精品解析：2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学二模试卷

2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学二模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 海洋是地球上最广阔的水体的总称，海洋的中心部分称作洋，边缘部分称作海，彼此沟通组成统一的水体．地球上海洋面积约，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，把绕着点C顺时针方向旋转，得到，点B刚好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ）． A. 如果a>0，b>0，则a+b>0 B. 直角都相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 若a=b，则|a|=|b| 6. 如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 7. 在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：______． 12. 不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 __________________． 13. 使式子有意义的x的取值范围是_______． 14. 如图，在中，点、分别在、边上，，若， ，则 ________． 15. 如果将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为______． 16. 已知等边三角形的边长是4，以边上的高为边作等边三角形，得到第一个等边三角形，再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形，得到第二个等边三角形，再以等边三角形的边边上的高为边作等边三角形，得到第三个等边；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形的边长为______． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 20. 某校九年级有若干名学生参加《中小学国家体质健康标准》测试．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了名学生的成绩进行分组整理．现已完成前个数据的整理，并绘制了不完整的统计（图）表，另外还有后个数据尚未整理，它们是，，，，． 学生测试成绩频数分布表： 成绩分 频数累计 频数 频率 正 合计 请根据以上信息完成下列问题： （1）补全“学生测试成绩频数分布直方图”； （2）这个数据的中位数所在组的成绩范围是______； （3）若与两段学生成绩的分差大于分，从样本中分以下的学生中任取人，求所抽取两名学生分差小于分的概率． 21. 如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．测得在点的仰角，测得在点的仰角．求银幕的高度．（参考数据：，，，，，） 22. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 23. 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝∠CBD． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）若∠C＝35°，AB＝6，求的长（结果保留π）． 24. 阅读理解：如果一个角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为这个角的“组合边”． 例如：图①中∠BAC的两边与直线l相交构成一个封闭图形，直线l在封闭图形上的部分线段ED就称为∠BAC的“组合边”；再例如：图②中∠QPK的“组合边”有3条，分别是线段MN、NG和GH． 解决问题：在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点M在线段AD上且AM=1．射线MP在直线AD的下方，将PM绕着点M逆时针旋转90°得到射线MQ，∠PMQ的两边MP和MQ分别交矩形的边于点E和点F．设∠AMP为β，0≤β≤90°． （1）如图③，若β=30°，求∠PMQ“组合边”的所有边长和； （2）当射线MP经过点B时，请判断点F落在矩形ABCD的哪条边上，并说明理由； （3）若∠PMQ“组合边”的所有边长和为4.5，求AE的值．（直接写出此小题的答案） 25. 已知：抛物线交x轴于点A和点C，与y轴交于点B，且． （1）求抛物线解析式； （2）点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点F，若点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的关系式； （3）在（2）的条件下，，延长、交于点，点在线段上，过点作于点，的延长线交抛物线于点，点在直线下方的第四象限内，连接、、，，点在的延长线上，连接并延长交轴于点，，当的面积为9，点是的中点时，求点D的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学二模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故D不符合题意． 2. 海洋是地球上最广阔的水体的总称，海洋的中心部分称作洋，边缘部分称作海，彼此沟通组成统一的水体．地球上海洋面积约，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2 【答案】B 【解析】 【分析】先换算单位，再根据科学记数法表示即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用偶次方的性质得出，再利用点的坐标特点即可求解． 【详解】解：因为，， 所以点所在的象限是第二象限， 故选：B． 4. 如图，把绕着点C顺时针方向旋转，得到，点B刚好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出，以及，再利用等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∵把绕着点C顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 5. 以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ）． A. 如果a>0，b>0，则a+b>0 B. 直角都相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 若a=b，则|a|=|b| 【答案】C 【解析】 【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案． 【详解】解：A.如果，则不一定是，，选项错误，不符合题意； B.如果角相等，但不一定是直角，选项错误，不符合题意； C.同位角相等，两直线平行，选项正确，符合题意； D.如果，可得或，选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查学生对命题与逆命题的理解及真假命题的判断能力，解题的关键是能够正确的得到原命题的逆命题． 6. 如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件将x，y都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：把分式中的、都扩大3倍，即， ∴分式的值扩大3倍． 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将x，y都扩大3倍后化简是解题的关键． 7. 在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得出，从而得出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小， ， 解得，则m可以是0. 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当时，都随的增大而减小；当时，都随的增大而增大． 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人．根据两次每人分得的钱数相同列方程，即可得解． 【详解】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人， ∴第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：D． 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质、一次函数的图象判断a，b的符号，进而求解即可． 【详解】A．∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴， ∵一次函数图象经过第一，三，四象限 ∴，，即 ∴互相矛盾，不符合题意； B．∵反比例函数图象在第二，四象限 ∴， ∵一次函数图象经过第二，三，四象限 ∴，，即 ∴互相矛盾，不符合题意； C．∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴， ∵一次函数图象经过第一，二，四象限 ∴，，即 ∴互相矛盾，不符合题意； D．∵反比例函数图象在第二，四象限 ∴， ∵一次函数图象经过第一，三，四象限 ∴，，即 ∴符合题意； 故选：D． 10. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【详解】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解． 【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48， 故选：D． 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 12. 不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键． 【详解】设两个红球分别为A，B，黑球为C，白球为D，根据题意，画树状图如下： ． 一共有12种等可能性，其中，一红一黑等可能性有4种． 故摸出1个红球1个黑球的概率为， 故答案为． 13. 使式子有意义的x的取值范围是_______． 【答案】且． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于x的一元一次不等式组，解一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，在中，点、分别在、边上，，若， ，则 ________． 【答案】8 【解析】 【分析】首先由可以得到，而，，由此即可求出 【详解】解：∵， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， 故答案为8． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如果将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，即可得到新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：， 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到：， ∴新抛物线的顶点坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的平移，以及二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，是解题的关键． 16. 已知等边三角形的边长是4，以边上的高为边作等边三角形，得到第一个等边三角形，再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形，得到第二个等边三角形，再以等边三角形的边边上的高为边作等边三角形，得到第三个等边；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由为边长为4的等边三角形的高，利用三线合一得到为的中点，求出的长，利用勾股定理求出的长，同理求出，，依此类推，得到第个等边三角形的面积． 【详解】解：∵等边三角形的边长为4，， ∴，，根据勾股定理得：，即：， 则，等边三角形的边长为，， ∴，，根据勾股定理得：，即：， 则，等边三角形的边长为3，， ∴，，根据勾股定理得：，即：， ； 依此类推，第个等边三角形的边长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】9． 【解析】 【分析】根据零指数幂，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值分别计算各项的值，即可得到答案． 【详解】解：原式＝4+3﹣1+3×1 ＝4+3﹣1+3 ＝9． 【点睛】本题考查了零指数幂，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，属于简单题，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的化简，通过通分、约分化简得到的式子，把代入求值即得． 【详解】原式 ， 把代入得 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，化简中用到因式分解、约分，注意因式分解，约分符号问题，最后使得式子最简． 19. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25° 【解析】 【分析】（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵射线是的平分线， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键． 20. 某校九年级有若干名学生参加《中小学国家体质健康标准》测试．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了名学生的成绩进行分组整理．现已完成前个数据的整理，并绘制了不完整的统计（图）表，另外还有后个数据尚未整理，它们是，，，，． 学生测试成绩频数分布表： 成绩分 频数累计 频数 频率 正 合计 请根据以上信息完成下列问题： （1）补全“学生测试成绩频数分布直方图”； （2）这个数据的中位数所在组的成绩范围是______； （3）若与两段学生成绩的分差大于分，从样本中分以下的学生中任取人，求所抽取两名学生分差小于分的概率． 【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】根据尚未累计的个数所在的组，得到中有人，中有人，中有人，即可补全图； 根据中有人，中有人，中有人，中有人，知中位数落在组； 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出所抽取两名学生分差小于分的情况数，然后根据概率公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：中有人，中有人，中有人，补全统计图如下： 【小问2详解】 ∵中有人，中有人，中有人，中有人， ∴这个数据的中位数所在组的成绩范围是：； 故答案为：； 【小问3详解】 的名学生用A、、表示，的名学生用、表示，根据题意画图如下： 共有种等可能的情况数，其中所抽取两名学生分差小于分的有种， 则所抽取两名学生分差小于分的概率是． 【点睛】本题主要考查了频数统计表和频数分布直方图．熟练掌握统计方法，频数统计表和频数分布直方图的互补性，获取统计图表中的关键信息，补全统计图，求中位数，列表或画树状图求概率，是解决问题的关键． 21. 如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．测得在点的仰角，测得在点的仰角．求银幕的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】5.1m 【解析】 【分析】延长，交于、，在中，可得：，在中，可得 ，从而可得，再利用，列方程解方程可得答案． 【详解】解：延长，交于、， 由题意知， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：银幕的高度为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数的含义求解三角形的边长是解题的关键． 22. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）应将销售单价定为15元 （3）此时W的最大值为2160元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的应用、不等式的应用： （1）利润等于销量乘以售价与进价之差，由此可列函数关系式； （2）结合（1）中结论列一元二次方程，解方程即可； （3）先求出销售单价x的取值范围，再将二次函数一般式化为顶点式，即可求出W的最大值． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ； 【小问2详解】 解：由， 解得或． ∵销量随售价x的增大而减小， ∴售价越小，销量越高，越有利于减少库存， ∴应将销售单价定为15元； 【小问3详解】 解：由，且，解得， ， ∴当时，W随着x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大为． 答：此时W的最大值为2160元． 23. 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝∠CBD． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）若∠C＝35°，AB＝6，求的长（结果保留π）． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADB＝90°，得出∠A+∠ABD＝90°，证得∠ABC＝90°，即可得出BC是⊙O的切线. （2）连接OD，可证得∠ABD＝∠C＝35°，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠ABD＝70°，再通过弧长公式计算，即可得出答案. 【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°， ∵∠A＝∠CBD， ∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°， ∴BC⊥AB， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：连接OD，如图所示： ∵∠ABC＝90°， ∴∠C+∠A＝90°， 又∠A+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠C＝35°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝70°， ∵直径AB＝6， ∴OA＝3， ∴的长＝＝． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质及弧长公式，解题的重点是掌握切线的判定和圆周角定理. 24. 阅读理解：如果一个角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为这个角的“组合边”． 例如：图①中∠BAC的两边与直线l相交构成一个封闭图形，直线l在封闭图形上的部分线段ED就称为∠BAC的“组合边”；再例如：图②中∠QPK的“组合边”有3条，分别是线段MN、NG和GH． 解决问题：在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点M在线段AD上且AM=1．射线MP在直线AD的下方，将PM绕着点M逆时针旋转90°得到射线MQ，∠PMQ的两边MP和MQ分别交矩形的边于点E和点F．设∠AMP为β，0≤β≤90°． （1）如图③，若β=30°，求∠PMQ“组合边”的所有边长和； （2）当射线MP经过点B时，请判断点F落在矩形ABCD的哪条边上，并说明理由； （3）若∠PMQ“组合边”的所有边长和为4.5，求AE的值．（直接写出此小题的答案） 【答案】（1）∠PMQ“组合边”的所有边长和为3+ （2）点F落在矩形ABCD的CD边上，理由见解析 （3）AE的值为1.5或2 【解析】 【分析】（1）运用特殊角三角函数值可求出AE和PH的长，即可根据“组合边”的定义求得答案； （2）假设点F落在矩形ABCD的BC边上，求得AG=5>AD，证明点F落在矩形ABCD的CD边上； 分三种情况讨论：当E、F分别在AB、BC上时，当E、F分别在AB、CD上时，当E、F分别在BC、CD上时，运用相似三角形性质建立方程求解即可； 【小问1详解】 解：∵Rt△APE中，β=30°，AM=1， ∴AE=， ∴BE=2-； 作FH⊥AD， ∴Rt△FMH中，∠FMH=60°，FH=2， ∴MH=， ∴AH=BF=1+， ∴∠QPK“组合边”的所有边长和=2-+1+=3+； 【小问2详解】 解：假设点F落在矩形ABCD的BC边上， 作FG⊥AD， ∵∠A=∠EMF=∠MGF=90°， ∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠GMF=90°， ∴∠AEM=∠GMF， ∴， ∴，即， ∴GM=4 ∴AG=5>AD， ∴点F落在矩形ABCD的BC边上不符合题意， ∴点F落在矩形ABCD的CD边上； 【小问3详解】 解：当E、F分别在AB、BC上时，如图，作FH⊥AD，设AE=x， 则BE=2-x，BF=4.5-(2-x)=2.5+x，MH=2.5+x-1=1.5+x， ∵∠A=∠EMF=∠MGF=90°， ∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠FMH=90°， ∴∠AEM=∠FMH， ∴， ∴，即， 解得：x=1.5； 当E、F分别在AB、CD上时，如图2-2，设AE=x， 则BE=2-x，CF=4.5-4-(2-x)=-1.5+x，DF=2-(-1.5+x)=3.5-x， ∵∠EMF=∠A=∠D=90°， ∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠FMD=90°， ∴∠AEM=∠FMD， 同理：，即， 解得x1=1.5（舍去），x2=2； 即射线MP经过点B； 当E、F分别在BC、CD上时，如图，设DF=y， 作EH⊥AD于点H， ∴∠EHA=∠EHM=∠A=∠B=∠FME=90°， ∴四边形ABEH是矩形， ∴EH=AB=2， ∵∠EMH+∠DMF=∠EMH+∠MEH=90°， ∴∠DPF=∠PEH， 同理：， ∵CF+CE=4.5，DF=y， ∴AH=BE=6-4.5-y=1.5-y， ∴MH=AM-AH=1-（1.5-y）=y-0.5， ∴，解得y=1.5， BE=1.5-y=0，即射线MP经过点B； 综上所述，AE的值为1.5或2． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度大；理解并运用“组合边”新定义，合理添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想解决问题是解题关键． 25. 已知：抛物线交x轴于点A和点C，与y轴交于点B，且． （1）求抛物线解析式； （2）点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点F，若点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的关系式； （3）在（2）的条件下，，延长、交于点，点在线段上，过点作于点，的延长线交抛物线于点，点在直线下方的第四象限内，连接、、，，点在的延长线上，连接并延长交轴于点，，当的面积为9，点是的中点时，求点D的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，可求得，，再根据，求得，代入点即可求得抛物线解析式； （2）过点作轴，则可得，点的横坐标为，可得，，利用相似三角形性质可得，即：，求出，利用即可求得与的关系式； （3）当时，求得，进而可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，可求得交点，由两点间距离公式可得：，，，，， 过点作交于，可解得，，即可得，进而可得，延长使得，过点作交于，易证得，可证得，进而可证，则，结合题意易知为等腰直角三角形，设，则，利用相似三角形所列比例关系可得，由，，可得，进而可得，通过的面积为9，即，可得，则，，设，，，，可列方程，，求得，，进而可得的解析式为：，联立直线与抛物线可得：，可求得点的横坐标为． 【小问1详解】 解：令，则，解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 将代入，可得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点作轴，交x轴于点E，如图所示： ∵轴， ∴， ∴， ∵点是第四象限抛物线上一点，点的横坐标为，则纵坐标为， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为： ， ∴与的关系式为； 【小问3详解】 解：当时，即，可得， 则， 即：， 设直线的解析式为：， 将，代入中可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：， 即， 由，，，，， 由两点间距离公式可得： ，，，，， 如图，过点作交于， 则， 即， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，即 又∵，即， ∴， 如图，延长使得，过点作交于， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，即， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 又∵的面积为9，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∵点在线段上，则点在点上方， 则设，，，， ∴， 解得，（舍去）， 则， ， 解得，（舍去）， 则， ∴，， 设的解析式为：，代入，，可得 ， 解得： ， ∴的解析式为：， 联立直线与抛物线可得：， 解得：， 由题意可知点的横坐标为负值， ∴点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $