的长（红色虚线线段）等于圆的周长的四分之一，宽等于10cm；上下两个圆心角是90°的扇形，合起来是半径12cm的半圆，据此计算表面积即可。 【完整解答】12×10×2＋2×3.14×12÷4×10＋3.14×122÷2 ＝120×2＋3.14×6×10＋3.14×144÷2 ＝240＋3.14×60＋3.14×72 ＝240＋188.4＋226.08 ＝654.48（cm2） 它的表面积是654.48cm2。 【考点剖析】本题考查立体图形展开图面积的计算，难点是要清楚展开后图形的某条线段是原图形的哪条线转换而来。 【变式训练】有一个边长分别为4cm的等边三角形木块．现将三角板沿水平线翻滚，如下图，那么从B点开始到结束所经过的总长度为多少？ 【答案】 （cm） 【完整解答】三角形为等边三角形． 在翻滚过程中，B划过了两条圆弧，每段圆弧的圆心角大小都为120°． （120°+120°） 360°=   2×4×= （cm） 考点讲练二 长度和角度 【典例精讲】是三角形内2个点，以为顶点，连出一些相互之间没有重叠的三角形，则这些三角形所有内角的和最大可以等于（    ）度。 A．360 B．180 C．540 D．720 E．900 【答案】E 【思路引导】我们要在三角形 ABC 里，用 P、Q 两个点和 A、B、C 连出互不重叠的三角形，想让所有三角形内角和的总和最大。每个三角形内角和都是 180°，要让总和最大，就要尽量多分出三角形。 【完整解答】如图，可以连出5个相互之间没有重叠的三角形， 每个三角形内角和是 180°，5 个三角形的内角和总和是：5×180°＝900° 故答案选：E 【变式训练】（2024六年级·广东汕尾·竞赛）小华在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示，小红看见了说：“我也来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为2mm小正方形，每个小长方形的长和宽分别为（    ）。 A．10mm、18mm B．18mm、10mm C．6mm、10mm D．10mm、6mm 【答案】D 【思路引导】本题可以列方程来解决。通过观察第一幅图可知三个长等于五个宽，因此可以设小长方形的长为5x毫米，则小长方形的宽为3x毫米。再观察第二幅图，两个宽比一个长多2毫米，由此即可列出方程求出每个小长方形的长和宽。 【完整解答】解：设小长方形的长为5x毫米，则小长方形的宽为3x毫米。 长：（毫米） 宽：（毫米） 故答案为：D 考点讲练三 巧求周长 【典例精讲】（24-25六年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示，圆O上一点P与边长为10厘米的正方形一个顶点重合。圆O绕正方形顺时针滚动。 （1）点P再次与正方形重合的点是（    ）。 （2）如果圆O绕正方形滚动一圈回到原来的位置，圆心运动轨迹的长度是多少厘米？ 【答案】（1）点C （2）52.56厘米 【思路引导】（1）由图可知，这个圆的半径为2厘米，点P再次与正方形重合是圆滚动一周的距离，根据圆的周长＝即可求出滚动一周的距离，进而确定重合的点。 （2） 圆心的轨迹由4条线段和4个圆弧组成，4个圆弧组成一整个圆，这个组成的圆的半径为2厘米，线段的长度为正方形的边长10厘米，由此确定这个圆的圆心的轨迹长度。 【完整解答】（1）3.14×2×2＝12.56（厘米） 12.56厘米＞10厘米 由图可知则重合的点在另一条边上，点D位于边长中点，不符合题意，所以点P再次与正方形重合的点是点C。 （2）3.14×2×2＋10×4 ＝12.56＋40 ＝52.56（cm） 答：圆心运动轨迹的长度是52.56cm。 【考点剖析】确定圆心的运动轨迹并结合圆的周长即可解答。 【变式训练】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如左图中两个半径为r的等圆相交且只有一个交点（P1）的位置关系叫作两个圆“相切”，P1点就叫作两个圆的切点，这时发现点O1、P1、O2，在一条直线上。 （1）在左图中添加一个等圆使三个圆相切如右图的位置关系，请用直尺和圆规作图，找到圆心O3并标注在左图中，同时标注另外两个切点P2、P3。（保留作图痕迹） （2）求出作图后的三个“切点”所围成的弧线最短总长。 【答案】（1）见详解； （2）3.14r 【思路引导】（1）用圆规丈量圆O1的半径，在原图的上方画一个圆，圆心标记为O3，用直尺连接O1和O3并画一条虚线，同理用直尺连接O2和O3并画一条虚线，并在圆弧的交点处标记切点P2和P3。 （2）三个切点围成的图形为等边三角形，根据三角形内角和为180度，可知三个“切点”所围成的弧线最短总长即为圆周长对应的圆心角为180度的弧长，据此解答。 【完整解答】（1）由分析，画图如下： （2）×2×3.14×r ＝×2×3.14×r ＝3.14×r ＝3.14r 答：作图后的三个“切点”所围成的弧线最短总长为3.14r。 【考点剖析】弧长计算的关键：先确定圆弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式，本题中利用等边三角形的60度内角推导出圆心角为180度是解题突破口。 考点讲练四 巧求面积 【典例精讲】IE浏览器的图标是字母，图中字形的宽度是，半圆及扇形的圆心均在长方形的边上，如果长方形的长为9cm，那么，e字形（阴影部分）的面积是（    ）cm2。（π取3）。 A．60 B．50 C．41 D．31 E．22 【答案】D 【思路引导】观察可知阴影部分的面积由一个长方形和一个圆环的一部分组成，因此可以根据“圆环的面积＝”求出圆环的面积，再减去圆环空缺的部分（占圆环面积的），最后再加上长方形的面积，据此即可求出阴影部分的面积； 【完整解答】里面小圆的直径：（cm） 环形面积： （cm2） 阴影面积： （cm2） 故答案为：D。 【变式训练】（2023六年级下·贵州遵义·竞赛）如图，五个相同的长方形恰好能放置在一个边长为24的正方形里，则每个长方形的面积是（    ）。 A．12 B．18 C．24 D．32 E．36 【答案】D 【思路引导】通过观察图形中长方形的长和宽与正方形边长的关系 ，可以发现正方形边长＝长方形的长×3＝长方形的长×2＋长方形的宽×2，据此即可求出长方形的长和宽，进而求出长方形的面积。 【完整解答】正方形边长＝长方形的长×3＝长方形的长×2＋长方形的宽×2， 长方形的长：24÷3＝8 长方形的宽：24÷2－8 ＝12－8 ＝4 长方形面积：8×4＝32 故答案为：D 考点讲练五 格点与面积 【典例精讲】如图，在的方格中，小方格的边长为1，是格点三角形（顶点恰好是小方格的顶点），与恰有一条公共边，且与的面积相等的格点三角形共有___________个。 【答案】18 【思路引导】分情况去讨论，分别找到公共边为AB、AC、BC时这样的三角形个数，然后相加即可求出符合条件的三角形个数。 【完整解答】 如图，当公共边为AC时，这样的三角形有9个； 当公共边为AB时，这样的三角形有4个； 当公共边为BC时，这样的三角形有5个； 一共：9＋4＋5＝18（个） 因此这样的三角形共有18个。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）如果图中每个小方格代表1cm2，那么大长方形的面积是（    ）cm2。 A．56 B．60 C．58 D．66 【答案】D 【思路引导】图形观察可知，这个长方形沿着长有11个方格，沿着宽有6个方格，所以共有66个方格，每个方格的面积1cm2，则大长方形的面积＝每个方格的面积×方格的数量。 【完整解答】11×6＝66（个） 66×1＝66（cm2） 大长方形的面积是66cm2。 故答案为：D 考点讲练六 勾股定理 【典例精讲】（2023六年级·广东深圳·竞赛）如图右边的图形叫“勾股树”，完全由正方形和直角三角形构成，其中最大正方形的面积为100，则图中所有正方形的面积之和是（    ）。 A．350 B．400 C．500 D．550 E．600 【答案】C 【思路引导】由最大正方形开始，每一层全部正方形面积之和均相等，为100，由下往上共画出5层正方形（包括最大的正方形）。 【完整解答】总面积为：100×5＝500 则图中所有正方形的面积之和是500。 故答案为：C 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，已知一只电子蚂蚁按程序从O点出发，先向东走12厘米到达点A，接着从A点向北走了21厘米到达点B，最后从点B向西走了40厘米到达点C，那么现在电子蚂蚁到出发点O的直线距离是多少？ 【答案】35厘米 【思路引导】根据题意，求OC的直线距离可以点O建立方位如图，可知OC的距离为直角三角形的斜边，已知直角边OD的长度为21厘米，先需求出另一条直角边CD，即CB－AO。然后根据勾股定理计算即可。 【完整解答】40－12＝28（厘米） 1225＝35×35 答：现在电子蚂蚁到出发点O的直线距离是35厘米。 考点讲练七 等高模型 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，CE＝2BE，DF＝2CF，连结AE，AF交BD于G，H。已知五边形ECFHG的面积是11.7，则正方形ABCD的边长是( )。 【答案】6 【思路引导】如解答图，作HM⊥CD交CD于M点，作HN⊥AD交AD于N点，作GO⊥BC交BC于O点，作GQ⊥AB交AB于Q点。设BE＝a，根据HM＝HN，GO＝GQ可知S△ADH：S△DFH＝3：2，S△ABG：S△BEG＝3：1，即S△DFH＝S△ADF，S△BEG＝S△ABE，然后用a表示出三角形ADF、BEG的面积，即可求出三角形DFH、BEG的面积，然后用正方形面积的一半减去三角形DFH、BEG的面积之和即是五边形ECFHG，据此即可求出a，据此解答。 【完整解答】作HM⊥CD交CD于M点，作HN⊥AD交AD于N点，作GO⊥BC交BC于O点，作GQM⊥AB交AB于Q点。如下图所示： 设BE＝a，因为CE＝2BE，DF＝2CF 所以BE＝DF＝2a，CF＝BE＝a，AD＝AB＝3a 所以S正方形ABCD＝3a×3a＝9a2 因为BD是正方形ABCD的对角线，即BD是正方形ABCD的对称轴 所以HM＝HN，GO＝GQ 所以S△ADH：S△DFH＝AD：DF＝3a：2a＝3：2，S△ABG：S△BEG＝AB：BE＝3a：a＝3：1 因为S△ADF＝S△ADH＋S△DFH，S△ABE＝S△ABG＋S△BEG 所以S△DFH＝S△ADF，S△BEG＝S△ABE 而S△ADF＝AD×DF＝×3a×2a＝3a2，S△ABE＝AB×BE＝×3a×a＝a2 所以S△DFH＝S△ADF＝×3a2＝a2，S△BEG＝S△ABE＝a2＝a2 S△BCD＝S正方形ABCD＝×9a2＝a2 因为S五边形ECFHG＝S△BCD﹣S△DFH﹣S△BEG ＝a2－a2－a2 ＝ 而S五边形ECFHG＝11.7 即＝11.7 所以a2＝4 即a＝2 3a＝3×2＝6 所以正方形ABCD的边长是6。 【考点剖析】本题考查了利用等高模型去表示三角形面积，题目难度较大，熟练掌握相应的几何模型，并能熟练运用，是解题的关键。 【变式训练】如图，在梯形ABCD中，若AB＝8，DC＝10，S△AMD＝10，S△BCM＝15，则梯形ABCD的面积是________。 【答案】45 【思路引导】如图，连接BD。因为这是一个梯形ABCD，因此AB与CD互相平行，即△ADM和△BDM同底等高，据此可得S△BDM＝10，则S△BCD＝S△BMD＋S△BCM＝10＋15＝25。再根据“三角形的高＝三角形面积×2÷底”即可求出△BCD的高为：25×2÷10＝50÷10＝5，因此梯形ABCD的高也是5。最后再根据梯形的面积公式“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”即可求出这个梯形的面积。 【完整解答】如图，连接BD。 S△BCD：10＋15＝25 梯形ABCD的高：25×2÷10 ＝50÷10 ＝5 梯形ABCD的面积：（8＋10）×5÷2 ＝18×5÷2 ＝90÷2 ＝45 因此梯形ABCD的面积是45。 考点讲练八 等积变形 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）三角形ABC的面积为1，把它的各边按如图方式延长2倍得到D、E、F，求出△DEF的面积。 【答案】19 【思路引导】根据底边关系找对应公共顶点，连接AE、FB、DC，利用等高倍比分析∶ 1.因为AF＝2AC，△FAB与△CAB等高，得 又因为BD＝2AB，△FDB与△FAB等高，得 即把△CAB面积看做1份，那么△FAB面积为2份，△FDB面积为4份。所以△FDA的面积为4＋2＝6份 2.同理可知 因为BD＝2AB，EC＝2BC，得，，所以△DEB的面积为4＋2＝6份 因为EC＝2BC， AF＝2AC得，，所以△FEC的面积为4＋2＝6份 3.计算△DEF的总面积 △DEF由4个与△ABC面积相等的部分组成（原△ABC＋周围3个等面积三角形）。 因此，。 【完整解答】 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，一个大长方形被分割成两个小长方形A和B。小长方形A的长为大长方形长的。若小长方形B的面积为54平方分米，求小长方形A的面积。 【答案】27平方分米 【思路引导】小长方形A的长为大长方形长的，那么把大长方形的长看成4份，则小长方形A的长为1份。那么长方形B的长则为4－1＝3份，也就是A的长的3倍，因为两个长方形的宽相等，根据面积公式S＝ab，宽相等时面积比就等于长之比，所以B的面积也为A的3倍。 【完整解答】54÷（4－1）＝27（平方分米） 考点讲练九 一半模型 【典例精讲】如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）。 【答案】如图所示，分别连接AC、BD，且相交于点O，然后作直线PO，与平行四边形相交于E、F两点，则四边形ADEF和四边形BCEF面积相等。 【思路引导】平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等． 【完整解答】如图所示，分别连接AC、BD，且相交于点O，然后作直线PO，与平行四边形相交于E、F两点， 则四边形ADEF和四边形BCEF面积相等． 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下的一块中△ABC的面积应该是多少平方米？ 【答案】48平方米 【思路引导】观察图形可知其为长方形分割后的倍数关系，所求△ABC的面积为所在长方形面积的一半。上方两个长方形面积比为64∶48＝4∶3，即为两长方形的长之比。上方两长方形的长和下方所求长方形的长与面积为72的长相同，所以下方两个长方形长的比为4∶3，即面积比也为4∶3。 【完整解答】64∶48＝4∶3 72÷3×4＝96（平方米）。 96÷2＝48（平方米） 考点讲练十 鸟头模型 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）如下列图所示，三角形的面积为，且，那么三角形的面积是_________。 【答案】 【思路引导】先分别求出 、、的面积，再用的面积减去这三个三角形的面积即为的面积。 因为，，所以，，根据“鸟头定理〞，即，同理可得，，，所以 【完整解答】 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如下图，正方形边长为厘米，，．三角形的面积为________平方厘米。 【答案】10 【思路引导】题中所求阴影部分为三角形但是无法得出底和高，根据题中给出是三角形ABC的两边之比，恰好阴影部分有一部分在三角形ABC内部，则根据〞共角定理〞可得， 而 所以 同理得， 故 【完整解答】 （平方厘米） 72÷9×2＝16（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 考点讲练十一 蝴蝶模型 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，三角形ABC的面积为60，D、E分别为AB、AC的中点，且DE平行BC。F、G是BC边上的三等分点，求三角形DOE的面积。 【答案】9 【思路引导】根据题中的已知信息，以及观察图形，DE平行BC。涉及金字塔模型，沙漏模型。因为F、G是BC边上的三等分点，所以链接FD、GE。 因为DE平行BC，所以△ADE与△ABC相似，△DOE与△FOG相似。D、E分别为AB、AC的中点，所以AD∶AB＝DE∶BC＝1∶2。 所以，因为三角形ABC的面积为60，所以60÷4×1＝15，四边形BCDE面积为60－15＝45。 又因为F、G是BC边上的三等分点，所以DE∶FG＝1∶（2÷3）＝3∶2，，同理在△EFG与△DEG中，高相等，所以。 所以△FEG面积为45÷（2＋2＋2＋3）×3＝15。 因为DO∶GO＝DE∶FG＝3∶2，所以。所以15÷（3＋2）×3＝9 【完整解答】 60÷4×1＝15 1∶（2÷3）＝3∶2 45÷（2＋2＋2＋3）×3＝15 15÷（3＋2）×3＝9 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，三角形ABE中，AB平行DC，BD交AC于O，AD＝DE，三角形AB0的面积为4，求三角形ABE的面积等于_____。 【答案】12 【思路引导】观察图形，DE平行BC，可知△ADE与△ABC相似，因为AD＝DE，根据金字塔模型与沙漏模型可知DE∶AE＝DC∶AB＝EC∶EB＝1∶2。得，因为△AB0的面积为4，所以。在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理，，，＝4，可得。 所以，所以，所以 【完整解答】 4＝2×2 考点讲练十二 燕尾模型 【典例精讲】（2025六年级下·全国·竞赛）如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，OF平行EC，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6。求∶（1）求△OCF的面积；（2）求△GEC的面积。 【答案】（1）4 （2） 【思路引导】（1）求△OCF的面积 因为△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6。可得△BCD＝2＋4＋4＋6＝16， 又因为平行四边形ABCD的对角线交于O，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以BO＝OD。 在底相等且高相同的情况下， 所以△0CF的面积为8－4＝4 （2）求△GEC的面积 因为△BOC面积为8，△BOE面积为6，所以△OCE面积为8－6＝2，在梯形OECF中，根据蝴蝶定理可得EG∶FG＝，所以，所以＝2÷（1＋2）＝ 【完整解答】（1）2＋4＋4＋6＝16 8－4＝4 （2）8－6＝2 2÷（1＋2）＝ 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）如图在中，，求的值。 【答案】 【思路引导】观察图形，在三角形ABC内部已经3条线段相交，但是只有两两相交于同一点，结合题目给出边的比例关系，可作辅助线构造燕尾进行解题 连接BG 因为 根据燕尾定理，，（份数化统一）设为1份 得份，份，则份， 同理连接AI、CH得份，份 所以份 即三角形GHI的面积是1份，所以三角形ABC的面积是7份， 【完整解答】 设为1份 （份） （份） 1∶7＝ 考点讲练十三 相似模型 【典例精讲】（2024六年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，、分别为边上靠近和的五等分点，、分别为边上靠近和的五等分点，如果四边形的面积为3，的面积为5，那么四边形的面积是( )。 【答案】20 【思路引导】利用线段的比例关系以及图形面积的关系来求解四边形的面积，求解计划是通过连接辅助线，将四边形分割成多个部分，利用等分点的性质找出各部分面积之间的关系，进而求出四边形ABCD的面积。 【完整解答】连接AH、FC、AC、FH。 由于、分别为边上靠近和的五等分点，、分别为边上靠近和的五等分点 则， ， 则四边形的面积是20。 【变式训练】如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，CF和DE交于点P。已知BD＝CD，AF＝2BF，CE＝3AE，试求。（请勿用“鸟头”、“燕尾”、“沙漏”等模型解题，否则将被扣分） 【答案】3 【思路引导】如解答图，作EG∥CB交AB于点G，交CF的延长线于点H。多次利用相似三角形找出边与边之间的关系即可求解本题。 【完整解答】 如下图所示，作EG∥CB交AB于点G，交CF的延长线于点H。 因为EG∥CB 所以△AGE∽△ABC 又CE＝3AE 设EG＝m，则BC＝4m 又因为AF＝2BF，设BF＝n，则AF＝2n 所以 FG＝AF－BF－AG＝ 因为EH∥BC 所以△FGH∽△FBC 因为BC＝4m，BD＝CD 所以CD＝2m 又因为EH＝EG+GH＝m+5m＝6m 因为EH∥CD 所以△EHP∽△DCP 答：为3。 考点讲练十四 圆和扇形 【典例精讲】（25-26六年级上·河北石家庄·期末）下面涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 【完整解答】A．涂色部分存在不是半径的边，不满足定义，排除； B．涂色部分存在不是半径的边，不满足定义，排除； C．涂色部分满足由两条半径和它们所夹的弧组成，符合扇形定义。 【变式训练】（25-26六年级上·福建龙岩·期末）甲、乙两只蜗牛同时从A地出发，甲爬行外圈的路线，乙爬行内圈的路线（如图）。（    ）到达终点B。 A．甲先 B．乙先 C．同时 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】假设三个小半圆的直径分别是d1、d2、d3，大半圆的直径是D，大半圆直径＝三个小半圆的直径和，根据圆周长的一半＝πd÷2（π取3.14），分别求出两条路线的长度，比较即可。 【完整解答】如图： 3.14×D÷2 ＝3.14D÷2 ＝1.57D 3.14×d1÷2＋3.14×d2÷2＋3.14×d3÷2 ＝3.14×（d1＋d2＋d3）÷2 ＝3.14×D÷2 ＝3.14D÷2 ＝1.57D 在同一个圆（或半圆）中，两点之间直线最短，即：“弦长”（直线段）＜“弧长”（对应半圆的弧）所以，乙的第三段“直线”＜走“半圆弧”的长度。乙的总路程＝前两段半圆弧＋最后一段更短的直线，所以乙的总路程＜1.57D＝甲的总路程。 两只蜗牛速度相同，所以乙先到达终点。 故答案为：B 【考点剖析】本题关键在于，多个小半圆的直径之和等于外圈大半圆的直径，所以它们的半圆弧长之和与大半圆弧长相等；而乙的路线中用直线段替代了一段半圆弧，利用“两点之间线段最短”，能判断出乙的总路程更短，速度相同时乙先到达终点。 考点讲练十五 多角度观察 【典例精讲】一个由3×3×3的正方体，从中取出一些小正方体后，仍能使得从左面、右面、前面和上面都看到如图的形状，下列说法正确的是（    ）。 ①最少要剩下13个小正方体②最少要剩下15个小正方体 ③最多可剩下20个小正方体④最多可剩下21个小正方体 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】A 【思路引导】根据从左面、右面、前面和上面都看到如图的形状，确定每行每列每层的个数即可。 【完整解答】（1）如下图摆放，最少要剩下小正方体： 3×2＋1×5＋2 ＝6＋5＋2 ＝13（个） （2）如下图摆放，最多要剩下小正方体： 3×4＋2×4 ＝12＋8 ＝20（个） 故答案为：A 【变式训练】小娟有5个盒子，第一个盒子内有2个正方形及8个三角形；第二个盒子内有3个正方形及2个三角形；第三个盒子内有3个正方形及4个三角形；第四个盒子内有4个正方形及3个三角形；第五个盒子内有5个正方形及4个三角形；在盒子中的所有正方形及三角形的边长都相同，小娟想利用这些正方形及三角形沿着边粘贴成一些多面体。若每一个多面体都必须由一个盒子内的全部图形所组成，那么有（    ）个盒子符合要求。 A．4 B．3 C．2 D．1 E．0 【答案】A 【思路引导】由于每条棱连接2个面，所以相当于两条边拼合为1条棱。则总边数必须为偶数，也就是三角形个数为偶数。由此排除第四个盒子。（此时其余盒都能拼合）然后根据盒子的图形具体拼合一下即可解答。 【完整解答】①第一个盒子：2个正方形+8个三角形，斜四棱柱。 正方形作俯面，8个三角形两两拼合后作侧面： 第二个盒子：3个正方形+2个三角形，三棱柱。 第三个盒子：3个正方形+4个三角形，正三角棱柱。 第五个盒子：5个正方形+4个三角形，四角棱柱。 故第一、二、三、五个盒子都可以拼成。 故答案为：A 考点讲练十六 立体图形的展开 【典例精讲】将一个正方体纸盒沿着棱剪开，展开之后平铺到桌面上，得到的图形不可能是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】如图，正方体的展开图一共有11种，据此即可选择。 【完整解答】A．符合1-4-1型，可以得到； B．符合1-4-1型，可以得到； C．符合1-4-1型，可以得到； D．出现了“凹”型，不能得到。 故答案为：D 【变式训练】如图是个正八面体，下面四个图形中能形成八面体的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是八面体的展开图，正八面体由8个面组成，每个面都是等边三角形。判断一个图形是否是八面体的展开图，需要考虑它是否能折成一个封闭的八面体。 【完整解答】A．此图可以看是由两个正四棱锥的侧面展开图拼接而成，这两个正四棱锥的底面重合，可以拼成一个正八面体； B．此图折叠后发现会有部分面重合，因此不能拼成一个正八面体； C．此图折叠后发现会有部分面重合，因此不能拼成一个正八面体； D．此图有16个正三角形，因此不能拼成一个正八面体。 故答案为：A 考点讲练十七 表面积相关问题 【典例精讲】如图所示的立体图形由14至16个棱长为1厘米的立方块搭成，这个立体图形的表面积（不计底面）至少为（    ）平方厘米。 A．31 B．32 C．34 D．35 E．38 【答案】C 【思路引导】由于这个立体图形是由14个棱长为1厘米的立方块搭成，当底部是8个立方块的时候，则底层是8个，中间是5个，上面是1个，一共是14个，此时表面积是最少的。从前面看有7个面，则后面也是7个面，从右边看有6个面，则左面也是6个面，从上面看有8个面，由于不计底面，此时一共有：7＋7＋6＋6＋8＝34个面，由于1个立方块一个面的面积是1×1＝1平方厘米，则34个面的面积：34×1＝34平方厘米，据此即可选择。 【完整解答】由分析可知： 7＋7＋6＋6＋8＝34（个） 34×（1×1） ＝34×1 ＝34（平方厘米） 这个立体图形的表面积（不计底面）至少为34平方厘米。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查组合体的表面积，根据三视图观察每个面有多少个小正方形是解题的关键。 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）题图是几个棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图，数字表示该位置叠加小正方体的个数，那么这个几何体的表面积是( )。 【答案】44 【思路引导】通过分别计算几何体上下、左右、前后方向能看到的小正方形的个数，再乘以每个小正方形的面积，从而得到几何体的表面积。 【完整解答】由俯视图可知，上下方向能看到的小正方形个数为：（个） 每个小正方形面积是： 上下方向的面积为： 左右方向能看到的小正方形个数为：（个） 左右方向的面积为： 前后方向能看到的小正方形个数为：（个） 后方向的面积为： 几何体的表面积： 这个几何体的表面积是44。 【考点剖析】本题难点在于准确理解俯视图所表示的几何体结构，以及全面且不重复、不遗漏地计算出各个方向看到的正方形个数。 考点讲练十八 体积相关问题 【典例精讲】如图，一个长方体容器中装有120L的水，但没有装满。按不同的方式放置，水深分别为，，则该容器的容积为（    ）。 A．160L B．180L C．200L D．220L E．240L 【答案】E 【思路引导】设这个长方体容器长、宽、高分别为 x、y、z（单位dm），根据长方形的体积＝长×宽×高，由第一幅图可知：2xy＝120；由第二幅图可知：3xz＝120；由第三幅图可知：5yz＝120；化简转换即可求出 xyz的乘积，据此即可求出这个容器的体积。 【完整解答】设这个长方体容器长、宽、高分别为 x、y、z（单位dm）， 由题意可知，即， 将三个算式相乘，即可得到：， 因此。 所以这个容器的体积为240L。 故答案为：E 【变式训练】（2024六年级·全国·竞赛）如图，在空的长方体容器内放入一个圆柱体铁块，然后往容器中灌水。5分钟时水面恰好与圆柱体的顶面相平，再过12分钟水灌满容器。已知长方体容器的高是50厘米，圆柱体铁块的高是20厘米，则长方体容器的底面积是圆柱体铁块底面积的( )倍。 【答案】＃＃ 【思路引导】分两次灌水，第一次与圆柱的顶面相平，高度为圆柱的高20厘米；第二次灌水的高度为长方体的高减去圆柱的高，50－20＝30（厘米）； 容器注满20厘米高的水与注满30厘米高的水所用时间的比为20∶30＝2∶3，注20厘米高的水所用的时间为12÷3×2＝8（分钟），说明要注入圆柱体铁块所占空间的水要用8－5＝3（分钟）； 长方体容器的底面积与圆柱体铁块的底面积之比就等于它们的体积之比，而它们的体积之比等于它们注水的时间之比，8÷3＝。 【完整解答】20∶30＝2∶3 12÷3×2＝8（分钟） 8÷3＝ 长方体容器的底面积是圆柱体铁块底面积的倍。 【考点剖析】根据高度比算出要注入圆柱体容器所占空间的水需要的时间； 抓住长方体容器的底面积与圆柱体铁块的底面积之比就等于它们的体积之比，而它们的体积之比等于它们注水的时间之比。 考点讲练十九 圆锥和圆柱 【典例精讲】如图是个柱体，高是20厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求这个柱体的表面积和体积。 【答案】表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米 【思路引导】底面圆心角是一个270°的扇形，用270°除以360°可以先求出这个扇形占圆的。根据圆柱的体积公式“圆柱的体积＝底面积×高”先求出完整圆柱的体积，然后乘即可求出这个柱体的体积。 这个柱体的表面积包括了上下两个圆、完整圆柱侧面积的、两个长方形，依次求出每部分的面积然后相加即可求出这个柱体的表面积。 【完整解答】 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：这个柱体的表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米。 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）有一个高8厘米，容量为50毫升的圆形容器，里面装满了水，现把长16厘米的圆柱垂直放入，使的底和的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把从拿走后，中的水的高度只有6厘米，求圆柱体的体积是多少？ 【答案】25立方厘米 【思路引导】当把长16厘米的圆柱垂直放入容器时，从容器中溢出的水的体积，就是放入容器的高为8厘米的圆柱的体积，然后再求出整个圆柱体的体积。 【完整解答】（平方厘米）； ， ， （毫升）； ， ， （立方厘米）； 答：圆柱体的体积是25立方厘米。 考点讲练二十 等体积变形 【典例精讲】如图，一个正方体的密闭容器，每条边的长度均为20cm。容器内盛有一些水，在容器的底部焊接着一个长方体实心铁块，铁块的上表面刚好与水面持平。把容器倒置，如图所示（此时铁块仍有一部分在水面以下），量得水面高度为12cm。已知容器底面积是长方体铁块底面积的16倍，则开始时水面高度为（    ）cm。 A．10 B．11.5 C．12.5 D．15 E．16 【答案】C 【思路引导】根据题意可知，容器底面积是长方体铁块底面积的16倍，正方体的底面积＝棱长×棱长，为400cm2，即长方体的底面积是25cm2，左图水的体积和实心铁块的体积就等于密闭正方体容器的底面积×水面的高度，右图中右边水的体积和实心铁块的体积＝底面积是400，高是12厘米的体积＋底面是25，高是（20－12）厘米的体积，再根据左边水的体积＋物体体积等于右边水的体积和实心铁块的体积，设开始水面的高度为xcm，列出方程求解。 【完整解答】20×20＝400（cm2） 400÷16＝25（cm2） 解：设开始时水面高度为xcm。 20×20×x＝20×20×12＋25×（20－12） 400x＝4800＋200 400x＝5000 x＝12.5 则开始时水面高度为12.5cm。 故答案为：C 【变式训练】（2025六年级·全国·竞赛）把圆柱的底面分成16等份，然后把圆柱切开，照如图拼起来，圆柱就转化成一个近似的长方体。如果圆柱的侧面积是40平方厘米，底面半径是5厘米，那么它的体积是_________立方厘米。如果圆柱的高是4厘米，拼成长方体后，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱体的体积是_________立方厘米。 【答案】 100 113.04 【思路引导】圆柱侧面展开后是一个长方形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高。根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，先根据半径得出底面周长是10π，再用除法得出圆柱的高，最后根据圆柱的体积，代入数据计算即可。 圆柱拼成长方体后增加的表面积是2个长是圆柱的高、宽是圆柱底面的半径的长方形，则每一个长方形的面积是12，再根据底面半径＝长方形的面积÷高。再将数据代入公式计算即可。 【完整解答】40÷（2π×5） ＝40÷10π ＝（厘米） ＝ ＝25×4 ＝100（立方厘米） 24÷2÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） ＝113.04（立方厘米） 则如果圆柱的侧面积是40平方厘米，底面半径是5厘米，那么它的体积是100立方厘米。 如果圆柱的高是4厘米，拼成长方体后，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱体的体积是113.04立方厘米。 考点讲练二十一 染色问题 【典例精讲】（2025六年级·贵州遵义·竞赛）一个大立方体由64个相同的小立方体组成，这个大立方体的三个面被涂上了颜色，则（    ）。 A．有两个小立方体的三个面都被涂上了颜色 B．最多会有9个小立方体只有两个面被涂上了颜色 C．最少会有8个小立方体只有两个面被涂上了颜色 D．最多会有32个小立方体只有一个面被涂上了颜色 【答案】C 【思路引导】大立方体由4×4×4＝64个小立方体组成。当三个面被涂色时，需分析不同排列方式下各选项的正确性。 三个面相邻时，三个面交汇的角有1个小立方体三面涂色，三条边每条边贡献2个两面涂色的小立方体，共6个。若三个面中有两个相对面和一个侧面，则两面涂色的小立方体数量为4个。 单面涂色的小立方体每个面中间有4个，共12个。 【完整解答】A．三个面交汇的角仅有1个小立方体三面涂色，故错误。 B．三个面相邻时，两面涂色的小立方体最多为6个，无法达到9个，故错误。 C．若三个面为前面、右面和后面，前面与右面、后面与右面各贡献4个两面涂色的小立方体，共8个，此为最少情况，故正确。 D．单面涂色的小立方体最多为3×4＝12个，无法达到32个，故错误。 故答案为：C 【变式训练】（2025六年级下·全国·竞赛）下图是4×4×4正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色的小正方体各有多少块？ 【答案】一面被涂成黄色的小正方体有24块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块 【思路引导】三面涂色：位于正方体顶点处，正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8块。 两面涂色：位于棱上（非顶点）。每条棱有4个小正方体，减去2个顶点，每条棱有4－2＝2个两面涂色的。正方体有12条棱，故两面涂色的小正方体有12×2＝24块。 一面涂色：位于面的中心（非棱非顶点）。每个面4×4，去掉外围一圈，每边剩4－2＝2个，每个面一面涂色的小正方体有2×2＝4个。正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体有6×4＝24块。 【完整解答】4－2＝2（面） 12×2＝24（块） 2×2＝4（面） 6×4＝24（块） 答：一面被涂成黄色的小正方体有24块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块。 1．（24-25六年级下·山东青岛·期中）用边长为4厘米的正方体积木最多可以分割成（     ）个底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】先根据圆柱底面半径求出底面直径，再分别看正方体的边长能容纳几个圆柱的底面直径和高，用层数乘每层个数得到总个数。 【完整解答】圆柱底面直径＝2厘米 正方体边长＝4厘米 沿底面看，4÷2＝2，一行可放2个，一列可放2个 一层可放：2×2＝4（个） 沿高度看，4÷2＝2，一共可放2层 总个数：4×2＝8（个） 2．（2023六年级·广东深圳·竞赛）用方格纸剪成面积为4的图形，其形状只能有以下7种，如果用其中的四种拼成一个面积为16的正方形，且这四种图形的标号之和为最小，那么应选（    ）。 A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．①②③⑥ D．①②③⑦ E．②③④⑤ 【答案】D 【思路引导】这是一道图形拼接与组合的逻辑推理题，每个图形面积为4，用4个拼成面积为16的正方形（即4×4的正方形）。我们对5个选项依次进行检验即可解决。 【完整解答】用实验法可知，题图中能拼成4×4正方形的三种不同组合可以是：①、②、③、⑦；或①、②、④、⑦；或①、②、⑤、⑦。 A：①②③④，标号和：1＋2＋3＋4＝10，且不能拼接； B：①③⑤⑦，标号和：1＋3＋5＋7＝16，且不能拼接； C：①②③⑥，标号和：1＋2＋3＋6＝12，且不能拼接； D：①②③⑦，标号和：1＋2＋3＋7＝13，能拼接； E：②③④⑤，标号和：2＋3＋4＋5＝14，且不能拼接。 故答案为：D 3．（2023六年级·广东深圳·竞赛）下图中，是一个正方形，是上的点，是上的中点，与交于。已知正方形的面积是180平方厘米，则三角形的面积比三角形的面积大（    ）平方厘米。 A．20 B．25 C．30 D．15 E．10 【答案】D 【思路引导】我们可以用 “转化法” 来做：S△AEH​－S△HFG​＝（S△AEH​＋S△EFH​​）－（S△HFG​＋S△EFH​），也就是：S△AEH​－S△HFG​＝S△AEF​－S△EFG​。然后分别求出这两个三角形的面积即可解决。 【完整解答】S△AEF＝（平方厘米） S△EFG＝（平方厘米） S△AEH－S△HFG＝（S△AEH​＋S△EFH​​）－（S△HFG​＋S△EFH​）＝S△AEF​－S△EFG＝30－15＝15（平方厘米） 故答案为：D 【考点剖析】把两个小三角形的面积差，转化成两个容易计算的大三角形的面积差，避开了求交点的复杂步骤。遇到有交点的面积差问题，优先考虑 “补一块公共图形” 的方法，把问题变简单。 4．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，已知正方形ABCD的面积为340，E是AB的中点，F、G分别是边BC、AD上的点，且，，连接EG、EC、FG，其中EC、FG交于点O，则三角形EOG的面积为______。 【答案】56 【思路引导】建立坐标系，将正方形置于平面直角坐标系中，便于用坐标表示各点位置。确定关键点坐标，根据线段比例关系（如中点、分点）计算E、F、G的坐标。求直线方程：利用两点式写出EC和FG的直线方程。联立方程求交点：解联立方程得到交点O的坐标。面积计算：应用坐标法公式计算三角形EOG的面积。 【完整解答】1.设定坐标系与确定各点坐标 设正方形边长为a，则＝ 340，即a ＝ 以点A为原点建立坐标系：A（0，0）、B（a，0）、C（a，a）、D（0，a） ； E为AB中点：E（，0） ； F在BC上，； 分点公式得F（a，） ； G在AD上，； 分点公式得G（0，） 2. 求直线EC和FG的方程 EC的方程：连接E（，0）和C（a，a），斜率为2， 方程为y ＝ 2x－a    FG的方程：连接F（a，）和G（0，），斜率为－，方程为y ＝ －x ＋ 3. 联立方程求交点O    联立y ＝ 2x－a和y ＝－x ＋ 解得：x ＝ ，y ＝ 即O（，） 4. 计算三角形EOG的面积 利用坐标公式：面积＝ 代入各点坐标： 面积＝ ＝ ＝ ＝ 代入 面积＝ ＝56 即三角形EOG的面积为56。 5．（25-26六年级上·浙江宁波·期末）如下图所示，用相同的圆画图，依据前四幅图的规律思考⑤阴影部分的形状。如果每个小圆的半径都是2cm，那么图⑤阴影部分的面积是( )，图n阴影部分的面积是( )。 【答案】 31.4 【思路引导】观察图①发现阴影部分为三个半径是2cm的扇形组成，每个扇形的圆心角对应三角形的每个内角，三角形的内角和是，所以三个扇形合起来是一个圆心角的扇形，也就是一个半径2cm的半圆（即个圆）； 观察图②发现阴影部分为四个半径是2cm的扇形组成，每个扇形的圆心角对应正方形的每个内角，正方形的内角和是，所以四个扇形合起来就是一个的扇形，也就是一个半径2cm的整圆（即1个圆）； 观察图③发现阴影部分为四个半径是2cm的扇形和一个半径2cm的半圆，每个扇形的圆心角对应梯形的每个内角，梯形的内角和是，所以四个扇形合起来就是一个的扇形，也就是一个半径2cm的整圆再加上一个半径2cm的半圆（即个圆）； 观察图④发现阴影部分为四个半径是2cm的扇形和两个半径2cm的半圆，每个扇形的圆心角对应长方形的每个内角，长方形的内角和是，所以四个扇形合起来就是一个扇形，也就是一个半径2cm的整圆，再加上两个半径2cm的半圆（即2个圆）； 整理：图①阴影：个圆，图②阴影：1个圆；图③阴影：个圆，图④阴影：2个圆······以此类推再根据圆的面积公式计算面积即可。 【完整解答】根据分析可得：图⑤阴影部分是个圆，面积为： （） 根据分析图阴影部分是个圆，面积为： （） 6．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）小美做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去。若最后得到10张纸片，其中有5张三角形纸片，2张四边形纸片，2张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是( )。 【答案】6 【思路引导】初始有1张三角形纸片，每剪1次纸片数增加1，最终得到10张纸片，所以总共剪了10减1等于9次；接着根据剪纸规律，每次剪纸会使总边数增加4，初始三角形总边数为3，因此9次剪纸后所有纸片的总边数为3＋9×4＝39；然后分别计算5个三角形、2个四边形、2个五边形的边数和；最后用总边数减去已知边数和，即可求出未知多边形的边数。 【完整解答】剪纸次数：10－1＝9（次） 总边数增量：9×4＝36 最终总边数：3＋36＝39 已知边数和：5×3＋2×4＋2×5 ＝15＋8＋10 ＝33 未知多边形边数：39－33＝6 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 【答案】4 【思路引导】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE＝ED，连接DF，可知（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分面积转化为求三角形BDF的面积。 【完整解答】连接DF，如下图： 因为AE＝ED 所以， 又因为（BD占2份，DC占1份） 所以（和等高） 所以（，即） 所以（） 又因为 所以 所以 阴影部分的总面积是4。 【考点剖析】需牢记：①等底等高三角形面积相等；②等高时，三角形面积比等于底的比。 8．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）如图，以正方形的4个顶点为圆心，分别画出了同样大小的4个扇形，求阴影部分的面积。 【答案】13.76cm2 【思路引导】由图可知：正方形边长是8cm，4个扇形的半径等于正方形边长的一半，即8÷2＝4（cm），且4个扇形拼起来是一个完整的圆，阴影部分的面积＝正方形的面积－这4个扇形组成的圆的面积。据此解答。 【完整解答】8×8－3.14×（8÷2）2 ＝8×8－3.14×42 ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 9．（2024六年级·全国·竞赛）求图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】周长是47.1厘米，面积是28.5平方厘米。 【思路引导】此图阴影部分的周长＝两个直径为10的半圆的弧长＋半径为10圆心角90°的扇形的弧长； 计算面积时把两个半圆重合部分平均分为两份①和②，然后补到③和④的位置，如图．这样阴影部分的面积等于半径为10圆心角90°的扇形的面积减去一个直角等腰三角形的面积。 【完整解答】阴影部分周长：3.14×10÷2×2＋3.14×10×2× ＝31.4＋3.14×20× ＝31.4＋3.14×5 ＝31.4＋15.7 ＝47.1（厘米） 阴影部分面积： （平方厘米） 阴影部分周长：47.1厘米，阴影部分的28.5平方厘米。 10．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】41.34平方厘米 【思路引导】已知半圆的半径和梯形的上、下底和高，根据公式即可求出它们的面积，因为空白扇形的圆心角是60°，说明空白扇形的面积占半圆面积的60°÷180°＝，阴影部分的面积＝半圆的面积＋梯形的面积－2个空白扇形的面积，据此解答即可。 【完整解答】60÷180＝ 3.14×6×6× ＝1.57×36 ＝56.52（平方厘米） （3＋6）×5÷2 ＝45÷2 ＝22.5（平方厘米） （56.52＋22.5）－56.52××2 ＝79.02－37.68 ＝41.34（平方厘米） 所以阴影部分的面积是41.34平方厘米。 【考点剖析】找出阴影部分面积和半圆以及梯形面积之间的关系是解决此题的关键，掌握圆的面积和梯形的面积公式是解决此题的基础。 11．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊的三角形。它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作的圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。 (1)根据以上描述，请你以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形。 (2)如果三角形ABC的边长是3厘米，请计算这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ (3)莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度，因此，一个莱洛三角形无论怎么滚动都会始终保持在一组平行线内运动（如图）。若将第（2）问中的莱洛三角形的顶点A与等边三角形DEF的顶点D重合，且，DE＝6.28厘米，将等边三角形ABC所画的莱洛三角形沿等边三角形DEF的边作无滑动的滚动。当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动的过程中所扫过的区域面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)见详解 (2)9.42厘米 (3)84.78平方厘米 【思路引导】（1）根据描述，分别以A、B、C三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，画出三条圆弧。 （2）莱洛三角形的周长等于三条圆弧的长度之和，每个圆的对应的圆心角是等边三角形的其中的一个内角，三角形的内角和是180°，等边三角形的内角相等，则每一个内角是60°。则每条圆弧是整个圆的＝＝，则每条圆弧的长度＝2πr×（π取3.14），最后再乘3即可。 （3）莱洛三角形沿等边三角形DEF无滑动滚动，扫过的区域由3个长方形和3个扇形组成。根据长方形面积＝长×宽，求出1个长方形的面积；根据扇形面积＝×πr2，求出1个扇形的面积；将两部分面积相加再乘3，即为总扫过面积。 【完整解答】（1）画图如下： （2）2×3.14×3××3 ＝18.84××3 ＝9.42（厘米） 答：这个莱洛三角形的周长是9.42厘米。 （3）6.28×3＝18.84（平方厘米） ×3.14×32 ＝×3.14×9 ＝9.42（平方厘米） （18.84＋9.42）×3 ＝28.26×3 ＝84.78（平方厘米） 答：这个图形在运动的过程中所扫过的区域面积是84.78平方厘米。 12．（2023六年级下·全国·竞赛）学生们玩投包游戏，在操场上放一个篮筐，参加游戏的同学在篮筐外手拉手围成一个圆，8位同学站在圆上投包，看谁投得准。测得一个同学两臂伸平后大约是1.6米。每个同学距篮筐的距离大约是多少米？（得数保留整米数） 【答案】2米 【思路引导】根据题意，可以先求出8位同学围成的这个圆的周长，然后再根据“圆的周长＝2πr”即可求圆的半径，即为每个同学距篮筐的距离。 【完整解答】圆的周长：1.6×8＝12.8（米） 半径：12.8÷2π ＝12.8÷（2×3.14） ＝12.8÷6.28 ≈2（米） 答：每个同学距篮筐的距离（即圆的半径）约为2米。 13．（2022六年级·广东广州·竞赛）已知等边三角形ABC，D、E、F分别在BC、AC、AB边上，BC＝3BD，BA＝3BF，，则∠ADE＋∠FEB的度数？ 【答案】30° 【思路引导】取AF的中点可以构造等边三角形来求角度，然后再利用对称性换等角，即可将∠ADE＋∠FEB转换为∠FED，据此即可解决问题。 【完整解答】如图，取AF中点H，连EH， 因为BC＝3BD，BA＝3BF，， 所以AE＝BD＝BF＝AH＝FH，即可知△AHE为等边三角形， 因此∠AHE＝∠AEH＝60°，∠DEC＝60°，∠FHE＝120°。 因为FH＝HE， 所以∠HEF＝30°， 即∠FED＝180°－（60°＋60°＋30°）＝30°。 根据轴对称性可知：∠ADE＝∠BED， 所以∠ADE＋∠FEB＝∠BED＋∠FEB＝∠FED＝30°。 答：∠ADE＋∠FEB的度数是30°。 14．（2023六年级·全国·竞赛）小亚有一张宽为6厘米长为94厘米的纸。他想要从这张纸裁出尽可能多的长方形纸片，这些长方形纸片的周长都必须是20厘米且边长都是整数。请问他最多可以裁出多少张长方形纸片？ 【答案】61张 【思路引导】裁出的长方形纸片的周长是20厘米，且长和宽都是整厘米数，即这样的长方形有1×9、2×8、3×7、4×6、5×5；想要裁出的长方形的纸片最多，则长方形的纸片的面积最小，其中1×9是面积最小的情况，再用原来长方形的面积÷最小的长方形面积，再分析是否可行即可。 即原来纸片长方形的宽是6厘米，长是94厘米，则将6厘米分成1厘米宽的线段，将94厘米分成9厘米长的线段，即94＝9×10＋4，则最多只能裁60张宽为1厘米，长为9厘米的长方形纸片。剩余的纸片是长为6厘米，宽为4厘米，即面积是24平方厘米的长方形纸片，则周长恰好是20厘米，相加就是最多的长方形纸片。 【完整解答】1×9＝9（平方厘米） 6×94＝564（平方厘米） 564＝9×62＋6 94＝9×10＋4 6＝1×6 6×10＋1 ＝60＋1 ＝61（张） 答：他最多可以裁出61张长方形纸片。 15．（24-25六年级上·山东青岛·期末）转化是解决数学问题的一个重要思想方法。运用转化的方法可以把未知的知识转化成已知的知识，把复杂的问题转化成简单的问题。例如，我们在探究除数是小数的除法时，运用商不变的性质把除数是小数的除法转化成除数是（    ）的除法；又如在探究圆的面积的时候，把圆的面积转化成了近似的（    ）的面积。 你能用转化的数学思想方法来解决以下数学问题吗？如图，三个圆的半径都是2米，求阴影部分的面积。 【答案】整数；长方形； 6.28平方米 【思路引导】（1）根据商不变的性质和圆的面积公式的推导过程可得，我们在探究除数是小数的除法时，运用商不变的性质把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法；又如在探究圆的面积的时候，把圆的面积转化成了近似的长方形的面积。 （2）三角形的内角和是180度，所以三个阴影部分的面积和就等于半径是2米的半圆的面积；据此解答即可。 【完整解答】根据分析得出： （1）我们在探究除数是小数的除法时，运用商不变的性质把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法；又如在探究圆的面积的时候，把圆的面积转化成了近似的长方形的面积。 （2）3.14×22÷2 ＝3.14×2 ＝6.28（平方米） 答：阴影部分的面积6.28平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $