模块一 易错题讲练(范围：第1-3章 期中备考必刷练 41个题型 共82题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版数学八年级下册期中考前必刷练精讲练【易错题重难点题型】 模块一 易错题题型讲练『期中备考必刷练』 ［北师大版（新教材）八年级下册第1-3章］ 题型序列 题型名称 易错题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 易错题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 易错题型三 三角形折叠中的角度问题 易错题型四 多边形内角和问题 易错题型五 正多边形的内角问题 易错题型六 多边形截角后的内角和问题 易错题型七 多边形内角和与外角和综合 易错题型八 等腰三角形的性质和判定 易错题型九 等边三角形的判定和性质 易错题型十 含30度角的直角三角形 易错题型十一 直角三角形的两个锐角互余 易错题型十二 用HL证全等(HL） 易错题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 易错题型十四 线段垂直平分线的性质 易错题型十五 线段垂直平分线的判定 易错题型十六 作垂线(（尺规作图） 易错题型十七 角平分线的性质定理 易错题型十八 角平分线的判定定理 易错题型十九 在数轴上表示不等式的解集 易错题型二十 求一元一次不等式的整数解 易错题型二十一 解|×|≥a型的不等式 易错题型二十二 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 易错题型二十三 根据两条直线的交点求不等式的解集 易错题型二十四 求一元一次不等式组的整数解 易错题型二十五 由一元一次不等式组的解集求参数 易错题型二十六 由不等式组解集的情况求参数 易错题型二十七 不等式组的工程问题 易错题型二十八 不等式组的经济问题 易错题型二十九 不等式组的分配问题 易错题型三十 不等式组的方案选择问题 易错题型三十一 不等式组的阶梯收费问题 易错题型三十二 已知平移后的坐标求原坐标 易错题型三十三 平移综合题（几何变换） 易错题型三十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 易错题型三十五 坐标与旋转规律问题 易错题型三十六 线段问题（旋转综合题） 易错题型三十七 面积问题（旋转综合题） 易错题型三十八 角度问题（旋转综合题） 易错题型三十九 其他问题（旋转综合题） 易错题型四十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 易错题型四十一 中心对称图形规律问题 易错题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 易错题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 3．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图，已知、分别平分和，，则______． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 易错题型三 三角形折叠中的角度问题 5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 易错题型四 多边形内角和问题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）等腰梯形四个内角度数之比可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏镇江·一模）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 易错题型五 正多边形的内角问题 9．（25-26八年级下·上海青浦·月考）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，求这个多边形的一个外角的度数． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 易错题型六 多边形截角后的内角和问题 11．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 12．（24-25八年级下·四川德阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 易错题型七 多边形内角和与外角和综合 13．（25-26八年级下·上海·月考）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 14．（25-26八年级下·上海·月考）下列语句正确的有（   ）个．（各边都相等，各内角都相等的多边形为正多边形） ①正多边形中，边越多，内角越大； ②正多边形中，边越多，外角越大； ③正多边形中，边越多，边长越小； ④正多边形中，边越多，周长越大． A．1 B．2 C．3 D．4 易错题型八 等腰三角形的性质和判定 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 16．（25-26八年级下·广东东莞·月考）如图、正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续作图，则的值为（   ） A． B． C． D． 易错题型九 等边三角形的判定和性质 17．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 18．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 易错题型十 含30度角的直角三角形 19．（24-25八年级下·浙江台州·开学考试）已知等边的边长为，是边上的动点，过作于点，过作于点，过作于点．当与重合时，的长是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·内蒙古包头·月考）如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 易错题型十一 直角三角形的两个锐角互余 21．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 易错题型十二 用HL证全等(HL） 23．（25-26八年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)作，求的长； (2)过点作交轴于点，求的面积； (3)如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 24．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 易错题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 25．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，已知点在同一条直线上，，，，，求证． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，是中点，，，垂足分别是，，，则是________三角形． 易错题型十四 线段垂直平分线的性质 27．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的面积为16，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为________． 易错题型十五 线段垂直平分线的判定 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点． (1)求证：； (2)求证：过点，的直线垂直平分线段． 30．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 易错题型十六 作垂线(（尺规作图） 31．（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知如图：是等边三角形，延长到，使得． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足为点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：为等腰三角形． 32．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，，点是边上一定点，利用尺规作图法在内部求作一点，使是以为直角顶点的直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 易错题型十七 角平分线的性质定理 33．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 34．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 易错题型十八 角平分线的判定定理 35．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 36．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，点是内一点，于点于点，连接 (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 易错题型十九 在数轴上表示不等式的解集 37．（25-26八年级下·陕西西安·月考）解不等式：，并将解集表示在数轴上． 38．（25-26八年级下·河南周口·月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 易错题型二十 求一元一次不等式的整数解 39．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 40．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 易错题型二十一 解|×|≥a型的不等式 41．（25-26八年级下·广东惠州·期末）不等式的解为_____． 42．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 易错题型二十二 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 44．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 易错题型二十三 根据两条直线的交点求不等式的解集 45．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 46．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 易错题型二十四 求一元一次不等式组的整数解 47．（25-26八年级下·内蒙古包头·月考）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 48．（25-26八年级下·四川成都·月考）点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则a的值为______． 易错题型二十五 由一元一次不等式组的解集求参数 49．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果不等式组的解集是，则________． 50．（25-26八年级下·四川达州·月考）已知不等式组的解集是，则的值为_______． 易错题型二十六 由不等式组解集的情况求参数 51．（25-26八年级下·广东深圳·月考）不等式组的解集是，则的取值范围是______． 52．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）不等式组的解集是，则的取值范围是______． 易错题型二十七 不等式组的工程问题 53．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 易错题型二十八 不等式组的经济问题 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 56．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 易错题型二十九 不等式组的分配问题 57．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 58．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 易错题型三十 不等式组的方案选择问题 59．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 60．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 易错题型三十一 不等式组的阶梯收费问题 61．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 62．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 易错题型三十二 已知平移后的坐标求原坐标 63．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 64．（2024·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 易错题型三十三 平移综合题（几何变换） 65．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 66．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标； (3)求的面积． 易错题型三十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 67．（24-25八年级下·江苏南通·期末）以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 68．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 易错题型三十五 坐标与旋转规律问题 69．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 70．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）小夏利用平面直角坐标系绘制了风车图形（如图），他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动，…，那么按照这种转动方式，转动2025次后，点的坐标为______． 易错题型三十六 线段问题（旋转综合题） 71．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在四边形中，，，，且，的值为 _______． 72．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： (1)的度数； (2)的长． 易错题型三十七 面积问题（旋转综合题） 73．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在网格中建立平面直角坐标系，在网格中，点，，坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的并写出点的坐标； (2)求四边形的面积． 74．（2023·湖北鄂州·二模）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    易错题型三十八 角度问题（旋转综合题） 75．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 76．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．    (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 易错题型三十九 其他问题（旋转综合题） 77．（2023·江苏泰州·三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为_____________． 78．（24-25八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的 ，并直接写出点的坐标； (2)绕点C逆时针方向旋转90°得到 ，按要求作出图形； (3)如果 通过旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心P的坐标． 易错题型四十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 79．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 80．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 易错题型四十一 中心对称图形规律问题 81．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是__________． 82．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学八年级下册期中考前必刷练精讲练【易错题重难点题型】 模块一 易错题题型讲练『期中备考必刷练』 ［北师大版（新教材）八年级下册第1-3章］ 题型序列 题型名称 易错题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 易错题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 易错题型三 三角形折叠中的角度问题 易错题型四 多边形内角和问题 易错题型五 正多边形的内角问题 易错题型六 多边形截角后的内角和问题 易错题型七 多边形内角和与外角和综合 易错题型八 等腰三角形的性质和判定 易错题型九 等边三角形的判定和性质 易错题型十 含30度角的直角三角形 易错题型十一 直角三角形的两个锐角互余 易错题型十二 用HL证全等(HL） 易错题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 易错题型十四 线段垂直平分线的性质 易错题型十五 线段垂直平分线的判定 易错题型十六 作垂线(（尺规作图） 易错题型十七 角平分线的性质定理 易错题型十八 角平分线的判定定理 易错题型十九 在数轴上表示不等式的解集 易错题型二十 求一元一次不等式的整数解 易错题型二十一 解|×|≥a型的不等式 易错题型二十二 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 易错题型二十三 根据两条直线的交点求不等式的解集 易错题型二十四 求一元一次不等式组的整数解 易错题型二十五 由一元一次不等式组的解集求参数 易错题型二十六 由不等式组解集的情况求参数 易错题型二十七 不等式组的工程问题 易错题型二十八 不等式组的经济问题 易错题型二十九 不等式组的分配问题 易错题型三十 不等式组的方案选择问题 易错题型三十一 不等式组的阶梯收费问题 易错题型三十二 已知平移后的坐标求原坐标 易错题型三十三 平移综合题（几何变换） 易错题型三十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 易错题型三十五 坐标与旋转规律问题 易错题型三十六 线段问题（旋转综合题） 易错题型三十七 面积问题（旋转综合题） 易错题型三十八 角度问题（旋转综合题） 易错题型三十九 其他问题（旋转综合题） 易错题型四十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 易错题型四十一 中心对称图形规律问题 易错题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 易错题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 3．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图，已知、分别平分和，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出， 根据角平分线的定义得出，在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 、分别平分和， ，， ， 在中，． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 易错题型三 三角形折叠中的角度问题 5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 6．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得的度数，据此结合角平分线的定义求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 易错题型四 多边形内角和问题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）等腰梯形四个内角度数之比可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰梯形的性质，等腰梯形同一底上的两个内角相等，两底平行，同旁内角互补，结合四边形内角和为，即可判断选项． 【详解】解：∵等腰梯形有两个底，同一底上的两个内角相等，∴等腰梯形的四个内角中，必有两组相等的角，即四个内角度数比中，有两个不同的数各出现次， A选项四个数均不同，C选项仅一个数出现次，其余数各出现一次，D选项仅一个数出现次，其余数各出现一次，均不符合性质，排除； 验证B选项：总份数为，每份度数为，四个内角分别为，，，； ∵等腰梯形两底平行，腰两侧的内角为同旁内角，和为，满足互补的要求，符合等腰梯形的性质． 8．（2024·江苏镇江·一模）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 【答案】/82度 【分析】过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得． 易错题型五 正多边形的内角问题 9．（25-26八年级下·上海青浦·月考）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，求这个多边形的一个外角的度数． 【答案】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程可推出这个多边形为八边形，再根据多边形的外角和为360度可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形为八边形， ∵这个多边形的各内角相等， ∴这个多边形的一个外角的度数为． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 易错题型六 多边形截角后的内角和问题 11．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 【详解】解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川德阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 易错题型七 多边形内角和与外角和综合 13．（25-26八年级下·上海·月考）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 【答案】5 【分析】先根据多边形外角和等于建立方程，解方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 14．（25-26八年级下·上海·月考）下列语句正确的有（   ）个．（各边都相等，各内角都相等的多边形为正多边形） ①正多边形中，边越多，内角越大； ②正多边形中，边越多，外角越大； ③正多边形中，边越多，边长越小； ④正多边形中，边越多，周长越大． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正多边形内角、外角的计算方法，结合边长、周长的影响因素，逐个判断四个语句的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】设正多边形边数为（，且为整数）， ①对正多边形内角度数，正边形每个内角为，当增大时，减小，因此增大，①正确； ②对正多边形外角度数，任意多边形的外角和为，正边形每个外角为，当增大时，减小，②错误； ③正多边形的边长没有限定条件（如外接圆半径固定），边数更多的正多边形边长不一定更小，例如大正十边形的边长可以远大于小正三角形的边长，③错误； ④正多边形的周长等于边长乘边数，没有限定条件时，边数更多的正多边形周长不一定更大，例如小正100边形的周长可以远小于大正三角形的周长，④错误． 综上，正确的语句只有1个，故选A． 易错题型八 等腰三角形的性质和判定 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)16 【分析】（1）根据，即可证明结论； （2）过点F作于点G，求出，得出，证明； （3）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：． 证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级下·广东东莞·月考）如图、正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续作图，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰直角三角形的性质和二次根式，找出规律，然后求解． 【详解】解：； ∵， ∴， 同理， ； ； …… ， ∴． 易错题型九 等边三角形的判定和性质 17．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，即可得到结论； （2）证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知是等边三角形，， ，， ， ， , ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，进而求出三个内角的度数，即可判断的形状； （2）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，据此分别求出三个内角的度数，再根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴，， ∵ ∴是等边三角形， ． ， ∴， ∵， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 易错题型十 含30度角的直角三角形 19．（24-25八年级下·浙江台州·开学考试）已知等边的边长为，是边上的动点，过作于点，过作于点，过作于点．当与重合时，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用等边三角形各内角为，结合含角的直角三角形的性质，将相关线段用含x的代数式表示，再根据总长列一元一次方程求解． 【详解】解：设， 是边长为12的等边三角形， 、， 、、、且与重合， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 解得， 即． 20．（25-26八年级下·内蒙古包头·月考）如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 【答案】 【分析】推导出，得到，继而推导出 ，根据勾股定理求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 易错题型十一 直角三角形的两个锐角互余 21．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，构造全等三角形，得到，由外角的性质可得． 再由，直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ． 由图可知：，，， ， ． 是 的外角， ，即． ， ，即， ，即． ， ． 22．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 易错题型十二 用HL证全等(HL） 23．（25-26八年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)作，求的长； (2)过点作交轴于点，求的面积； (3)如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用直角三角形的面积的不同表示方法列等积式即可求解； （2）设，利用勾股定理求出的坐标，进而面积可求； （3）取点，连接，过点作于点，通过论证，可得，则，进而利用，得到的值. 【详解】（1）解：∵，， ，， ； ∵， ∴， 即：， ； （2）解：如图，设， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ； （3）解：如图，取点，连接， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中， ， ， ∵ ， 在和中， ∵，， ， ， ∵，则， 在中，， ， 或． 24．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 易错题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 25．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，已知点在同一条直线上，，，，，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定．利用证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，是中点，，，垂足分别是，，，则是________三角形． 【答案】等腰 【分析】根据全等三角形的判定和性质求出，即可证明是等腰三角形． 【详解】∵是中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 易错题型十四 线段垂直平分线的性质 27．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的面积为16，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】10 【分析】根据连接，，根据等腰三角形的性质和面积可求得和，然后由线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短可推出，进而即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵的面积为16，，，点为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P为线段上的一动点， ∴， ∴周长， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时周长取得最小值，最小值为． 易错题型十五 线段垂直平分线的判定 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点． (1)求证：； (2)求证：过点，的直线垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，根据全等三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定可得出点在线段的垂直平分线上，同理得出点在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ，， 又， ， ； （2）证明：连接， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 过点，的直线垂直平分线段． 30．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 易错题型十六 作垂线(（尺规作图） 31．（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知如图：是等边三角形，延长到，使得． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足为点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）按照作垂线的尺规作图流程进行作图即可； （2）由等边三角形的性质可得，，，，结合可得，是顶角为的等腰三角形，则，命题得证． 【详解】（1）解：垂线和线段如图所示： （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． 32．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，，点是边上一定点，利用尺规作图法在内部求作一点，使是以为直角顶点的直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】过点C作的垂线，交的平分线于D即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 证明：由作图可知，， ∵， ∴， ∴． ∴是以为直角顶点的直角三角形，且． 易错题型十七 角平分线的性质定理 33．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 34．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断①；证明得到② ， 即可判断②，根据即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误． 【详解】解：∵，平分，， ∴，故①正确； 在和中， ∴， ∴ ， ∴平分，故②正确 ，故④正确； ∵ ∴，故⑤正确； ∵，而， ∴， ∴平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 易错题型十八 角平分线的判定定理 35．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明 ，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴ ， ∴． ∵， ∴平分； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 36．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，点是内一点，于点于点，连接 (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得出，即可求证； （2）先求出，再利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于点A，于点B， ∴平分（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （2）解：∵，于点A，于点B， ∴ ∴， ∵， ∴． 易错题型十九 在数轴上表示不等式的解集 37．（25-26八年级下·陕西西安·月考）解不等式：，并将解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据不等式的性质求解不等式：移项，合并同类项，未知数系数化为1；用数轴表示即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项，合并得， ∴， 解集在数轴上表示如图： ． 38．（25-26八年级下·河南周口·月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）先移项、合并同类项、化系数为1求得不等式的解集，再在数轴上表示解集即可； （2）先去括号、移项、合并同类项、化系数为1求得不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：移项、合并同类项，得 化系数为1，得 将解集表示在数轴上如图： （2）解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 将解集表示在数轴上如图： 易错题型二十 求一元一次不等式的整数解 39．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一，均可） 【分析】先求解不等式得到的解集，再根据不等式的正整数解仅为，确定的取值范围，进而求出符合条件的整数． 【详解】解： 系数化为得： ∵不等式的正整数解是 ∴ ， 不等式两边同乘得：， 则满足条件的整数可以为．(答案不唯一，均可)． 40．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 【答案】a的值为4． 【分析】此题可先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值． 【详解】解：由不等式得， ， 所以最小整数解为， 将代入中，得， 解得． ∴a的值为4． 易错题型二十一 解|×|≥a型的不等式 41．（25-26八年级下·广东惠州·期末）不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 42．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，不等式恒成立问题，利用转化的思想是解题的关键． 不等式变形为，令，此时不等式问题转化为函数问题，再分类讨论，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令， 当时，， ∴当恒成立时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， 综上：， 故答案为：． 易错题型二十二 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）将点、点的坐标代入，解方程组求出、的值，即可求出函数解析式； （2）把代入，求出的值，根据图像即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴由图象可知，当时，． 44．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是； 的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 易错题型二十三 根据两条直线的交点求不等式的解集 45．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标代入求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得， 直线的解析式为， 当时，，则， 设直线与轴交点为，当时，，则， ∴ ； （3）解：根据图象得，不等式的解集为：． 46．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：由图象可得不等式的解为：． 易错题型二十四 求一元一次不等式组的整数解 47．（25-26八年级下·内蒙古包头·月考）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为；整数解为，，0． 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以原不等式组的解集为， ∴整数解为，，0． 48．（25-26八年级下·四川成都·月考）点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则a的值为______． 【答案】2 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，据此列出不等式组，再求不等式组的解集，最后确定a的整数值即可解答． 【详解】解：∵点在第二象限内， ∴，解得：， ∵纵、横坐标均为整数， ∴a为整数，即． 易错题型二十五 由一元一次不等式组的解集求参数 49．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果不等式组的解集是，则________． 【答案】5 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集得到关于、的方程，求出、的值，代入计算即可. 【详解】解：不等式组为 解不等式，移项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的解集是， ，， 解得，， 将，代入得： ． 50．（25-26八年级下·四川达州·月考）已知不等式组的解集是，则的值为_______． 【答案】1 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到含a，b的解集，结合已知解集求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴． 易错题型二十六 由不等式组解集的情况求参数 51．（25-26八年级下·广东深圳·月考）不等式组的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式，再根据已知解集，结合一元一次不等式组的解集法则，即可求出参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，移项得，即， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 根据“同大取大”的解集法则，得． 52．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）不等式组的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，根据不等式组的解集以及一元一次不等式组“同大取大”的法则，即可得到m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ， 解得：． 易错题型二十七 不等式组的工程问题 53．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 易错题型二十八 不等式组的经济问题 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 【详解】解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 56．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 【答案】(1)糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元 (2)糯米糍最多为箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出，即可求解． 【详解】（1）解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元； （2）解：设糯米糍有箱，则桂味有箱， 由题意可得： 解得：， 为正整数， 糯米糍最多为箱． 易错题型二十九 不等式组的分配问题 57．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 58．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 易错题型三十 不等式组的方案选择问题 59．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 (2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． （2）解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 60．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； (2)共有3种租车方案，方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； (3)采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【分析】设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，根据“租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“租用A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元， 根据题意得：， 解得： 答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； （3）选择方案1所需总费用为元 选择方案2所需总费用为元 选择方案3所需总费用为元， ， 采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 易错题型三十一 不等式组的阶梯收费问题 61．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 62．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 易错题型三十二 已知平移后的坐标求原坐标 63．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 64．（2024·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 易错题型三十三 平移综合题（几何变换） 65．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可． （3）根据列式解答即可． 本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ∴即，即， 故，． （2）解：设点E的坐标为由题意，得，，． ∵． ∴ ∴， 解得． ∴， 解得． ∴点E的坐标是． （3）解：∵ ∴ ∴ 则点P的坐标是或． 66．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)5 【分析】（1）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可； （2）根据平移规律确定点的坐标即可． （3）利用分割法计算面积即可． 本题考查了坐标平移，画图，分割法计算面积，熟练掌握平移和作图是解题的关键． 【详解】（1）解：，．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到．故，，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据（1）解答，得，． （3）解：根据题意，得得面积为： ． 易错题型三十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 67．（24-25八年级下·江苏南通·期末）以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，作轴，垂足为，容易判断是等腰直角三角形，则，，结合旋转的性质可知，点在轴负半轴上，且，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为， ∵，轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点由点绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴、、三点共线，即点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 68．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了画旋转图形、点坐标的旋转变换，熟练掌握画旋转图形是解题关键．先根据旋转的定义画出旋转图形，再据此写出点的坐标即可得． 【详解】解：由题意，画出如下： 则． 易错题型三十五 坐标与旋转规律问题 69．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解． 【详解】解：点 ∴ 的横坐标为6，且， 的横坐标为， …… ∴的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是， 故选：C． 70．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）小夏利用平面直角坐标系绘制了风车图形（如图），他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动，…，那么按照这种转动方式，转动2025次后，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：由题意可得：第4次旋转后回到初始位置， 又∵， ∴此时点A与点重合， ∵点， ∴点 ∴转动2025次后，点A的坐标为． 故答案为：． 易错题型三十六 线段问题（旋转综合题） 71．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在四边形中，，，，且，的值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作，交延长线于点G，则，，，证明，设，，求出，， 则，则，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作，交延长线于点G，过点作于点， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∵，， ∴，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 72．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： (1)的度数； (2)的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质先证明是等边三角形，由相似三角形的性质可得； （2）由旋转可得，、、在一条直线上，即可得到． 【详解】（1）解：由题知：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴、、在一条直线上， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：∵、、在一条直线上， ∴， ∵绕着点按顺时针方向旋转后得到， ∴， ∴． 易错题型三十七 面积问题（旋转综合题） 73．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在网格中建立平面直角坐标系，在网格中，点，，坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的并写出点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析；点的坐标为 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、利用割补法求图形的面积，解决本题的关键是根据中心对称的性质作出图形． 根据中心对称的性质分别作点、、关于原点的对称点、、，连接点、、，得到即为所求； 把四边形分成和，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别作点、、关于原点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； 由图可得，点的坐标为； （2）解：由图可知， 四边形的面积为． 74．（2023·湖北鄂州·二模）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，    ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错题型三十八 角度问题（旋转综合题） 75．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 76．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．    (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，，即可求解； 【详解】（1）当时， ， ∵旋转得到，其中旋转到. ∴旋转角为； （2）∵， ， ∵旋转得到， ， ， 即， ， 即， ； 易错题型三十九 其他问题（旋转综合题） 77．（2023·江苏泰州·三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为_____________． 【答案】 【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案． 【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：   绕点逆时针旋转的对应点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， 设直线解析式为，将，，，代入得： ， 解得， 直线解析式为； 故答案为：． 78．（24-25八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的 ，并直接写出点的坐标； (2)绕点C逆时针方向旋转90°得到 ，按要求作出图形； (3)如果 通过旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心P的坐标． 【答案】(1)见解析，坐标为(2，-2) (2)见解析 (3)P 【分析】（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位；即得所求； （2）根据旋转定义处理； （3）根据旋转定义，确定两组对应点连线，两线段垂直平分线交点即是旋转中心． 【详解】（1）（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位； △即为所求．    点B的坐标，坐标为（2，－2） （2）如图所示，△即为所求 （3）旋转中心P的坐标    易错题型四十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 79．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 80．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 易错题型四十一 中心对称图形规律问题 81．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称对称的性质，掌握这些是解题关键．设，由平移得，再利用旋转可得，，求解即可得解． 【详解】解：设， ∵点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴即， ∵把点绕点旋转得到点， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为： 82．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 【答案】 / 【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $