数学（全国一卷03）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（新考法）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 3．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（热点）若双曲线的一个焦点到两渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（新情境）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（新考法）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（改编题）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 10．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 11．（新考法）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是(    ) A．若，，则 B．若，则数列是单调递增数列 C．若，，，则数列是公差为的等差数列 D．若，，且，则的最小值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是奇函数，则___________． 13．已知，，则______ 14．（新情境）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知函数. (1)求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 16．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（新情境）（本小题满分15分）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 18．（新考法）（本小题满分17分）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 19．（新考法）（本小题满分17分）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，故，故． 2．（新考法）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】则．故选C． 3．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 所以在上的投影向量为，故选B 4．（热点）若双曲线的一个焦点到两渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意作出图象如图所示，则，渐近线方程为， 则焦点到两渐近线的距离之和，结合化简得，故离心率. 5．若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【解析】因为展开式的各项系数和为32， 所以令，有，得， 故， 因为展开式中含的项为，含的项为， 则展开式中的系数是. 6．（新情境）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为， 由题意可得，则，即， 由于，所以的最小值为，故至少需要脱碳处理的次数为. 7．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离，所以的最小值为，故选C. 8．（新考法）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（改编题）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 【答案】AB 【解析】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确； 数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确； 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误. 10．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【解析】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得，则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为，由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误. 故选：AC 11．（新考法）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是(    ) A．若，，则 B．若，则数列是单调递增数列 C．若，，，则数列是公差为的等差数列 D．若，，且，则的最小值为4 【答案】AC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，∵，故的单调性由q和共同决定，q>1无法判断数列为递增数列，如，此时数列为递减数列，故B错误； 对于C，∵为常数，∴数列是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，若，，则，， ∵， ∴， 即，即，即， 即当时，的最大值为4，故D错误． 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是奇函数，则___________． 【答案】1 【解析】因为是奇函数，所以， 即， 整理得，解得． 13．已知，，则______ 【答案】1 【解析】由得：， 再两边平方得: ， 又因为，所以，则. 14．（新情境）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 【答案】 【解析】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知函数. (1)求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 【解】（1） ， ，即， ………………………………3分 最小正周期为，     ………………………………4分 当时，， 当时，即时取得最小值， . ………………………………6分 （2），， ，即， ………………………………7分 ，解得：， 又，故， ………………………………9分 ， ， ， ， ………………………………11分 由余弦定理得： , 故. ………………………………13分 16．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 【解】（1）由平面平面，，得平面， …………………1分 以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， ………………………………3分 故，， ………………………………5分 共面. ………………………………6分 （2）设，故， ………………8分 设平面的法向量为， 由， 得，取，可得； ， ………………………………10分 设平面的法向量为， 由， 得，取，所以， ， ………………………………12分 设平面与平面夹角为 , ………………………………14分 即平面与平面夹角的余弦值. ………………………………15分 17．（新情境）（本小题满分15分）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【解】（1）由题意得. ……………………………3分 （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ……………………6分 故. ………………………………7分 又，故为等比数列,故, . ………………………………9分 （3）由题的可能取值为0，1，2， ………………………………10分 其概率分布列为： 0 1 2 ………………………………12分 依题意，即.于是 ……………………13分 故. ………………………………15分 18．（新考法）（本小题满分17分）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 【解】（1）． ………………………………1分 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； ………………………………3分 所以，在上单调递增，在上单调递减． ………………………………4分 （2）由题可知存在，使得成立， ∵时，， 故存在，使得． ………………………………6分 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， ………………………………8分 则，故． ………………………………9分 （3）． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减，………………………11分 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， ………………………………13分 同理可得， 且， ………………………………14分 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， ………………………………16分 故，即, 取，则, ………………………………17分 19．（新考法）（本小题满分17分）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以， ………………………………2分 则. ………………………………4分 （2）设，则，…………………………5分 又因为，所以， ………………………………6分 则， ………………………………7分 同理可得，所以. ………………………………8分 （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以， 代入直线方程得， ………………………………9分 则， ………………………………10分 设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足， 所以， ………………………………12分 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， ………………………………13分 设，则有，代入上式得：， 得到， ………………………………15分 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. ………………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C A C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1） ， ，即， ………………………………3分 最小正周期为，     ………………………………4分 当时，， 当时，即时取得最小值， . ………………………………6分 （2），， ，即， ………………………………7分 ，解得：， 又，故， ………………………………9分 ， ， ， ， ………………………………11分 由余弦定理得： , 故. ………………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）由平面平面，，得平面， …………………1分 以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， ………………………………3分 故，， ………………………………5分 共面. ………………………………6分 （2）设，故， ………………8分 设平面的法向量为， 由， 得，取，可得； ， ………………………………10分 设平面的法向量为， 由， 得，取，所以， ， ………………………………12分 设平面与平面夹角为 , ………………………………14分 即平面与平面夹角的余弦值. ………………………………15分 17．（新情境）（本小题满分15分） 【解】（1）由题意得. ……………………………3分 （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ……………………6分 故. ………………………………7分 又，故为等比数列,故, . ………………………………9分 （3）由题的可能取值为0，1，2， ………………………………10分 其概率分布列为： 0 1 2 ………………………………12分 依题意，即.于是 ……………………13分 故. ………………………………15分 18．（新考法）（本小题满分17分） 【解】（1）． ………………………………1分 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； ………………………………3分 所以，在上单调递增，在上单调递减． ………………………………4分 （2）由题可知存在，使得成立， ∵时，， 故存在，使得． ………………………………6分 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， ………………………………8分 则，故． ………………………………9分 （3）． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减，………………………11分 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， ………………………………13分 同理可得， 且， ………………………………14分 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， ………………………………16分 故，即, 取，则, ………………………………17分 19．（新考法）（本小题满分17分） 【解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以， ………………………………2分 则. ………………………………4分 （2）设，则，…………………………5分 又因为，所以， ………………………………6分 则， ………………………………7分 同理可得，所以. ………………………………8分 （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以， 代入直线方程得， ………………………………9分 则， ………………………………10分 设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足， 所以， ………………………………12分 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， ………………………………13分 设，则有，代入上式得：， 得到， ………………………………15分 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. ………………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ ■■■■ ■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 刘 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 照 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[AJ[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（新考法）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 3．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（热点）若双曲线的一个焦点到两渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（新情境）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（新考法）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（改编题）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 10．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 11．（新考法）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是(    ) A．若，，则 B．若，则数列是单调递增数列 C．若，，，则数列是公差为的等差数列 D．若，，且，则的最小值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是奇函数，则___________． 13．已知，，则______ 14．（新情境）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知函数. (1)求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 16．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（新情境）（本小题满分15分）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 18．（新考法）（本小题满分17分）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 19．（新考法）（本小题满分17分）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $