专题 11.6 不等式与不等式组全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 11.6 不等式与不等式组全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【知识点二】不等式的基本性质 1 【知识点三】一元一次不等式解法 2 【知识点四】解一元一次不等式组 2 【知识点五】用一元一次不等式（组）解决问题 2 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 3 【题型 2】利用不等式基本性质判断证明 3 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 3 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 4 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 4 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 5 【题型 7】已知不等式（组）的解集，求参数的值或范围 5 【题型 8】一元一次不等式组与二元一次方程组综合 6 【题型 9】用一元一次不等式（组）解决问题——分配问题 6 【题型 10】用一元一次不等式（组）解决问题——方案选择问题 7 【题型 11】用一元一次不等式（组）解决问题——利润问题 8 二.同步检测 9 （一）选择题（共10题，每小题4分，合计40分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三）解答题（共5题，每小题9分，合计45分） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 这样用符号“”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【知识点二】不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 【知识点三】一元一次不等式解法 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 【知识点四】解一元一次不等式组 解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 【要点提示】（1）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集；（2）借助数轴或口诀，找出两个解集的公共部分；（3）公共部分即为不等式组的解集，无公共部分则无解。 【知识点五】用一元一次不等式（组）解决问题 解题步骤： （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：写出完整答案。 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【点拨】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【题型 2】利用不等式基本性质判断证明 【例题2】（2026九年级下·福建福州·专题练习）已知实数a，b，c，m，n满足，，且时，求证： 【变式1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（2026·广西南宁·二模）若，则______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）无论m为何值，是否一定有？试说明理由． （2）已知，试比较与的大小，并说明理由． 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1） （2） 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 【例题4】（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知同时满足方程：①，②． （1）如果，求的值； （2）如果，求的取值范围． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）如果方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x，y的方程组，且x，y满足．求a的取值范围． 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： （1） （2） 【变式1】（2026·山西晋中·二模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）不等式组解集是_____． 【变式3】（2023九年级·山东·专题练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 【例题6】（重庆市文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试数学学科试题）求不等式组：的整数解． 【变式1】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）关于的不等式组的整数解之和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南怀化·一模）请写出不等式组 的一个整数解：__________． 【变式3】（25-26七年级下·海南海口·期中）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【题型 7】已知不等式（组）的解集，求参数的值或范围 【例题7】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【变式3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【题型 8】一元一次不等式组与二元一次方程组综合 【例题8】（25-26七年级下·广西桂林·月考）关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【变式1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·四川·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知关于，的方程组 （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：． 【题型 9】用一元一次不等式（组）解决问题——分配问题 【例题9】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）每年的6月5日为世界环境日，某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？（要求列不等式求解） 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【变式2】（2026·广东汕头·一模）2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者，要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为_______人． 【变式3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【题型 10】用一元一次不等式（组）解决问题——方案选择问题 【例题10】（25-26七年级下·北京西城·期中）在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． （1）求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； （2）若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ （3）若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 【变式1】（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打球6小时，经服务生计算后，告知他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场？（    ） 飞扬俱乐部包场计费方案包场每场每 小时90元，每人须另付入场费10元 人数计费方案每人打球3小时54 元，接着续打球每人每小时8元 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式_____． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【变式3】（25-26七年级上·天津河北·月考）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． （1）若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ （2）根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【题型 11】用一元一次不等式（组）解决问题——利润问题 【例题11】（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； （1）根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； （2）受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某品牌手机进价为每部800元，标价为每部1200元，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最低可打_______折． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知2箱甲种猕猴桃和3箱乙种猕猴桃的售价之和为460元；5箱甲种猕猴桃和2箱乙种猕猴桃的售价之和为600元． （1）求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20箱，总花费不超过1800元，且乙种猕猴桃的箱数不少于8箱．该公司有哪几种购买方案？ 二.同步检测 （一）选择题（共10题，每小题4分，合计40分） 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南永州·期中）不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）已知，那么下列不等式组中，无解的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期末）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）小明的体重是，小亮的体重是，小明的肺活量是，小亮的肺活量是，肺活量体重指数公式是肺活量体重，小明比小亮的肺活量体重指数至少大1，则下列不等式表达正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则a的取值范围是________． 12．（25-26八年级下·全国·单元测试）若是关于的一元一次不等式，则值为________． 13．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是______． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）请写出一个关于x的不等式组，其不等式组的解集如图所示，则这个不等式组是________． 15．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 16．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于的不等式有且只有两个正整数解，则的取值范围为__________． 17．（25-26九年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． （3） 解答题（共5题，每小题9分，合计45分） 19．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组） （1）． （2） 20．（24-25七年级下·重庆铜梁·周测）求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来. （1）． （2）． 21．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 （1）已知，且，求的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围； （3）已知，且，，设，直接写出的取值范围． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：，． 又，．． 又，．① 同理可得．② 由①＋②得，． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． （1）已知，，，则的取值范围是______； （2）已知关于，的方程组的解均为正数，且，求的取值范围． 23．（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由可得，由可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请运用上述“整体思想”解决下列问题： 迁移应用： 已知关于x，y的方程组： （m是常数）． （1）若，求m的值； （2）若，求m的取值范围． 拓展探究： 七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58元，则购买1支铅笔、 1块橡皮、1本日记本共需多少元?并说明理由． 24．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌排球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． （2）[迁移类比] 小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求A、B两种品牌排球的单价． （3）[拓展探究] 老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，问：学校共有几种购买方案，并求出最省钱的购买方案？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.6 不等式与不等式组全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【知识点二】不等式的基本性质 2 【知识点三】一元一次不等式解法 2 【知识点四】解一元一次不等式组 2 【知识点五】用一元一次不等式（组）解决问题 3 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 3 【题型 2】利用不等式基本性质判断证明 4 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 6 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 9 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 11 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 12 【题型 7】已知不等式（组）的解集，求参数的值或范围 14 【题型 8】一元一次不等式组与二元一次方程组综合 17 【题型 9】用一元一次不等式（组）解决问题——分配问题 19 【题型 10】用一元一次不等式（组）解决问题——方案选择问题 21 【题型 11】用一元一次不等式（组）解决问题——利润问题 25 二.同步检测 29 （一）选择题（共10题，每小题4分，合计40分） 29 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 33 （三）解答题（共5题，每小题9分，合计45分） 36 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 这样用符号“”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【知识点二】不等式的基本性质 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果那么. 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 【知识点三】一元一次不等式解法 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 【知识点四】解一元一次不等式组 解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 【要点提示】（1）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集；（2）借助数轴或口诀，找出两个解集的公共部分；（3）公共部分即为不等式组的解集，无公共部分则无解。 【知识点五】用一元一次不等式（组）解决问题 解题步骤： （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：写出完整答案。 【题型 1】不等式与一元一次不等式的判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 解：、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意； 故选：． 【点拨】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义及绝对值的性质即可确定出m的值． 解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 则 ∴． 【题型 2】利用不等式基本性质判断证明 【例题2】（2026九年级下·福建福州·专题练习）已知实数a，b，c，m，n满足，，且时，求证： 【答案】见分析 【分析】本题利用完全平方公式的非负性证明不等式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式得到，得到，即可得到结论． 解：证明：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案 解：对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∵ ， ∴ ，A错误； 对于选项B，举反例，当 ， 时，满足 ，但 ，，，B错误； 对于选项C，若 ，当 时，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，可得 ，C错误； 对于选项D，∵ ，平方数非负，因此得 ， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D正确 【变式2】（2026·广西南宁·二模）若，则______． 【答案】 【分析】不等式的性质：①不等号的两边同时加上（减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等号的两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；③不等号的两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行判断即可． 解：∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）无论m为何值，是否一定有？试说明理由． （2）已知，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）一定，理由见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质1求解即可； （2）根据不等式的性质2求解即可． 解：（1）无论m为何值，一定有． 理由：∵， ∴，即． （2）． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵． 【题型 3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），数轴见分析；（2），数轴见分析 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 解：（1）解：， 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 用数轴表示为： （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得， 用数轴表示为： 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，即可得解． 解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，用数轴表示不等式的解集，根据不等式的解集求参数，根据新定义，列出不等式，求出不等式的解集，结合数轴，确定的值即可． 解：由题意，得：▲， 解得：， 由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为： 【变式3】（25-26七年级下·重庆·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1） （2） 【答案】（1），见详解；（2），见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照解不等式的步骤求解即可； （2）按照解不等式的步骤求解即可；系数化为时，注意不等号的方向是否变化. 解：（1）解： 去括号得， 移项得 合并同类项得 系数化为1得， 在数轴上表示为： （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得. 在数轴上表示为： 【题型 4】利用不等式的解求参数的值或范围 【例题4】（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知同时满足方程：①，②． （1）如果，求的值； （2）如果，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入法求出x，y的值，然后再求的值． （2）先用k表示出x，y，再根据，列出关于k的一元一次不等式求解即可． 解：（1）解：由，得， 把代入方程①，得， 解得， 把代入，得， ∴． （2）解：方程①②，得 ，解得， 把代入方程①，得 ，， ∵， ∴， 解这个不等式，得, ∴的取值范围是． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导的取值范围。 解：∵非负整数为 ，不等式的解集有且只有两个非负整数， ∴符合条件的两个非负整数只能是和， ∵解集需要包含和，且不能包含下一个非负整数， ∴可得． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）如果方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由方程组可得出，结合，可得，解出的取值范围即可． 解：， 得， 即， 若， 可得， 解得． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x，y的方程组，且x，y满足．求a的取值范围． 【答案】 【分析】求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于a的不等式组解答即可求解； 解：解二元一次方程组，得 ， ∴， ∴， 解得； 【题型 5】解一元一次不等式组并找公共解集 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）（2）根据解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀求出各个不等式组的解集即可． 解：（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． 【变式1】（2026·山西晋中·二模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集即可． 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）不等式组解集是_____． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到不等式组的解集即可． 解：， 解不等式，不等式两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得； 解不等式，移项得， 合并同类项得， 不等式组的解集为． 【变式3】（2023九年级·山东·专题练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见分析 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 故原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下： 【题型 6】不等式组的整数解、非负整数解问题 【例题6】（重庆市文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试数学学科试题）求不等式组：的整数解． 【答案】，0，1，2 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 则不等式组的整数解为：，0，1，2． 【变式1】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）关于的不等式组的整数解之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集中的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 解： 移项合并同类项得 系数化为1得 两边同乘2得 整理得 系数化为1得 ∴ 不等式组的解集为 ∴ 不等式组的整数解为 整数解之和为 【变式2】（2026·湖南怀化·一模）请写出不等式组 的一个整数解：__________． 【答案】3（或4） 【分析】按照解一元一次不等式的方法分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的整数即可． 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为 ， 不等式组的整数解为，．，填写其中一个即可． 【变式3】（25-26七年级下·海南海口·期中）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集为，解集在数轴上表示见分析，不等式组的整数解为 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ∴不等式组的整数解为． 【题型 7】已知不等式（组）的解集，求参数的值或范围 【例题7】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】（1）；（2）整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 解：（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 【变式2】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或． 【变式3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 【题型 8】一元一次不等式组与二元一次方程组综合 【例题8】（25-26七年级下·广西桂林·月考）关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【答案】 【分析】利用代入消元法，得出，再代入不等式求解即可． 解：， 由得：， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 【变式2】（25-26八年级下·四川·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据加减消元法，得出，再结合，得到关于的不等式求解即可． 解：， 由得：， ， ， ， 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知关于，的方程组 （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）方法一：先求出方程组的解，再根据方程组的解满足列出关于m的一元一次方程，再解方程即可；方法二：由①②可得，求出m的值即可． （2）由（1）中求出的方程组的解，再根据x，y的取值范围列出不等式组，即可求出m的取值范围． （3）先根据（2）中求出的m的取值范围判断绝对值内式子的正负，进而化简绝对值即可． 本题考查二元一次方程组的解法以及不等式组的求解，绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组的解法以及解不等式组是解题的关键． 解：（1）解：， 方法一：①②得， ， ①②，得， ， ， ， 解得． 方法二：①②得， ， ， 解得． （2）解：由（1）知，， ∵为非正数，为负数， ∴，， ， 解得． （3）解：， ，， ． 【题型 9】用一元一次不等式（组）解决问题——分配问题 【例题9】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）每年的6月5日为世界环境日，某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？（要求列不等式求解） 【答案】至少需要60名八年级学生参加活动 【分析】设需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个，由收集塑料瓶总数不少于1500个建立不等式求解即可． 解：设至少需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个． ， 解得， ∴至少需要60名八年级学生参加活动． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 【变式2】（2026·广东汕头·一模）2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者，要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为_______人． 【答案】67 【分析】设男生有人，根据男生人数多于女生人数的2倍，列出不等式进行求解即可. 解：设男生有人， 由题意，得，解得， ∴的最小整数解为67，即男生最少为67人. 【变式3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【题型 10】用一元一次不等式（组）解决问题——方案选择问题 【例题10】（25-26七年级下·北京西城·期中）在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． （1）求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； （2）若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ （3）若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 【答案】（1）甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元；（2）购买乙种书柜至少有14个；（3）共有3种购买方案，购买甲种书柜12个，乙种书柜12个时花费最少 【分析】（1） 根据两种购买情况列二元一次方程组求解单价． （2） 根据预算全部用完列方程，结合甲种书柜不超过10个且个数为非负整数，求乙种书柜的最小值． （3） 根据总数24个、乙不少于甲、不超出预算列不等式组确定甲种书柜的取值范围，再计算各方案花费进行比较． 解：（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为元， 由题意得：， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 去括号，得：， 合并，得：， 解得：， 将代入，得：， 答：甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元． （2）设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜个，m，n均为非负整数， 由题意得：， 化简，得：， 变形，得：， ， 要使最小，需取最大值， 将代入，得：， 答：购买乙种书柜至少有14个． （3）解：设购买甲种书柜a个，则购买乙种书柜个，为非负整数， 由题意得：， 解第一个不等式，得：， 解第二个不等式，得：， ， 不等式组的解集为， 为整数， 的取值为10，11，12，对应共有种购买方案， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， ∵ ， ∴ 当时花费最少， 答：共有种购买方案，购买甲种书柜12个、乙种书柜12个时花费最少． 【变式1】（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打球6小时，经服务生计算后，告知他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场？（    ） 飞扬俱乐部包场计费方案包场每场每 小时90元，每人须另付入场费10元 人数计费方案每人打球3小时54 元，接着续打球每人每小时8元 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设共有人，分别计算选择包场计费和人数计费的费用，然后根据包场计费方案比人数方案便宜，列出不等式求解即可． 解：设共有人， 包场计费方案费用为：（元）， 人数计费方案费用为：（元）， 由题意得，， 解得：， 人数为正整数， 至少有8人， 故选：B． 【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找到不等关系，列出不等式求解是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式_____． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是找出不等关系列出不等式．根据表中数据列出不等式求解，即可． 解：依题意，得， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·天津河北·月考）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． （1）若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ （2）根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【答案】（1）方案一：10000元，方案二：10800元；（2）当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据已知条件列出不等式是解题的关键． （1）根据方案一，买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，计算总价；方案二所有商品打九折，计算总价即可； （2）分别列出方案一和方案二的付款表达式，比较大小，确定省钱的方案即可． 解：（1）解：购买洗衣机10台，电磁炉20台， 方案一：买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，付款为 （元） 方案二：所有商品按付款，付款为 （元） 因此，方案一需付款10000元，方案二需付款10800元； （2）解：设购买电磁炉x台（）， 方案一付款为：， 方案二付款为：， ， 当，即时，，则方案一省钱； 当，即时，，则方案二省钱； 当，即时，，则两种方案付款相同， 因此，当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可． 【题型 11】用一元一次不等式（组）解决问题——利润问题 【例题11】（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； （1）根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； （2）受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】（1）星曜生产台，则雷霆生产台；（2）该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 解：（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某品牌手机进价为每部800元，标价为每部1200元，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最低可打_______折． 【答案】七 【分析】设该手机打折，根据利润率不低于的要求列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 解：设该手机可打折， 由题意得 ， 解得 ， 即最低可打折． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知2箱甲种猕猴桃和3箱乙种猕猴桃的售价之和为460元；5箱甲种猕猴桃和2箱乙种猕猴桃的售价之和为600元． （1）求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20箱，总花费不超过1800元，且乙种猕猴桃的箱数不少于8箱．该公司有哪几种购买方案？ 【答案】（1）甲种猕猴桃每箱80元，乙种猕猴桃每箱100元；（2）共有三种：①购买甲种猕猴桃12箱，乙种猕猴桃8箱；②购买甲种猕猴桃11箱，乙种猕猴桃9箱；③购买甲种猕猴桃10箱，乙种猕猴桃10箱 【分析】（1）设甲种猕猴桃每箱元，乙种猕猴桃每箱元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可得出答案． （2）设该合作社购买乙种猕猴桃箱，则购买的甲种猕猴桃为箱，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，进而可求出答案． 解：（1）解：设甲种猕猴桃每箱元，乙种猕猴桃每箱元， 依题意，得， 解得 答：甲种猕猴桃每箱80元，乙种猕猴桃每箱100元； （2）解∶设该合作社购买乙种猕猴桃箱，则购买的甲种猕猴桃为箱， 依题意，得， 解这个不等式得，． 又因为，所以， 因为为整数，所以的取值为8，9，10． 当时，； 当时，； 当时，， 该公司购买甲、乙两种猕猴桃的方案共有三种： ①购买甲种猕猴桃12箱，乙种猕猴桃8箱； ②购买甲种猕猴桃11箱，乙种猕猴桃9箱； ③购买甲种猕猴桃10箱，乙种猕猴桃10箱. 二.同步检测 （一）选择题（共10题，每小题4分，合计40分） 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合不等式性质对各选项逐一判断即可． 解：∵，， A项：不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，可得，故A错误； B项：不等式两边同时加c，不等号方向不变，可得，故B错误； C项：不等式两边同时乘负数c，不等号方向改变，可得，故C正确； D项：不等式两边同时减c，不等号方向不变，可得，故D错误． 2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可． 解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·湖南永州·期中）不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 5．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）已知，那么下列不等式组中，无解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先根据已知条件推导各数的大小关系，再利用一元一次不等式组的解集判定规则判断无解的选项． 解：∵， ∴不等式两边同乘，不等号方向改变，可得， 即整体大小关系为； 根据一元一次不等式组解集判定规则逐一判断： A选项，可得解集为，有解； B选项，要求同时满足且，，不存在数既小于较小的，又大于较大的，该不等式组无解； C选项，可得解集为，有解； D选项，可得解集为，有解； 因此无解的是B选项． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期末）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围 解：解不等式，得 ∵解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有3个整数解，这3个整数解为 ∴要使能取到且取不到，需满足 故选：A． 7．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 8．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）小明的体重是，小亮的体重是，小明的肺活量是，小亮的肺活量是，肺活量体重指数公式是肺活量体重，小明比小亮的肺活量体重指数至少大1，则下列不等式表达正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据公式分别计算小明和小亮的肺活量体重指数，再根据“小明比小亮的肺活量体重指数至少大1”的不等关系列出不等式，即可选出正确选项． 解：∵肺活量体重指数公式：肺活量体重， ∴小明的肺活量体重指数为：， 小亮的肺活量体重指数为：， ∵小明比小亮的肺活量体重指数至少大1， 小明的肺活量体重指数小亮的肺活量体重指数， ∴， 故选C． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序运算规则，第1次、第2次运算结果不大于29，第3次运算结果大于29，据此列出一元一次不等式组求解即可.． 解：由题意可知，程序运算进行了3次才停止，说明前两次运算结果均不大于29，第三次运算结果大于29， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为：， 根据题意列出不等式组为： 解得， 此时，符合题意， 故选：A． 10．（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 解：解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个整数解，小于的符合条件的两个整数为和， ∴， 解得， ∴范围内的整数为， 解关于的方程，得， ∵为非负整数，，可得，且是的正因数， ∴符合条件的为，对应可得，， ∴所有满足条件的整数的和为． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 解：，， 12．（25-26八年级下·全国·单元测试）若是关于的一元一次不等式，则值为________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义可得，的次数等于，且的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 验证：当时，，即符合条件． 13．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出关于x的方程的解，再根据方程的解是非负数，列出不等式求解a的取值范围即可． 解：解关于x的方程，得， ∵关于x的方程的解是非负数， ∴， 解得． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）请写出一个关于x的不等式组，其不等式组的解集如图所示，则这个不等式组是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需写出两个不等式，其解集的交集恰好为即可 解：观察数轴发现：一个不等式的解集为，一个不等式的解集为，且这个不等式组的解集为， 因此，这个不等式组是． 15．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 16．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于的不等式有且只有两个正整数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先表示出不等式的解集，再根据不等式只有两个正整数解，确定m的取值范围即可． 解：解得， 关于x的不等式有且只有两个正整数解， 其正整数解为和， ， ． 17．（25-26九年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组解集的确定法则，得到关于a的不等式，计算求解即可． 解：解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． （3） 解答题（共5题，每小题9分，合计45分） 19．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组） （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先去括号，再移项合并，即可得到不等式的解集； （2）分别求解两个不等式，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 解：（1）解： 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20．（24-25七年级下·重庆铜梁·周测）求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来. （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）解一元一次不等式按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可； （2）解不等式组需要先分别解出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到最终结果，然后在数轴上表示解集，注意带等号是实心，不带等号，是空心． 解：（1）解： 不等式两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 数轴表示为： 21．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 （1）已知，且，求的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围； （3）已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 解：（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：，． 又，．． 又，．① 同理可得．② 由①＋②得，． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． （1）已知，，，则的取值范围是______； （2）已知关于，的方程组的解均为正数，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了不等式的性质，求二元一次方程组的解集，不等式组． （1）仿照示例作答即可； （2）先求出二元一次方程组的解集，根据“解均为正数”列不等式组求出a的取值范围，进而求出b的取值范围，即可求出的取值范围． 解：（1）解：， ． 又， ． ． 又， ．① 同理可得．② 由①＋②得，， 故答案为：； （2）， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴， ∵关于，的方程组的解均为正数， ∴即， 解得， ∵， ∴， 即， ∴． 23．（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由可得，由可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请运用上述“整体思想”解决下列问题： 迁移应用： 已知关于x，y的方程组： （m是常数）． （1）若，求m的值； （2）若，求m的取值范围． 拓展探究： 七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58元，则购买1支铅笔、 1块橡皮、1本日记本共需多少元?并说明理由． 【答案】迁移应用：（1）；（2）；拓展探究：元，理由见分析 【分析】迁移应用：（1）根据,得：，求出，根据，得出，求出m的值即可； （2）根据,得：，得出，从而得出，解m的不等式组即可； 拓展探究：设购买 1支铅笔需a元，1块橡皮需 b元，1本日记本需c元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58元，列出方程组，解方程组即可． 解：迁移应用： 解: ， ,得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ,得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 拓展探究： 解： 购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 理由如下： 设购买 1支铅笔需a元，1块橡皮需 b元，1本日记本需c元， 由题意得： 得：， 所以购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 【点拨】本题主要考查了整体思想解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是熟练掌握整体思想，根据等量关系列出方程组． 24．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌排球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． （2）[迁移类比] 小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求A、B两种品牌排球的单价． （3）[拓展探究] 老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，问：学校共有几种购买方案，并求出最省钱的购买方案？ 【答案】（1）②；（2）A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元；（3）共有3种购买方案：方案1：购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个；方案2：购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个；方案3：购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个；最省钱的购买方案为方案1． 【分析】（1）根据所列方程得到题意； （2）设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元，根据“购买A种品牌的排球个，B种品牌的排球个，共花费元；A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，，根据“总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出共有种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 解：（1）解：根据方程可知，表示的是品牌排球的单价， ∵种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高元， ∴例题中被覆盖的条件是②； （2）解：设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元 根据题意得：， 解得： 答：A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元； （3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个， 依题意得：， 解得 又∵m为正整数 ∴m可以为23，24，25 ∴共有3种购买方案 方案1：购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个； 方案2：购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个； 方案3：购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个． 方案1：； 方案2：； 方案3：； ∵， ∴最省钱的购买方案为方案1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $