5.3.2 复数乘除运算的几何意义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

参考答案 随堂步步夯实 1D会得器做选D 2.C[在等式iz=4十3i两边同时乘i得，一之=4i-3,所以之 =3-4i,故选C.] 3.解析：之=i·(1十i)2=-i×(2i)=2. 答案：2 2 4.解析：=1十i:=2. 答案：√2 5.解：(1)(1+i)(1-i)十(-1十i)=1-i十(-1十i)=1十1 1+i=1+i. 2(+)+2)a* [()+(保)川1* 〔1+D-()(名-9) 1+5+1-5 2 (3)(-2+3i)÷(1+2i)=1+2 -2+3i =2+3(1-21)=(-2+6)+(3+40i (1+2i)(1-2i) 12+22 w2 (3十20(2+3)-(3-2i)(2-3D (2-3i)(2+3i) 6+13i-6-6+13i+6-2gi=21 4+9 13 §3.复数的三角表示 3.1复数的三角表示式 课前预习学案情境引入 提示：复数的三角形式x=r(cos0十isin8)(r≥0)是解决问 题的桥梁 知识梳理知识点一 |z=√a+br(cos0+isin)辐角模非负角相同 知识点二 (1)2π(2)argx 「思考] 1.提示：复数三角形式中的日不一定是辐角主值，三角形式不 唯一 2.提示：是，因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的， 所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等. 预习自测 1.C2.D3.2E(cos+isin平） 课堂互动学案 [例1][解](1)-1十i=2,又tan0=-1,点(-1,1)在 第二象限，所以arg(-1十)= （②5-=2又am0=一怎点5，-1)在第四家限，所 以argW3-i》=11 6 变式训练 1,解：(1)arg(2)=2.(2)arg(-5)=元 (3)arg(-3i)=之元 3 [例][解](1)由r≥0知，名1不是三角形式. (2)x中cos0与sin0之间为减号，不是三角形式. (3)之中正、余弦位置不对，不是三角形式. (4)x中角不同不是三角形式. ·2 五维课堂兰 变式训练 2.(1)不是(2)不是(3)不是(4)是 (5)不是(6)是 [例3][解] 1=1,arg=argi=受， =cos受+isin受 ,=√-1)'+W5)=2,tan9=么=-5，又Z,(-1, a )在第二象限arg名=g=2(os号+isn)月 变式训练 3.12(os+isin)(2)2(os号+isin号) (a)2(os7+isin）(2(os+isin） 随堂步步夯实 1.D[e=5(m经+ios）-sin5+5iosg-5 3 ×9+x(）=是] 2C[a>0时，之对应的点(-a,-a)在第三象限，tan8=1, 又9e[0,2.9=号] 3.解析：x=E(cos牙-isin平）=2×cos平-i2×sin平 =1-i. 答案：1-i 4.解析：令二1=，则= 1 x=2(os+isim晋） 1+3 4 4 得=1+ 答案1 5解：1D4(m晋+n晋）=4x(合+】 =2+2√51 ev6(os吕iin号)-6(9) =3√5-3i. 8(o子+isim子x)-E×(9+)-1+i (4)3(os2x+isin多x）-3i 3.2复数乘除运算的几何意义 课前预习学案情境引入 提示：三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进行计 算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘法法则可使运 算筒便. 知识梳理知识点一 1.nr,[cos(8十02)十isin(8十8，)]2的模之1的辐角与 2的辐角之和r2 2.r[cos(nd)十isin(nd)]模的n次方复数辐角的n倍 3.2[cos(日，-6)+isin(0-02)]除以减去 [思考] 1.提示：积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中各任取一 个，求和角，所有和角组成的集合，即为积的辐角的集合，而 积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值和 arg(名1z2)=arg之1十arg之十2kπ，其中整数k使arg名十 argx2十2kπ∈[0,2r). 2.提示：复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩，旋转方向 与角度取决于从另一复数的辐角集合中取出来的值，伸长或 缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小， 9 世五维课堂 预习自测 1c28m8-合+9 课堂互动学案 [例1] 解：D原式=2x3[(肾+若)十in(肾+晋)门 =6(os吾+isin）-35+3 (2)原式=3×2×10[cos(20°+50°+80)十 isin(20°+50°+80°)]=60(cos150°+isin150)= -305+30i. 3(-1+[5(ms妥+isin）)] (os要+ian)·5(os华+isin)] [o(+)十isin(+)门 5(os受x+isim受)- 变式训练 1.解：之2=2(c0s150°-isin150°)=2[cos(-150)+isin(-150°)]， .≈1z2=8×2[cos(240°-150°)+isin(240°-150)] =16(cos90°+isin90°)=16i. [例2][解] ÷ [cas120+isin120y]- -i [合s120+am120j]= (cos270°十isin270)÷ [2(eos120+isin120] =2[cos(270°-120)+isin(270° -120°)]=2(cos150°+isin150)=-√5+i 变式训练 2解：4(m誓+a）)[2(m晋+a吾)] =[o(餐-餐)十isin(弩-晋)门 2(o受+isn受）-2a (21+5i=2(os音+isim号）-5+i z(os要+im晋)1+i(os草+im) -1-i=(eos要+isin平）-1+i (华+h等)型 (-1-i)'(-1+i) 4E.[o✉（骨+餐+）十isin(管+晋+】 2[o(受+）十isin(受+)] =[(停+晋+-受-) s(餐+晋+受-受-)门 -(号）+im(号月6+i [例3][解] 求∠2,02，可计第子“-中2 27十√3i 1+2)(7-_1+i (7+5i)(7-5i) 4 号m)以=吾是安 余弦定理，设0Z=k,OZ2=2k(k>0),则Z,Z212=k +(2k)2-2k·2k·c0s号=3k, .Z1Z2=√5k,而2十（√k)2=(2k)2, ∴.△OZ1Z2为有一锐角为60的直角三角形. ·26 数学s·必修第二册 变式训练 3.解：依题意知（一1十√i)· （cos+isin）- 22 3元=（-1+5) (cosisin(cosisin) =2(os+isin)(eas+iain） (os要+isin平） =2[oas(传+誓+要)+isin(凭+弩+平)门 2(os1毕+isin）-E+E 随堂步步夯实 1B[因为=，所以（吉）=r为实数，所以m的 2 最小值为2.] 2解析：号 cos0°+isin0° 2(cos20°+isin20 2 [c0s(-20) +isin(-20°)]. 答案：2[c0s(-20)+isin(-20] 3.解析：(W3+i)(cos60°+isin60) =2(cos30°+isin30)(cos60°+isin60°) =2(cos 90+isin 90)=2i. 答案：21 4,解：2(cos5°+isin5°)×4(cos30°+isin30)X 2(cos 25-isin 25)=8(cos 35-isin 35")x 1 (c0s25°+isin25)=4(cos60°+isin60°)= 2+2√3i 5.解：2i÷ (cos30°+isin30°) =2(c0s90°+ isin90)÷ z(cos30°+isin30) =4(cos60°+isin60) =2+2√5i 章末归纳提升归纳提升 [例1][解](1)当m十2m-1=0且m-1≠0， 即m=-1士√2时，x∈R (2)当m2+2m-1≠0且m-1≠0. 即m≠-1士√2且m≠1时，x为虚数. (3)当mm+2=0且m2+2m-1≠0. m-1 即m=0或-2时， 之为纯虚数。 变式训练 1.解：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 1x2-3x-3>0, 所以1og(x-3)=0, (x-3>0, 解得x=4,所以当x=4时，z∈R (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以 1z2-3x-3>0, 0g红-3)≠0，解得>3士@且x≠4， 2 x-3>0, 所以当>3十，/②团且x≠4时，之为虚数。 2 [例2][解]设x=a十bi(a,b∈R),则y=a-bi 又(x+y)2-3xyi=4-6i,∴.4a2-3(a2+b)i=4-6i, 0世五维课堂 数学s)·必修第二册 3.2复数乘除运算的几何意义 课程标准 素养解读 从向量的角度理解复数的三角形式的乘、除、乘 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算 方运算及几何意义，培养学生的逻辑推理素养， 2.掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点 提升数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 复数代数形式可进行加、减、乘、除四则 2的模等于号的模的辐角 运算 2的辐角是之的辐角。 问题三角形式表示的两个复数的乘积，可否由 代数形式的乘法法则得出？ 简记为：模数相除，辐角相减 ?思考1.三角形式下两个复数相乘，积的辐角 等于这两个复数的辐角的和，能将其中“辐 角”换为“辐角主值”吗，即arg（12）与 arg之1，arg之2有怎样的关系？ [知识梳理] 1.复数三角形式的乘法 设复数1=r1(cos01十isin01),2=r2（(cos02 +isin02),则刘x2=r(cos0十isin0)·r2(cos02 +isin 02)= ,即由 两个复数1，之2的三角形式可得12的三角 2.由三角形式的乘法法则，结合向量知识，如何 形式，之1的模乘以2的模等于 理解复数乘法的几何意义？ 是之12的辐角. 简记为：模数相乘，辐角相加 几何意义：设1,2对应的向量分别为OZ1, OZ2,将OZ1绕原点旋转02，再将OZ1的模变 为原来的 倍，如果所得向量为OZ,则OZ 对应的复数即为之1之2 2.复数的乘方 [预习自测] [r(cos 0+isin 0)]"= 1.把复数a十bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量 :n ∈N,即复数n次幂的模等于 ,辐角 绕原点O点按顺时针方向旋转90°后所得向量 等于 对应的复数为 简记为：模数乘方，辐角n倍 A.a-bi B.-a+bi D.-6+ai 3.复数三角形的除法 C.b-ai 设复数之1=r1(cos01十isin01),之2=r2(cos02 +isin 02),(cos 0 +isin 2 r2 (cos 02 +isin 02) ,即由两个复数12 3.计算(cos元十isinπ)÷ (2≠0)的三角形式可得产的三角形式：的模 2 ·152· 第五章复数 五维课堂兰 课堂。互动学案 题型一复数三角形式的乘法 题型二 复数三角形式的除法 [例1] 计算下列各式： [例2] [ms等+n】·[3(as若+im]: 计算：÷[2(cos120+iin120] 汇思路点拨] 直接运用复数三角形式的除 (2)3(cos20°+isin20)·[2(cos50°+isin50)]· 法法则进行运算， [10(cos80°+isin80°)]； (3)(-1+D[5cos子x+ism军] 思路点拨]运用复数三角形式的乘法运 算法则直接求解， 规律方法 两个三角形式的复数相除（除数不为0）， 则商还是一个复数，它的模等于被除数的 模除以除数的模所得的商，它的辐角等于 被除数的辐角减去除数的辐角所得的差， 出现复数的代数形式先转化为复数的三角 形式再计算 ⊙[变式训练] 规律方法 2.计算： 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积 的模，把辐角相加作为积的辐角.若遇到复 4am专nas晋+in】 数的代数形式与三角形式混合相乘时，需 将相混的复数统一成代数形式或三角形 (2)1+)(-3+iD1+iD (-1-i)2(-1+i) 式，然后再进行复数的代数形式相乘或三 角形式相乘. ◇[变式训练] 1.已知之1=8(cos240°+isin240°)，2= 2(cos150°-isin150°)，求之12的代数形式. ·153· 世五维课堂 数学s,·必修第二册 题型复数乘法、除法的几何意艾 ⊙[变式训练] [例3]若OZ1与OZ2分别表示复数1=1+2√5i, 3.设复数1,2对应的向量分别为OZ1,OZ2,O 之2=7+√5i,求∠Z2OZ1并判断△OZ1Z2的 为坐标原点，且1=一1十√3i,若把OZ1绕原 形状 点逆时针旋转，把02，绕原点顺时针旋转 平所得两向量恰好重合，求复数 0 汇思路点拨]运用复数乘法、除法的几何意 义求解。 规律方法 复数相乘、相除实质上就是复数所对向量 的旋转和伸缩，旋转的角度与方向，取决于 另一复数的辐角的正、负与大小 随堂。步步夯实 1.若复数 为实数，则正整数n的最小值 5.计算：2i÷[2(cos30°+isin30)] 是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.-2(cos 20isin 20) 3.计算：(3+i)(cos60°+isin60)= 4.计算：2(cos5°+isin5°)×4(cos30°+isin30°) ×7（cos25+isim25). @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 ·154·