精品解析：吉林省长春市榆树市部分学校2025-2026学年度第二学期3月份阶段测试九年级数学试题

2025-2026学年度第二学期3月份阶段测试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面观察几何体看到的平面图形，进而即可选择． 【详解】解：从前面看可得到从左到右第1列有1个正方形，第2列有1个正方形，第3列有2个正方形， 故选B． 2. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在”正负术”的注文中指出，可将算等（小相形状的记数工具）：正放表示正数，斜放表示负数．如图①表示的是．根据刘徽的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法，根据正放表示正数，斜放表示负数，类比图1可知图二中的算式． 【详解】解：由图易知， 故D正确，A、B、C错误． 故答案为：D． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 不是单项式 B. 表示负数 C. 的次数是2 D. 不是多项式 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，对每个选项进行判断．本题主要考查了单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：A. 是单项式，故该选项不正确，不符合题意； B. 不一定表示负数，故该选项不正确，不符合题意； C. 的次数是，故该选项不正确，不符合题意； D. 因为不是单项式，所以不是多项式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，是的圆周角，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质等基本知识． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. “等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 B. 两点确定一条直线 C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例． 故选：C． 6. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意可得，米，，进而可得，即得米，再根据中点定义即可求解，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，米，， ∴， ∴米， ∵点是的中点， ∴米， 故选：． 7. 如图，在中，，．观察下列尺规作图痕迹，能正确作出边上的高的是(　　) A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题是考查基本作图，作垂线，作一个角等于已知角，作平分线，直径所对的圆周角是直角．根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：图①是过点作的垂线， ， 即为边上的高，故图①正确，符合题意； 图②是先作出线段的中点，再以线段的中点为圆心，的一半为半径画圆，交于点， 由圆周角定理可得， ， 即为边上的高，故图②正确，符合题意； 图③是作， ， ， ， ， ， 即为边上的高，故图③正确，符合题意； 图④是作的平分线， 不能得到， 不是边上的高，故图④不正确，不符合题意． 综上所述，能正确作出边上的高的是①②③． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上且关于原点对称，点、在反比例函数的图象上．已知点的坐标为，点的横坐标为，若四边形为矩形，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，根据四边形为矩形，可得，根据点的坐标为，可求得，根据点的横坐标为，即可求得点的纵坐标，进而可求的值． 【详解】解：如图，连接、， 四边形为矩形，点、在反比例函数的图象上且关于原点对称， ， 点的坐标为， ， 点的横坐标为，点在第四象限， 点的纵坐标为 的值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解决本题的关键是综合运用反比例函数的图象和性质、矩形的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算即可． 【详解】解：． 10. 某厂第一个月生产零件a个，第二个月生产的零件数比第一个月的1.5倍多200个，则这两个月共生产零件___________个． 【答案】（2.5a+200） 【解析】 【分析】先表示出第二个月生产的零件数，然后把两个月的产量相加即可． 【详解】解：第二个月生产的零件数为1.5a＋200， 所以这两个月共生产零件a＋1.5a＋200＝（2.5a+200）个． 故答案为：（2.5a+200）． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，比较简单，理解题意是解题的关键． 11. 直线（k，b为常数）经过二、三、四象限，且y随x的增大而减小，则该直线的解析式可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质得出，写出符合条件的即可． 【详解】解：∵直线（k，b为常数）经过二、三、四象限，且y随x的增大而减小， ∴， 例如． 12. 如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则的度数为________． 【答案】36° 【解析】 【分析】根据正五边形的性质求出∠BAE=∠ABC=×(5-2)×180°=108°，根据菱形的性质求出∠BAF，即可求解． 【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE=∠ABC=×(5-2)×180°=108°， ∵四边形ABCF是菱形， ∴∠ABC+∠BAF=180°， ∴∠BAF=72°， ∴∠EAF=108°-72°=36°， 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键． 13. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），连接，过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 则阴影部分的面积是 ， 故答案为：． 14. 如图，是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合），给出下列结论： ①；②当最长时，；③当，时，​；④当​时，四边形的最大面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于结论①：由“是等边的外接圆”以及“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，可得，该结论正确；对于结论②：先分析得出当最长时，为的直径，再求出，，最后根据“直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半”判断该结论正确；对于结论③：过点C作交延长线于点E．先求出，，在中，运用特殊角的三角函数值，求出、的长度，再在中，运用勾股定理求出的长度，从而得出该结论错误；对于结论④：延长至点F，使得，连接，过点B作交于点G．先证，从而得到，为等边三角形，再推导出，从而得出当为的直径时，有最大值．最后根据特殊角的三角函数值，解出的直径即可得到四边形的最大面积是，该结论正确． 【详解】解：对于结论①：∵是等边的外接圆， ∴，， ∴． 结论①正确，符合题意； 对于结论②：如图，当最长时，为的直径． ∵为的直径， ∴， ∵是等边的外接圆， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， 即． 结论②正确，符合题意； 对于结论③：如图，过点C作交延长线于点E． 由①可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． 结论③错误，不符合题意； 对于结论④：如图，延长至点F，使得，连接，过点B作交于点G． ∵等边， ∴， ∵是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合）， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， 即． ∴当取最大值时，有最大值， 即当为的直径时，有最大值． 如图，为的直径，此时点C与点G重合， 由②可知，在中， ∵，，， ∴， ∴的最大值为：． 结论④正确，符合题意； 综上，正确结论为①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号里的进行通分合并，将其化为最简分式，然后把原式中的除法转化为乘法，同时对分母利用平方差公式进行因式分解，再对转化后的式子进行约分，得到最简形式，最后将​代入最简分式，计算出结果． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 16. 一个不透明的袋子中共装有三个小球，其中2个红球、1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，小明从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小亮又在袋中随机摸出一个小球，记下颜色．用画树状图或列表的方法求小明和小亮摸出的球的颜色相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表的方法求概率．按照题意画出相应的树状图，再按照概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图得： ∵一共有9种等可能性，符合题意的有5种， ∴（小明和小亮摸出的球的颜色相同）． 17. 我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？ 【答案】每头牛值3两银子，每只羊值2两银子 【解析】 【分析】本题考查了方程组的应用，设每头牛值两银子，每只羊值两银子，列出方程组，求解即可． 【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子． 根据题意，得， 解得． 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，且都在上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①的上，作点M使，点M在格点上且不与点B重合； （2）在图②的上，作点N使，点N在格点上； （3）在图③的上，作点D使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）取格点M，使得即可． （2）取格点N，构造内接四边形即可求解． （3）利用网格找出线段的垂直平分线即可找到点D． 【小问1详解】 解：如下图：点M即为所求： 【小问2详解】 解：如下图：点N即为所求： 【小问3详解】 在图③的上，作点D使． 如下图，点D即为所求： 19. 如图，在中，，于点D，O为的中点，作点D关于点O的对称点E，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，中心对称的性质，解题关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角，从而可得四边形是矩形． （2）先根据矩形的性质证得，，，再利用正切求出，设，接着用表示出，，再用表示出与，根据，可求得，再利用勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：∵点关于点的对称点为点， ∴必过点且． ∵为的中点， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵于， ∴． ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，． 设，则，． ∴，． ∴． ∴在中，． 20. 某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； （3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 【答案】（1）<，> （2）①八；②4 （3）78 【解析】 【分析】（1）根据统计图，列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表，求出各自中位数、方差，再比较大小； （2）①分别求出两个年级的综合得分，列出统计表，再根据表中的频数对照频数直方图作出判断； ②先找出该年级知识测评得分最高的学生的知识测评得分，再找出它的综合得分，然后找出他所在的组别； （3）根据（2）分别得出被抽取的学生中可获得“北京小使者”奖章的人数，再估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数。 【小问1详解】 解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表如下： 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 七年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为 八年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为, 记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，∴, 七年级10名学生的知识测评得分分别为52，62，65，65，75，79，81，82，82，92， 七年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分）， 七年级10名学生的知识测评得分的方差为 八年级10名学生的知识测评得分分别为61，63，69，73，73，78，78，81，82，87， 八年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分)， 八年级10名学生的知识测评得分的方差为 记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为， ， 故答案为：<， >; 【小问2详解】 解：七年级10名学生的知识测评综合得分分别为112，122，125，135，165，139，171，142，172，172， 组别 学生数 1 2 2 1 0 1 3 八年级10名学生的知识测评综合得分分别为121，133，129，153，163，148，158，171，162，157， 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合， ∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其得分是87分，综合得分是157分，位于第4组； 故答案为：①八，②4； 【小问3详解】 解：综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有120名学生，八年级有100名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人， ∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为 （人）。 故答案为：78. 【点睛】将统计图转化为统计表，计算中位数，判断频数分布直方图是哪个年级的. 21. 【问题背景】 小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： 【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据， （1）关于的函数表达式为____________； （2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少? 【解决问题】 （3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟． 【答案】（1）与的函数表达式为 （2）此时仪表盘显示的电量是 （3）30 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法及求函数值是解题的关键： （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）设，利用待定系数法求出，将代入求出函数值即可； （3）分别求出前后路程需消耗的电量，假设充电t分钟，应增加电量为，由此列方程求解． 【详解】解：（1）设，将代入，得 ， 解得， ∴关于的函数表达式为， 故答案为； （2）设，将代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是； （3）当时，， ∴未充电前电量显示为， 假设充电t分钟，应增加电量为， 再次出发时电量是， 走完剩下的路程为（km），故， ∴需消耗的电量为 ∴， 解得， 故答案为30． 22. 解答下列各题： （1）【问题发现】在中，，，则面积的最大值为________． （2）【问题探究】如图①，在四边形中，，，，求的值． （3）【问题解决】有一个直径为的圆形配件，如图②所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小．四边形面积的最小值是________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）易知点C在以为弦的确定的圆上，作的外接圆，可得当点C在的位置，即垂直平分时，的面积最大，求出，再根据三角形的面积公式计算即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，则，，，，证明C、D、E在同一条直线上，求出，利用勾股定理求出，进而可得的值； （3）如图作辅助线，证明是等边三角形，求出，可得要使四边形的面积最小，就要使的面积最大，然后由（1）可知，当是直径，且时，的面积最大，同（1）的方法求出面积的最大值，可得四边形面积的最小值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴点C在以为弦的确定的圆上， 如图，作的外接圆， ∴当点C在的位置，即垂直平分时，的面积最大， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴面积的最大值为； 【小问2详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴C、D、E在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴将绕O点顺时针旋转至，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴要使四边形的面积最小，就要使的面积最大， 作的外接圆，点F是上一点，交于M， 由（1）可知，当是直径，且时，的面积最大， 此时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴四边形面积的最小值为． 23. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或3 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是分类推论． （1）根据，得出结果； （2）设于，设，则，可得出，从而，从而得出，根据列出方程，进一步得出结果； （3）设，则，当在的延长线上时，作，交的延长线于，可证得，从而，，进而根据，得出，从而表示出和及，进一步得出结果；同样得出当点在上时的情形； （4），当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件，得出临界：当点在上时，点在处时的结果和当在上时的结果，进而得出的范围． 【小问1详解】 解：（1）， ， ， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图1， 设于，设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图2， 设，则， 当在的延长线上时， 作，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3， 当点在上时， 作于， 同理可证， ，， ， ， 综上所述：或3； 【小问4详解】 当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件， 当点在上时，点在处时， 如图， 当在上时， 与平行， ， ， ， 如图， 设交于， 当时中点时，四边形是轴对称图形， 此时， 作，交于，作于，作于， ， 且，，，，， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：或． 24. 如图，已知抛物线（a，b为常数，）经过，，与y轴交于点C． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，．当最小时，求点D的坐标． （3）点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m． ①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当为以为斜边的等腰直角三角形时，求m的值； ②以点E为中心构造正方形，，且轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，求出抛物线的对称轴为直线，点C的坐标为，根据线段垂直平分线的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，然后求出直线的解析式，再求出点D的坐标即可； （3）①分两种情况讨论：当点E在轴上方时，当点E在轴上方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可； ②分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（a，b为常数，）经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，如图所示： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点D的坐标为． 【小问3详解】 解：①∵点E在抛物线对称轴右侧时，轴，与抛物线交于点F， ∴点E与点F关于直线对称，且， ∵点E在抛物线上， ∴， 当点E在轴上方时，设交直线于点H，如图所示： 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵点G在x轴上， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）； 当点E在轴下方时，设交直线于点H，如图所示： 同理可得：，，， ∴， 解得：，（舍去）， 综上，或； ②当时，如图所示： ∵轴，四边形为正方形， ∴轴，， ∵， ∴， ∵以点E为中心构造正方形，， ∴所在直线的横坐标为，所在直线的横坐标为，所在直线的纵坐标为，所在直线的纵坐标为， ∵抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为， ∴抛物线与、有交点， ∴， 整理得：， 解不等式组得：或， ∵此时， ∴此时； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：， ∵此时， ∴此时， 当时，P、Q、M、N重合，不存在正方形； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：或， ∵此时， ∴此时； 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期3月份阶段测试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在”正负术”的注文中指出，可将算等（小相形状的记数工具）：正放表示正数，斜放表示负数．如图①表示的是．根据刘徽的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 不是单项式 B. 表示负数 C. 的次数是2 D. 不是多项式 4. 如图，是的圆周角，，则大小是（ ） A. B. C. D. 5. “等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 B. 两点确定一条直线 C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 6. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，，．观察下列尺规作图痕迹，能正确作出边上的高的是(　　) A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③ 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上且关于原点对称，点、在反比例函数的图象上．已知点的坐标为，点的横坐标为，若四边形为矩形，则的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 10. 某厂第一个月生产零件a个，第二个月生产的零件数比第一个月的1.5倍多200个，则这两个月共生产零件___________个． 11. 直线（k，b为常数）经过二、三、四象限，且y随x的增大而减小，则该直线的解析式可以是___________．（写出一个即可） 12. 如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则的度数为________． 13. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是__． 14. 如图，是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合），给出下列结论： ①；②当最长时，；③当，时，​；④当​时，四边形的最大面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的袋子中共装有三个小球，其中2个红球、1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，小明从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小亮又在袋中随机摸出一个小球，记下颜色．用画树状图或列表的方法求小明和小亮摸出的球的颜色相同的概率． 17. 我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？ 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，且都在上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①的上，作点M使，点M在格点上且不与点B重合； （2）在图②的上，作点N使，点N在格点上； （3）在图③的上，作点D使． 19. 如图，在中，，于点D，O为的中点，作点D关于点O的对称点E，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 20. 某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； （3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 21. 【问题背景】 小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： 【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据， （1）关于的函数表达式为____________； （2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少? 【解决问题】 （3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟． 22. 解答下列各题： （1）【问题发现】在中，，，则面积的最大值为________． （2）【问题探究】如图①，在四边形中，，，，求的值． （3）【问题解决】有一个直径为的圆形配件，如图②所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小．四边形面积的最小值是________． 23. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 24. 如图，已知抛物线（a，b为常数，）经过，，与y轴交于点C． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，．当最小时，求点D的坐标． （3）点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m． ①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当为以为斜边的等腰直角三角形时，求m的值； ②以点E为中心构造正方形，，且轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $