专题10 分类讨论思想（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题10 分类讨论思想 方法讲解 一、核心概念 分类讨论思想是初中数学重要的逻辑思想，当题目条件、结论、图形位置或字母取值不唯一时，按统一标准将问题分成若干类逐一分析，最后综合各类结果得到完整答案，做到不重复、不遗漏、逻辑严谨。 二、适用范围 1.含绝对值、平方、字母系数的代数式与方程求解 2.一次函数、反比例函数、二次函数系数不定问题 3.等腰三角形、直角三角形、相似三角形形状不定 4.点、直线、图形位置不确定（动点、多解几何题） 5.分段计费、方案选择、不等式取值范围问题 6.数据统计、概率、存在性多解类综合题 三、常见分类讨论类型 1. 字母参数分类 按系数正负、是否为0分类，如一次函数k≠0、二次函数a≠0 等。 2. 绝对值与偶次幂分类 去绝对值、开平方时，按正负两种情况讨论。 3. 图形形状分类 等腰三角形按腰分类、直角三角形按直角顶点分类、相似三角形对应关系不定分类。 4. 位置关系分类 点在直线上/外、图形在同侧/异侧、动点在不同线段上分类。 5. 实际问题分段分类 计费标准、取值区间、方案数量不同时分段讨论。 四、通用解题步骤 1.判因定类：判断为何需要分类，确定分类对象与标准； 2.合理分类：按同一标准划分，做到不重不漏； 3.逐类求解：对每一类分别计算、推理、得出阶段性结果； 4.综合归纳：合并各类有效解，舍去不符合题意的解； 5.规范作答：写出完整结论，明确多解或取舍原因。 五、重点注意事项 1.分类标准必须唯一、统一，不可中途变换标准； 2.讨论要全面，避免漏解，尤其几何题常出现两解； 3.注意题目隐含限制条件，及时舍去增解、不合理解； 4.字母参数题优先考虑系数为 0、正负三种情况； 5.压轴题分类后要注意每一类内部的逻辑是否成立。 六、常考典型应用 1.代数：含参方程 / 不等式解的讨论、绝对值化简求值； 2.函数：一次函数 不定、二次函数开口方向、图像交点个数； 3.几何：等腰/直角三角形多解、相似对应关系、动点位置分类； 4.实际应用：分段计费、最优方案选择、范围类问题； 5.综合压轴：存在性问题、最值多解、几何代数结合分类讨论。 典型例题 【例1】阅读下面的例题与解答过程： 解方程：． 解：当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）． ∴原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． （1）当时，，当时，，然后求解即可． （2）当时，，当时，，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； ∴原方程的解为； （2）解：当时，，即，解得， 当时，，即，解得， ∴原方程组的解为，． 【例2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．试用分类讨论解决下列问题．两个有理数x，y满足，求的值． 解： （1）时， （2）时， 所以的值是2或0． 仿照上面“分类讨论”的数学思想解．如果a，b，c是非零有理数，求的值 【答案】或或3或1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 分四种情况讨论，分别化简绝对值，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：①当都为正数时，即，原式； ②当中两个为正数，一个为负数时，不妨设， 则原式； ③当中两个为负数，一个为正数时，不妨设， 则原式； ④当都为负数时，即， 则原式； 综上所述：的值为或或3或1． 【例3】数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为4和3． 目的 由于，两点位置不确定，故与的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当，两点在原点异侧时，求，两点间的距离； （2）当，两点都在原点同侧时，求的值； （3）当点在点左侧时，求的值． 【答案】（1）7；（2）7或；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的加减，熟练掌握运算法则，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据当，两点在原点异侧时得出，两点间的距离． （2）根据当，都在原点右侧时，即，，当，都在原点左侧时，，再分别计算即可得解． （3）根据题意得出，，然后分别计算即可． 【详解】解：（1）由已知可知，， ，在原点异侧， ，两点间的距离； （2）当，都在原点右侧时， ∴，, ∴； 当，都在原点左侧时， ∴，, ∴， 综上，的值为7或． （3），, ，, 在的左侧, , ，, 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或． 【例4】【积累经验】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，点A、B在数轴上分别表示有理数，7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P运动t秒后，此时，求t的值． ①小明同学从点P到达点B前、后进行分类讨论，用含t的式子表示点P的坐标，再用两点之间的距离表示出与的长度，进而求解． ②小红同学在学习了《直线、射线、线段》后，给出了另一种解题思路：从点P在射线上的位置进行分类讨论，用含t的式子表示点P走的路程，再用线段的和差关系，求出t的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程。 【类比迁移】 （2）王老师发现两名同学都运用了分类讨论和数形结合的数学思想解决了问题；为了帮助学生更好地感悟数学思想，王老师将（1）进行了变式并提出了下面的问题，请你解答。 如图2，点A、B在数轴上分别表示有理数，7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当点P运动t秒后，的长度恰好是的一半，求t的值． 【答案】（1）小明或小红方法见详解（2）2秒或6秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）小明同学解题思路：P表示的数为，点P到达点B前，，可得；点P到达点B后，，有，解方程即可；小红同学解题思路：求出，当P在线段上时，由，列出方程并解方程；当P在线段的延长线上时，P为中点，列出方程并解方程即可； （2）求出，P表示的数为，Q表示的数为，分两种情况列方程并解方程，即可解得答案． 【详解】解：（1）①小明方法： 点在数轴上分别表示有理数， ． 设点表示的数为， 当点到达点前，， ， ， ． 当点到达点后，， ， ， ． 的值为4秒或12秒． ②小红方法： 点在数轴上分别表示有理数， ． 当点在线段上时，， ， ， ． 当点在线段延长线上时，， ， ． 的值为4秒或12秒． （2）①当点在线段上时，， 的长度恰好是的一半， ， ， ②当点在线段延长线上时，， 的长度恰好是的一半， ， ， ． 的值为2秒或6秒． 【例5】“分类讨论”是数学学习中的一种重要方法，比如：比较和4的大小，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，．“数形结合”是直观理解数学的一种方法，比如表示长和宽分别为4和a的长方形的面积，表示边长为a的正方形的面积． (1)利用“分类讨论”比较和3的大小． (2)当a和b为正数时，画出图形，比较和的大小． 【答案】(1)当时，；当或时，；当时， (2)见解析， 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分，或和三种情况进行解答即可； （2）利用边长为a，b的正方形与边长为的正方形进行拼图即可． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，；当或时，；当时，； （2）解：如图，在边长为的正方形中有边长为，b的正方形， ， 基础过关 1.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为 A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 7 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键． 当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意． 【解答】解：当3为腰长时，将代入，得：， 解得：； 当3为底边长时，关于x的方程有两个相等的实数根， ， 解得：，此时两腰之和为4，，符合题意． 的值为3或4． 故选：C． 2.有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是______元． 【答案】100或85 【解析】解：设所购商品的标价是x元，则 所购商品的标价小于90元， ， 解得； 所购商品的标价大于90元， ， 解得． 故所购商品的标价是100或85元． 故答案为：100或85． 可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分所购商品的标价小于90元；所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，属于商品销售问题，注意分两种情况进行讨论求解． 3．类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第四章《基本平面图形》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现。如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，可画图分析并写出： ①当点C在线段上时，______； ②当点C在的延长线上时，______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变，即______； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 【答案】（1）10,10（2）不变，（3），不论（小于）取何值，不变 【分析】本题主要考查了线段的中点，线段的和差，角平分线的定义，角的和差， 对于（1），①根据可得答案；②根据可解； 对于（2），结合（1）分两种情况讨论，并求出值即可； 对于（3），分射线在内部和外部两种情况讨论，再结合角的和差得出答案． 【详解】解：（1）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：10，10； （2）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴． ∴不论m取何值，的长不变； （3）当射线在内部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴； 当射线在外部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． 可知不论取何值，不变． 4．阅读与思考 如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务． 平面直角坐标系与直角三角形 x年×月ⅹ日星期三 原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论 口诀：“两线一圆” 作图：举例如下：已知，在直线上求点C，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论： 情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图①，有一个点； 情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图②，有一个点； 情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C．如图③，有，两个点； 方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似； 二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根； 三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点． 任务： (1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合        B．统计思想        C．分类讨论        D．转化思想 (2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标． (3)直接写出“情况二”中的坐标 ； (4)请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）． 【答案】(1) (2) (3) (4)，，所依据的定理为：直径所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据题意可知运用了数形结合和分类讨论的思想； （2）设，利用勾股定理分别表示出，进而利用勾股定理建立方程求解即可； （3）（4）仿照（2）利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是数形结合和分类讨论的思想， 故选； （2）解：设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：设， 同（2）得，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （4）解：设， 同（2）得，，， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 同理可得； ∵直径所对的圆周角是直角， ∴当点C在以为直径的圆上时，一定有， ∴所依据的定理为：直径所对的圆周角是直角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，利用两点距离公式建立方程求解是解题的关键． 5．材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在．的最大值为； (3)点坐标为或或，． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点，点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在． 当，，解得，则， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时，则， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点坐标为或； 当时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 设，则， 把代入得，解得，， 此时点坐标为，， 综上所述，点坐标为或或，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键． 6．学科素养·分类讨论思想 若是的平分线，是的平分线，若，则为多少度的角（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义，角的和差计算，数形结合分析思想是解题的关键． 根据题意，作图分类讨论，当在内部时；当在外部时；由角平分线的定义，图形结合，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：如图1，    ∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴； 如图2，∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴． 故选：C． 7．计算 (1)求出图中的x的值． (2)已知等腰三角形的周长是14cm．若其中一边长为4cm，求另外两边长．（分类讨论） 【答案】(1) (2)另外两边长分别为4cm、6 cm或5 cm、5 cm 【分析】（1）利用三角形的外角等于不相等两个内角的和即可列方程求解； （2）根据等腰三角形有两个边是相等的，其中一边长为4cm，需要考虑腰长为4cm或者底边长为4cm两种情况，分情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知 解得 （2）解：当腰长为4cm时，则底边长为cm， 当底边长为4cm时，则腰长为 cm， 则另外两边长分别为4cm、6 cm或5 cm、5 cm． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、等腰三角形定义，采用分情况讨论方法是解题的关键． 能力提升 1．[分类讨论]如图，BD为的角平分线，若，，E为线段上一点，当为直角三角形时，求的度数．    【答案】或 【分析】利用分类讨论思想：如图1，时可直接求出；如图2，当时，则． 【详解】解：，BD为的角平分线， ， 当时，如图1，   ； 当时，如图2，   ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线定义及三角形内角和定理，理解角平分线定义和掌握三角形内角和定理是解题关键． 2．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，，1的大小关系． A．＜a＜1    B．1＜＜a    C．1＜＜a    D．a＜1＜ （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x－y的值． （3）转化思想：计算： 【答案】（1）D；（2）或；（3） 【分析】（1）将在数轴上标出，利用数轴比较有理数大小的方法求解； （2）根据绝对值的意义求出x和y的值，然后代入求解即可； （3）先将除法转化成乘法，然后利用乘法运算律求解． 【详解】解：（1）将在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜，所以大小关系为：a＜1＜． 所以正确选项为：D． （2）因为|x|＝5，所以x为或5 因为|y|＝3，所以y为3或． 当x＝5，y＝3时， 当x＝5，y＝时， 当x＝，y＝3时， 当x＝，y＝时， 故（x－y）的值为或； （3）原式＝ 【点睛】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”． 3．在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究．过程体现的数学思想是（    ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．建模思想 【答案】B 【分析】根据分类讨论思想的含义进行判断即可． 【详解】解：在探究圆周角与圆心角的数量关系时，因不确定圆周角与圆心角的位置关系是否会影响结论，故对每种位置关系分别进行研究，这种数学思想是分类讨论思想． 故选：B． 【点睛】本题考查对数学思想的理解，分类讨论思想是指将原问题转化为若干个小问题来解决，通过研究其在不同情况下的结论，得出原问题的结论． 4．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG中，EF＝4，FG＞12． （1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）． （2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x． ① 求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ② 在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）从重叠部分的形状看分为2类，即三角形和四边形（梯形）；也可从数量的角度来分类，设平移的距离为x．分为0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12三类等； （2）①分类讨论：当0≤x≤4时；当4＜x≤6时；当6＜x≤10时；当10＜x≤12时；当12＜x≤16时，分别求出函数解析式； ②根据函数解析式，画出函数图象． 试题解析：（1）从重叠部分的形状看分为2类，即三角形和四边形（梯形）； 也可从数量的角度来分类，设平移的距离为x．分为0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12三类等； （2）①当0≤x≤4时，y=x2； 当4＜x≤6时，y=x-； 当6＜x≤10时，y=-（x-8）2+； 当10＜x≤12时，y=-x+； 当12＜x≤16时，y=（16-x）2． ②如图： 考点：几何变换综合题． 5．如图所示，在中，，，，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且．当点P运动到AC上什么位置时，与全等（陷阱提示：不是“”连接，对应关系不确定，注意分类讨论）？    【答案】当点P运动到使或的位置时，与全等． 【分析】当或时，和全等，根据定理推出即可． 【详解】解：∵， ∴， ①当时， 在和中， ∵， ∴， ②当时， 在和中 ， ∴， 答：当点P运动到使或的位置时，与全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有． 6．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） (1)若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； (2)已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题意，理解“开心角”的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）先判断不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数； （2）分两种情况讨论：当是开心角时，则另一开心角为，由三角形的内角和定理即可求出剩余的一个角；当不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数，进而可求出剩余的一个角． 【详解】（1）解：若为开心三角形，， 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 或， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 答：这个三角形最小的内角是； （2）解：已知开心三角形的其中一个内角为，则可设， 当是开心角时，则另一开心角为，剩余的一个角为； 当不是开心角时， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 则； 答：这个三角形的其他内角是，或，． 拓展拔高 1．已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限． (1)求m的取值范围； (2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）． ①求出函数解析式； ②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个． 【答案】(1)m＜1 (2)①y＝；②4 【分析】（1）根据反比例函数的性质建立不等式，即可求出答案； （2）先求出点D的坐标； ①利用待定系数法求解，即可求出答案；②分三种情况，利用图象求解，即可判断出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限． ∴1﹣m＞0， ∴m＜1； （2）解：∵B（﹣3，0）， ∴OB＝3， ∵四边形ABOD是平行四边形， ∴ADOB，AD＝OB＝3， ∵A（0，4）， ∴D（3，4）， ①∵点D是反比例函数y＝的图象上， ∴1﹣m＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝； ②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形， ∴Ⅰ、当OD＝DP时，如图，点和； Ⅱ、当OD＝OP时，如图中，和点； Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在； 故答案为：4． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数的性质，等腰三角形的性质，利用图象法求解是解本题的关键． 2．【知识重现】 （1）在探究一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角的数量关系时，我们经历了猜想，并分类讨论了如图1的三种情况，画图操作并证明的过程；请猜想并写出和的数量关系，并任意选择一种情况进行证明； 【迁移过用】 （2）如图，已知内接于，直线与交于点，且． 请证明：直线是切线． ②如图，延长与直线交于点，且，若，；求的长． 【答案】（1），证明见解析； （2）①证明见解析；② 【分析】本题主要考查圆周角定理的证明，切线的证明以及相似三角形的判定与性质： （1）利用三角形外角性质及角的和差求解即可． （2）①连接并延长，交于M，连接，可得，再证明即可；②证明可得结论 【详解】（1）知识重现：解：知识重现：猜想：． 证明：情况1：作直径， ， ． ， 同理， ， ； 情况2：当点O在的一边上时， ， ， ， ， 即； 情况3：作直径， ， ， ， 同理， ， ． （2）迁移应用： ①连接并延长，交于M，连接， ，， 为的直径， ， ， ， 即， 又为半径， 为的切线. ②， ， ， ， ， ， 4．分类讨论思想是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某标准进行分类，然后研究得出每一类别的结论，最后综合解答． 如图，已知是的外接圆，是的直径，，点在上．连接，，，过作的垂线交直线于点． 【构建联系】 （1）试说明的形状，并说明理由； 【发现问题】 （2）当是的中点时，求的值； 【深入探究】 （3）当，，中任意一个点恰好是另外两点所连线段的中点时，求的值．（注：的值不存在） 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析；（2）（3） 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解直角三角形，分类讨论是解题的关键； （1）根据已知得出，进而得出，根据，可得是等腰直角三角形； （2）过点作于点，设，分别求得，进而根据正切的定义，即可求解； （3）分类讨论，当是的中点时，同（2）的方法进行求解，当是的中点时，点与重合，此时，的值不存在，即可求解． 【详解】（1）∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， ∵， 设， ∴， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可得当是的中点时，； 当是的中点时，则， 如图，过点作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形； ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴ 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当是的中点时，如图，点与重合，此时，的值不存在 综上所述，当，，中任意一个点恰好是另外两点所连线段的中点时， 的值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 分类讨论思想 方法讲解 一、核心概念 分类讨论思想是初中数学重要的逻辑思想，当题目条件、结论、图形位置或字母取值不唯一时，按统一标准将问题分成若干类逐一分析，最后综合各类结果得到完整答案，做到不重复、不遗漏、逻辑严谨。 二、适用范围 1.含绝对值、平方、字母系数的代数式与方程求解 2.一次函数、反比例函数、二次函数系数不定问题 3.等腰三角形、直角三角形、相似三角形形状不定 4.点、直线、图形位置不确定（动点、多解几何题） 5.分段计费、方案选择、不等式取值范围问题 6.数据统计、概率、存在性多解类综合题 三、常见分类讨论类型 1. 字母参数分类 按系数正负、是否为0分类，如一次函数k≠0、二次函数a≠0 等。 2. 绝对值与偶次幂分类 去绝对值、开平方时，按正负两种情况讨论。 3. 图形形状分类 等腰三角形按腰分类、直角三角形按直角顶点分类、相似三角形对应关系不定分类。 4. 位置关系分类 点在直线上/外、图形在同侧/异侧、动点在不同线段上分类。 5. 实际问题分段分类 计费标准、取值区间、方案数量不同时分段讨论。 四、通用解题步骤 1.判因定类：判断为何需要分类，确定分类对象与标准； 2.合理分类：按同一标准划分，做到不重不漏； 3.逐类求解：对每一类分别计算、推理、得出阶段性结果； 4.综合归纳：合并各类有效解，舍去不符合题意的解； 5.规范作答：写出完整结论，明确多解或取舍原因。 五、重点注意事项 1.分类标准必须唯一、统一，不可中途变换标准； 2.讨论要全面，避免漏解，尤其几何题常出现两解； 3.注意题目隐含限制条件，及时舍去增解、不合理解； 4.字母参数题优先考虑系数为 0、正负三种情况； 5.压轴题分类后要注意每一类内部的逻辑是否成立。 六、常考典型应用 1.代数：含参方程 / 不等式解的讨论、绝对值化简求值； 2.函数：一次函数 不定、二次函数开口方向、图像交点个数； 3.几何：等腰/直角三角形多解、相似对应关系、动点位置分类； 4.实际应用：分段计费、最优方案选择、范围类问题； 5.综合压轴：存在性问题、最值多解、几何代数结合分类讨论。 典型例题 【例1】阅读下面的例题与解答过程： 解方程：． 解：当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）． ∴原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： (1)； (2)． 【例2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．试用分类讨论解决下列问题．两个有理数x，y满足，求的值． 解： （1）时， （2）时， 所以的值是2或0． 仿照上面“分类讨论”的数学思想解．如果a，b，c是非零有理数，求的值 【例3】数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为4和3． 目的 由于，两点位置不确定，故与的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当，两点在原点异侧时，求，两点间的距离； （2）当，两点都在原点同侧时，求的值； （3）当点在点左侧时，求的值． 【例4】【积累经验】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，点A、B在数轴上分别表示有理数，7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P运动t秒后，此时，求t的值． ①小明同学从点P到达点B前、后进行分类讨论，用含t的式子表示点P的坐标，再用两点之间的距离表示出与的长度，进而求解． ②小红同学在学习了《直线、射线、线段》后，给出了另一种解题思路：从点P在射线上的位置进行分类讨论，用含t的式子表示点P走的路程，再用线段的和差关系，求出t的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程。 【类比迁移】 （2）王老师发现两名同学都运用了分类讨论和数形结合的数学思想解决了问题；为了帮助学生更好地感悟数学思想，王老师将（1）进行了变式并提出了下面的问题，请你解答。 如图2，点A、B在数轴上分别表示有理数，7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当点P运动t秒后，的长度恰好是的一半，求t的值． 【例5】“分类讨论”是数学学习中的一种重要方法，比如：比较和4的大小，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，．“数形结合”是直观理解数学的一种方法，比如表示长和宽分别为4和a的长方形的面积，表示边长为a的正方形的面积． (1)利用“分类讨论”比较和3的大小． (2)当a和b为正数时，画出图形，比较和的大小． 基础过关 1.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为 A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 7 2.有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是______元． 3．类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第四章《基本平面图形》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现。如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，可画图分析并写出： ①当点C在线段上时，______； ②当点C在的延长线上时，______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变，即______； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 4．阅读与思考 如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务． 平面直角坐标系与直角三角形 x年×月ⅹ日星期三 原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论 口诀：“两线一圆” 作图：举例如下：已知，在直线上求点C，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论： 情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图①，有一个点； 情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图②，有一个点； 情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C．如图③，有，两个点； 方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似； 二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根； 三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点． 任务： (1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合        B．统计思想        C．分类讨论        D．转化思想 (2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标． (3)直接写出“情况二”中的坐标 ； (4)请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）． 5．材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 6．学科素养·分类讨论思想 若是的平分线，是的平分线，若，则为多少度的角（   ） A． B． C．或 D．或 7．计算 (1)求出图中的x的值． (2)已知等腰三角形的周长是14cm．若其中一边长为4cm，求另外两边长．（分类讨论） 能力提升 1．[分类讨论]如图，BD为的角平分线，若，，E为线段上一点，当为直角三角形时，求的度数．    2．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，，1的大小关系． A．＜a＜1    B．1＜＜a    C．1＜＜a    D．a＜1＜ （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x－y的值． （3）转化思想：计算： 3．在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究．过程体现的数学思想是（    ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．建模思想 4．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG中，EF＝4，FG＞12． （1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）． （2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x． ① 求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ② 在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标． 5．如图所示，在中，，，，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且．当点P运动到AC上什么位置时，与全等（陷阱提示：不是“”连接，对应关系不确定，注意分类讨论）？    6．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） (1)若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； (2)已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 拓展拔高 1．已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限． (1)求m的取值范围； (2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）． ①求出函数解析式； ②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个． 2．【知识重现】 （1）在探究一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角的数量关系时，我们经历了猜想，并分类讨论了如图1的三种情况，画图操作并证明的过程；请猜想并写出和的数量关系，并任意选择一种情况进行证明； 【迁移过用】 （2）如图，已知内接于，直线与交于点，且． 请证明：直线是切线． ②如图，延长与直线交于点，且，若，；求的长． 4．分类讨论思想是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某标准进行分类，然后研究得出每一类别的结论，最后综合解答． 如图，已知是的外接圆，是的直径，，点在上．连接，，，过作的垂线交直线于点． 【构建联系】 （1）试说明的形状，并说明理由； 【发现问题】 （2）当是的中点时，求的值； 【深入探究】 （3）当，，中任意一个点恰好是另外两点所连线段的中点时，求的值．（注：的值不存在） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $