精品解析：江西重点中学协作体2026届高三第二次联考数学试题

江西省重点中学协作体2026届高三第二次联考 数学试卷 2026.5 命题人：抚州一中 魏蕾蕾 苏敏文 临川一中 胡亮新 审题人：抚州一中 赵卫生 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】求解集合，由得，即. 故. 求解集合，由且，得，整数解为，故. 所以，该集合元素个数为. 因为个元素的集合真子集个数，代入得真子集个数为. 2. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则，所以的虚部为 3. 设是三个事件，则事件“至少有一个发生且 不发生”可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“ 不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且 不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且 不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或 不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或 不发生，不符合题意. 4. 已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】正项数列为等比数列，，； . 5. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，得， 则， 则在上的投影向量为. 6. 1471年，德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：在定直线上找一点 ，使该点对两定点的张角最大，该点 称为“米勒点”.已知平面直角坐标系中，定点，定直线的方程为，点 是直线上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当以 为弦的圆与相切时，切点即为米勒点 ．如图： 以 为弦的圆与相切于点 ，此时最大，作于点， 则，因为，，则，设， 由得：，解得：，则， 又因为，所以， 故的最大值为． 7. 已知一圆台的侧面积为，其内切球半径为4，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作圆台的轴截面，圆台内切球的球心即为该轴截面内切圆的圆心，结合几何关系可得，,利用圆台的表面积公式即可求解. 【详解】如图1，设圆台上、下底面半径分别为，圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处． 作圆台的轴截面如图2所示，设球与母线切于点，则，作于点 ， 因为，所以与全等，所以，同理， 则圆台的母线长，又， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 故圆台的表面积为． 8. 若函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入函数利用同构进行化简，得到关于的不等式，利用恒成立转化成最值问题，构造新函数，求解最值. 【详解】， 两边同乘，得 令，，求导得，所以在单调递增， 又因为，且，所以； 所以， ，即， 令 求导得 当，，单调递减， 当，，单调递增 又，且 所以，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由得，又，所以，故A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由，所以，故C错误； 对于D：， 由，所以，所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 10. 已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 记数列，则数列的前项的和小于 B. 记数列，则数列的前2026项的和为2026 C. D. 数列的前项的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用常见的裂项相消公式化简通项公式求解； 对于B：根据余弦函数在为奇数偶数的取值，求项数为偶数时的前项和公式，代入计算可得； 对于C：先求出，再利用求出和，看与是否相等即可； 对于D：根据的通项公式求出的通项公式，再求前项和 【详解】对于A：依题意， ， 所以的前项和为， 故A正确； 对于B：，当为偶数时， ，当为奇数时， ， 要求前项的和，需求为偶数时的通项公式， 所以当为偶数时，前项和为， 其中括号内从第一项起每相邻两项为一组，每组的和均为，共有组， 故前项和为 ，所以当时，前项和为，故B正确； 对于C：， 所以，， ， ，显然，故C错误； 对于D：，故前项和为，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上有两个极值点 C. 直线与的图象相切 D. 在的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的性质求出函数的解析式，利用正弦函数单调性判断A；求出导数并确定指定区间内极值点个数判断B；设出切点坐标，利用导数的几何意义求解判断C；求出两个函数的对称中心，利用对称性求解判断D. 【详解】由函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，得，解得， 由恒成立，得当时，函数取得最小值， 则，而，因此，函数， 对于A，由，得，而函数在上不单调， A错误； 对于B，，由，得， 函数在上有两个变号零点，因此在上有两个极值点，B正确； 对于C，设直线与的图象相切于点， 则，即，， 解得或， 当时，切点为， 于是，解得，即直线与的图象相切，切点为； 当时，切点为，于是， 即，此方程整数无解， 综上，直线与的图象相切，切点为，C正确； 对于D，函数的图象关于点对称，函数， 由，得，即函数的图象关于点对称， 而区间的中点为，因此在上两函数图象有8个交点， 它们两两关于点对称，设这8个交点的横坐标分别为， 因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以 13. 已知双曲线的左焦点为，焦距为，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于点，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】分析出，表达出，由双曲线定义可得方程，求出离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，则， 故， 因为，故， ，所以， 所以， 由双曲线的定义可知． 14. 封不同的信放入个不同的信箱，则装有信的信箱的个数的期望是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设表示第个信箱有信，求出，然后根据期望性质求解即可. 【详解】设表示第个信箱有信，表示第个信箱中没有信，其中， 则， 将封不同的信放入个不同的信箱，共有种情况， 时相当于将封不同的信放入个不同的信箱，有种情况， 所以， 因为， 所以， 即装有信的信箱的个数的期望是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在 中，角所对的边分别为，其面积为．若， （1）求． （2）若，求，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出，然后结合求解可得； （2）利用正弦定理和面积公式列方程组求解即可. 【小问1详解】 由，得． ，又． ， 或． 当 当（舍去） 综上：． 【小问2详解】 由（1）知， 由正弦定理可得：． ． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形且，平面，，点 为的中点． （1）求证：平面； （2）若点为的中点，点 为线段上任意一点，问：点 在何处时能使得平面平面? 【答案】（1）证明：因为平面平面. 所以 又因为，所以平面 因为，所以平面. 因为平面，所以 因为，点 为的中点，所以 因为，所以平面. （2）当时，平面平面． 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直与垂直相交证平面，得平面推出，再由等腰三角形中线得，两相交线垂直即证平面. （2）先赋值设边长，以为原点建空间直角坐标系，写出各点坐标；设 在上，用参数表示 点坐标，求出向量与；根据平面内两向量与法向量垂直，列出方程组求出平面的法向量；再取平面的法向量，利用两平面垂直则法向量点积为零，列方程解出，从而确定 在上的位置比例. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，则，以为坐标原点， 所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以 设，则，则， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则为平面的一个法向量， 由（1）可知为平面的一个法向量， 所以若平面平面，则，解得． 所以当时平面平面． 17. 羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? （2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． （3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关 （2） 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）利用超几何分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； （3）根据全概率公式及条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得列联表如下： 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 ， 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关． 【小问2详解】 依题意男性羽毛球爱好者偏好碳音球的抽取人， 偏好天然羽毛球的抽取人， 则的可能取值为，，，， 则，， ，， 则的分布列为, 0 1 2 3 所以的数学期望为： ； 【小问3详解】 记事件A为：抽取的人偏好碳音球：事件B为：抽取的人性别为男性， 则， 由全概率公式得， 则，即此人为男性的概率为. 18. 已知椭圆，其左、右两焦点分别为、，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点作斜率为直线与椭圆交于两点，点 在轴上方，点关于轴的对称点为． （i）当与的面积之比为时，求的值； （ii）证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由，则， 的直线方程：． 令，则， 把①②代入上式得． 直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求解即可； （2）（i）设，直线的方程设为：，与椭圆方程联立，韦达定理，结合得，求解即可． （ii）先求出的直线方程：，令，得，即可证明． 【小问1详解】 为等边三角形，，又， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）设，则， 由题可知直线的方程设为：， 联立， ①，②， 由③， 联立①，③得， 代入②得：（负值舍去）， ． （ii）略 19. 已知函数，其中为实数，定义域为． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，都有． 【答案】（1） （2） （3）由（2）知，当时，，有，即， 当且仅当时等号成立． 令，则有． 又 构造函数 在上单调递增，，故有在上恒成立． 令，得 故． ． 【解析】 【分析】（1）分别求出，结合点斜式求解； （2）对得对任意的恒成立，构造新函数，对求导，利用导数探讨函数单调性得实数的取值范围； （3）数列不等式证明，利用（2）的结论，构造函数不等式，令，再对累加求和，又有在上恒成立，联立两式得证. 【小问1详解】 当时，，则 ， 则曲线在点处的切线方程为： 整理得：. 【小问2详解】 因为，所以 令，则，故 ①当时，，而当时，， 由零点存在性定理可知，，使得． 当时，单调递减，故， 则在上单调递减，，与恒成立相矛盾，故舍去． ②当时，，有，，则 令，则， 故在上单调递增， 则在上单调递增，， 故在上单调递增，，符合题意． 综上，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省重点中学协作体2026届高三第二次联考 数学试卷 2026.5 命题人：抚州一中 魏蕾蕾 苏敏文 临川一中 胡亮新 审题人：抚州一中 赵卫生 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 2. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设是三个事件，则事件“至少有一个发生且 不发生”可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 1471年，德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：在定直线上找一点 ，使该点对两定点的张角最大，该点 称为“米勒点”.已知平面直角坐标系中，定点，定直线的方程为，点 是直线上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一圆台的侧面积为，其内切球半径为4，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 记数列，则数列的前项的和小于 B. 记数列，则数列的前2026项的和为2026 C. D. 数列的前项的和为 11. 已知函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上有两个极值点 C. 直线与的图象相切 D. 在的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____． 13. 已知双曲线的左焦点为，焦距为，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于点，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为_____． 14. 封不同的信放入个不同的信箱，则装有信的信箱的个数的期望是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，其面积为．若， （1）求． （2）若，求，． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形且，平面，，点 为的中点． （1）求证：平面； （2）若点 为的中点，点 为线段上任意一点，问：点 在何处时能使得平面平面? 17. 羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? （2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． （3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 已知椭圆，其左、右两焦点分别为、，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点作斜率为直线与椭圆交于两点，点 在轴上方，点关于轴的对称点为． （i）当与的面积之比为时，求的值； （ii）证明：直线过定点． 19. 已知函数，其中为实数，定义域为． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $