专题08 方程思想（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题08 方程思想 方法讲解 一、核心概念 方程思想是初中数学最核心的建模思想之一，通过分析题目中的等量关系，设出未知数，建立方程（组）或不等式，将实际问题、几何问题、代数问题转化为方程模型求解，实现用代数方法解决各类数学问题。 二、适用范围 1.代数式求值、含参数问题求解 2.实际应用题（行程、工程、利润、增长率等） 3.几何计算（求角度、边长、周长、面积、比例） 4.函数问题（求交点、解析式、参数值） 5.比例、百分比、浓度类问题 6.动点、折叠、几何综合类压轴题 三、常用方程思想类型 1. 等量建模 从题目中直接找出相等关系，列出一元一次、二元一次、一元二次方程。 2. 设参列式 对未知量直接设元，用字母表示未知量，把文字关系转化为数学等式。 3. 几何方程化 将几何中的边长、角度、面积关系转化为代数方程，用计算代替纯推理。 4. 函数方程结合 联立函数解析式求交点，利用方程解研究函数图像与性质。 5. 间接设元 不直接设所求量，而是设相关中间量，简化方程结构，方便计算。 四、通用解题步骤 1.审题找量：找出已知量、未知量及它们之间的数量关系； 2.设未知数：直接设元或间接设元，用字母表示未知量； 3.列方程：根据等量关系列出方程或方程组； 4.解方程：运用代数方法求出未知数的值； 5.检验作答：检验解是否符合题意与实际意义，规范写出答案。 五、重点注意事项 1.列方程的关键是找准等量关系，等量关系必须真实、准确； 2.设未知数时要写清单位，同一题中单位要统一； 3.分式方程、实际应用题必须检验，舍去增根或不合理解； 4.多个未知量时，合理选择主元，尽量减少未知数个数； 5.几何问题中注意利用定理、公式作为等量依据。 六、常考典型应用 1.代数求值：已知代数式关系，设未知数列方程求字母值； 2.实际应用：行程、工程、利润、分配等问题统一转化为方程模型； 3.几何计算：利用勾股定理、相似、面积关系列方程求边长； 4.函数问题：求函数解析式、交点坐标，联立方程求解； 5.综合压轴：动点、存在性问题，通过设未知点坐标建立方程求解。 典型例题 【例1】方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． (1)完成上面填空； (2)化简：； (3)根据以上方法化简：__________． 【答案】(1)2或0；2 (2)2 (3) 【分析】本题主要查了解一元二次方程，分式方程，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）仿照（1）解题方法解答，即可； （3）设，仿照（1）解题方法解答，即可． 【详解】（1）解：设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，即， ∴， ∴或0． ∵， ∴； 故答案为：2或0；2 （2）解：设 两边平方得 又， 所以，移项得， 所以， 即， ∴或， ∴或． ∵， ∴； （3）解：设， 两边同时减1，得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是方程的根， ∵， ∴． 故答案为： 【例2】我们学了有理数的概念：可以写成分数形式的数称为有理数．整数可以写成分数的形式，比如，任意整数，所以整数是有理数；那么小数呢？小明和小亮产生了争论．小明认为“小数都能化成分数”，比如，可以借助方程的思想化成分数：设①，等式两边同时扩大10倍得：②，由②－①得：，． 小亮说：“你说得不对，你说的是有限小数和无限循环小数可以按照上述方法化成分数．但是小数里还有无限不循环小数．比如，你能把化成分数吗？如果能化成分数的话，那也就是说有一些分数能化成无限不循环小数．但是，分数只能化为有限小数或者无限循环小数，比如，，这样就矛盾了．由此可知不能化成分数，所以无限不循环小数都不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数．”根据以上对话完成下列问题： (1)下列说法正确的有__________． ①0能写成分数形式；②正有理数都可以写成正分数的形式；③有限小数和无限循环小数是有理数；④所有的小数都是有理数． (2)类比：按照小明上面的方法，用方程的思想，把无限循环小数化为分数． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，理解有理数的分类，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． （1）根据有理数的分类对题目中该处的4个说法逐一进行判断即可得出答案； （2）可设，则，根据题目中提供的方法解出，进而在代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵0能写成分数形式，例如：0＝， ∴①正确，符合题意； ∵正有理数包括正整数和正分数，而正整数可以写成正分数的形式， ∴②正确，符合题意； ∵有限小数和无限循环小数是有理数， ∴③正确，符合题意； ∵无限不循环小数不是有理数， ∴④不正确，不符合题意， ∴说法正确的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：∵， 设，则， 则， ∴， 解得：． 【例3】阅读与思考 下面是小明同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数交点的坐标．同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一方法求解． 下面是小宇通过方程思想解决二次函数图象与一次函数图像的交点情况的部分探究过程，联立，得，整理，得．∵，∴方程是关于x的一元二次方程．则，当时，方程有两个不相等的实数根，∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： (1)请参照论文中的分析过程，分别写出和时的分析结果； (2)若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求t的取值范围； (3)实际上，除了上述两种函数的交点外，初中数学还会遇到反比例函数与一次函数的交点情况，例如：反比例函数的图象与一次函数的图象有一个交点，则这个一次函数的表达式可以是______（写出一个即可）． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）参照小论文中的分析过程可得； （2）根据小论文中的分析过程可得，，再解不等式即可； （3）根据小论文中的分析过程可得，，再解方程即可． 【详解】（1）解：时，方程无实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象没有交点． 时，方程有两个相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点． （2）解：二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点， ， ， ， ； （3）解：根据反比例函数的图象与一次函数的图象有一个交点， ， ， ， 如当时，，即一次函数的表达式可以是 故答案为： 【点睛】本题考查了根的判别式，用函数观点认识方程、方程组以及不等式的关系，体现了数形结合数学的思想． 【例4】“五只雀、六只燕，共重一斤．雀重燕轻，互换一只，恰好一样重”这是出自我国《九章算术》中的一道题，小明的部分解题过程如下：设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为 ，这种解题方法体现了（    ） A．数形结合思想 B．方程思想 C．转化思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】根据题意找到等量关系，列出方程组，体现了方程思想． 【详解】根据“五只雀、六只燕，共重一斤．雀重燕轻，互换一只，恰好一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组， 此题得解， 体现了方程思想， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例5】完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决： (1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)任务二：某店家以每副80元的价格购进一批镜架，提高后标价．求每一副镜架的标价是多少？ (3)任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60副后打折销售，结果销售完这100副镜架后仍获利2560元，求剩余的镜架打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿， (2)120元 (3)七 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据“提高后标价”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后仍获利2560元”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：根据题意得：（元） 答：每一副镜架的标价是120元； （3）解：设剩余的镜架应打折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打七折出售． 基础过关 1．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 【答案】(1)见解析 (2)师傅徒弟每人均应得元 【分析】（1）补充“两人合作需要几天完成？”，设需要天可以完成，列出一元一次方程，进而求出的值； （2）徒弟先做一天，可求出第一天徒弟做了总工作量的，剩下了由徒弟与师傅共同完成，设徒弟师傅还需天完成剩余的，列出一元一次方程，进而求出的值，然后按工作量比例分配报酬即可． 【详解】（1）解：补充：问两人合作需要几天完成？ 设两人合作需天完成， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天， ∴， 解得：， 答：两人合作需要天可完成． （2）解：设徒弟先做天后，师傅徒弟一起还要天能完成剩余工作量， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天 ∴， 解得：， ∴徒弟共完成总工作量的，报酬为（元）； 师傅完成总工作量的，报酬为（元）． 答：师傅徒弟每人均应得元． 2．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 3．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 4．某企业承接了17000件文创产品生产订单，计划安排甲、乙两个车间共30名工人利用现有设备合作生产20天完成．已知甲车间每人每天能生产25件，乙车间每人每天能生产30件． (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ (2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘5名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输费1600元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 【答案】(1) 甲车间有10名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产 (2) 应选择方案一更节省开支 【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y名工人参与生产，根据计划安排甲、乙两个车间共30名工人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为17000个列方程组，解方程组即可解决问题； （2）先求得企业完成生产任务所需的时间；分别求得需增加的费用，再比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车间各有x、y名工人参与生产， 根据题意，得， 解得， 答：甲车间有10名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产； （2）解：企业完成生产任务所需的时间为：（天）． ∴选择方案一需增加的费用为（元）． 选择方案二需增加的费用为（元）． ∵， ∴选择方案一能更节省开支． 5．“五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 (1)求游船和大巴车的速度（单位：）； (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 【答案】(1)游船的速度为，大巴车的速度为 (2)最多购买32张一等票 【分析】（1）设游船的速度为，则大巴车的速度为，然后根据等量关系“乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达”列分式方程求解即可； （2）设购买a张一等票，则可购买张二等票，再根据不等关系“所有学生的票价总和不超过3980元”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设游船的速度为，则大巴车的速度为 根据题意，，解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ，． 答：游船的速度为，大巴车的速度为． （2）解：设购买a张一等票，则可购买张二等票， 由题意可得：，解得：． 为整数 的最大值为32． 答：最多购买32张一等票． 6．科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 【答案】实际每个月制作机器人45台 【分析】设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人， 根据题意得，解得， 经检验：是原方程的解， 实际每个月制作机器人（台）． 答：实际每个月制作机器人45台． 能力提升 1. 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE上的点H处，连接PH并延长交BC于点F，则EF的长为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：连接AF． 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， 由翻折不变性可知：，， ， ，，， ， ，设，则， 在中，， ， ， 故选A． 【点睛】首先证明，推出，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题； 本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 2. 一个角的余角是它的补角的，这个角的补角是 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题综合考查余角与补角，熟知余角和补角的定义是解答此题的关键，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解； 解答此题首先根据余角与补角的定义，设这个角为，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解． 【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为，补角为， 依题意，得， 解得， 这个角的补角是：． 故选D． 3. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，连接BE，将沿BE叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设，由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，，在中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题． 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边． 【解答】解：设． 四边形ABCD是矩形， ，，． 将沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处， ，，． 在中，由勾股定理得： ， ，． 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得：． 故选B． 4. 在矩形ABCD中，四边形ABFE为正方形，G，H分别是DE，CF的中点，将矩形DGHC移至FB右侧得到矩形FBKL，延长GH与KL交于点M，以K为圆心，KM为半径作圆弧与BH交于点P，古代印度利用这个方法，可以得到与矩形ABCD面积相等的正方形的边长若矩形ABCD的面积为16，，则CH的值为 A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【分析】本题考查四边形的综合题，主要考查矩形的性质，正方形的性质，平移的性质，勾股定理，一元二次方程的解法． 关键是由，设，则，，由正方形的性质得，再用x、y的代数式表示KM、KP，在中，由勾股定理得，再根据矩形的面积为16得，把代入求解即可解答． 【解答】解：在矩形ABCD中，四边形ABFE为正方形， ， ，H分别是DE，CF的中点， ，， 四边形GEFH和四边形GHCD都是矩形， 设，则，， 矩形DGHC移至FB右侧得到矩形FBKL， ，， 四边形HFLM是正方形， ， 以K为圆心，KM为半径作圆弧与BH交于点P ， 在中，由勾股定理得：， ，整理得，， 又矩形ABCD的面积为16， ， 把代入得：，负数不合题意，舍去 ， ． 故选C． 5. 如图，中，AD平分，且平分BC，于E，于若，，则AE的长为． A. 9 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．连接BD，CD，由AD平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得≌，则可得；再证得≌，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案． 【解析】 解：连接BD，CD， 平分，，， ，， 且平分BC， ， 在与中， ≌， ； 在和中， ≌， ， 设，则， ，，，， ， 解得：， ，． 故选B． 6．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． (1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ (2)该茶店决定将所购进的A、B两种茶叶分别按每盒300元和400元的价格出售．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折全部售出．求茶店总共获利多少钱？ 【答案】(1)A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元 (2)茶店总共获利2900元 【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，再列分式方程求解； （2）先计算出购买A，B两种茶叶的盒数，再列式计算获利即可． 【详解】（1）解：设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元． （2）由(1)知购进A种茶叶(盒)， 购进B种茶叶(盒)； 根据题意得： （元）， 答：茶店总共获利元． 7．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】(1)； (2)50千克 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 8．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)从2023年到2025年的年平均增长率为 (2)鸡场的长和宽分别为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去） 答：从2023年到2025年的年平均增长率为； （2）解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 拓展拔高 1．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将长为，宽为（）的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，则该矩形卡纸的宽______． 【答案】/ 【分析】根据线段之间的关系，用含的式子表示，再根据面积之间的关系，可得，列方程，求解检验即可． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，，， 由图2可得，，结合图1可得，图2中，， 图2所示为正方形， ， ， ， 图1的矩形和图2所示的正方形的面积相等， ，即， ，左右两边平方得，， 解得， ， ． 2．如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，分两种情况：当点M在点D左侧时，当点M在点D右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点M在点D左侧时，， 解得：或（舍去）； 当点M在点D右侧时，， 解得：； 综上，t的值为2或． 3．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 4．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 5．【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)当时，求和的长； (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 【答案】(1) (2)米，米 (3)米 【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）由题意设，则点F的坐标为，再代入，求得，据此求解即可； （3）设，则矩形所需的木质框架总长度，求得当，矩形所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形和正方形的边长为n，得到，代入，求得n的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：坐标系如图所示， 由题意得，，． 则抛物线的顶点坐标为，， 则设抛物线的函数表达式为，将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得四边形为矩形，设， ， ． ，． ∵点在抛物线上， ，解得或（舍去）． 米，米； （3）解：如图，设，， 四边形为矩形，且点E和F在抛物线上， ， ． 矩形所需的木质框架总长度， 当，矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5． 此时， ． 设正方形和正方形的边长为n，则，，将代入， 得， 整理得， 解得或 (舍去)． ． 封闭区域内木质框架的总长度米． 即封闭区域内木质框架的总长度为米． 6．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围； (3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出的值； （2）根据题意点，关于对称轴对称，可得到的值，根据已知不等式可得到的取值范围，然后利用图象上点的坐标特征即可求得的取值； （3）分当时和当时两种情况讨论，根据是该函数的图象与轴的一个公共点，且，分别确定的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ， 两式相减得， ； （2）解：当时，， 将代入得，，解得， ， 对称轴为直线， 函数的图象同时经过点，， ， ， ， ，即， ， ， 对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 的取值范围是． （3）解：由（1）知，中， 将代入得，， ， ， 当时，如图， 当时，； 当时，，解得； 即； 当时，如图， 当时，； 当时，，解得； 即； 综上，的取值范围为或． 7.如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． 求点C的坐标和此抛物线的解析式； 若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求面积的最大值； 点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 【解析】本题主要考察了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积。数形结合思想，分类讨论及方程思想． 已知A，B坐标带入抛物线解析式，用待定系数法求出二次函数解析式；   如图2，连接BC，过E作轴与F，根据四边形，构建二次函数，利用其性质解即可； 由P在对称轴上，设出，如图，过作对称轴与你，由旋转的性质利用AAS得到 ≌，由全等三角形对应边相等得到坐标，，带入抛物线解析式求出m的值，即可确定P的坐标． 【答案】解：抛物线与x轴交于点和点， ， ， ， ， 解得： 所求抛物线解析式为：，； 如图2，连接BC，过点E作轴于点F，设， ，，，． ， 当时，最大，且最大值为； 抛物线的对称轴为，点P在抛物线的对称轴上， 设， 线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上， 当时， ，， 如图3，过作对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M， ， ，在与中， ≌， ，， ， 代入得：， 解得：，舍去． 当时，要使，由图可知点与B点重合， ， ， ． 满足条件的点P的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 方程思想 方法讲解 一、核心概念 方程思想是初中数学最核心的建模思想之一，通过分析题目中的等量关系，设出未知数，建立方程（组）或不等式，将实际问题、几何问题、代数问题转化为方程模型求解，实现用代数方法解决各类数学问题。 二、适用范围 1.代数式求值、含参数问题求解 2.实际应用题（行程、工程、利润、增长率等） 3.几何计算（求角度、边长、周长、面积、比例） 4.函数问题（求交点、解析式、参数值） 5.比例、百分比、浓度类问题 6.动点、折叠、几何综合类压轴题 三、常用方程思想类型 1. 等量建模 从题目中直接找出相等关系，列出一元一次、二元一次、一元二次方程。 2. 设参列式 对未知量直接设元，用字母表示未知量，把文字关系转化为数学等式。 3. 几何方程化 将几何中的边长、角度、面积关系转化为代数方程，用计算代替纯推理。 4. 函数方程结合 联立函数解析式求交点，利用方程解研究函数图像与性质。 5. 间接设元 不直接设所求量，而是设相关中间量，简化方程结构，方便计算。 四、通用解题步骤 1.审题找量：找出已知量、未知量及它们之间的数量关系； 2.设未知数：直接设元或间接设元，用字母表示未知量； 3.列方程：根据等量关系列出方程或方程组； 4.解方程：运用代数方法求出未知数的值； 5.检验作答：检验解是否符合题意与实际意义，规范写出答案。 五、重点注意事项 1.列方程的关键是找准等量关系，等量关系必须真实、准确； 2.设未知数时要写清单位，同一题中单位要统一； 3.分式方程、实际应用题必须检验，舍去增根或不合理解； 4.多个未知量时，合理选择主元，尽量减少未知数个数； 5.几何问题中注意利用定理、公式作为等量依据。 六、常考典型应用 1.代数求值：已知代数式关系，设未知数列方程求字母值； 2.实际应用：行程、工程、利润、分配等问题统一转化为方程模型； 3.几何计算：利用勾股定理、相似、面积关系列方程求边长； 4.函数问题：求函数解析式、交点坐标，联立方程求解； 5.综合压轴：动点、存在性问题，通过设未知点坐标建立方程求解。 典型例题 【例1】方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． (1)完成上面填空； (2)化简：； (3)根据以上方法化简：__________． 【例2】我们学了有理数的概念：可以写成分数形式的数称为有理数．整数可以写成分数的形式，比如，任意整数，所以整数是有理数；那么小数呢？小明和小亮产生了争论．小明认为“小数都能化成分数”，比如，可以借助方程的思想化成分数：设①，等式两边同时扩大10倍得：②，由②－①得：，． 小亮说：“你说得不对，你说的是有限小数和无限循环小数可以按照上述方法化成分数．但是小数里还有无限不循环小数．比如，你能把化成分数吗？如果能化成分数的话，那也就是说有一些分数能化成无限不循环小数．但是，分数只能化为有限小数或者无限循环小数，比如，，这样就矛盾了．由此可知不能化成分数，所以无限不循环小数都不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数．”根据以上对话完成下列问题： (1)下列说法正确的有__________． ①0能写成分数形式；②正有理数都可以写成正分数的形式；③有限小数和无限循环小数是有理数；④所有的小数都是有理数． (2)类比：按照小明上面的方法，用方程的思想，把无限循环小数化为分数． 【例3】阅读与思考 下面是小明同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数交点的坐标．同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一方法求解． 下面是小宇通过方程思想解决二次函数图象与一次函数图像的交点情况的部分探究过程，联立，得，整理，得．∵，∴方程是关于x的一元二次方程．则，当时，方程有两个不相等的实数根，∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： (1)请参照论文中的分析过程，分别写出和时的分析结果； (2)若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求t的取值范围； (3)实际上，除了上述两种函数的交点外，初中数学还会遇到反比例函数与一次函数的交点情况，例如：反比例函数的图象与一次函数的图象有一个交点，则这个一次函数的表达式可以是______（写出一个即可）． 【例4】“五只雀、六只燕，共重一斤．雀重燕轻，互换一只，恰好一样重”这是出自我国《九章算术》中的一道题，小明的部分解题过程如下：设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为 ，这种解题方法体现了（    ） A．数形结合思想 B．方程思想 C．转化思想 D．类比思想 【例5】完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决： (1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)任务二：某店家以每副80元的价格购进一批镜架，提高后标价．求每一副镜架的标价是多少？ (3)任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60副后打折销售，结果销售完这100副镜架后仍获利2560元，求剩余的镜架打几折出售？ 基础过关 1．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 2．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 3．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 4．某企业承接了17000件文创产品生产订单，计划安排甲、乙两个车间共30名工人利用现有设备合作生产20天完成．已知甲车间每人每天能生产25件，乙车间每人每天能生产30件． (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ (2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘5名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输费1600元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 5．“五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 (1)求游船和大巴车的速度（单位：）； (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 6．科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 能力提升 1. 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE上的点H处，连接PH并延长交BC于点F，则EF的长为 A. B. C. D. 2. 一个角的余角是它的补角的，这个角的补角是 A. B. C. D. 3. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，连接BE，将沿BE叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 A. B. C. D. 4. 在矩形ABCD中，四边形ABFE为正方形，G，H分别是DE，CF的中点，将矩形DGHC移至FB右侧得到矩形FBKL，延长GH与KL交于点M，以K为圆心，KM为半径作圆弧与BH交于点P，古代印度利用这个方法，可以得到与矩形ABCD面积相等的正方形的边长若矩形ABCD的面积为16，，则CH的值为 A. B. 1 C. D. 2 5. 如图，中，AD平分，且平分BC，于E，于若，，则AE的长为． A. 9 B. 7 C. 5 D. 4 6．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． (1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ (2)该茶店决定将所购进的A、B两种茶叶分别按每盒300元和400元的价格出售．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折全部售出．求茶店总共获利多少钱？ 7．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 8．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 拓展拔高 1．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将长为，宽为（）的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，则该矩形卡纸的宽______． 2．如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 3．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 4．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 5．【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)当时，求和的长； (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 6．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围； (3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围． 7.如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． 求点C的坐标和此抛物线的解析式； 若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求面积的最大值； 点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $