精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年高三下学期二模考试数学试卷

萍乡市2024-2025学年度高三二模考试试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ） A. 114 B. 115 C. 120.5 D. 121 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数公式，即可求解. 【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123， ， 则第75%分位数是第8个数据121， 故选：D. 2. 过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ） A. 16 B. 4 C. 21 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解. 【详解】圆的圆心，半径， 则， 所以. 故选：B 3. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将、代入，求出、的值，再由等差数的性质求解即可. 【详解】解：设等差数列的公差为， 由， 可知当时，则有， 当时，则有， 解得， 所以， 解得. 故选：D. 4. 在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式求解即可. 【详解】 由条件可如图建系，设， 则, 则, 设直线与所成角为， 所以， 所以， 故选：C 5. 已知点及抛物线上一点，若线段的垂直平分线经过的焦点，则的横坐标为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设,通过两直线垂直，斜率乘积等于，列出等式求解即可. 【详解】抛物线焦点坐标为， 设，则中点坐标为：， 由线段的垂直平分线经过的焦点， 可得：， 解得：， 所以的横坐标为4， 故选：B 6. 将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（ ） A. 720种 B. 120种 C. 32种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值，进行分级，逐项判断即可. 【详解】六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰序列，封顶必须是最大整数.封顶位置可在第2、3、4、5位， 对于每个，左边需选个数并按升序排列，右边选个数并按降序排列. 当时，左边选1个数，方式有种； 当时，左边选2个数，方式有种； 当时，左边选3个数，方式有种； 当时，左边选4个数，方式有种； 所以. 故选：D. 7. 在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求. 【详解】对进行化简， 通分可得， 即，又，解得； 已知，由余弦定理，可得， 根据基本不等式（当且仅当时取等号）， 则，可得， 三角形面积，当且仅当时等号成立, 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到，通过换元，，求的最大值即可. 【详解】令，原不等式可化为： ，代入， 化简可得：， 令，得到， 再令，可得：， 由对勾函数的单调性，可知在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以的最大值为，也即的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 集合可能是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由摩根定律，以及交并补混合运算知识即可求解. 【详解】由题意知 所以， 对于 A，因为，且，所以，A 选项错误； 对于B，由于，所以，B 选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B， 若，当时， 此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，因为，又，所以，D选项正确； 故选：BCD. 10. 已知定义在上的函数满足：，且当时，，则下列说法正确的为（ ） A. 的最小正周期为2 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 对，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】中，用代替，再和相减，结合周期函数的概念即可判断A选项；利用导数求函数的单调区间，结合周期性即可判断BC选项；利用函数的周期性得,,再将代入即可判断D. 【详解】已知①，用代替可得②, 由②−①得：，即， 所以函数的最小正周期是2，A 选项正确； 当时，对求导，可得， 为增函数，因为，则， 所以， 所以时恒成立，即函数单调递减， 因为函数的周期是2，与上的函数单调性一致， 所以在上不是单调递增的，B 选项错误； 相当于，根据得， 上的函数单调性与上的函数单调性相反， 所以在上单调递增，C 选项正确； 因为函数的周期,,, 由，令，得，即， 所以，D 选项正确; 故选：ACD. 11. 若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（ ） A. 若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列 B. 若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列 C. 数列的极差数列可能为等比数列 D. 数列的极差数列的极差数列仍是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项可利用等差数列的定义进行验证；B选项可以举反例排除；当时，，则可判断C；推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是，则可判断D. 【详解】对于A，设等差数列的公差为d， 当时，，，则，此时是等差数列， 当时，，，， 当时，，， 结合等差数列的概念可知A正确； 对于B，形如， 从开始奇数项依次减去1，偶数项依次加上1， 则数列是一个以首项为0，公差为1的等差数列， 但是数列不是等差数列，故B选项错误； 对于C，当时，，则不可能为等比数列，故C错误； 对于D，∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的“极差数列”仍是，故D正确； 故选：AD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足：，其中为虚数单位，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 13. 若随机事件满足：，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件概率乘法公式、全概率公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 可得：， 由， 可得， 所以， 故答案为： 14. 已知三棱锥外接球的球心为棱的中点，若，则该三棱锥体积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知，可得，设点到平面的距离为，结合体积公式可得，即可得最值. 【详解】因为球心为棱的中点，则，， 且，则点到直线的距离， 可得的面积， 设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为， 则， 可得三棱锥的体积 ， 当且仅当，即平面时，等号成立， 所以该三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeck App于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应．DeepSeek公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示（单位：人）． 效果 18-30岁用户人数 31-50岁用户人数 有效 120 无效 70 总计 150 150 （1）求出的值，并在显著性水平为的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关； （2）以频率估计概率，在所有推荐算法有效的人群中抽取3人，求恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） ，有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由独立性检验的知识求解即可得； （2）首先得到推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的概率为，再结合独立重复试验的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得：，计算， 所以在显著性水平为0.005的情况下，认为推荐算法的效果与用户年段有关； 【小问2详解】 样本的推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的率为， 以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的概率为， 则3人中恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率为：. 16. 如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1）设与相交于点，连接， ∵四边形为菱形，，且为中点，又， ，∵，平面BDEF， ∴平面，又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，∵四边形为菱形，且， 为等边三角形， ∵为中点，∴，又，，平面， 平面．故OA，OB，OF两两互相垂直， ∴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，∵四边形为菱形，，，． 为等边三角形，∴． ，, 则，因为，即， 所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 取， 设与平面所成角为，则， 解得或，又，所以. 17. 已知函数． （1）证明：函数有且只有一个极值点； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：因为，所以， 显然在上单调递增．且． 故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，， 则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导得，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明； （2）求导得，设，再对分和讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，记， 当时，恒成立，则函数在上单调递增， 此时在上至多存在一个零点，不合题意， 当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减， （i）当时，恒成立，即恒成立， 则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意； （ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减， 此时函数在上至多存在一个零点，不合题意； （iii）当时，，，故存在，使得，即， 则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于， 则，若要满足题设，只需，解得, 又因为，所以取值范围是. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度； （3）直线交椭圆于两点，交轴于点．为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），定值 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，不妨设直线，联立直线与椭圆方程由得到，，同理得到，，即可求出，，从而得解； （3）分析可得，设，，依题意可得为线段的中点，联立直线方程与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可求出点坐标，从而求出方程，再求出方程，两方程相乘，即可求出点轨迹方程，从而得解. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，，根据对称性，不妨设直线， 则，整理得， 所以，则，此时， 同理由点在圆和直线上且与圆相切可得，， 所以，，则，所以， 所以， 所以线段的长度为； 【小问3详解】 显然，设，，由， 可得为线段的中点， 由，整理得， 所以，而，， 所以，则直线， 在直线中，令得，所以， 因为，所以直线， 所以，即，即， 所以存在点，使得的长度为定值. 19. 已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数．例如：因为，所以为二次切比雪夫函数． （1）求； （2）证明：对任意正整数，都有； （3）若函数有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）； （2）因为， 两式相加得， 即. （3）因为， 所以， 即，，， 当时，， 因为有一个绝对值不大于1的零点，则，解得， 令，即，则， ①当时，即时，，则在上单调递增，在上单调递增， 即时，，即恒成立，即在上无零点， ②当时，，，则在上单调递增，则在上单调递减， 即时，，即恒成立， 即在上无零点； 综合①②可知，所有零点的绝对值都不大于1. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可得，则得到； （2）利用两角和差的余弦公式即可得，即证明等式； （3）化简得，则，再分、和时分类讨论即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2024-2025学年度高三二模考试试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ） A. 114 B. 115 C. 120.5 D. 121 2. 过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ） A. 16 B. 4 C. 21 D. 3. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点及抛物线上一点，若线段的垂直平分线经过的焦点，则的横坐标为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（ ） A. 720种 B. 120种 C. 32种 D. 30种 7. 在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 集合可能是 D. 10. 已知定义在上的函数满足：，且当时，，则下列说法正确的为（ ） A. 的最小正周期为2 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 对，都有 11. 若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（ ） A. 若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列 B. 若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列 C. 数列的极差数列可能为等比数列 D. 数列的极差数列的极差数列仍是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足：，其中为虚数单位，则___________． 13. 若随机事件满足：，则___________． 14. 已知三棱锥外接球的球心为棱的中点，若，则该三棱锥体积的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeck App于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应．DeepSeek公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示（单位：人）． 效果 18-30岁用户人数 31-50岁用户人数 有效 120 无效 70 总计 150 150 （1）求出的值，并在显著性水平为的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关； （2）以频率估计概率，在所有推荐算法有效的人群中抽取3人，求恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 17. 已知函数． （1）证明：函数有且只有一个极值点； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度； （3）直线交椭圆于两点，交轴于点．为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 19. 已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数．例如：因为，所以为二次切比雪夫函数． （1）求； （2）证明：对任意正整数，都有； （3）若函数有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $