精品解析：吉林省长春市榆树市部分学校2025-2026学年度第二学期4月份阶段测试九年级数学试题

2025-2026学年度第二学期4月份阶段测试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 某公司抽捡盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（ ） A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 正负数 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正数与负数、绝对值，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准． 【详解】解：， 因为， 所以的绝对值最小． 所以这盒牛奶是最接近标准的． 故能对小明的判断作出解释的最好的数学概念是绝对值． 故选：A． 2. 2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得选项A的图形． 故选：A． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识，掌握幂的运算性质是关键；根据合并同类项知识可判断A；根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方可分别判断B、C、D． 【详解】解：A、，故等式不成立； B、，故等式不成立； C、，故等式成立； D、，故等式不成立； 故选：C． 4. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为步，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，设矩形田地的长为步，则宽为步，由矩形的面积长宽，即可得出关于的一元二次方程，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设矩形田地的长为 步，则宽为步， ∵一块矩形田地的面积为864平方步， 根据题意得：， 故选：A． 5. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴， ∴四边形中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得各角之间的关系和度数是解题的关键． 6. 近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆高9米，灯臂长1米，灯臂与水平面的夹角为，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点B作，垂足为E，延长交于点G，根据题意可得：米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：过点B作，垂足为E，延长交于点G， 由题意得：米，， 在中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴灯臂的最高点B到地面的距离为米， 故选：A． 7. 如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据由作图可知，利用三角形的外角的性质得出，进而结合，判断即可． 【详解】解：由作图可知， ，， ． 故选：B． 8. 如图，点在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数（）的图象上．轴交轴于点C．当为等腰三角形且面积为6，则k的值为（　　） ​ A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，作于D．连接交轴于点，可得，进一步得；设点，则点，点，根据即可求解； 【详解】解：如图，作于D．连接交轴于点， ∵为等腰三角形且面积为6， ∴的面积为3． ∵轴， ∴，即， 设点， ∵轴，， ∴点，点 ∵点在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数（）的图象上． ∴ ∴， 解得： 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 10. 某多项式按字母的降幂排列为：，则整数的值可能为______．（写出一个即可） 【答案】2（或3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式降幂排列的定义，解题的关键是熟练掌握多项式降幂排列的定义．先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义即可求解． 【详解】解：某多项式按字母的降幂排列为：， ∴m的整数值可能为3或2． 故答案为：2（或3）． 11. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求方差，根据题意计算两组数据的方差，即可求解． 【详解】解：甲组：、、、、，平均数为 乙组：、、、、．平均数为 ∴． 故答案为：． 12. 如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查弧长公式，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，得到是等边三角形，由旋转的性质得到，利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：连接， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点运动的路径长是， 故答案为． 13. 在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________． 【答案】5 【解析】 【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答． 【详解】解：设过，则有： ，解得：，则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 14. 如图，在矩形中，．的角平分线交于点，连接，于点，连接并延长，交于点，连接．给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，的面积为．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义得到判断①；利用证明，即可得到，然后推导判断②；得到，可得，然后证明，根据对应边成比例判断③；得到，的值判断④；求出长，利用求出数值判断⑤解答即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ， ∴，故④错误； 当时，，， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、二次根式的加减运算等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 有三张正面分别标有数字，3，4的不透明卡片，它们除数字外都相同；现将它们背面朝上，洗匀后，从三张卡片中随机地抽出一张，记住数字后，将卡片放回，洗匀后，再从这三张卡片中随机抽出一张，记住数字．用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】利用列表法（树状图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图． 【详解】解：画出树状图，如下图所示： 那么一共有9种等可能的结果，其中和为偶数的结果有5种， （两次取出的卡片上的数字之和是偶数）． 17. 一次数学能力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，要使总分不低于75分，他至少要答对多少道题？ 【答案】他至少要答对16道题． 【解析】 【分析】设他答对x道题．根据题意，得，即可得到答案． 【详解】解：设他答对x道题． 根据题意，得， 解得， 因为x为整数，所以x最小取16． 答：他至少要答对16道题． 18. 如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，均在格点上，请按下列要求完成作图． （1）在图①中，以为边画直角三角形，使，且点在格点上； （2）在图②中，以为边画锐角三角形，使，且点在格点上； （3）在图③中，以为边画钝角三角形，使，且点在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）以为边画直角三角形，使，且点在格点上，有两种情况，一种情况是点是直角顶点，另一种情况是点是直角顶点； （2）以为边画锐角三角形，使，且点在格点上，有两种情况，一种情况是以点为顶点构造等腰直角，另一种情况是以点为顶点构造等腰直角； （3）以为边画钝角三角形，使，且点在格点上，有两种情况，一种情况是以为顶点构造等腰直角，另一种情况是以点为顶点构造等腰直角． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作且，连接， 则为等腰直角三角形，， ； 如下图所示，过点作且，连接， 则为等腰直角三角形，， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则有， 锐角即为所求； 如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则， 锐角即为所求； 【小问3详解】 解：如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则有， 钝角即为所求； 如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则有， 钝角即为所求； 20. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为：， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 21. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 22. 【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段． 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，顶点D在边上运动， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴点E的运动轨迹为过点F一条线段． 【问题解决】如图③，设直线交于点M． （1）的面积为__________； （2）线段的最小值为__________． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短求最值，等腰三角形的判定等知识点． [问题探究]先由得到，，再得到，，即可证明相似； [问题解决]（1）先证明，则，然后由勾股定理出，再由等积法得到，即可求解，再由勾股定理求，即可由三角形面积公式求解； （2）当时，取得最小值，由于，则由即可求解． 【详解】[问题探究] 解：补全过程： ∴，， ∴，； [问题解决] （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，取得最小值， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线向终点运动（点不与点重合），取线段的中点，连接，以为边、点为对称中心作． （1）______； （2）连接，当点在上且时，求的面积； （3）当点在线段上，且是矩形时，求线段的长； （4）作．当时，线段的长为______．（写出一个即可） 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（）设，，由勾股定理得，即得，据此即可求解； （）过点作于，可得，进而可得，，再利用三角函数和勾股定理可得，进而求出的面积即可求解； （）过点作于，可得，即得，得到，，设，则，，，即得，进而由得，解方程求出即可求解； （）分点在上，在下方和点在上，在上方两种情况，分别画出图形，可以相似三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵于点， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，线段的长为或； 【小问4详解】 解：当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解， ∴， ∵点是的中点， ∴； 当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b为常数）的对称轴为直线．点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上），过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为点B，以为边，以点O为对称中心作．设点A的横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点A在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； （3）当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，求m的取值范围； （4）当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）的长为或． （3） （4）或或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式，将已知对称轴代入，求出参数的值，即可确定抛物线的函数表达式； （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示出点、的坐标，结合平行四边形的中心对称性质，写出点、的坐标；再根据等腰直角三角形的直角边相等，分两种情况列出关于的方程，求解后得到的值，进而计算的长； （3）根据平行四边形的性质，得到线段是平行于轴的线段，纵坐标固定；结合线段与抛物线有两个公共点的条件，找出两个临界情况（点在抛物线上、线段与抛物线的临界位置），列出方程求出临界的值，结合图形位置关系确定的取值范围； （4）先将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的开口方向和对称轴，分析出抛物线的增减性；再结合平行四边形的位置，分情况讨论，确定的取值范围，使得抛物线在平行四边形内部的点满足随的增大而增大． 【小问1详解】 解：已知抛物线（为常数）的对称轴为直线， ∴，， ，解得， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：， 当时，，当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， 根据题意，抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， 点在抛物线对称轴右侧，且点A不在x轴上， ，且， ， 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，则， ， 四边形是以点为对称中心的平行四边形， 点与点、点与点分别关于原点对称， ，， 被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形， 分两种情况： ① 当在轴上方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时，过点D作延长线于点M，则平行于直线，， ∵点在直线的直线上，且关于原点成中心对称的点为点D， ∴点D在直线的直线上， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， 此时； ② 当在轴下方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时， 同理，，，，，， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， 此时； 综上，的长为或； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴线段平行于轴，纵坐标为， 线段与抛物线恰好有两个公共点，需满足以下临界情况： ① 当与抛物线顶点相切时，此时为上临界值， 此时的纵坐标， 整理得，， 解得，（舍去）； ② 当点刚好在抛物线上时，此时为下临界值， 将代入抛物线解析式：， 整理得，， 解得，（舍去）； 结合图形位置关系，线段与抛物线恰好有两个公共点时，的取值范围为：； 【小问4详解】 解：抛物线，开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，在对称轴左侧，随的增大而增大； 在对称轴右侧，随的增大而减小； 要使抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，需保证内部的抛物线部分全部位于对称轴的左侧， 已知，，，， 情况1：如图所示， 根据（3）的计算，当与抛物线相切于顶点处时，， ∴，， ∵， ∴此时平行四边形内部的抛物线在中，y随x的增大而减小，不符合题意； 当点抛物线上时，，此时平行四边形内部的抛物线，y随x的增大而增大，符合题意； ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当点刚好在左侧边界时，，如图所示， ∴此情况的取值范围为：； 情况2：如同所示，在对称轴右侧，轴上方时， 当点刚好落在抛物线上时，可求得；当点刚好在左侧边界时，； ∴此情况的取值范围为： ； 情况3：如同在对称轴右侧，轴下方时，即， 当线段刚好经过抛物线顶点时，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 把顶点代入得，， 整理得，， 解得，， ∴此情况的取值范围为：； 综上得的取值范围为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、平行四边形的中心对称性质、等腰直角三角形的判定、直线与抛物线的交点问题，以及数形结合、分类讨论的思想．解题关键是利用二次函数的对称轴公式、中心对称的坐标变换，结合图形位置关系求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期4月份阶段测试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 某公司抽捡盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（ ） A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 正负数 2. 2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为步，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆高9米，灯臂长1米，灯臂与水平面的夹角为，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，点在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数（）的图象上．轴交轴于点C．当为等腰三角形且面积为6，则k的值为（　　） ​ A. B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_____________． 10. 某多项式按字母的降幂排列为：，则整数的值可能为______．（写出一个即可） 11. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”） 12. 如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是______．（结果保留） 13. 在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________． 14. 如图，在矩形中，．的角平分线交于点，连接，于点，连接并延长，交于点，连接．给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，的面积为．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 有三张正面分别标有数字，3，4的不透明卡片，它们除数字外都相同；现将它们背面朝上，洗匀后，从三张卡片中随机地抽出一张，记住数字后，将卡片放回，洗匀后，再从这三张卡片中随机抽出一张，记住数字．用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片上的数字之和是偶数的概率． 17. 一次数学能力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，要使总分不低于75分，他至少要答对多少道题？ 18. 如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，均在格点上，请按下列要求完成作图． （1）在图①中，以为边画直角三角形，使，且点在格点上； （2）在图②中，以为边画锐角三角形，使，且点在格点上； （3）在图③中，以为边画钝角三角形，使，且点在格点上． 20. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 21. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 22. 【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段． 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，顶点D在边上运动， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴点E的运动轨迹为过点F一条线段． 【问题解决】如图③，设直线交于点M． （1）的面积为__________； （2）线段的最小值为__________． 23. 如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线向终点运动（点不与点重合），取线段的中点，连接，以为边、点为对称中心作． （1）______； （2）连接，当点在上且时，求的面积； （3）当点在线段上，且是矩形时，求线段的长； （4）作．当时，线段的长为______．（写出一个即可） 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b为常数）的对称轴为直线．点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上），过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为点B，以为边，以点O为对称中心作．设点A的横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点A在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； （3）当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，求m的取值范围； （4）当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $