第三章　图形的平移与旋转 习题课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2　图形的旋转 第2课时　旋转变换与作图 基础过关 01 能力提升 02 第三章　图形的平移与旋转 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 A 　 B 　 C 　 D 知识点　简单的旋转作图 1.如图，将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是( ) B 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4， －2)，B(－2，0)，C(0，－3)，△A1B1C是△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的图形。 (1)写出A1，B1的坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出△A1B1C； 解：(1)A1(1，1)，B1(3，－1)。 (2)如图，△A1B1C即为所作。 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 (3)若点A2与点A1关于原点对称，求出△A1A2B的面积。 (3)∵点A2与点A1关于原点对称， ∴A2(－1，－1)， ∴△A1A2B的面积为2×3－×1×1－×2×2－×3×1＝2。 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 3.［易错题］在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，4)，将OA绕坐标原点O旋转90°得到OA'，则点A'的坐标是　 　。  　(－4，3)或(4，－3)　 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 4.在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一方格体正在向下运动，为了使所有图案消失，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失( ) A.顺时针旋转90°，向右平移 B.逆时针旋转90°，向右平移 C.顺时针旋转90°，向左平移 D.逆时针旋转90°，向左平移 A 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 5.如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度α(0°＜α＜360°)后能够与它本身重合，则旋转角度α不可能为( ) A.36°　　 B.60°　　 C.120°　　 D.180° A 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 6.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上。 (1)BC的长等于　 ； (2)在如图所示的网格中，将△ABC绕点A旋转，使得点B的对应点B'落在边BC上，得到△AB'C'，请用无刻度的直尺，画出△AB'C'，并简要说明这个三角形的各个顶点是如何找到的(不要求证明)。 解：取格点D，E，F，G，连接AD交BC于B'，连接AF和EG交于C'。 2　 返回目录 第2课时　旋转变换与作图 $ 思维导图 01 整合训练 02 本章总结提升 返回目录 本章总结提升 返回目录 本章总结提升 返回目录 本章总结提升 返回目录 本章总结提升 返回目录 本章总结提升 A B C D 1.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) C 返回目录 本章总结提升 2.在平面直角坐标系中，点(5，1)关于原点对称的点的坐标是( ) A.(－5，1) B.(5，－1) C.(1，5) D.(－5，－1) D 返回目录 本章总结提升 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝6，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A'B'C。当A'，B'，A三点共线时，AA’＝ ( ) A.6 B.3 C.6 D.9 D 返回目录 本章总结提升 4.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为( ) A.10° B.15° C.20° D.25° B 返回目录 本章总结提升 A.16 cm B.18 cm C.20 cm D.21 cm 5.如图，将△ABE向右平移2 cm得到△DCF。如果△ABE的周长是16 cm，那么四边形ABFD的周长是( ) C 返回目录 本章总结提升 A B C D 6.(广东中考)下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是 ( ) C 返回目录 本章总结提升 7.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点的坐标为(2，)，则B点与D点的坐标分别为( ) A.(－2，)，(2，－) B.(－，2)，(，－2) C.(－，2)，(2，－) D.(－)，(，－) B 返回目录 本章总结提升 8.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为　 　。  5 返回目录 本章总结提升 9.如图，已知点A的坐标为(－1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△DEF，若四边形AEFB的面积为6，则点E的坐标为　 　。 　(1，3)　 返回目录 本章总结提升 10.［推理能力］如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为　 　。  　1　 返回目录 本章总结提升 11.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)。 (1)若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，作出△A1B1C1； (2)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2。 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求。 (2)如图，△A2B2C2即为所求。 返回目录 本章总结提升 12.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE。 (1)求证：△AEB≌△ADC； 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC。 ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE＝60°，AE＝AD。 ∴∠BAD＋∠EAB＝∠BAD＋∠DAC。∴∠EAB＝∠DAC。 在△EAB和△DAC中， ∴△EAB≌△DAC(SAS)。 返回目录 本章总结提升 (2)连接DE，若∠ADC＝110°，求∠BED的度数。 解：∵∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴△EAD为等边三角形， ∴∠AED＝60°。 ∵△EAB≌△DAC， ∴∠AEB＝∠ADC＝110°， ∴∠BED＝50°。 返回目录 本章总结提升 解：设点D的纵坐标为y。 ∵点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，A(1，－2)，B(3，0)， ∴线段AB向左平移3个单位长度，向上平移(y＋2)个单位长度， 图2 (2)平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示。若S△BCD＝7(S△BCD表示三角形BCD的面积)，求点C，D的坐标。 图1 (1)平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为(－2，4)，则点D的坐标为　 　；  13.在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为(1，－2)，点B的坐标为(3，0)，如图1所示。 　(－4，2)　 返回目录 本章总结提升 ∴C(0，y＋2)，D(－2，y)，连接OD，S△BOC＝×3(y＋2)＝(y＋2)，S△COD＝(y＋2)×2＝y＋2，S△BOD＝×3y＝y。 ∵S△BCD＝7， ∴(y＋2)＋y＋2－y＝7，解得y＝2， ∴y＋2＝4， ∴C(0，4)，D(－2，2)。 返回目录 本章总结提升 14.［动点探究题］如图1，已知点A(1，a)，AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B(b，0) ，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a，b满足＋(b－3)2＝0。 (1)①写出A，B，C三点的坐标； ②求出△AOH的面积； 图1 解：①∵＋(b－3)2＝0， ∴4－a＝0，b－3＝0， ∴a＝4，b＝3， ∴A(1，4)，B(3，0)，∴C(2，－4)。 ②△AOH的面积为×1×4＝2。 返回目录 本章总结提升 (2)如图1，若点D(m，n)在线段OA上，求证：4m＝n； 证明：如图，连接DH。 ∵S△ODH＋S△ADH＝S△OAH， ∴×1×n＋×4×(1－m)＝2， ∴4m＝n。 返回目录 本章总结提升 (3)如图2，连接OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动。若经过t s，△AOP与△COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标。 解：①当点P在线段OB上时，×(3－2t)×4＝×2×t，解得t＝，此时P(，0)。 ②当点P在BO的延长线上时，×(2t－3)×4＝×2×t，解得t＝2，此时P(－1，0)。 综上所述，t＝时，P(，0)；t＝2时，P(－1，0)。 图2 返回目录 本章总结提升 $ 2　图形的旋转 第1课时　旋转的定义与性质 基础过关 01 能力提升 02 第三章　图形的平移与旋转 核心素养 03 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 知识点1　旋转的有关概念　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下面物体的运动不是旋转现象的是( ) A.风车的转动 B.国旗的升降 C.钟表分针的运动 D.拧瓶盖 B 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 A B C D 2.下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是( ) D 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 (1)旋转中心是点　 　；  (2)点B，D的对应点分别是点　 　；  (3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段 　 　；  (4)∠B的对应角是　 　；  (5)旋转的角度为　 　。  　60°　 ∠ACE　 　AC，CE，EA　 　C，E　 3.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，△ABD逆时针旋转后到达△ACE的位置，那么： 　A　 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 知识点2　旋转的性质 4.如图，△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，则平移的距离为( ) A.2 B.3 C.5 D.8 B 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD。当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( ) A.△ABC≌△DEC B.∠ADC＝45° C.AD＝AC D.AE＝AB＋CD D 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 6.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°。把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE。求证：△AEM≌△ANM。 证明：由旋转的性质得△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN。 ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°， ∴∠MAE＝∠MAN。 又∵AM＝AM， ∴△AEM≌△ANM(SAS)。 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 7.［易错题］如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为　 　。  　5　 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 8.如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4 cm，1 cm，若将正方形AEFG绕着点A旋转，则在旋转过程中，点C，F之间的最小距离为( ) A.3 cm B.2 cm C.(4－1) cm D.3 cm D 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 A.30° B.45° C.55° D.75° 9.如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是( ) B 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 10.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转15°得到△AB1C1，AC1交BC于点D，则AD的长为( ) A.2 B.2－2 C.2 D.2 C 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 11.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE。若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为　 　。  　75°　 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 12.［推理能力］如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，BC，DE相交于O，∠ACE＝60°。 (1)判断△ABD的形状，并说明理由； 解：(1)△ABD是等边三角形。 理由：由旋转得AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC。 ∵∠ACE＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60°， ∴∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形。 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 (2)求∠COD的度数。 (2)如图，设BC，AD相交于点F，由(1)得∠DAB＝60°，由旋转得∠ADE＝∠ABC， ∴∠BFD＝∠DOB＋∠ADE＝∠DOB＋∠ABC。 ∵∠BFD＝∠DAB＋∠ABC， ∴∠DOB＋∠ABC＝∠DAB＋∠ABC， ∴∠DOB＝∠DAB＝60°， ∴∠COD＝180°－∠DOB＝120°， ∴∠COD的度数是120°。 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 【尝试解决】 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题。 (1)如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针旋转60°得到△DAB'，则△BDB'的形状是　 　；  13.［转化思想］【问题提出】 如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积。 　等边三角形　 图1 图2 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 (2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积； 解：(2)如图1，过点B'作B'E⊥BD于点E。由旋转的性质可得，△BCD≌△B'AD， ∴S四边形ABCD＝S△BDB'。 ∵△BDB'为等边三角形，BC＝AB'＝1， ∴BD＝BB'＝AB＋AB'＝2＋1＝3， ∴BE＝BD＝，B'E＝， ∴S四边形ABCD＝S△BDB'＝×3×。 图1 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 【类比应用】 (3)如图3，等边三角形ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长。 图3 (3)如图2，将△BDM绕点D顺时针旋转120°得到△CDP，∴△BDM≌△CDP， ∴MD＝PD，BM＝CP，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC。 ∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°。 图2 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠MBD＝∠ABC＋∠DBC＝90°。 同理可得，∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°， ∴∠DCN＋∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线。 ∵∠MDN＝60°，∴∠MDB＋∠NDC＝∠PDC＋∠NDC＝∠PDN＝60°，∴∠MDN＝∠PDN。 又∵DN＝DN，∴△NMD≌△NPD(SAS)， ∴MN＝PN＝NC＋CP＝NC＋BM， ∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋NC＋BM＝AB＋AC＝2＋2＝4。 返回目录 第1课时　旋转的定义与性质 $ 2　图形的旋转 第3课时　中心对称 基础过关 01 能力提升 02 第三章　图形的平移与旋转 核心素养 03 返回目录 第3课时　中心对称 知识点1　中心对称的定义与性质 1.关于中心对称的描述不正确的是( )　　　　　　　　　　　　　　　 A.把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称 B.关于中心对称的两个图形是全等的 C.关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心 D.如果两个图形关于点O对称，点A与A'是对称点，那么OA＝OA' A 返回目录 第3课时　中心对称 A.OA＝OB B.△AOD≌△COB C.AD＝BC D.S△ACD＝S△BCD 2.如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连接AB，CD，以下结论错误的是( ) A 返回目录 第3课时　中心对称 3.如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称。 (1)找出它们的对称中心O； (2)若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长。 解：(1)如图所示，点O即为所求。(作法不唯一)。 (2)∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称， ∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6， ∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝7＋5＋6＝18。 返回目录 第3课时　中心对称 知识点2　中心对称图形与作图 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D B 返回目录 第3课时　中心对称 5.［学科特色·教材变式］如图所示的图形是中心对称图形，则其对称中心是( ) A.点C B.点D C.线段BC的中点 D.线段FC的中点 D 返回目录 第3课时　中心对称 6.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是　 　。  图1 图2 　③　 7.若点P(m，5)与Q(2，n)点关于原点成中心对称，则m＋n的值为　 。 　－7　 返回目录 第3课时　中心对称 (2)在直角坐标系中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的图形△A'B'C'。 ①在图中画出△A'B'C'； ②求点A经过的路径的长。 8.如图，△ABC和△DEF关于某一点成中心对称，其中点A(－2，3)，E(－2，0)，C(－1，0)，D(－4，－3)。 (1)对称中心的坐标为　 　；  　(－3，0)　 解：①如图所示，△A'B'C'即为所求作的三角形。 ②∵OA＝OA'＝， ∴点A经过的路径的长为：×2π×π。 返回目录 第3课时　中心对称 9.［易错题］在平面直角坐标系中，点(a，b)关于原点对称的点的坐标是 ( ) A.(－a，－b) B.(－b，－a) C.(－a，b) D.(b，a) A 返回目录 第3课时　中心对称 10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为( ) A.(－4，－5) B.(－5，－4) C.(－3，－4) D.(－4，－3) A 返回目录 第3课时　中心对称 11.已知点A(a，2)与点B(－3，b)关于原点对称，则a＋b的值为( ) A.5 B.－5 C.1 D.－1 C 返回目录 第3课时　中心对称 12.如图，在平面直角坐标系中，点P(1，1)，N(2，0)，△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　。  　(2，1)　 返回目录 第3课时　中心对称 13.如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称。已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)。 (1)仅用直尺画出对称中心点Q的位置，并求点Q的坐标； (2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标。 解：(1)如图，连接BB1交AA1于点Q，则点Q即为所求。根据对称中心的性质，可得Q是D1D的中点。 ∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)， ∴点Q的坐标是(0，2.5)。 (2)B(－2，4)，C(－2，2)，B1(2，1)，C1(2，3)。 返回目录 第3课时　中心对称 14.［数学活动］数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围。 【解决方法】延长AD到E，使得DE＝AD。再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)。把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4。 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。 图1 返回目录 第3课时　中心对称 【迁移应用】请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。 (1)求证：BE＋CF＞EF； 图2 证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG，EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD)，∴CF＝BG，DF＝DG。 ∵DE⊥DF， ∴EF＝EG。 在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF。 返回目录 第3课时　中心对称 (2)若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明。 (2)BE2＋CF2＝EF2。 证明：∵∠A＝90°， ∴∠EBC＋∠FCB＝90°，由(1)知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°， ∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2， ∴BE2＋CF2＝EF2。 返回目录 第3课时　中心对称 $ 专题训练(四)　　旋转的应用 专题训练(四)　　旋转的应用 A.1 B. C. D. 类型1　与长度有关的问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点。若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于 ( ) C 专题训练(四)　　旋转的应用 2.如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点(CE＞DE)，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF。 (1)求证：BE＝AF； 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°。 ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴CE＝CF，∠FCE＝60°， ∴∠BCE＝∠ACF＝60°－∠ACE， ∴△BCE≌△ACF(SAS)， ∴BE＝AF。 专题训练(四)　　旋转的应用 (2)点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M。若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明。 (2)CE＝2MF＋DE。 证明方法一：如图1，作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°。 ∵M为AG的中点，∴AM＝GM。 ∵∠AMH＝∠GMC，∴△AMH≌△GMC(AAS)，∴HM＝CM。∵∠CBD＝60°，∴∠CBD＝∠CAH，由旋转得∠BCD＝∠ACH。∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACH(ASA)，∴CD＝CH。 ∵CE＝CF，∴CD－CE＝CH－CF，∴DE＝HF。 ∵CF＝MF＋CM＝MF＋HM＝MF＋MF＋HF＝2MF＋DE， ∴CE＝2MF＋DE。 图1 专题训练(四)　　旋转的应用 证明方法二：如图2，在MC上取一点N，使MN＝MF，连接GN。 ∵M为AG的中点，∴AM＝MG。 ∵∠AMF＝∠GMN，MF＝MN，∴△AMF≌△GMN(SAS)， ∴AF＝GN，∠AFM＝∠GNM， 由(1)得△BCE≌△ACF，∴∠BEC＝∠AFC。 ∵∠BED＋∠BEC＝180°，∠GNC＋∠MNG＝180°， ∴∠BED＝∠GNC。 ∵∠BDE＝120°－∠BCD，∠NCG＝120°－∠BCD， ∴∠BDE＝∠NCG。 ∵BE＝GN，∴△BDE≌△GCN(AAS)，∴DE＝CN， ∴CE＝CF＝FN＋CN＝2MF＋DE。 图2 专题训练(四)　　旋转的应用 类型2　与角度有关的问题 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE。 (1)求证：DC平分∠ADE； 证明：∵由题意可得，CA＝CD，∠A＝∠CDE， ∴∠A＝∠CDA， ∴∠CDA＝∠CDE， ∴DC平分∠ADE。 专题训练(四)　　旋转的应用 (2)若∠A＝70°，求∠DEB的度数。 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝70°， ∴∠CBA＝20°。 ∵∠A＝∠CDA＝70°， ∴∠ACD＝40°。 ∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝40°，∠CED＝∠CBA＝20°，∴∠CBE＝∠CEB＝×(180°－40°)＝70°， ∴∠DEB＝∠CEB－∠CED＝70°－20°＝50°。 专题训练(四)　　旋转的应用 4.如图，点O为等边△ABC内一点，AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则△BOO1的面积是　 　。  类型3　与面积有关的问题 　24　 专题训练(四)　　旋转的应用 (1)当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2。 ①当∠B＝∠DEC＝30°时，此时旋转角的大小为　 　；  ②当∠B＝∠DEC＝α时，此时旋转角的大小为　 　(用含α的式子表示)； 　2α　 5.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°。若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转。 　60°　 图1 图2 专题训练(四)　　旋转的应用 (2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想；若不正确，请说明理由。 图3 解：小杨同学猜想是正确的。 证明：过B作BN⊥CD交CD的延长线于N，过E作EM⊥AC交AC的延长线于M，如图2。 ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3。 ∵BN⊥CD，EM⊥AC， ∴∠BNC＝∠EMC＝90°。 图2 专题训练(四)　　旋转的应用 ∵△ACB≌△DCE， ∴BC＝EC， 在△CBN和△CEM中，∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)， ∴BN＝EM。 ∵S△BDC＝×CD·BN，S△ACE＝×AC·EM。 ∵CD＝AC， ∴S△BDC＝S△ACE。 专题训练(四)　　旋转的应用 A.正东方向 B.正南方向 C.正西方向 D.正北方向 类型4　与旋转有关的规律探究题 6.(镇江中考)如图，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，第1次操作：取AC的中点O1，将O1B绕点O1分别逆时针旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O2C2和O2A2……按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段O30C30和O30A30，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点C30在点A30的( ) D 专题训练(四)　　旋转的应用 7.探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°。 图1 (1)①如图1，若∠B，∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE，DF和EF之间的数量关系； 解：(1)①EF＝BE＋DF。 专题训练(四)　　旋转的应用 ②如图2，若∠B，∠D都不是直角，但满足∠B＋∠D＝180°，线段BE，DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 图2 ②成立。 证明：如图1，把△ABE绕A点旋转至△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，BE＝DG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG。 ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠ADC＋∠ADG＝180°， 图1 专题训练(四)　　旋转的应用 ∴C，D，G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF＝GF。 ∵BE＝DG， ∴EF＝GF＝BE＋DF。 专题训练(四)　　旋转的应用 (2)拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2。点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长。 图3 (2)∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理，得BC＝＝4，如图2，把△AEC绕A点旋转至△AFB，使AB和AC重合，连接DF。 则AF＝AE，BF＝CE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE。 图2 专题训练(四)　　旋转的应用 ∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°， 在△FAD和△EAD中， ∴△FAD≌△EAD(SAS)，∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x。 ∵BC＝4，∴BF＝CE＝4－1－x＝3－x。 ∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°， 由勾股定理得，DF2＝BF2＋BD2，x2＝(3－x)2＋12，解得x＝，即DE＝。 专题训练(四)　　旋转的应用 $ 1　图形的平移 第1课时　平移的概念与性质 基础过关 01 能力提升 02 第三章　图形的平移与旋转 核心素养 03 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 知识点1　平移的概念 1.下列现象中，属于平移的是( )　　　　　　　　　　　　　　 A.足球在草坪上滚动 B.货物在传送带上移动 C.小朋友在荡秋千 D.汽车雨刮器的摆动 B 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 A B C D 2.［主题教育·中华优秀传统文化］甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根源，其字形简练，线条瘦劲，结构均衡对称，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是( ) B 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 知识点2　平移的性质 3.如图，将△ABC沿BA方向平移，得到△DEF。若BD＝8，DE＝5，则AE的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 C 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 4.如图，将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，则下列结论：①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB。其中正确的是( ) A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ B 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 A.48 mm B.80 mm C.96 mm D.100 mm 5.一块电脑主板的示意图如图(单位：mm)，其中每个角都是直角，则这块主板的周长是( ) C 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 知识点3　平移作图 6.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上。 (1)在△ABC中画出BC边上的中线AM，AB边上的高CN； (2)平移△ABC，使点B移动到点B'的位置。 ①画出平移后的△A'B'C'； ②若连接AA'，BB'，则这两条线段之间的关系是 _______________________；  ③平移过程中，AC边扫过的面积是　 　。  (1)解：如图，AM，CN即为所求。 (2)①解：如图，△A'B'C'即为所求。 AA'＝BB'且AA'∥BB'　 32 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 A.DF＝7 B.∠F＝30° C.AB∥DE D.BE＝4 7.［易错题］如图，在△ABC中，BC＝7，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置。若CF＝4，则下列结论中错误的是( ) A 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 8.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF。已知AD＝4，AE＝13，则DB长为( ) A.4 B.5 C.9 D.13 B 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 9.如图，三角形DEF是由三角形ABC平移得到，其中A的对应点为D，B的对应点为E。连接BE，则下列结论不一定成立的是( ) A.BE＝CF B.BC∥EF C.AB∥DE D.AD＝CD D 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 10.如图，∠1＝72°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3等于( ) A.72° B.98° C.108° D.112° C 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 11.如图，已知Rt△ABO的周长为100，∠AOB＝90°，则在其内部的n个小直角三角形周长之和为　 　。  　100　 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 12.如图，△ABC以2 cm/s的速度沿着射线BC向右平移，平移2 s后所得图形是△DEF，连接AD，如果AD＝2CE，那么BC＝　 　。  　6 cm　 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 13.如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，且∠B＝∠E。 (1)求证：AE∥BC； 图1 证明：∵DE∥AB， ∴∠E＋∠BAE＝180°。 ∵∠B＝∠E， ∴∠B＋∠BAE＝180°， ∴AE∥BC。 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 (2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ。若∠E＝65°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数。 解：如图，过D作DF∥AE。 ∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ， ∴PQ∥AE， ∴∠E＝∠EDF＝65°。 ∵DE⊥DQ， ∴∠FDQ＝90°－65°＝25°。 ∵DF∥AE，AE∥PQ， ∴DF∥PQ， ∴∠Q＝∠FDQ＝25°。 图2 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 14.［动点探究题］如图，在等腰直角三角形PMN中，∠MPN＝90°，PM＝PN＝3 cm。正方形ABCD的边长也为3 cm。点P，M，A，B在同一条直线l上，且AM＝4 cm，△PMN的两条直角边以每秒2 cm的速度不断加长。同时正方形ABCD也以每秒1 cm的速度沿直线l向右平移。设时间为t s。 (1)在变化过程中，等腰直角三角形PMN的直角边长为　 　cm，面 积为_____________cm2(用含t的式子表示)；  (3＋2t) (3＋2t)2　 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 (2)在变化过程中，当t为何值时，△PMN的斜边MN恰好经过正方形ABCD的顶点？ 解：当斜边MN恰好经过点A时，3＋2t＝7＋t，解得t＝4；当斜边MN恰好经过点B，D时，3＋2t＝7＋t＋3，解得t＝7；当斜边MN恰好经过点C时，3＋2t＝7＋t＋3＋3，解得t＝10。 综上所述，t＝4或7或10时，△PMN的斜边MN恰好经过正方形ABCD的顶点。 返回目录 第1课时　平移的概念与性质 $ 1　图形的平移 第2课时　平面直角坐标系中的平移 基础过关 01 能力提升 02 第三章　图形的平移与旋转 核心素养 03 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 知识点1　图形沿x轴或y轴方向的平移与坐标变化 1.在平面直角坐标系中，将点P(3，5)向下平移2个单位长度后得到点P1的坐标为( )　　　　　　　　　　　　　　 A.(1，5) B.(5，5) C.(3，3) D.(3，7) C 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 2.在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位长度后，得到的点的坐标是( ) A.(3，1) B.(－1，1) C.(1，3) D.(1，－1) A 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 3.点M(m－2，m＋5)向左平移2个单位长度后恰好落在y轴上，则点M的坐标为( ) A.(－2，5) B.(－7，0) C.(2，9) D.(3，10) C 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 4.对于点A(2，m)与点B(2，m－5)，下列说法不正确的是( ) A.将点A向下平移5个单位长度可得到点B B.A，B两点的距离为5 C.点A到y轴的距离为2 D.直线AB与x轴平行 D 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 A.(－1，－1) B.(1，0) C.(0，1) D.(3，0) 知识点2　图形依次沿x轴、y轴方向的平移与坐标变化 5.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，平移线段AB，使点A落在点A'(－1，3)处，则点B的对应点B'的坐标为( ) C 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 6.在平面直角坐标系中，将线段AB平移至A'B'。若点A(1，－2)的对应点A'的坐标为(－2，3)，则线段AB平移的方式可以为( ) A.向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 B.向左平移5个单位长度，向上平移3个单位长度 C.向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 D.向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度 A 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 7.在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(3，2)，B(5，2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是(－1，2)，则点B的对应点D的坐标是　 　。  　(1，2)　 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 8.如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3。P(a，b)为△ABC内一点，将△ABC平移，当平移后得到的△A1B1C1的一顶点落在原点上时，点P的对应点P1的坐标为(a－6，b－4)，则点A的坐标为　 　。  　(6，4)或(2，4)或(6，1)　 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 (1)在图中画出△A1B1C1； (2)点A1的坐标为　 　；  (3)△A1B1C1的面积为　 　；  (4)已知点M在y轴上，若△MOC1的面积为6，则点M的坐标为　 　。  　(0，4)或(0，－4)　 　2.5　 9.如图，已知点A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P(x，y)经过平移后的对应点为P1(x－4，y＋2)。 　(0，5)　 解：(1)如图， △A1B1C1即为所作。 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 10.［易错题］已知在平面直角坐标系中有一点A(－2，5)，若将平面直角坐标系先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，则点A在平移后的坐标系中的坐标是　 　。  　(－5，1)　 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 11.在平面直角坐标系中，将点A(m，n＋2)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，若点A'位于第二象限，则m，n的取值范围分别是( ) A.m＜0，n＞0 B.m＜3，n＞－4 C.m＜0，n＜－2 D.m＜－3，n＜－4 B 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 12.如图，△OAB的边OB在x轴的正半轴上，点B的坐标为(5，0)，把△OAB沿x轴向右平移3个单位长度，得到△CDE，连接AC，DB，若△DBE的面积为6，则图中阴影部分的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 C 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m，3m＋4)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 　 　；点C是x轴负半轴上一点，过点C作CD∥y轴，D在第二象限，点E在线段CD上，连接OD，BE，BD，OE，且BE＝6，OD＝9。则四边形BOED的面积最大值为　 　。  　27　 　(0，7)　 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 14.［一题多解］如图，在平面直角坐标系中，点A(0，5)，B(－2，0)，C(3，3)，线段AB经过平移得到线段CD，其中点B的对应点为点C，点D在第一象限，直线AC交x轴于点F。 (1)点D坐标为　 　；  (2)线段CD由线段AB经过怎样平移得到？ 　(5，8)　 解：(2)向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度。 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 (3)求△BCF的面积。 解法一：设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则有解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋5， ∴点F的坐标为（，0），∴OF＝。 ∵OB＝2，∴BF＝， ∴S△BCF＝×BF×Cy＝×3＝。 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 解法二：作CH⊥OF于H。设F(m，0)。 ∵S△AOF＝S四边形AOHC＋S△CHF， ∴×5×m＝×(3＋5)×3＋×3×(m－3)，解得m＝， ∴F（，0）。 ∵OB＝2， ∴BF＝， ∴S△BCF＝×BF×Cy＝×3＝。 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 15.［分类讨论思想］如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(a，0)，(b，0)，其中a，b满足方程组现同时将点A，B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点C，D，连接AC，BD，CD。 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 (1)求点C，D的坐标和四边形ABDC的面积； 解：(1)由可得 ∴A(－1，0)，B(3，0)，由题意，得C(0，2)，D(4，2)， ∴OA＝1，OB＝3，OC＝2， ∴AB＝4， ∴四边形ABDC的面积＝4×2＝8。 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 (2)在坐标轴上是否存在点P，使S△PAC＝S四边形ABDC？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。 (2)存在。 理由：当点P在x轴上时，∵S△PAC＝，∴·AP×2＝8，解得AP＝8，点P在点A的左边时，－1－8＝－9，点P的坐标为(－9，0)，点P在点A的右边时，－1＋8＝7，点P的坐标为(7，0)； 当点P在y轴上时，∵S△PAC＝，∴·CP×1＝8，解得CP＝16，点P在点C的上方时，2＋16＝18，点P的坐标为(0，18)，点P在点C的下方时，2－16＝－14，点P的坐标为(0，－14)。 综上所述，点P的坐标为(－9，0)或(7，0)或(0，18)或(0，－14)。 返回目录 第2课时　平面直角坐标系中的平移 $ 3　简单的图案设计 基础过关 01 能力提升 02 第三章　图形的平移与旋转 返回目录 3　简单的图案设计 知识点1　图案的变换 1.如图，甲图案通过旋转后得到乙图案，则其旋转中心是( )　　　　　　　　　　　　　　　 A.点A B.点B C.点C D.点D B 返回目录 3　简单的图案设计 2.如图，在4×4的正方形网格中，若从小正方形①②③④中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是( ) A.① B.② C.③ D.④ A 返回目录 3　简单的图案设计 知识点2　图案设计 3.［实践操作］为创建绿色校园，我市某学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案。图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形。种植花草部分用阴影表示。请你在图③，图④，图⑤中画出三种不同的设计图案。 ① ② ③ ④ ⑤ 解：以下为不同情形下的部分正确画法(答案不唯一)。 返回目录 3　简单的图案设计 图1　　 图2 A.只需经过两次轴对称变换 B.只需经过两次中心对称变换 C.先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D.先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 4.［易错题］在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是( ) B 返回目录 3　简单的图案设计 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD。△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度至少是　 　度。  　120　 　y轴　 　2　 返回目录 3　简单的图案设计 6.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上。以线段AB为边，按下列要求画四边形ABCD，且点C，D都在格点上(都只需要画出一个即可)。 (1)图1中的四边形ABCD是轴对称图形，但不是中心对称图形； 图1 解：(1)如图所示(答案不唯一，画出一个即可)。 返回目录 3　简单的图案设计 (2)图2中的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)如图所示(答案不唯一，画出一个即可)。 图2 返回目录 3　简单的图案设计 (3)图3中的四边形ABCD既是中心对称图形，又是轴对称图形。 (3)如图所示。 图3 返回目录 3　简单的图案设计 $