5.3.2 复数乘除运算的几何意义 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.3.2 复数乘除的几何意义 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数乘除运算的三角表示式及其几何意义，体现逻辑推理能力（重点） 2.会运用复数三角形式的乘法和除法法则进行复数的运算，体现逻辑推理和数学计算能力（重难点） 课程引入 解锁复数的“魔法技能”——把复平面变成一个可以“旋转+拉伸”的魔法画布！复数乘法就是给向量下达两条指令：转多少度？拉多长？ 比如乘以i，就是“逆时针转90°，长度不变”；乘以2i，就是“转90°再拉长2倍”.除以i，就是“顺时针转90°”，除以2就是“缩小到原来的0.5”.我们就用数学语言拆解这两个“魔法公式”——模长相乘（除），辐角相加（减）. 新课学习 思考交流：将复数z1，z2分别用三角形式表示为：z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，如何计算z1z2？ z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2) =r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)] =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 即 r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”． 新课学习 复数乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，先画出它们分别对应向量 然后把向量 绕原点O按逆时针旋转角θ2(若θ2＜0，就要把 绕原点O按顺时针旋转角|θ|)，再把它的模变为原来的r2倍， 所得向量 就表示复数z1，z2的乘积. 这就是复数乘法的几何意义. 新课学习 例2：如图，向量 与复数 对应，把 绕原点O按逆时针方向旋转120°得到 ，求 对应的复数(用代数形式表示.) 根据复数乘法的几何意义，所求复数就是 乘一个复数z0的积，z0的模是1，辐角的主值是120°，故所求的复数是 新课学习 例3：试证明：[r(cos θ＋isin θ)]3=r3(cos 3θ＋isin 3θ). [r(cos θ+isin θ)]3=r(cos θ+isin θ)·r(cos θ+isin θ)·r(cos θ+isin θ) =[r(cos θ+isin θ)·r(cos θ+isin θ)]·r(cos θ+isin θ) =r2(cos 2θ+isin 2θ)·r(cos θ+isin θ) =r3(cos 3θ＋isin 3θ) 新课学习 思考一下：设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，如何求 ？ 所以 新课学习 两个复数三角形式相除 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 新课学习 例4：计算： 并把结果化为代数形式. =2(0+i) =2i 新课学习 思考交流：请计算复数z=r(cos θ+isin θ)的平方根和3次方根？ 设z1= r1(cos x+isin x)，且z12= r(cos θ+isin θ)， 所以r12(cos 2x+isin 2x)=r(cos θ+isin θ)， 所以r12 =r，且2x=θ+2kπ(k∈Z)， 因为 x∈[0，2π)，θ∈[0，2π)，所以k可取0、1，所以 新课学习 思考交流：请计算复数z=r(cos θ+isin θ)的平方根和3次方根？ 设z2= r2(cos y+isin y)，且z23= r(cos θ+isin θ)， 所以r23(cos 3y+isin 3y)= r(cos θ+isin θ)， 所以r22=r，且3y=θ+2kπ(k∈Z)， 所以 因为y∈[0，2π)，θ∈[0，2π)，所以k可取0、1、2，所以 新课学习 拓展：复数除法的几何意义： 两个复数z1，z2相除时，先画出它们分别对应向量 将向量 按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的 倍. 所得向量 就表示商 . 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 1 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.两个复数的乘法和除法 2.两个复数的乘法和除法的几何意义 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $