江西萍乡市2025-2026学年高三二模考试数学试题

准考证号 姓名 绝密★启用前 (在此卷上答题无效) 萍乡市2025一2026学年度高三二模考试试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.第I卷1至2页，第.Ⅱ卷3至4 页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上 粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字 笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第I卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.若(1+)z=4+2i,则复数z的虚部为 A.-1 B.1 C.-3 D.3 2.某同学需将a,b,c,d,e这5个字母排成一排，若a与b必须相邻，则不同的排法种数为 A.24 B.48 C.96 D.120 3.为了研究y与x的线性相关关系，某同学收集了5组样本数据（如下表)，利用最小二乘法得到 y关于x的线性回归方程为)=+1，则下列说法正确的是 2 3 4 4 5.5 9 1 A.a=2.5 B.这5组样本数据中，y的40%分位数为4 C.当x=6时，y的预测值为10 D.去掉样本点(3,5.5)后，x与y的样本相关系数r必会改变 4.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若a=2,b=√2，A=45°，则C= A.60° B.75° C.105° D.120° 5.已知a>0,b>0,4a+b=1,则2+的最小值为 A.5 B.6 C.7 D.8 6.在正四面体ABCD中，点E在棱AB上，点F在棱AC上，若EF∥平面BCD,且AE=1, CF=2,则三棱锥B-DEF与正四面体ABCD的体积之比为 B.4 D. 2 7 c 二模数学第1页（共4页) 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x=1对称，当x∈(0,1]时， f)=e+e2-x-2c,则方程f)-sim=0在区间[-2,5]上解的个数为 A.11 B.10 C.9 D.8 8已知数列a,}满足a=山，Q+4,-学++马，n6N,其中冈表示不超过x的 最大整数.若am+4m=506,则m= A.44 B.45 C.46 D.47 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9,函数f)=sn(2x-孕，则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为元 B.f(x)的图象关于直线x=元对称 8 C.f(x)的图象关于点（西，0）对称 8 D在区间[一专受1上单调递减 人已知双曲线c名-@>0.b>0的左、石焦点分别为，乃，离心率为5，点P在 曲线上，则下列说法正确的是 A.双曲线C的渐近线方程为y=+2x B若PR=2P,则sm∠KPR=名 c.PE+PF的最小值为2N5a D.点P到C的两条渐近线的距离之积为定值4a2 5 11.在棱长为2的正方体ABCD-4B,C,D,中，点P满足D泸=D克+D莎，其中元，u∈R,则 下列说法正确的是 A.当元=1时，BC↓DP B.当4=1时，CP∥平面ABD C.当2=μ=2时，平面P4C截正方体所得截面面积为25 3 D.若直线AP与直线AD,所成角为亚，则点P的轨迹为抛物线 二模数学第2页(（共4页) 萍乡市2025一2026学年度高三二模考试试卷 数学 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为 13.有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球 和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球，现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取 出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为 14.已知集合A={a,a2,a,a4},定义|A表示A的元素个数，4，A,4为A的三个互不相同的 子集.若集合B={4,A,4}，且I(4∩A)U(4∩4)U(4∩4)=4，则不同的B的个数 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=5，S-S2=27. (1)求{a,}的通项公式； (2)若Sn-2an>2026,求n的最小值. 16.(本小题满分15分) 某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20 -0.45 (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布N(μ，3.19)，若以这50件样品的平均误差作为 4的估计值，且误差落在区间(-3.58,3.58]内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000 件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品” 进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y,求Y的分布列及其数学期望 附：若X~N(u,o2),则P(u-o<X≤H+o)≈0.6827，P(4-2o<X≤4+2o)≈0.9545： √3.19≈1.79. 二模数学第3页（共4页) 17.（本小题满分15分) 已知圆G:0x++y广=子，圆C,:(x-2+y2-49,动圆M与C外切，与C,内切. (1)求M的轨迹E的标准方程： (2)设过点P0,2)的直线1与E交于A,B两点，且P4<P8,求 的取值范围. B 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=xe-a,g(x)=alhx,aeR. (1)若a≤0，且f)在点1，f)处的切线与直线y=-】 x垂直，求a的值； 3e (2)设函数h(x)=f(x)-g(x)· (i)当a=1时，求(x)的最小值： (ii)当a>1时，讨论h(x)的零点个数. 19.(本小题满分17分) 在三棱锥P-ABC中，点P在底面ABC内的投影F恰在直线AB上，△ACP与△BCP的面积相 等 (1)若AB⊥CF,证明：F为线段AB的中点； (2)若CP=V2CF=4,E元=C克，△ACP的面积等于4W2. (1)证明：△ABE的周长为定值； (ii)当二面角A-CP-B的平面角为2亚时，求线段AB的长. B 二模数学第4页（共4页) 萍乡市2025-2026学年度高三二模考试 数学参考答案及评分标准 -、单选题(8×5=40分)：1.A;2.B;3.C;4.C;5.A;6.D；7.A;8B. 二、多选题(3×6=18分)：9.AC;10.ACD;11BCD. 【说明：第9题全部这对得6分，遮对1个符3分，有逸错的件0分：第10、11题全部速对得6 分，选时1个得2分，这时2个得4分，有这错的得0分.】 三、填空题(3×5=16分：12.6,1B写；435. 【14题解新】如图，将a1,a2,a3,a4放入万，2，了，T4中，共有44种不同 的放法.需排除的情况：当4=4*4时，则4=4，∩4=4，将 A N 41,a2,4,a4放入其中，有24种放法，不满足条件.同理，4=A4*4和 Ax 4=4*4都是24种放法不满足条件.但4=A=4的情况被多减了2 次.最后考志次序，故所求B的个数为后×(4-3×2”+2)小=35。 四、解答题（共77分） 15.（1)因为-S2=3+a4+a5=34=27,所以a4=9,…2分 设{an}的公差为d,则d-4气-2， …4分 2 故an=a2+(m-2)d=5+(n-2)-2=2n+1,… 6分 (2)由(1)知，a-3,-a+a2-㎡+2n,… 8分 2 则Sn-20n-2026=2-2n-2028,…9分 令bn=7-2n-2028,因为n≥1，所以{bn}为递增数列，…10分 又n=46时，b6=4<0,n=47时，b=87>0,…12分 故”的最小值为47.… 13分 16.(1)设这50件样品平均误差为元，则.30×03+20×-0.45)-0，即4=0，…2分 50 故X∈(4-2σ，4+2σ]为“特等品”，即“特等品”的概率为P(4-2o<X≤4+2o)≈0.9545， ……4分 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为10000×0.9545=9545件；·6分 (2)由题意得：Y~4,, …7分 --cixcxx 1 625’ …9分 pw-8-crr-器r--c器 11分 Pr-cix 625 12分 则Y的分布列如下： 0 2 3 4 1 16 96 256 256 625 625 625 625 625 …13分 其数学期望X=4×亏5· 416 15分 17.(1)由题知，圆c,的半径为，圆C,的半径为，设动圆M的半径为”，2分 则cl-r+,c-3-,故g+bwC=4>lGC-2, 3分 故M的轨迹E是椭圆，焦点为(-1,0)，(1,0)，长轴长为4，…5分 故2M的轨迹E的标准方程为号+号1 6分 （②)若直线不存在斜率，则P42-5P9-25,则7-45,7分 若直线1存在斜率，设其方程为y=+2,4(x,出)，B(3y),则 P4_立=2，显然 PB X2 2∈(0)，联立E与1的方程，化简得(3+42)x2+16+4=0,…9分 △-2562-160+4树=192成-48>0，得>号+3945"3+职，…10分 -16k 4 则4+5-+%45-，得气.42+*2， …12分 龙 642 2特a22酚 又2∈(0)，故7-45<2<1，…14分 综上所述， PA 的取值范围为[7-45，).…15分 2 18.（1)若a≤0，则f(x)=x(e-a，f(x)=(x+1)e-a,得f()=2e-a,…2分 若f心在点，0》处的切线与直线)-元r垂直，则2e-a-3e,解得a=e,…3分 (2)(i)由题知，()的定义域为(0+o),则e>1=a,故(x)=xe-x-lnx,则 h=x+10e-1-1=x+1e-马， …5分 由函数y=与y=1在0+)上的图象知，存在唯一的o使c- …6分 且当xe(0,x)时，h'(x)<0,x)单调递减，当xe(xo+)时，h'(x)>0,x)单调递增， 故(x)在x=xo处取得最小值()=右西--h,…7分 又由-号得+n0-0,故的最小值为1， ……… 8分 【利用南数同构等其它方法做对的，同样给分】 (ii)x)的定义域为(0+o),当x∈(0)时，nx<0,当a>1时，此时)>0恒成立， 故以x)的零点个数等价于其在x∈+∞)上的零点个数，…9分 ①当1<a<e时，hx)=xe-a(x+lnx)=e+hr-a(x+lnx),令t=x+lnx,则te,+o), 函数m()=e-a,显然m')=e-a>0恒成立，m0在1，+o）上单调递增，故 m()n=m()=e-a>0,所以h(x)>0在[1，+∞)上恒成立，故x)无零点，…10分 ②当a=e时，hx)-xe-e(x+lnx)=ehx-e(x+lnx),令t=x+nx,则tel,+o）,函数 m)=e'-er,显然m')=d-e≥0恒成立，m)在l,+o)上单调递增，故 m(0mn=m()=0,所以当且仅当x=1时，h)=0,故(x)有唯一零点；…11分 ③当a>e时，x)={ m-xe'-anx,1≤x≤lna, 12分 xe-a(x+Inx),x>Ina ）1≤x≤ha,由)-0得a,令= x-Inx x-Inx 测p0ye2-xhx-lnX+）l3分 (x-Inx)2 令M(x)=x2-x血x-lnx+1,则Mx)≥x2-(x+10(x-)+1>0,故(x)在1，血a上单 调递增，gp()=e<a,pa)= a-1n0n可>a,故存在唯-的使0)-0，…14分 alna ）xna,由-0得a令-x+lhxe0aa+hdno+四，0-三。 则v0--,又ha+hma)>l,故0在aa+hma+a四)上单调递增， 2 alna ma+hmo》na+hn可<a,当：-→+时，0→+w,故存在唯-的4使a-), 即存在唯一的五使()=0； …16分 综上：当1<a<e时，x)无零点；当a=e时，(x)有且仅有1个零点；当a>e时，x) 有2个零点。…17分 19.(1)由题知，PF⊥面4ABC,则PF⊥AB,又AB⊥CF,且CF∩PF-F,所以AB⊥面PCF, 所以AB⊥CP,B⊥GF… …2分 过A作CP的垂线，垂足为G,连接GB,则CP⊥AG,又AB∩AG=A,所以CP⊥面ABG, 所以CP⊥GB, …3分 因为△ACP与△BCP的面积相等，GA与GB分别为两个三角形的高，则GA=GB,故△GAB 为等腰三角形，又AB⊥GF,则F为线段AB的中点；… …5分 (2)(1)由题知，CF=P=2反，c-克cp4G=45,得G-25,…6分 以C为原点，C下所在方向为x轴正方向，平行于严所在方向为：轴正方向建立空间直 角坐标系，则C(0,0,0),F(2反，0,0)，P(22,0,2),设(xy,0),则C=(xy,0), C乎=(25,0,22)， …7分 则A到CP的距离 AG-22, 9分 化简得： 君苦-x0,同理可得B的轨迹方程色是 无*苦-c0,故点4，B在以c为中心的椭圆上，且E,F分别为 x2+上 该椭圆的左、右焦点，… …10分 所以E+AF列-E8到+BF-8,故△ABE的周长为定值16；…11分 (ii)设(x10),B(x220),则C=(出片，0)，C8=(322,0),CP=(25,0,2②)， 设平面c7的法向量为-a,d小则侧26。限-则0,6儿 则m=(0,x一)，同理可得平面BCP的法向量为n=(y2-为2，一2)，…13分 4 5+2yl 故日+2好g2 14分 又4，B在+号-10*0上，则安+2=好+25-16，放+2=8，…15分 16 在0平面中，设直线的方程为x-少+2，椭圆方程若*皆-g0联立，化简 得04248-0，则g+97清 …16分 又5=(22+1)2√2+2)=8+2201+2)+2y, 放g+2y小-+2w0+为4心+2时-8，得-2，由弦长公式得线段4 的长8-+7.V0+}-42=+7 32r+32=54+8-6.…17分 +2+2+2 命题：滕金平（湘东中学）刘维（上栗中学)周秋良（莲花中学） 彭壮海（萍乡中学）戴丽（萍乡三中） 审核：胡斌（市教研室） 5