精品解析：甘肃武威市凉州区古城镇九年制学校等 2026年九年级一模数学试题

2025－2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ） A. -2026 B. 2026 C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则 的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 如图，在中，，，，平面上有一点，，连接 ，，取的中点．连接，在 绕点 的旋转过程中，则的最大值是（ ） A. 7 B. 7.5 C. D. 14 4. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，均在反比例函数（ 为常数）的图象上，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. D．E分别是的边、 上的点，，如果， ，那么的长是（ ） A. 12 B. 22.5 C. 25 D. 6 8. 在平面直角坐标系中，点 坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 9. 下面立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线（如图所示），顶点坐标为，与轴的一个交点在0和 之间．下列结论：①；②若，两点都在函数图象上，则；③；④关于的方程没有实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：=_____． 12. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 13. 一元二次方程的两根分别为，则_____ 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点D恰好落在延长线上，已知，，，则的长为________． 15. 如图，已知A，B，D三点在上， ，则_______°． 16. 如图，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与边相交于点．若点 的坐标为，则点的坐标是________． 17. 如图，在菱形 中，对角线 ，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________． 18. 如图，是的外接圆，是的直径，过点的切线交的延长线于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则________． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； （2）画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标． 20. 计算与化简求值 （1）； （2），其中． 21. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 22. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与 交于点，且 ，． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且 ．连交于点N，点P在的延长线上， ． （1）求证：是的切线： （2）若，，求的长． 24. 如图，直线与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点 和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 （1）求反比例函数的解析式及点的坐标 （2）求的面积 25. 已知：中，是 边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 26. 在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即 ）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． （1）求的度数； （2）求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 27. 如图，抛物线经过三点，交轴于点． （1）求a，b的值； （2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求 的面积； （3）点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ） A. -2026 B. 2026 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得 ． 3. 如图，在中，，， ，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（ ） A. 7 B. 7.5 C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点E，连接，则，，当三点共线，且在的延长线上时，最大，即可求得最大值． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵，， ， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线，且在的延长线上时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7． 4. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B、C在上，且， ∴． 5. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 6. 已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点的横坐标代入反比例函数得到对应函数值，再根据已知的函数值大小关系列不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 解得． 7. D．E分别是的边、上的点，，如果， ，那么的长是（ ） A. 12 B. 22.5 C. 25 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵ ， ∴， ∴ ． 8. 在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】B 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出 ，求出 ，求出，求出点的坐标，即可求解． 【详解】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，即，的值最小， 此时， ∴当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴ ， 即的最小值为． ∵，， ∴， 在 中，， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 9. 下面立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据俯视图的定义可知，立体图形的俯视图是． 10. 抛物线（如图所示），顶点坐标为，与轴的一个交点在0和 之间．下列结论：①；②若，两点都在函数图象上，则；③；④关于的方程没有实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴和坐标轴的交点情况可对①进行判断；根据两点与对称轴的远近，可对②进行判断；当时，，于是可对③进行判断；由于抛物线与直线 有一个公共点，则抛物线与直线没有公共点，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，则， 抛物线的对称轴为直线 ，即， 抛物线与y轴的交点在原点上方，则， ∴，则①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，且， ∴，则②正确； ∵与轴的一个交点在0和 之间， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，所以③正确； ∵抛物线与直线 有一个公共点， ∴由图象可得，抛物线与直线没有公共点， ∴一元二次方程没有实数根， 即没有实数根，所以④正确． 综上，四个选项都是正确的． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 12. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 即， 解得． 13. 一元二次方程的两根分别为，则_____ 【答案】 2 【解析】 【分析】本题先利用一元二次方程根的定义，对所求代数式进行降次，再利用根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∴， ∵是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， 将代入得， 原式． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点D恰好落在延长线上，已知，，，则的长为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】在上截取 ，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出 ，推出 是等腰直角三角形，求出 ，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取 ，过点A作， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，已知A，B，D三点在上， ，则_______°． 【答案】100 【解析】 【分析】在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，据此求解即可． 【详解】解：由圆周角定理可得，． 16. 如图，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与边相交于点．若点的坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据点D是的中点即可求出D点的坐标，即可求出反比例函数的解析式，继而得到点C的坐标． 【详解】解：∵D是的中点，点的坐标为， ∴D的坐标为，即， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 根据题意得：轴， ∴点的横坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标是． 17. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J，由，，和四边形是菱形，可得， ，，可得，再利用平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J， ∵四边形是菱形， ∴ ，，，，， ∴在 中，，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， 在 中，， ∴． 18. 如图，是的外接圆，是的直径，过点的切线交的延长线于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质求得 ，由圆周角定理求得 ，利用同角的余角相等求得，得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得 ，据此求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴ ， ∵是的直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得 ， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； （2）画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：即为所求，如下图所示， （2） 解：即为所求，且 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． （1）将点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，连接，即为所求； （2）找出的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得，然后根据所作图形写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 计算与化简求值 （1）； （2），其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 21. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】（1）这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）不能实现目标． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 22. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且 ，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，根据全等三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的性质，则，根据等边对等角，三角形的外角，即可． 【小问1详解】 证明：∵边绕点旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 23. 在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且 ．连交于点N，点P在的延长线上， ． （1）求证：是的切线： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图1所示： ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ． ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） ． 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出， ．证出，即，即可得出结论； （2）连接，证出为的直径．由垂径定理得出，在 中，由勾股定理求得的半径，再由勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： ∵， ∴ ， ∴为的直径． ∵， ∴， 设的半径为， ∴， 在 中，由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴． ∴． 24. 如图，直线与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 （1）求反比例函数的解析式及点的坐标 （2）求的面积 【答案】（1）反比例函数的解析式为， （2）的面积为2 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，把点代入，求出，得；由求出，得出点的坐标为，把代入反比例函数解析式，求得，可得； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，令，得，得，再根据三角形面积公式可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴ ， ∴反比例函数的解析式为； 对于直线，当时，， 解得， ∴， ∵过点作轴的垂线交反比例函数于点， ∴点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴, ∵， ∴， ∴的面积． 25. 已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作 ，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【解析】 【分析】过点作 ，交于点，先根据中线的定义得到 ， 再根据平行线分线段成比例得到 ，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 26. 在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即 ）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． （1）求的度数； （2）求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由三角形内角和定理得，在中，，可得 ，从而可求出； （2）过点作于点，过点作 于点，求出，再求出，，可得，进而得出，即可求出． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作 于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴ ， ∴， ∴； 又， ∴， ∵ ，即 ，且 ， ∴， ∴ ； 在 中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，抛物线经过三点，交轴于点． （1）求a，b的值； （2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求 的面积； （3）点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 的面积为 （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为 ，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为 ， 将代入解析式，得， 解得； ； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为 ， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为 ， ， 解得 ， 直线的解析式为 ， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； 【小问3详解】 解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ， ∴点纵坐标为， 将 代入 ， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $