第三章　图形的平移与旋转 习题课件 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第三章　图形的平移与旋转 3．1　图形的平移 第1课时　平移的认识与性质 Ⅰ 目 录 CONTENTS 知识技能 1 数学理解 2 联系拓广 3 知识点一：平移的概念 1．下列现象中属于平移的是 ( ) A．升降电梯从一楼升到五楼 B．闹钟的钟摆运动 C．树叶从树上随风飘落 D．汽车方向盘的转动 A 返回目录 2．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到。下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是 ( ) A 返回目录 知识点二：平移的性质 3．如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3 cm，EF＝7 cm，则阴影部分的面积为 ( ) A．16 cm2 B．12 cm2 C．11 cm2 D．8 cm2 C 返回目录 4．下列关于平移的性质的说法中错误的是 ( ) A．图形平移，对应点所连的线段互相平分 B．确定一个图形平移后的位置需要知道平移的方向和距离 C．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置 D．一个图形和它经过平移所得的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等 A 返回目录 5．如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置(点B′在AC边上)，若∠B＝55°，∠C＝100°，则∠AB′A′的度数为 。 25° 返回目录 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，∠EGF＝32°。 (1)求∠B的度数； 解：(1)∵CD平移到EG的位置， ∴∠C＝∠EGF＝32°， ∵∠B与∠C互余， ∴∠B＝90°－32°＝58°。 返回目录 (2)若AD＝4，BC＝10，求FG的长。 (2)∵AB，CD分别平移到EF和EG的位置， ∴AE＝BF，DE＝CG， ∴BF＋CG＝AE＋DE＝AD＝4， ∵BC＝BF＋FG＋CG， ∴AD＋FG＝BC，即4＋FG＝10， ∴FG＝6。 返回目录 知识点三：平移作图 7．如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A1的位置，作出平移后的四边形A1B1C1D1，并指出平移的方向和平移的距离。 解：四边形A1B1C1D1如图所示。平移的方向是AA1，平移的距离是AA1的长。 返回目录 8．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，BC＝8 cm。将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得对应图形为△DEF。若要使AD＝3CE成立，则平移的距离是 。 6或12 cm 返回目录 9．如图，直线l上摆放着两个大小相同的△ABC和△DEC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝30°，将△DEC沿直线l向左平移得到△D′E′C′；使点E′落在AB上，E′D′与AC交于点P。有下列结论：①∠CPD′＝60°；②AB⊥E′D′；③△PEE′和△PCD′的周长之和大于△ABC的周长；④图中阴影部分的面积之和等于△ABC的面积。其中正确的是 (选填序号)。 ①②④ 返回目录 10．如图，每个小正方形的边长均为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小帆船，若小帆船先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，平移后的船身部分已画出(船身顶点都在格点上)。 (1)请在网格中补全平移后的船帆； (2)m＋n＝ 。 解：(1)如图所示， △A′B′C′即为所求。 6 返回目录 11．如图①，将线段A1A2向右平移2个单位长度到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图②中，将折线A1A2A3向右平移2个单位长度到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分)。 返回目录 (1)在图③中，请类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； 解：(1)如图③所示。 返回目录 (2)请分别写出上述三个图形中阴影部分的面积(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)：S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ； (3)如图④，一块长方形草地，长为20 m，宽为10 m，草地上有一条弯曲的小路(小路任何地方的宽度都是2 m)，请写出小路部分所占的面积： m2； (4)如图⑤，若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的宽度都是1 m)，请写出小路部分所占的面积： m2。 2b 2b 2b 20 38 返回目录 $第2课时　旋转作图 Ⅰ 目 录 CONTENTS 知识技能 1 数学理解 2 知识点：简单的旋转作图 1．风力发电机可以在风力作用下发电。如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是 （ ） A．45 B．60 C．90 D．120 D 返回目录 2．有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，它可能是 （ ） A．三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 D 返回目录 3．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是 ( ) A 返回目录 4．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是点 。 B 返回目录 5．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1。 解：如图所示。 返回目录 6．下列图形绕某一点旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是 ( ) A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．正六边形 C 返回目录 7．观察下列图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合的有 (选填序号)。 ①④ 返回目录 8．如图，将直角三角尺OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上。若OA＝2，将三角尺绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为 。 (，－) 返回目录 9．△ABC在网格中的位置如图所示。 (1)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1； 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求。 返回目录 (2)若网格中每一个小正方形的边长均为1， 请求出△ABC的面积； (3)在MN上找一点P，使PA＋PC最小。 (不写作法，保留作图痕迹) (2)△ABC的面积为。 (3)如图，点P即为所求。 返回目录 $第3课时　坐标系中的点沿x轴、y轴的两次平移 Ⅰ 目 录 CONTENTS 知识技能 1 数学理解 2 知识点：图形沿x轴、y轴两次平移的坐标变化 1．在平面直角坐标系中，将点A(1，－2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是 ( ) A．(－1，1) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) A 返回目录 2．(台州中考)如图，把△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△DEF，则顶点C(0，－1)对应点的坐标为 ( ) A．(0，0) B．(1，2) C．(1，3) D．(3，1) B 返回目录 3．已知长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，将长方形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后，再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合，此时点B的坐标是 。 4．将点P(－4，y)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q(x，－1)，则x＝ ，y＝ 。 (－5，－3) -6 2 返回目录 5．(兰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A(－3，5)，B(－4，3)，A1(3，3)，则B1的坐标为 ( ) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，4) D．(4，1) B 返回目录 6．(宁乡期末)如图，A(1，0)，B(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，则2a－b的值为 ( ) A．0 B．1 C．－2 D．2 D 返回目录 7．(平川区期末)点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为(5，3)，将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系x′O′y′，在新坐标系x′O′y′中，点A的坐标为 ( ) A．(2，5) B．(8，0) C．(8，5) D．(8，1) D 返回目录 8．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两端点的坐标分别为A(－1，3)，B(－3，1)，将线段AB向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得线段CD(A与C对应，B与D对应)。 (1)画出线段AB与线段CD，并求点C， D的坐标； 解：(1)如图所示，C(2，1)，D(0，－1)。 返回目录 (2)求四边形ABDC的面积。 (2)S四边形ABDC＝5×4－2××2×2－2××2×3＝10。 返回目录 $第2课时　坐标系中的点沿x轴、y轴的一次平移 Ⅰ 目 录 CONTENTS 知识技能 1 数学理解 2 知识点：图形沿x轴、y轴一次平移的坐标变化 1．(成都中考)在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 ( ) A．(3，0) B．(1，2) C．(5，2) D．(3，4) A 返回目录 2．平面直角坐标系中有一个点M(－1，2)，将点M沿着x轴正方向平移3个单位长度得到点N，则点N的坐标是 ( ) A．(1，2) B．(2，2) C．(－4，2) D．(－1，5) B 返回目录 3．(1)已知点A的坐标为(2，1)，将点A向上平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是 ； (2)点P(2，2)到点P′(－3，2)是向 平移了 个单位长度。 4．点A(m，4)向右平移2个单位长度后得到B(3，n)，则m－n＝ 。 (2，5) 左 5 -3 返回目录 5．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(3，－2)，C(5，1)，D(4，4)，画出将四边形ABCD向左平移3个单位长度后得到的四边形A1B1C1D1，并写出平移后四边形各个顶点的坐标。 解：如图所示。 A1(－2，2)，B1(0，－2)， C1(2，1)，D1(1，4)。 返回目录 6．△ABC各顶点的横坐标减“－2”，连接这三点所成的三角形是由△ABC （ ） A．向右平移2个单位长度得到的 B．向左平移2个单位长度得到的 C．向上平移2个单位长度得到的 D．向下平移2个单位长度得到的 A 返回目录 7．已知点M(3a－9，1－a)，将M点向左平移3个单位长度后落在y轴上，则a＝ 。 8．如图，△OAB的顶点A的坐标为(3，5)，点B的坐标为(4，0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE。若CB＝1，则点D的坐标为 。 4 (6，5) 返回目录 9．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A(2，4)，B(1，1)，C(3，2)。 (1)求△ABC的面积； 解：(1)S△ABC＝2×3－×3×1－×2×1×2＝。 返回目录 (2)将△ABC向下平移6个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； (2)如图，△A1B1C1即为所求。 返回目录 (3)若M(a－1，2b－6)是△ABC内一点，它随△ABC按(2)中方式平移后得到对应点N(2a－4，－b)，则a＝ ，b＝ 。 3 4 返回目录 $ 第3课时　中心对称 Ⅰ 目 录 CONTENTS 知识技能 1 数学理解 2 联系拓广 3 知识点一：中心对称的有关概念和性质 1．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是 ( ) A 返回目录 2．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论中正确的是 ( ) A．AO＝BO B．BO＝EO C．点A关于点O的对称点是点D D．点D在BO的延长线上 D 返回目录 3．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为点 。 D 返回目录 4．如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称，则线段BC与EF的关系是 。 平行且相等 返回目录 5．如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知AA1＝8 cm，BO＝6 cm，A1B1＝5 cm，则△OAB的周长为 cm。 15 返回目录 知识点二：画成中心对称的图形 6．如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′。 解：四边形A′B′C′D′如图所示。 返回目录 知识点三：中心对称图形 7．(枣庄中考)下列图形中，可以看作中心对称图形的是 （ ） B 返回目录 8．联欢会上，数学李老师表演了一个魔术。她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°。解除蒙具后，看到4张牌如图②所示。可以判断出被旋转过的牌是 （ ） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 A 返回目录 9．如图，在3×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有 种。 3 返回目录 10．已知下列命题：①关于中心对称的两个图形一定不全等；②关于中心对称的两个图形是全等图形；③两个全等的图形一定关于中心对称。其中真命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．0 A 返回目录 11．如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点A(2，)，则点B的坐标为 。 (－2，－) 返回目录 12．如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线c关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D。若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 。 6 返回目录 13．如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P。 (1)求证：AC＝CD； 证明：∵△ABM与 △ACM关于直线AF 成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB＝AC， 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE，∴AB＝CD，∴AC＝CD。 返回目录 (2)若∠BAC＝2∠MPC，请判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由。 解：∠F＝∠MCD。 理由：由(1)可得 ∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA， ∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF， ∴设∠MPC＝α， 则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α， 设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β， ∴∠F＝∠CPM－∠PMF＝α－β， ∠MCD＝∠CDE－∠CMD＝α－β， ∴∠F＝∠MCD。 返回目录 14．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分。 返回目录 (1)如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB (选填“>”“<”或“＝”)S四边形DEFC； = 返回目录 (2)如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； 解：(2)如图所示。 返回目录 (3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分。(用三种方法分割) (3)如图所示。 返回目录 $ 3．3　简单的图案设计 Ⅰ 目 录 CONTENTS 知识技能 1 数学理解 2 知识点一：分析图案的形成过程 1．在如图所示的四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是( ) C 返回目录 2．如图，将等腰三角板a向右翻滚，依次得到b，c，d，下列说法中不正确的是 ( ) A．a到b是旋转 B．a到c是平移 C．a到d是平移 D．b到c是旋转 B 返回目录 3．观察下面的瓷砖图案，分析每个图案的形成过程。 解：图①、图②都可以看作是其中的四分之一绕图形中心连续三次旋转90°得来的；也可以看作是图形的二分之一绕图形中心旋转180°得来的。 返回目录 知识点二：简单的图案设计 4．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示图案的是 ( ) C 返回目录 5．利用图中所给的图形进行图案设计，并说明设计的含义。 解：如图。(答案不唯一) 返回目录 6．下列某品牌T恤的四种洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是 ( ) C 返回目录 7．如图，既可以通过对称变换，又可以通过旋转变换得到的是 ( ) A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③ D 返回目录 8．如图①是利用正方形各边中点和弧的中点设计的正方形瓷砖图案，用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．请在图②和图③中各画一种拼法(要求两种拼法各不相同)。 解：如图所示(答案不唯一)。 返回目录 $3．2　图形的旋转 第1课时　旋转的定义及性质 Ⅰ 目 录 CONTENTS 知识技能 1 数学理解 2 联系拓广 3 知识点一：旋转的有关概念 1．(上蔡县模拟)下列运动中属于旋转的是 （ ） A．火箭升空的运动 B．足球在草地上滚动 C．大风车叶轮运动的过程 D．传输带运输的东西的运动 C 返回目录 2．将图①绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是 ( ) A 返回目录 3．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么： (1)旋转中心是点 ； (2)点B，D的对应点分别是点 ； (3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是 ； (4)∠B的对应角是 ； (5)旋转的角度为 。 A C，E 线段AC，CE，EA ∠ACE 60° 返回目录 知识点二：旋转的性质 4．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC。已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE的长为 ( ) A．1.5 B．3 C．4 D．5 A 返回目录 5．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为 。 90° 返回目录 6．如图，已知∠EAD＝32°，△ADE绕着点A逆时针旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE的度数为 。 18° 返回目录 7．如图，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD。求证：△ABD≌△ACE。 证明：由题意可得 AB＝AC，∠BAC＝60°， AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE＝60°－∠DAC， ∴△ABD≌△ACE(SAS)。 返回目录 8．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形。 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度是多少？ 解：(1)旋转中心是点A。 (2)顺时针旋转了90°。 (3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝＝。 ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点， ∴AF＝AE＝。 返回目录 9．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E 在BC的延长线上，连接BD，则下列结论中一定正确的是 （ ） A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．AE＝AD A 返回目录 10．如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△EDC，若AB，CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是 。 40° 返回目录 11．如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD。将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是 。 19 返回目录 12．(推理能力)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上。 (1)旋转的度数为 ； 90° 返回目录 (2)连接DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由。 解：(2)DE∥BC。 理由：∵CD平分∠ACB, ∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACD＝45°。 又∵△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF， ∴CD＝CE，∠BCD＝∠ECA＝45°， ∴∠DCE＝90°，∠CED＝45°，∴∠EDC＝45°， ∴∠DCB＝∠EDC，∴DE∥BC。 返回目录 13．已知△ABC和△ADE都是等边三角形。 返回目录 (1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA＋PB＝PC(或PA＋PC＝PB)成立；(不需证明) 返回目录 (2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； 解：(2)PB＝PA＋PC。 证明：在BP上截取BF＝PC，连接AF。 ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE。 返回目录 又∵AB＝AC，BF＝CP， ∴△BAF≌△CAP(SAS)， ∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP， ∴∠PAF＝∠BAC＝60°， ∴△AFP是等边三角形，∴PF＝PA， ∴PB＝BF＋PF＝PC＋PA。 返回目录 (3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明。 (3)PC＝PA＋PB。 返回目录 $