专题09 函数思想（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题09 函数思想 方法讲解 一、核心概念 函数思想是初中数学重要的建模与变化思想，通过建立变量之间的函数关系，把静态问题转化为动态变化问题，用图像、解析式、表格分析变化规律，从而解决求值、最值、范围、交点等问题，实现以“动”解“静”、以“形”助“数”。 二、适用范围 1.探究两个变量之间的变化关系与规律 2.求最值、取值范围、比较大小问题 3.实际应用题（行程、利润、面积、方案选择） 4.几何动态问题（动点、折叠、旋转、面积变化） 5.方程与不等式的图像解法 6.函数综合、代数与几何结合压轴题 三、常用函数思想类型 1. 变量建模思想 把未知量看作变量，根据题意建立一次函数、二次函数、反比例函数模型。 2. 数形结合思想 借助函数图像的位置、交点、趋势，直观分析代数关系与几何特征。 3. 最值思想 利用一次函数增减性、二次函数顶点，解决最大/最小、最优方案问题。 4. 转化思想 将方程解、不等式解集转化为函数图像交点、函数值正负问题。 5. 动态分析思想 用函数刻画点的运动、图形变化过程，把动态问题转化为函数表达式。 四、通用解题步骤 1.识别变量：找出题目中相互关联的两个变量； 2.建立模型：根据规律设出函数解析式，确定函数类型； 3.确定系数：用待定系数法或等量关系求出解析式； 4.分析性质：利用增减性、图像、顶点、范围进行推理； 5.解决问题：结合题意求取值、最值、范围或方案，并检验合理性。 五、重点注意事项 1.必须关注自变量取值范围，保证实际与数学意义都成立； 2.数形结合时，图像特征与代数性质要一一对应； 3.函数与方程、不等式互通时，注意区分 “等于、大于、小于”； 4.二次函数求最值要判断顶点是否在取值范围内； 5.实际问题中，结果常取整数或符合情境的特殊值。 六、常考典型应用 1.规律探究：用函数表达式表示数字、图形规律； 2.方案选择：利用一次函数增减性比较最优方案； 3.最值问题：用二次函数求最大面积、最大利润、最短路径； 4.方程不等式：借助函数图像求交点、判断解集范围； 5.几何动点：用函数表示线段长、面积，实现动态问题代数化。 典型例题 【例1】阅读与思考 下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过程．今天、爸爸计划在农村老家用栅栏围建一块的蔬菜种植基地，于是我也积极参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法： 办法一：利用一次函数与反比例函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得与的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形． 办法二：利用二次函数表达式解决，假设存在这样的矩形、设矩形的其中一条边长为，矩形的面积为，根据题意，可得到二次函数，当时，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形． 任务： (1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可） A．方程思想    B．统计思想    C．函数思想    D．数形结合思想 (2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______． (3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由． 【例2】阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 【例3】小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【例4】数学活动课上，李老师给同学们布置了一个活动任务，请同学们利用所学知识，用不同方法探究：当一个矩形的面积是时，长与宽间的变化关系，并求出当长比宽大，长方形的长和宽分别是多少？ ，两组同学分别提出如下解决方案，请根据他们的描述，补全他们的探究过程． (1)组同学的解决方案是：利用方程思想，假设长方形的宽为，则长可表示为，由题意可列方程得：______，并请帮组同学完成解题过程． (2)组同学的解决方案是：利用函数思想， ①假设长方形的宽为，长为，根据矩形的面积是，可得与的函数关系式为；根据长比宽大，可得与的函数关系式为______； ②列表如下： 表格中______； ③通过描点，连线，在下面同一直角坐标系中画出两个函数的图象； ④两个函数图象的交点坐标为______，它的实际意义是______． 【例5】小王在学习中遇到了这样一个问题：如图1，在菱形中，对角线，，点P是线段上的动点，E是的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段的长度．小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P任上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)m的值是_________，的值是_________； (2)将线段的长度作为自变量的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象．求出，的表达式． (3)根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，的长为________．（结果精确到，误差不超过） 基础过关 1.如图，点G是边长为1的正方形ABCD的边BC上的动点，以BG为边长作正方形BEFG，其中A，B，E三点在同一条直线上，连结A，G，延长AG交CE的连线于点H，则的最大值为__________． 2. 如图，矩形ABCD中，AB，AD，点E在边AD上，CE与BD相交于点F设DEx，BFy，当x时，y关于x的函数解析式为____． 3．阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 4．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 5．为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 能力提升 1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点有直角，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转，旋转角为，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ； ：：4； ； 在旋转过程中，当与的面积之和最大时，； ． A. B. C. D. 2．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 3．［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 4．如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 5．如图，抛物线与x轴交于点A、B，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标； (2)过点B作交抛物线于点D，连接，求四边形的周长；（结果保留根号） (3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)求点O到直线的距离； (3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且，当与相似时，请你直接写出点M的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 3．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 7．阅读以下材料：在平面直角坐标系中，表示一条直线，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．不仅如此，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图1；不等式也表示一个平面区域，即直线以及它上方的部分，如图2．而既不表示一条直线，也不表示一个区域，它表示一条折线，如图3． 根据以上材料，回答下列问题： (1)请直接写出图4表示的是 的平面区域； (2)如果，满足：①，②，③．在图5中用阴影表示出点所在的平面区域，并求出阴影部分的面积； (3)在平面直角坐标系中，若函数与的图象围成一个封闭平面区域，请直接用含的式子表示该平面区域的面积． 8．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数思想 方法讲解 一、核心概念 函数思想是初中数学重要的建模与变化思想，通过建立变量之间的函数关系，把静态问题转化为动态变化问题，用图像、解析式、表格分析变化规律，从而解决求值、最值、范围、交点等问题，实现以“动”解“静”、以“形”助“数”。 二、适用范围 1.探究两个变量之间的变化关系与规律 2.求最值、取值范围、比较大小问题 3.实际应用题（行程、利润、面积、方案选择） 4.几何动态问题（动点、折叠、旋转、面积变化） 5.方程与不等式的图像解法 6.函数综合、代数与几何结合压轴题 三、常用函数思想类型 1. 变量建模思想 把未知量看作变量，根据题意建立一次函数、二次函数、反比例函数模型。 2. 数形结合思想 借助函数图像的位置、交点、趋势，直观分析代数关系与几何特征。 3. 最值思想 利用一次函数增减性、二次函数顶点，解决最大/最小、最优方案问题。 4. 转化思想 将方程解、不等式解集转化为函数图像交点、函数值正负问题。 5. 动态分析思想 用函数刻画点的运动、图形变化过程，把动态问题转化为函数表达式。 四、通用解题步骤 1.识别变量：找出题目中相互关联的两个变量； 2.建立模型：根据规律设出函数解析式，确定函数类型； 3.确定系数：用待定系数法或等量关系求出解析式； 4.分析性质：利用增减性、图像、顶点、范围进行推理； 5.解决问题：结合题意求取值、最值、范围或方案，并检验合理性。 五、重点注意事项 1.必须关注自变量取值范围，保证实际与数学意义都成立； 2.数形结合时，图像特征与代数性质要一一对应； 3.函数与方程、不等式互通时，注意区分 “等于、大于、小于”； 4.二次函数求最值要判断顶点是否在取值范围内； 5.实际问题中，结果常取整数或符合情境的特殊值。 六、常考典型应用 1.规律探究：用函数表达式表示数字、图形规律； 2.方案选择：利用一次函数增减性比较最优方案； 3.最值问题：用二次函数求最大面积、最大利润、最短路径； 4.方程不等式：借助函数图像求交点、判断解集范围； 5.几何动点：用函数表示线段长、面积，实现动态问题代数化。 典型例题 【例1】阅读与思考 下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过程．今天、爸爸计划在农村老家用栅栏围建一块的蔬菜种植基地，于是我也积极参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法： 办法一：利用一次函数与反比例函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得与的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形． 办法二：利用二次函数表达式解决，假设存在这样的矩形、设矩形的其中一条边长为，矩形的面积为，根据题意，可得到二次函数，当时，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形． 任务： (1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可） A．方程思想    B．统计思想    C．函数思想    D．数形结合思想 (2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______． (3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由． 【答案】(1)C、D (2)， (3)存在，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是： （1）根据题意直接解答即可； （2）利用矩形的周长、面积即可求解； （3）先求出，把代入，得出方程，根据根的判别式判定即可． 【详解】（1）解：根据题意知：“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有函数思想、数形结合思想． 故答案为：C、D； （2）解：假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，， 则，， ∴，， ∴“办法一”中一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：， 故答案为：，； （3）解：假设存在这样的矩形，且相邻两边的长分别为和， 根据题意，可得， 当时， 化简，得． 在这里，，， ． 原方程有实数根． 存在满足学校所给条件的矩形． 【例2】阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 【答案】任务一：（1），，函数图像见解析；（2）函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的；（3）；任务二：（1）C；（2）函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 【分析】本题主要考查了类比的数形思想，反比例函数图像的平移等知识点，掌握平移规律是解题的关键． 任务一： （1）分别令求出对应的函数值，然后再运用描点法画出另一半图像即可；（2）（3）根据函数图像解答即可； 任务二：（1）根据研究过程归纳即可解答；（2）根据（1）的相关方法即可解答． 【详解】解：任务一：（1）当时，；当时， 根据图表绘制图像如下： （2）根据函数图像可得：函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的． （3）∵函数的图像关于原点成中心对称，函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的， ∴函数的图像关于点成中心对称． 任务二：（1）本题通过研究反比例函数图像，再以此类推研究二次函数图像的性质，这中方法属于类比思想，故选B． （2）根据任务一的探究可知：函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 【例3】小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】［辨析与解答]，过程见解析；［应用与拓展]（1）；（2） 【分析】［辨析与解答] 小明的方法：先将方程中的绝对值去掉，然后根据一元二次方程跟的判别式求解即可； 小红的方法：设，则，即可求解； 小亮的方法：令，，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解； ［应用与拓展] （1）观察小亮方法中的图像即可求解； （2）令，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解∶［辨析与解答] 小明的方法：当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得； 当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，； 小红的方法：设， 则， ∴； 小亮的方法：令，， 当与的图像有交点时，方程有实数根， 画出函数图像，如下： 观察图像知，当时，与的图像有交点， ∴当时，方程有实数根； 故答案为：； ［应用与拓展] （1）观察小亮的方法中函数图像知，当时，与的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：； （2）令，， 画出函数图像，如下： 当时，， ∴图中点D坐标为， 观察图像，知当时，，的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的判别式，二次函数的图像与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【例4】数学活动课上，李老师给同学们布置了一个活动任务，请同学们利用所学知识，用不同方法探究：当一个矩形的面积是时，长与宽间的变化关系，并求出当长比宽大，长方形的长和宽分别是多少？ ，两组同学分别提出如下解决方案，请根据他们的描述，补全他们的探究过程． (1)组同学的解决方案是：利用方程思想，假设长方形的宽为，则长可表示为，由题意可列方程得：______，并请帮组同学完成解题过程． (2)组同学的解决方案是：利用函数思想， ①假设长方形的宽为，长为，根据矩形的面积是，可得与的函数关系式为；根据长比宽大，可得与的函数关系式为______； ②列表如下： 表格中______； ③通过描点，连线，在下面同一直角坐标系中画出两个函数的图象； ④两个函数图象的交点坐标为______，它的实际意义是______． 【答案】(1) (2)①；②；③见解析；④；当长方形的宽为，长方形长不变 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象，一次函数的图象，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）根据矩形的面积公式即可得到结论； 把代入即可得到结论； 通过描点，连线，在下面同一直角坐标系中画出两个函数的图象即可； 解方程组即可得到结论． 【详解】（1）假设长方形的宽为，则长可表示为，由题意可列方程得， 故答案为：； （2）根据长比宽大，可得与的函数关系式为， 故答案为：； 把代入得， ； 如图所示； 两个函数图象的交点坐标为，它的实际意义是当长方形的宽为，长方形长不变， 故答案为：，当长方形的宽为，长方形长不变． 【例5】小王在学习中遇到了这样一个问题：如图1，在菱形中，对角线，，点P是线段上的动点，E是的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段的长度．小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P任上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)m的值是_________，的值是_________； (2)将线段的长度作为自变量的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象．求出，的表达式． (3)根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，的长为________．（结果精确到，误差不超过） 【答案】(1)； (2)图见详解；； (3)或 【分析】（1）设与交点为，根据菱形的性质可得，，勾股定理得到的值，当时，点与对角线和的交点重合，为直角三角形，为的中点，得到，即；再观察表格可得和的规律，即可得值． （2）以表中每一对，和，的值作为点的坐标，在同一平面直角坐标系中描点，而后用平滑是曲线顺次连接各点，得到，函数的图象；过点作的垂线，垂足为，先证明，可得，，即，，根据勾股定理可得 （3）根据题意当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论：①当时．点和点重合，或点和点重合，根据直角三角形斜边上的中线性质，即可求得即②当时，由（2）可令，解得，故线段的长度约为或． 【详解】（1）解：设与交点为， ∵在菱形中，对角线，， ∴， ∴． 当时，点与对角线和的交点重合， ∴此时为直角三角形． ∵为的中点， ∴， 即； 观察表格可得，当时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，； 综上可得，当和时，的值相等，即； 故答案为，； （2）解：画出的，的函数图象如解图所示． 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意，可知当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论： ①当时，则点和点重合，或点和点重合， ∴， 观察图象，可知或（舍去）． ②当时，由（2）可得， 即 解得 ∴的长约为（或观察图象可得）， 综上，线段的长度约为或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形，图象法表格法表示函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 基础过关 1.如图，点G是边长为1的正方形ABCD的边BC上的动点，以BG为边长作正方形BEFG，其中A，B，E三点在同一条直线上，连结A，G，延长AG交CE的连线于点H，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，函数方程思想掌握相似三角形的判定和性质得二次函数是解本题的关键． 先根据正方形的性质和SAS证明得，再证明，设，则，根据相似三角形的对应边成比例得的函数解析式，最后根据二次函数的最值即可解答． 【解答】解：四边形ABCD和四边形BEFG是正方形ABCD，A，B，E三点在同一条直线上， ，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为． 2.如图，矩形ABCD中，AB，AD，点E在边AD上，CE与BD相交于点F设DEx，BFy，当x时，y关于x的函数解析式为____． 【答案】 【分析】根据题干条件可证得∽，从而得到，由线段比例关系即可求出函数解析式．本题主要考查的是相似三角形的判定与性质定理，难度不大，熟练掌握性质和判定定理是解得本题的关键，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用． 【解析】解：在矩形中，， ∽， ， ，，， ， ，化简得：， 关于x的函数解析式为：， 故答案为：． 3．阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【答案】(1)5；2000 (2)， (3)函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等 【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据题意先得出底面边长，再解答即可； （3）根据题意结合数学观点解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为； （2）解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形， ，； （3）解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等． 4．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数的解析式． 根据抛物线型拱门的跨度，拱高，可得：，，所以方案一中抛物线的顶点，可以设抛物线的函数表达式为，把原点的坐标代入解析式，得到关于的方程，解方程求出的值即可； 令，可得一元二次方程：，解方程求出的两个值即为点、的横坐标，根据两点的横坐标求出线段的长度，根据矩形的面积求出的值，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解得：或， ， ， ， ． 5．为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 能力提升 1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点有直角，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转，旋转角为，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ； ：：4； ； 在旋转过程中，当与的面积之和最大时，； ． A. B. C. D. 【答案】A 【分析】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键． 由四边形ABCD是正方形，，易证得≌，则可证得结论； 由易证得，则可证得结论； 由，可得，然后由等腰直角三角形的性质，证得； 首先设，则，，继而表示出与的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案； 易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论． 【解答】 解：四边形ABCD是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ≌， ，， ； 故符合题意； ， ：：4； 故符合题意； ≌， ； 故符合题意； 过点O作， ， ， 设，则，， ， ， 当时，最大； 即在旋转过程中，当与的面积之和最大时，； 故不符合题意； ，， ∽， ：：OE， ， ，， ， 在中，， ， ． 故符合题意． 故选：A． 2．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 3．［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 4．如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 5．如图，抛物线与x轴交于点A、B，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标； (2)过点B作交抛物线于点D，连接，求四边形的周长；（结果保留根号） (3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数和相似三角形的综合运算．（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到． （2）求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形四个边的长度． （3）本问为存在型问题．先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论． 【详解】（1）∵点和点在抛物线上， ∴，解得：． ∴抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为y轴． ∵点B与点关于y轴对称， ∴． （2）设过点的直线解析式为，可得： ，解得：． ∴过点A，C的直线解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴，得． ∴直线的解析式为：． 将代入抛物线的解析式，得：， 解得：． ∵B点横坐标为，则D点横坐标为2， ∴D点纵坐标为． ∴D点坐标为． 如图①所示，过点D作轴于点N， 则， 在中，， 由勾股定理得： ． 在中，， 由勾股定理得： ． 又， 由勾股定理得： ． ∴四边形的周长为： ． （3）存在． 假设存在这样的点P，则与相似有两种情形： （I）若，如图②所示， 则有，即， ∴． 设， 则， ∴点P的坐标为． ∵点P在抛物线上， ∴，解得或． 当时，点E与点B重合，故舍去； 当时，点E在左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去． 因此，此种情况不存在． （II）若，如图③所示， 则有，即， ∴． 设， 则， ∴点P的坐标为． ∵点P在抛物线上， ∴， 解得或． ∵，故舍去， ∴． 点P的纵坐标为：． ∴点P的坐标为． 综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为． 拓展拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)求点O到直线的距离； (3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且，当与相似时，请你直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及勾股逆定理的定义，学会分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法，即可求得抛物线的解析式； （2）先表示出、、的长，根据勾股定理的逆定理，可得的度数，由点到直线的距离的定义，可得出答案； （3）由抛物线上的点满足函数解析式和根据相似三角形的性质，可得方程方程组，解方程组，即可得M点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，将B点坐标代入函数解析式， 得：， 解得． 故抛物线的解析式为； （2）由勾股定理，得，，， ∴， ∴， ∴O到直线的距离是； （3）设，， 当时，， 解得，， ∴， ∴． ①当时， ， 即， 化简，得①， M在抛物线上，得②， 联立①②，得：， 解得（不符合题意，舍），，， ∴， ②当时， ， 即， 化简，得③， 联立②③，得：， 解得（不符合题意，舍），，， ∴． 综上所述：当与相似时，点M的坐标，． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 3．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)则点P的坐标为：或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （3）先求出，再求出，设，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； （2）解：∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 故直线的解析式为； （3）解：令，得， ， ； 设， 令，得， ， ， ∵，则， ， 解得：， 当时，则，即， 当时，则，即， 综上，或． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标代入求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得， 直线的解析式为， 当时，，则， 设直线与轴交点为，当时，，则， ∴； （3）解：根据图象得，不等式的解集为：． 7．阅读以下材料：在平面直角坐标系中，表示一条直线，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．不仅如此，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图1；不等式也表示一个平面区域，即直线以及它上方的部分，如图2．而既不表示一条直线，也不表示一个区域，它表示一条折线，如图3． 根据以上材料，回答下列问题： (1)请直接写出图4表示的是 的平面区域； (2)如果，满足：①，②，③．在图5中用阴影表示出点所在的平面区域，并求出阴影部分的面积； (3)在平面直角坐标系中，若函数与的图象围成一个封闭平面区域，请直接用含的式子表示该平面区域的面积． 【答案】(1)直线以及它下方的部分 (2)图见解析， (3) 【分析】（1）求出图4中直线的解析式，即可求解； （2）根据题意得：表示直线以及它上方的部分，表示直线以及它下方的部分，表示直线以及它下方的部分，再求出三个交点坐标，即可求解； （3）根据题意可得与围成的封闭图形为一个三角形，画出图象，即可求解． 【详解】（1）解：设图4中直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴该直线的解析式为， ∴图4表示的是直线以及它下方的部分的平面区域； （2）解：根据题意得：表示直线以及它上方的部分，表示直线以及它下方的部分，表示直线以及它下方的部分， 如下图所示，阴影表示点所在的平面区域． 联立得：， 即直线与直线的交点为； 联立得：， 即直线与直线的交点为； 联立得：， 即直线与直线的交点为； ∴． （3）解：对于， 当时，，当时，， 因为， 所以与围成的封闭图形为一个三角形， 画出图象，如下图： 设直线与函数的图象交于点E，F，与x轴交于点D，过点D作轴交于点G，则点， ∴点， ∴， 当时，联立得：， ∴点， 当时，联立得：， ∴点， ∴． 8．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的交点问题，一次函数与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入，得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $