专题 10.5 用二元一次方程组解决问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 10.5 用二元一次方程组解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】列方程解应用题的基本关系量 1 【知识点二】二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 1 【知识点三】列方程组解应用题的常见题型： 2 【题型 1】方案问题 2 【题型 2】行程问题 3 【题型 3】营销问题 4 【题型 4】古代问题 5 【题型 5】分配问题 6 【题型 6】图形表格问题 7 【题型 7】几何问题 8 【题型 8】工程问题 9 【题型 9】和差倍分问题 10 【题型 10】年龄问题 11 【题型 11】电费和水费问题 11 【题型 12】其他问题 13 二.同步检测 14 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （三） 解答题（共6题，前四题每小题9分，后两题每小题10分合56分） 17 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】列方程解应用题的基本关系量 （1）行程问题：速度×时间=路程； （2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量 （3）浓度问题：溶液×浓度=溶质； （4）银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间 （5）顺水速度=静水速度+水流速度； （6）逆水速度=静水速度-水流速度； 【知识点二】二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 （1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系（审题，寻找等量关系）； （2）考虑如何根据等量关系设元，列出方程组（设未知数，列方程组）； （3）列出方程组并求解，得到答案； （4）解方程组； （5）检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意（检验，答）。 【知识点三】列方程组解应用题的常见题型： （1）和差倍总分问题：较大量 = 较小量+多余量，总量 = 倍数倍量 （2）产品配套问题：加工总量成比例 （3）速度问题：速度×时间 = 路程 （4）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类： ①顺流（风）：航速 = 静水（无风）中的速度+水（风）速 ②逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速 （5）工程问题：工作量 = 工作效率×工作时间 一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题 （6）增长率问题：原量×（1+增长率）= 增长后的量,原量（1+减少率）=减少后的 量 （7）利润问题：利润=售价 - 进价,利润率 =（售价 - 进价）÷进价×100% （8）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量 【题型 1】方案问题 【例题1】（据苏科版七下106页习题第2题改编）（23-24七年级下·河南开封·期末）科技改变世界，越来越多的高科技应用于日常的生产生活中，比如：快递分拣机器人，无人机放牧，智能化无人码头装卸等．在刚过去的6·18年中大促销期间快递公司的业务量猛增，某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人分拣快递包裹，若A型机器人每台工作2小时，B型机器人每台工作4小时，一共可以分拣960件包裹；若A型机器人每台工作3小时，B型机器人每台工作2小时，一共可以分拣840件包裹． （1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A，B两种机器人共120台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于19800件，求至少应购进A种机器人多少台？ 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2】（24-25九年级上·重庆·月考）一批旅客决定分乘几辆大汽车；并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有____________辆汽车，这批旅客有____________人． 【变式3】（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． （1）求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； （2）若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【题型 2】行程问题 【例题2】（据苏科版七下105页例题5改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． （1）求甲，乙两人的速度； （2）甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【变式1】（据苏科版七下107页练习8改编）（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： （1）小明时看到的两位数为 ； （2）小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； （3）请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为，小明骑山地车的速度是，小强骑自行车的速度是，若小强先出发，则小明追上小强时，两人距离B地________． 【变式3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型 3】营销问题 【例题3】（23-24七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件? （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·湖南长沙·月考）“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【题型 4】古代问题 【例题4】（据苏科版七下101页练习第1题改编）（24-25七年级下·江苏苏州·期末）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完，牧童有多少人，竹竿有多少根？请你解决这个问题．设牧童人，竹竿根，则可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则_________， _________． 【变式3】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【题型 5】分配问题 【例题5】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【变式1】（25-26八年级上·山西太原·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】  （24-25七年级下·全国·课后作业）有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货_____t． 【变式3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【题型 6】图形表格问题 【例题6】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 （1）请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ （2）参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ （3）晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【变式2】  （2025·陕西咸阳·模拟预测）九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1~9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中的值为_______． 7 6 1 【变式3】（24-25七年级下·重庆永川·期末）列方程（组）或不等式（组）解下列应用题． 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，其中丙种产品个数是乙种产品个数的5倍，生产每个产品所需的时间和产值如下表所示，且每周生产三种产品所需的总时间是，总产值是16万元． 产品种类 甲种 乙种 丙种 时间/h 产值/万元 （1）每周能生产甲、乙、丙三种产品各多少个？ （2）某店欲以产值价购进这三种产品共80个，考虑市场需求和资金周转，其中丙种产品购进30个，而购买这80个零件的总资金多于万元，但不超过万元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【题型 7】几何问题 【例题7】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． （1）若，，则 °． （2）若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【变式2】  （25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为______． 【变式3】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点的对应点为比的3倍大，求和的度数． 【题型 8】工程问题 【例题8】（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·月考）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（） A． B． C． D． 【变式2】  （24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【变式3】（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． （1）根据题意列出方程组； （2）求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【题型 9】和差倍分问题 【例题9】（据苏科版七下111页复习题第13题改编）（23-24七年级上·全国·课后作业）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·月考）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【变式2】  （25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有_______名同学，捐款50元的有_____名同学． 【变式3】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【题型 10】年龄问题 【例题10】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】  （24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【题型 11】电费和水费问题 【例题11】（据苏科版七下102页例题2改编）（24-25七年级下·江苏盐城·月考）某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量 水费/元 甲户 乙户 （1）求该市居民用水的两种水价． （2）该市丙户居民去年交水费元，那么丙户居民去年的用水量为多少立方米？ 【变式1】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米（含），阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米（含），超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 （1）请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ （2）今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·月考）为了鼓励市民节约用水，盐城市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是盐城市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 超过17吨不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费自来水费污水处理费） 已知小明家2015年2月份用水20吨，交水费66元；3月份用水35吨，交水费150元． （1）求a、b的值． （2）实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费为每吨元？ 【变式3】（23-24七年级上·广西贺州·期末）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式，当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费，已知王阿姨家六月份用水量为，缴纳水费29元，七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费元． （1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ （2）某户某月缴纳水费为元时，用水量为多少？ 【题型 12】其他问题 【例题12】（据苏科版七下101页练习第2题改编）（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为8元/辆，小型汽车的停车费为5元/辆．现在停车场内停有100辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费590元，求中、小型汽车各有多少辆？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是______． 【变式3】（2026·广西钦州·一模）2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 5．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知买20支铅笔、3块橡皮共需32元，买39支铅笔、5块橡皮共需58元，则购买10支铅笔与10块橡皮共需（    ）元． A．16 B．60 C．30 D．66 6．（25-26八年级上·四川成都·期末）《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（25-26八年级上·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在笔直的公路上相距6km，两人同向而行，甲3h可追上乙；相向而行，1h相遇．乙的平均速度为_______km/h． 10．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为____________ 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是_____． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底25个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有110张白铁皮，用______张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为____________元 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L． 15．（2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组：________． （3） 解答题（共6题，前四题每小题9分，后两题每小题10分合56分） 17．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）今有鸡兔同笼，上有二十四头，下有七十四足，问鸡兔各几何？ 18．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射．某商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型共需要元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型共需要元．求两种模型的进货单价？ 19．（25-26八年级上·全国·期末）一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 20．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． （1）请根据题意，列出二元一次方程组； （2）宿舍有多少间？学生有多少人？ 21．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： （1）1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？ 22．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． （1）满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ （2）若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.5 用二元一次方程组解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】列方程解应用题的基本关系量 1 【知识点二】二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 1 【知识点三】列方程组解应用题的常见题型： 2 【题型 1】方案问题 2 【题型 2】行程问题 6 【题型 3】营销问题 9 【题型 4】古代问题 11 【题型 5】分配问题 13 【题型 6】图形表格问题 15 【题型 7】几何问题 19 【题型 8】工程问题 22 【题型 9】和差倍分问题 25 【题型 10】年龄问题 27 【题型 11】电费和水费问题 30 【题型 12】其他问题 33 二.同步检测 36 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 36 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 41 （三） 解答题（共6题，前四题每小题9分，后两题每小题10分合56分） 46 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】列方程解应用题的基本关系量 （1）行程问题：速度×时间=路程； （2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量 （3）浓度问题：溶液×浓度=溶质； （4）银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间 （5）顺水速度=静水速度+水流速度； （6）逆水速度=静水速度-水流速度； 【知识点二】二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 （1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系（审题，寻找等量关系）； （2）考虑如何根据等量关系设元，列出方程组（设未知数，列方程组）； （3）列出方程组并求解，得到答案； （4）解方程组； （5）检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意（检验，答）。 【知识点三】列方程组解应用题的常见题型： （1）和差倍总分问题：较大量 = 较小量+多余量，总量 = 倍数倍量 （2）产品配套问题：加工总量成比例 （3）速度问题：速度×时间 = 路程 （4）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类： ①顺流（风）：航速 = 静水（无风）中的速度+水（风）速 ②逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速 （5）工程问题：工作量 = 工作效率×工作时间 一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题 （6）增长率问题：原量×（1+增长率）= 增长后的量,原量（1+减少率）=减少后的 量 （7）利润问题：利润=售价 - 进价,利润率 =（售价 - 进价）÷进价×100% （8）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量 【题型 1】方案问题 【例题1】（据苏科版七下106页习题第2题改编）（23-24七年级下·河南开封·期末）科技改变世界，越来越多的高科技应用于日常的生产生活中，比如：快递分拣机器人，无人机放牧，智能化无人码头装卸等．在刚过去的6·18年中大促销期间快递公司的业务量猛增，某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人分拣快递包裹，若A型机器人每台工作2小时，B型机器人每台工作4小时，一共可以分拣960件包裹；若A型机器人每台工作3小时，B型机器人每台工作2小时，一共可以分拣840件包裹． （1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A，B两种机器人共120台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于19800件，求至少应购进A种机器人多少台？ 【答案】（1）A种机器人每台每小时分拣180件包裹，B种机器人每台每小时分拣150件包裹；（2）至少应购进A种机器人60台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用； （1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，根据“A型机器人每台工作2小时，B型机器人每台工作4小时，一共可以分拣960件包裹；若A型机器人每台工作3小时，B型机器人每台工作2小时，一共可以分拣840件包裹”，列方程组求解即可； （2）设购进A种机器人a台，则购进B种机器人台，根据“新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于19800件”列不等式，求解即可． 解：（1）解：设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹， 由题意得：， 解得：， 答：A种机器人每台每小时分拣180件包裹，B种机器人每台每小时分拣150件包裹； （2）设购进A种机器人a台，则购进B种机器人台， 由题意得：， 解得：， 则至少应购进A种机器人60台． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·月考）一批旅客决定分乘几辆大汽车；并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有____________辆汽车，这批旅客有____________人． 【答案】 【分析】本题考查了数的整除、二元一次方程的应用，设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然，，由题意可得旅客人数为，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示出，从而可得，求出，再结合数的整除计算即可得解． 解：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然，， 由题意可得：旅客人数为，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示出， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴必为正整数， ∵为质数，只有和两个因数，且， ∴或， 如果，则，，不满足，不符合题意； 如果，则，，符合题意； ∴旅客人数为（人）， 故答案为：，． 【变式3】（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． （1）求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； （2）若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】（1）A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元；（2）共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 解：（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 【题型 2】行程问题 【例题2】（据苏科版七下105页例题5改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． （1）求甲，乙两人的速度； （2）甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【答案】（1）甲，乙两人的速度分别是；（2）出发时丙在甲，乙前面，丙的速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设甲，乙两人的速度分别为：，；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方，丙的速度是，根据题意列方程组即可得到结论． 解：（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，； 根据题意得，， 解得：， 答：甲，乙两人的速度分别为：； （2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方，丙的速度是． 【变式1】（据苏科版七下107页练习8改编）（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： （1）小明时看到的两位数为 ； （2）小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； （3）请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】（1）；（2），；（3），小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 解：（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为，小明骑山地车的速度是，小强骑自行车的速度是，若小强先出发，则小明追上小强时，两人距离B地________． 【答案】4.8 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小明追上小强时，两人距离B地，距离A地，根据“A，B两地之间的距离为”“ 小强先出发”列二元一次方程组，解方程组即可． 解：设小明追上小强时，两人距离B地，距离A地， 由题意，得， 解得， 即小明追上小强时，两人距离B地． 故答案为：4.8． 【变式3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】（1）A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒；（2）完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 解：（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【题型 3】营销问题 【例题3】（23-24七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件? （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】（1）该超市购进甲商品150件，乙商品90件；（2）以五折售出的乙商品有70件 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可； （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 解：（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由题意知，3a＝6b表示上山的路程等于下山的路程， ∴a表示上山用的时间，b表示下山用的时间， 由题意知，小明从家到山顶所用时间为12﹣8.5＝3.5（h）， 从山顶回到家所用时间为3﹣1＝2（h）， ∴上山比下山多用时间为：3.5﹣2＝1.5（h）， ∴a﹣b，故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·湖南长沙·月考）“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 【答案】 【分析】设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据他们的对话，列出方程组，即可求解． 解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：永州款的单价为元． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【答案】张老师购买种打折书籍本 【分析】本题考查了二元一次方程组和实际问题、二元一次方程的特殊解，关键是找到恰当的等量关系列方程或方程组；根据销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，列二元一次方程组即可求出的售价；根据购买了原价或打折的两种书籍，共花费元列方程分情况讨论求出种打折书籍的数量． 解：设书籍的售价为元/本，书籍的售价为元/本， 根据题意可得解得， 设张老师购买种打折书籍本，购买种打折书籍本， 购买原价种书籍本，则购买原价种书籍本， 根据题意可知，， 整理得， ∴， ∵，，，均为自然数， 为的倍数，且， 当时，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，， 当时，（舍）， 答：张老师购买种打折书籍本． 【题型 4】古代问题 【例题4】（据苏科版七下101页练习第1题改编）（24-25七年级下·江苏苏州·期末）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完，牧童有多少人，竹竿有多少根？请你解决这个问题．设牧童人，竹竿根，则可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，建立方程组。第一个条件“每人6竿多14竿”表示总竹竿数等于每人6竿的总数加14；第二个条件“每人8竿恰好用完”表示总竹竿数等于每人8竿的总数． 本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组是解题的关键． 解：设牧童人，竹竿根，则可列出方程组为， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和所列方程得到为每个足球的价格，为每个篮球的价格，进而得到的意义即可． 解：由题意和所列方程组可知：为每个足球的价格，为每个篮球的价格， ∴表示每个篮球比足球贵10元； 故选B． 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则_________， _________． 【答案】 【分析】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 设一只雀重x斤，一只燕重y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 解：设一只雀重x斤，一只燕重y斤， 根据题意，得 整理，得 解得， ∴一只雀重斤，一只燕重斤， 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【答案】甲有羊只，乙有羊只． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有羊只，乙原有羊只，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 解：设甲原有羊只，乙原有羊只， 根据题意得，， 解得：， 答：甲有羊只，乙有羊只． 【题型 5】分配问题 【例题5】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可． 解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【变式1】（25-26八年级上·山西太原·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系．根据题意找到等量关系：两袋的重量恰好相等，交换一枚后，原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两，列方程组即可得到答案． 解：由题意可得， 即 故选：D． 【变式2】  （24-25七年级下·全国·课后作业）有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货_____t． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，首先根据辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，列出二元一次方程组，解方程组求出一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨，然后再求出辆大货车与辆小货车一次可以运货多少吨． 解：设一辆大货车一次可以运货，一辆小货车一次可以运货， 根据题意可得：， 解得：， 辆大货车与辆小货车一次可以运货． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 【题型 6】图形表格问题 【例题6】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 （1）请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ （2）参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ （3）晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】（1）答对一道题得5分，答错一道题扣1分；（2）刘羽同学答对了16道题，答错了4道题；（3）不可能，理由见分析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 解：（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 解：由题意，得． 解得． 则安排20名工人生产镜片． 故选：B． 【变式2】  （2025·陕西咸阳·模拟预测）九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1~9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中的值为_______． 7 6 1 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准正确的等量关系，列出二元一次方程组． 利用九宫格的规则列出二元一次方程组求解即可． 解：根据题意可得 解得 故答案为：8． 【变式3】（24-25七年级下·重庆永川·期末）列方程（组）或不等式（组）解下列应用题． 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，其中丙种产品个数是乙种产品个数的5倍，生产每个产品所需的时间和产值如下表所示，且每周生产三种产品所需的总时间是，总产值是16万元． 产品种类 甲种 乙种 丙种 时间/h 产值/万元 （1）每周能生产甲、乙、丙三种产品各多少个？ （2）某店欲以产值价购进这三种产品共80个，考虑市场需求和资金周转，其中丙种产品购进30个，而购买这80个零件的总资金多于万元，但不超过万元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）每周能生产甲种产品16个，乙种产品12个，丙种产品60个；（2）选择方案1：甲种13个，乙种37个，丙种30个，见分析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程组和不等式（组），通过求解方程组得到未知量的值，通过分析不等式（组）的解集确定符合条件的方案，体现了数学模型在实际问题中的应用． （1）首先根据“丙种产品个数是乙种产品个数的 5倍”设未知数，设乙产品为y个，则丙产品为个，甲产品为x个；再依据“每周生产三种产品所需的总时间是”和“总产值是16万元”这两个等量关系，分别列出关于 x 和y 的方程，组成方程组；最后解方程组，求出 x、y 的值，进而得到三种产品的个数． （2）先根据“三种产品共80个，丙种产品购进30个”确定甲、乙产品总数；设购进甲产品m个，从而表示出乙产品的个数；再根据“总资金多于万元，但不超过万元”列出不等式，求出m的取值范围；结合m为正整数确定可能的取值，最后根据甲、乙产品的单价特点，选择m的最小值，得到最省钱的购买方案． 解：（1）解：设每周能生产甲种产品x个，乙种产品y个，丙种产品个． 由题意，， 解得 答：每周能生产甲种产品16个，乙种产品12个，丙种产品60个． （2）设购进甲种产品m个，则购进乙种产品个， 由题意，，解得． ∵m为正整数，      ∴ 方案1：甲种13个，乙种37个，丙种30个， 费用为万元； 方案2：甲种14个，乙种36个，丙种30个， 费用为万元； 方案3：甲种15个，乙种35个，丙种30个， 费用为万元； ∵， ∴为了最省钱，选择方案1：甲种13个，乙种37个，丙种30个 【题型 7】几何问题 【例题7】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． （1）若，，则 °． （2）若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线，由的度数求出的度数，再利用对顶角相等得到的度数，最后结合角的和差运算，用减去的度数，即可求出的度数； （2）设、，根据角平分线得出，再通过角的和差分别表示出、，然后根据与、与的度数关系列出二元一次方程组，解出方程组的解后，代入求出的度数，最后利用对顶角相等即可得到的度数． 解：（1）解：∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，． ∵平分， ∴， ∴， ． 根据“比大”，得：； 根据“比大”，得：， 联立，得方程组：， 解得， 则， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 【变式2】  （25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意，正确列出方程组，求得小长方形的长和宽． 设小长方形的长和宽分别为，，则由题意可得，求得，即可求解． 解：设小长方形的长和宽分别为， 则由题意可得，即，解得 则小长方形的面积为， 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点的对应点为比的3倍大，求和的度数． 【答案】和的度数分别为和 【分析】本题考查折叠的性质，解二元一次方程组，由折叠前后对应角相等可得．设，，根据相关角之间的数量关系列二元一次方程组，解方程组即可 解：由折叠可知：． 设，，则． 根据题意得， 解得； 答：和的度数分别为和． 【题型 8】工程问题 【例题8】（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·月考）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据盒子底面的长建立长与宽的关系式，再分别表示出两块阴影部分的周长，最后求和化简得出结果． 解：设小长方形卡片的长为，宽为． 由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长， 即． 左边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 右边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 将两块阴影部分的周长相加并化简： 故选A 【点拨】本题解题关键是通过设未知数建立小长方形长与宽的关系，再利用长方形周长公式表示阴影部分周长，最后通过化简消去未知数得到结果，体现了代数方法在几何问题中的应用． 【变式2】  （24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 【变式3】（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． （1）根据题意列出方程组； （2）求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】（1）；（2）原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 解：（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 【题型 9】和差倍分问题 【例题9】（据苏科版七下111页复习题第13题改编）（23-24七年级上·全国·课后作业）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？ 【答案】这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元． 【分析】设文具店A，B两种类型毛笔的零售价分别为x元，y元，根据20×A型毛笔零售价+15×B型毛笔零售价+超过15支部分×（B型毛笔零售价-0.6）=共支付的钱数和20×A型毛笔零售价+超过20支部分×（A型毛笔零售价-0.4）+15×B型毛笔零售价+超过15支部分×（B型毛笔零售价-0.6）=共支付的数，从而列出方程组，再求解即可． 解：设文具店A，B两种类型毛笔的零售价分别为x元，y元，根据题意得： ， 解得：， 答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元． 【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组，特别是超出部分要另外计费． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·月考）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 【变式2】  （25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有_______名同学，捐款50元的有_____名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 【变式3】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 【题型 10】年龄问题 【例题10】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可． 解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错． 故选：D． 【变式2】  （24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 【题型 11】电费和水费问题 【例题11】（据苏科版七下102页例题2改编）（24-25七年级下·江苏盐城·月考）某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量 水费/元 甲户 乙户 （1）求该市居民用水的两种水价． （2）该市丙户居民去年交水费元，那么丙户居民去年的用水量为多少立方米？ 【答案】（1）基本水价为5元/m3，超过m3水价为7元/m3；（2）立方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解答本题的关键是根据题意列出x和y的二元一次方程组； （1）设基本水费价格为x元/立方米，超过的部分的水费价格为y元/立方米，列出方程组求解即可； （2）根据所交水费，列出一元一次方程求解即可． 解：（1）解：设基本水价为x元，超过水价为y元，依题意，得 ， 解得， 答：基本水价为5元，超过水价为7元． （2）设丙户居民去年的用水量为m立方米，依题意，得 ， 解得． 答：丙户居民去年的用水量为立方米． 【变式1】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米（含），阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米（含），超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 （1）请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ （2）今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】（1）；（2）小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 解：（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·月考）为了鼓励市民节约用水，盐城市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是盐城市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 超过17吨不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费自来水费污水处理费） 已知小明家2015年2月份用水20吨，交水费66元；3月份用水35吨，交水费150元． （1）求a、b的值． （2）实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费为每吨元？ 【答案】（1）；（2）该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据所给的收费标准结合用水20吨，交水费66元；用水35吨，交水费150元，列出方程组求解即可； （2）设居民用水位x吨，根据（1）所求，分三种情况列出对应的方程求解即可． 解：（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：设居民用水位x吨， 当时，由题意得，，解得，不符合题意； 当时，由题意得， ，解得； 当时，由题意得，，解得，不符合题意； 综上所述，该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元． 【变式3】（23-24七年级上·广西贺州·期末）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式，当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费，已知王阿姨家六月份用水量为，缴纳水费29元，七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费元． （1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ （2）某户某月缴纳水费为元时，用水量为多少？ 【答案】（1）该市一级水费的单价为元，二级水费的单价为元；（2）当缴纳水费为元，时，用水量为 【分析】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键． （1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解； （2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解． 解：（1）解：设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意， 得： 解得： 答：该市一级水费的单价为元，二级水费的单价为元 （2）∵（元），． ∴用水量超过． 设用水量为，依题意，得： ， 解得： 答：当缴纳水费为元，时，用水量为． 【题型 12】其他问题 【例题12】（据苏科版七下101页练习第2题改编）（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为8元/辆，小型汽车的停车费为5元/辆．现在停车场内停有100辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费590元，求中、小型汽车各有多少辆？ 【答案】中型汽车有30辆，小型汽车有70辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，列出关于x，y 的二元一次方程组求解即可解答． 解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆， 根据题意有：， 解得：， 答：中型汽车有30辆，小型汽车有70辆． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，图4中的“？”表示，将求得的值代入计算即可． 解：设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2026·广西钦州·一模）2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】（1）小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份；（2）小宇这天的脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． （1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份． （2）解：小宇这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵设应分成的组数为组，课外活动小组总人数是人， 根据“每组7人，余下3人”可得：，整理得， 根据“每组8人，少人”可得：，整理得， ∴可得方程组． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 5．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知买20支铅笔、3块橡皮共需32元，买39支铅笔、5块橡皮共需58元，则购买10支铅笔与10块橡皮共需（    ）元． A．16 B．60 C．30 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，铅笔单价为x元，橡皮单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组可求出x、y的值，进而计算10支铅笔与10块橡皮的总价． 解：设铅笔单价为x元，橡皮单价为y元． 根据题意得， 解得， ∴， ∴购买10支铅笔与10块橡皮共需60元， 故选：B． 6．（25-26八年级上·四川成都·期末）《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，需结合绳子折成三等份、四等份时与井深的数量关系，找出两个等量关系来列方程组即可． 解：设绳长尺，井深尺， ∵将绳子折成三等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多4尺， ∴， ∵将绳子折成四等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多1尺， ∴， ∴可列方程组为． 故选：A． 7．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据总卡纸数12张和每个包装盒所需侧面与底面的比例关系列出方程组求解即可． 解：设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面， 根据题意，得 解得 ， ∴ 可做包装盒个数为， 故最多可做4个包装盒． 故选：B． 8．（25-26八年级上·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在笔直的公路上相距6km，两人同向而行，甲3h可追上乙；相向而行，1h相遇．乙的平均速度为_______km/h． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲的平均速度是 km/h,乙的平均速度是 km/h，根据“若同向而行，甲h可追上乙；若相向而行，h相遇”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设甲的平均速度是 km/h，乙的平均速度是 km/h， 依题意得：，解得：． 答：甲的平均速度是km/h，乙的平均速度是km/h. 故答案为：. 10．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为____________ 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；根据图形及题意可直接列出方程组即可． 解：由图可知：，， ∴依据题意可得二元一次方程组为； 故答案为． 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是_____． 【答案】47 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意，列出方程组进行求解即可． 解：由题意，得：， 解得：； 故这个两位数为47； 故答案为：47． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底25个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有110张白铁皮，用______张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 【答案】50 【分析】本题以配套问题为背景考查了二元一次方程组的应用，解本题的关键是根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒列出方程组． 设用x张铁皮制盒身，用y张铁皮制盒底，根据题意列方程组求解即可． 解：设用x张铁皮制盒身，用y张铁皮制盒底， 依题意得， 解得． 所以用50张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 故答案为：50． 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为____________元 【答案】120 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论． 解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元， 依题意可得：， 解得：， ∴大套装的单价为120元． 故答案为：120． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L． 【答案】 7 5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．设甲种原料购买了，乙种原料购买了，根据该种营养液含的钾，购买原料共花费82元，列出方程组，解方程组即可． 解：设甲种原料购买了，乙种原料购买了， 根据题意得：， 解得：， 即甲种原料购买了，乙种原料购买了． 故答案为：7；5． 15．（2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组：________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组． 设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 解：设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h， 依题意，得： 故答案为： （3） 解答题（共6题，前四题每小题9分，后两题每小题10分合56分） 17．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）今有鸡兔同笼，上有二十四头，下有七十四足，问鸡兔各几何？ 【答案】鸡有11只，兔子13只 【分析】设有x只鸡，y只兔子．根据“上有二十四头，下有七十四足”列出方程组，求解即可． 解：设有x只鸡，y只兔子．根据题意，得 ， 解得． 答：鸡有11只，兔子13只． 18．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射．某商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型共需要元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型共需要元．求两种模型的进货单价？ 【答案】“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是从题目中提取两个等量关系，列出方程组求解．先设两种模型的进货单价为未知数，再根据“1个‘神舟’模型和3个‘天宫’模型共元”“2个‘神舟’模型和1个‘天宫’模型共元”这两个条件列出二元一次方程组，最后通过代入消元法解方程组得到两种模型的进货单价． 解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 根据题意，得，解得：， 答：“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 19．（25-26八年级上·全国·期末）一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨；（2）见分析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． 设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，根据题意列方程组为，解方程组即可； 设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．依题意得，则，根据，n均为正整数得到或或，即共有3种租车方案． 解：（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，依题意，得 解得 因此，甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车． 依题意，得， 则， ，n均为正整数， 则或或 即共有3种租车方案， 方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车； 方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车． 20．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． （1）请根据题意，列出二元一次方程组； （2）宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】（1）；（2）宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 解：（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： （1）1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】（1）辆A型车载满萝卜一次可运送吨，辆B型车载满萝卜一次可运送吨；（2）方案有种，详见分析 【分析】（1）根据题意建立等量关系构造二元一次方程组即可求解； （2）根据型车加型车构造方程求整数解即可． 解：（1）解：设辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨； （2）解：根据题意得：， ，都是正整数， 或或， 该物流公司的租车方案有种： 租用辆型车，辆型车 租用辆型车，辆型车； 租用辆型车，辆型车． 22．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． （1）满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ （2）若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 【答案】（1）每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设满载时1辆A型货车一次可以运x吨柑橘，1辆B型货车一次可以运y吨柑橘，根据“用1辆A型车和1辆B型车一次可运柑橘5t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）设租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，根据柑橘24吨，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可得解． 解：（1）解：设每辆型车满载时一次可运柑橘吨，每辆型车满载时一次可运柑橘吨，由题意可得： ， 解得：， 答：每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）解：设租用型车辆，型车辆，由题意可得： ， ∴ 均为正整数， ， 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； ∴最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $