专题11 数形结合思想（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题11 数形结合思想 方法讲解 一、核心概念 数形结合思想是初中数学最核心、最常用的数学思想，将代数数量关系与几何图形性质相互转化，以形助数、以数释形，把抽象问题直观化、复杂问题简单化，实现代数与几何互通，快速分析与解题。 二、适用范围 1.实数与数轴上点的对应关系 2.代数式、方程、不等式的几何意义理解 3.一次函数、反比例函数、二次函数图像与性质 4.利用几何图形求线段长、角度、面积、最值 5.动点问题、路径问题、几何最值问题 6.函数与几何综合类压轴题 三、常用数形结合类型 1. 以形助数 借助数轴、函数图像、几何图形，直观理解代数关系，简化计算与判断。 2. 以数解形 对几何图形建立坐标系、设未知数，用代数运算（勾股、相似、面积）解决几何问题。 3. 数轴模型 利用数轴表示数的大小、范围、距离，解决绝对值、不等式解集问题。 4. 函数图像模型 通过图像交点、升降趋势、对称性，研究函数增减性、最值、方程解的个数。 5. 几何构图模型 构造直角三角形、矩形、对称图形，将代数条件转化为可计算的几何结构。 四、通用解题步骤 1.审题转化：判断代数问题能否画图、几何问题能否列式； 2.构建图形/列式：画出数轴、函数图像、几何示意图，或建立代数表达式； 3.观察分析：从图形中找位置关系、数量关系，从式子中推图形特征； 4.推理计算：结合图像性质与代数运算，得出中间结论； 5.综合作答：统一数形结论，检验是否符合题意与范围。 五、重点注意事项 1.画图要规范、准确，关键点坐标、位置关系不能画错； 2.注意自变量取值范围，避免图像延伸出无效部分； 3.以数解形时，单位、比例、符号要统一，计算严谨不出错； 4.几何图形多解问题（点在左右、上下），数形结合可有效防漏解； 5.压轴题中常先由形判断思路，再用数严格证明与计算。 六、常考典型应用 1.数轴与绝对值：利用数轴距离理解绝对值，直观判断大小与解集； 2.函数问题：由图像判断 符号、增减性、交点、最值； 3.方程与不等式：用函数图像交点理解方程解，用图像高低判断不等式； 4.几何计算：建系坐标法、勾股定理、相似转化为代数运算； 5.动点与最值：将军饮马、胡不归、最短路径等，以形找思路、以数算结果。 典型例题 【例1】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【例2】我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．    (1)图中所表示的数学等式为 　 　； (2)利用（1）中得到结论，解决问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【例3】“数形结合”思想是数学中非常重要的数学思想之一，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”如图，请你尝试借助“数形结合”的思想解决以下问题． （1）求的值为___________． （2）___________． 【例4】华罗庚是中国著名的数学家，他对“数形结合”这一数学思想有着深刻而独到的见解，他曾通过一首诗来表达数形结合的重要性： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞． 数缺形时少直观，形少数时难入微． 数形结合百般好，隔离分家万事休． 切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离． 这首诗生动地说明了数与形之间的紧密联系：数离不开形，形也离不开数．数形结合就是通过直观的图形来辅助抽象的数学思维，帮助我们更好地理解和解决问题． (1)请借助图形直接写出的结果______，并通过计算验证； (2)若，，求的值； (3)直接写出的计算结果：______． 【例5】数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题： （1）如图1：射线是的平分线，这时有数量关系：______． （2）如图2：被射线分成了两部分，这时有数量关系：______． （3）如图3：直线上有一点，射线从射线开始绕着点顺时针旋转，直到与射线重合才停止． ①请直接回答与是如何变化的？ ②与之间有什么关系？请说明理由． 基础过关 1.如图，是反比例函数和一次函数的图象，若，则相应的x的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决此类问题，观察图象得到：当时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即满足． 【解答】解：由图形可知：若，则相应的x的取值范围是：； 故选A． 2.如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 【解答】解：观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的上方， 不等式的解集为或． 故答案为或． 3.如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为大于秒．   点C表示的数是________________．   求当t等于多少秒时，点P到达点A处？   点P表示的数是_______________用含字母t的式子表示．   求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 【答案】 秒， 答：当秒时，点P到达点A处． 当点P在点C的左边时，点C的数是1，且点P到点C的距离为2，所以得，则； 当点P在点C的右边时，同理的到，则． 综上所述，当t等于或秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时，利用了数形结合的数学思想． 根据题意得到点C是AB的中点； 、根据点P的运动路程和运动速度列出方程； 分两种情况：点P在点C的左边或点P在点C的右边． 【解答】 解：依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是：． 故答案是：1； 见答案 点P表示的数是． 故答案是：； 见答案． 4．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，例如，借助图1，可以利用“等积法”直观推导出完全平方公式，“数形结合”一方面指“以数助形”，另一方面指“以形助数”．请你使用数形结合思想解决下列问题： (1)由图2可得到等式：__________________________； (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则=_________． (3)如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 5．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式： ； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． 6．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 7．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式是______； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． (4)如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 能力提升 1．我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决下列问题．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系________； (2)根据（1）中的等量关系求解：若，，求的值； (3)如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在的外部作正方形和正方形，连接．若的面积为，设，求正方形和正方形的面积和． 2．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 3．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”，运用“数形结合”的思想方法计算的最小值为______． 5．数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   6．阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． (2)如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 拓展拔高 1. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A，B，C三点． 求抛物线的解析式； 点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值． 2．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，观察图象可得关于的不等式的解集是___________，解题中体现的数学思想是___________．横线上依次填的内容是（　　） A．，数形结合思想 B．，分类思想 C．，整体思想 D．，数形结合思想 4．数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（    ）    A．或1 B．或2 C．1或2 D．或 5．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为_____． 6．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用数形结合思想，解决下面问题： 如图，在平面直角坐标中，将线段向上平移4个单位，若线段在运动过程中扫过的区域面积为S，则S与的关系式为_________． 7．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 数形结合思想 方法讲解 一、核心概念 数形结合思想是初中数学最核心、最常用的数学思想，将代数数量关系与几何图形性质相互转化，以形助数、以数释形，把抽象问题直观化、复杂问题简单化，实现代数与几何互通，快速分析与解题。 二、适用范围 1.实数与数轴上点的对应关系 2.代数式、方程、不等式的几何意义理解 3.一次函数、反比例函数、二次函数图像与性质 4.利用几何图形求线段长、角度、面积、最值 5.动点问题、路径问题、几何最值问题 6.函数与几何综合类压轴题 三、常用数形结合类型 1. 以形助数 借助数轴、函数图像、几何图形，直观理解代数关系，简化计算与判断。 2. 以数解形 对几何图形建立坐标系、设未知数，用代数运算（勾股、相似、面积）解决几何问题。 3. 数轴模型 利用数轴表示数的大小、范围、距离，解决绝对值、不等式解集问题。 4. 函数图像模型 通过图像交点、升降趋势、对称性，研究函数增减性、最值、方程解的个数。 5. 几何构图模型 构造直角三角形、矩形、对称图形，将代数条件转化为可计算的几何结构。 四、通用解题步骤 1.审题转化：判断代数问题能否画图、几何问题能否列式； 2.构建图形/列式：画出数轴、函数图像、几何示意图，或建立代数表达式； 3.观察分析：从图形中找位置关系、数量关系，从式子中推图形特征； 4.推理计算：结合图像性质与代数运算，得出中间结论； 5.综合作答：统一数形结论，检验是否符合题意与范围。 五、重点注意事项 1.画图要规范、准确，关键点坐标、位置关系不能画错； 2.注意自变量取值范围，避免图像延伸出无效部分； 3.以数解形时，单位、比例、符号要统一，计算严谨不出错； 4.几何图形多解问题（点在左右、上下），数形结合可有效防漏解； 5.压轴题中常先由形判断思路，再用数严格证明与计算。 六、常考典型应用 1.数轴与绝对值：利用数轴距离理解绝对值，直观判断大小与解集； 2.函数问题：由图像判断 符号、增减性、交点、最值； 3.方程与不等式：用函数图像交点理解方程解，用图像高低判断不等式； 4.几何计算：建系坐标法、勾股定理、相似转化为代数运算； 5.动点与最值：将军饮马、胡不归、最短路径等，以形找思路、以数算结果。 典型例题 【例1】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）先证明，得出，然后利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； ； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 【例2】我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．    (1)图中所表示的数学等式为 　 　； (2)利用（1）中得到结论，解决问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①2；②-12 【分析】第1问运用等面积理解完成平方公式的几何意义，第2问变形出完全平方公式解题 【详解】（1）解：（1）由图形可得大正方形的面积为，还可以表示为 ， 故答案为： （2）解：①已知，则．      ②， 故答案为：①2，②-12 【点睛】本题主要考查完全平方公式几何理解及应用，掌握等面积法及完全平方公式是解题的关键． 【例3】“数形结合”思想是数学中非常重要的数学思想之一，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”如图，请你尝试借助“数形结合”的思想解决以下问题． （1）求的值为___________． （2）___________． 【答案】 【分析】（1）将整个正方形的面积看作1，利用数形结合思想，把所求的加数算式各项对应为正方形中依次取走的面积部分，因此所求的和可表示为整体面积1减去第4次取完后剩余的面积，通过计算该面积差得到结果； （2）先分别设出从到的和为、从到的和为，依据数形结合的规律得出和的表达式，再用减去得到所求的区间段数列和，最后对所得代数式进行通分、化简运算，推导出最终结果． 【详解】（1）解：根据图形数形结合思想，将整个正方形的面积看作，每次取走一半， 第4次剩余部分的面积为， ． （2）解：设， 由数形结合的规律可知； 设，同理可知； 则所求的和为 ． 【例4】华罗庚是中国著名的数学家，他对“数形结合”这一数学思想有着深刻而独到的见解，他曾通过一首诗来表达数形结合的重要性： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞． 数缺形时少直观，形少数时难入微． 数形结合百般好，隔离分家万事休． 切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离． 这首诗生动地说明了数与形之间的紧密联系：数离不开形，形也离不开数．数形结合就是通过直观的图形来辅助抽象的数学思维，帮助我们更好地理解和解决问题． (1)请借助图形直接写出的结果______，并通过计算验证； (2)若，，求的值； (3)直接写出的计算结果：______． 【答案】(1)；见解析 (2)24 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）画出图形，根据图形面积相等得出答案，根据多项式乘多项式进行验证即可； （2）根据解析（1）的结果进行变形求值即可； （3）根据解析（1）的结果写出的结果即可． 【详解】（1）解：如图： 图形的面积为：， 也可以表示为：， ∴； 验证： ； （2）解：∵，， 又∵， ∴ ； （3）解： ． 【例5】数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题： （1）如图1：射线是的平分线，这时有数量关系：______． （2）如图2：被射线分成了两部分，这时有数量关系：______． （3）如图3：直线上有一点，射线从射线开始绕着点顺时针旋转，直到与射线重合才停止． ①请直接回答与是如何变化的？ ②与之间有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）；（3）①逐渐增大，逐渐减小；②，见解析． 【分析】（1）根据角平分线定义容易得出结论； （2）根据图形解答； （3）①由射线从射线开始绕着点顺时针旋转可知逐渐增大，逐渐减小；②由∠AMB是平角即可得出结论． 【详解】解：（1）∵射线是的平分线， ∴， 故答案为：（或）； （2）由图可知，， 故答案为：； （3）①逐渐增大，逐渐减小； ②． 证明：∵，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线定义，角的有关计算，注意利用数形结合的思想． 基础过关 1.如图，是反比例函数和一次函数的图象，若，则相应的x的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决此类问题，观察图象得到：当时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即满足． 【解答】解：由图形可知：若，则相应的x的取值范围是：； 故选A． 2.如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 【解答】解：观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的上方， 不等式的解集为或． 故答案为或． 3.如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为大于秒．   点C表示的数是________________．   求当t等于多少秒时，点P到达点A处？   点P表示的数是_______________用含字母t的式子表示．   求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 【答案】 秒， 答：当秒时，点P到达点A处． 当点P在点C的左边时，点C的数是1，且点P到点C的距离为2，所以得，则； 当点P在点C的右边时，同理的到，则． 综上所述，当t等于或秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时，利用了数形结合的数学思想． 根据题意得到点C是AB的中点； 、根据点P的运动路程和运动速度列出方程； 分两种情况：点P在点C的左边或点P在点C的右边． 【解答】 解：依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是：． 故答案是：1； 见答案 点P表示的数是． 故答案是：； 见答案． 4．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，例如，借助图1，可以利用“等积法”直观推导出完全平方公式，“数形结合”一方面指“以数助形”，另一方面指“以形助数”．请你使用数形结合思想解决下列问题： (1)由图2可得到等式：__________________________； (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则=_________． (3)如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，多项式乘多项式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用不同的式子表示大正方形的面积，即可得到等式； （2）把展开成多项式，即可得到，代入求解即可； （3）利用完全平方公式作变形，即可得到阴影部分两直角边的积，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积， 大正方形的面积， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设， ∵，， ∴ ， ∴． 5．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式： ； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图中阴影部分的面积可进行求解； （2）根据（1）中结论可进行求解； （3）根据（1）中结论及整体思想可进行求解 【详解】（1）解：由图中阴影部分的面积可得：； 故答案为； （2）解：∵，， ∴． ∴． （3）解：令，，则，， ∴． 6．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 7．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式是______； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． (4)如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)9 (4)①8；②14 【分析】（1）根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案； （2）根据，先求出，再求出的值即可； （3），，得出，，根据求出结果即可． （4）①由题意得，，根据完全平方公式变形求值即可； ②根据的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：图1中四个长方形的面积之和为， 图2中四个长方形的面积之和为， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：令，， 则， ， ． （4）解：①由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， 得，即长方形的面积为8； ②的面积 ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． 能力提升 1．我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决下列问题．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系________； (2)根据（1）中的等量关系求解：若，，求的值； (3)如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在的外部作正方形和正方形，连接．若的面积为，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形． （1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）根据题意得，，再结合，得出，，整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：图②正方形的面积是，也可以表示成， 所以有； 故答案为：； （2）由（1）可得， 因为，， 所以 ； （3）设，则， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 所以，， 正方形和正方形的面积和为： =79． 2．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【答案】（1）①，；②；（2）5；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． （1）①根据题意，设，则．则根据及图形可进行求解； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； （2）我们可以构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则，同理（1）可进行求解； （3）作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q，由可知：，则，然后根据等面积法可进行求解． 【详解】解：（1）①由题意得，； 故答案为，； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为最小， 由图可知：， ∴在中，由勾股定理可得：； （2）如图，构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则， 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为的最小值， 同理（1）可得：， 即的最小值为5； 故答案为5； （3）如图，作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q， 由可知：，则， ∵， ∴； 故答案为． 3．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②见解析 【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可； （2）由完全平方公式的几何背景进行解答即可； （3）①按要求作图即可； ②由题意得：，即，利用勾股定理可得，故的周长，运用（1）的结论即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）从“形”的角度说明：如图，在中，，于，为的中线，且，，则； 证明：，为中线， ， ， ， 又， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， ，即， ； （3）①作直线，交反比例函数图象于、两点，过点作，使，连接， 如图所示，即为所求； ②中，，， ， ， ， 的周长， 设，则， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 此时，的周长最小值为，即、均在直线上，故①中所作周长最小． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的图象上点的坐标特征等，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”，运用“数形结合”的思想方法计算的最小值为______． 【答案】 【分析】设，原式变形为，在线段上取一点P，作，，，，当C，P，D三点共线时，最小，即为的长度，最后由勾股定理可得结论 【详解】解： 设，原式变形为， 在线段上取一点P，作，，，，    设，则， ∴，， ∴， 当C，P，D三点共线时，最小，即为的长度， 过点C作，，， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 所以，的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 5．数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度， 则无法判断大小，那么A不符合题意； B．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度， 则无法判断大小，那么B不符合题意； C．由图形可得，但无法求得表示的线段长度， 则无法判断大小，那么C不符合题意； D．由图形可得，， ∵， ∴， 那么D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键． 6．阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． (2)如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 【答案】(1) (2)梯形的面积 【分析】本题主要考查整式的运算与图形的面积： （1）用二种方式表示出图形面积即可得出结论； （2）由折叠的性质求出的长，从而得出的长，再根据梯形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，， （2）解：由折叠得，， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴． 拓展拔高 1. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A，B，C三点． 求抛物线的解析式； 点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值． 【答案】解：由，当时，；当时，， ，， ， ， ， 把，代入抛物线中，得 ，解得， 抛物线的解析式为； 点P在二次函数图象上且横坐标为m， ， 过P作轴，交BC于F，则， ， 于点D， 在中，， ， 轴， ， ， ，， 当时，PD最大，最大值为． 【解析】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题． 由直线得出，，即可得出，将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式； 已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在中，，根据平行线的性质得出，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可． 2．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 【答案】5 【分析】连接，延长、交于点F，当点A、C、E三点共线时，最小，即为的长度，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：连接，延长、交于点F， ∵，， ∴， 当点A、C、E三点共线时，最小，即最小， ∴的最小值为： 3．如图，一次函数与的图象相交于点，观察图象可得关于的不等式的解集是___________，解题中体现的数学思想是___________．横线上依次填的内容是（　　） A．，数形结合思想 B．，分类思想 C．，整体思想 D．，数形结合思想 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方， 时，， 关于的不等式的解集是，解题中体现的数学思想是数形结合思想， 故选D． 4．数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（    ）    A．或1 B．或2 C．1或2 D．或 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图像的交点直接判断即可． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于点， ∴关于的方程的解是或1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象和一次函数图像的交点问题，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键． 5．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为_____． 【答案】10 【分析】本题考查了正方形的性质与三角形面积计算，解题的关键是利用等积变换，将阴影部分面积之和转化为两个正方形面积和的一半，再结合已知条件求出线段的长度． 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ． ． ∵， ， ． ∴． ， ． 故答案为：10． 6．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用数形结合思想，解决下面问题： 如图，在平面直角坐标中，将线段向上平移4个单位，若线段在运动过程中扫过的区域面积为S，则S与的关系式为_________． 【答案】 【分析】根据题意做出图，通过图可得线段在运动过程中扫过的区域面积S即为四边形的面积，且，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 线段是线段向上平移4个单位长度得到的， ∴线段的解析式为：， 把，代入得：，， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∴点L的坐标为， 把，代入得：，， ∴点K的坐标为，点J的坐标为， ∴，，， 由题意得：线段在运动过程中扫过的区域面积为S即为四边形的面积， 由图可得： ∴S与的关系式为． 【点睛】本题考查了与一次函数有关的面积问题，正确表示出即可求出答案． 7．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $