5.1 复数的概念及其几何意义 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.1 复数的概念及其几何意义 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.通过理解数系的扩充过程，掌握复数的基本概念，并能理解复数的几何意义，体现数学抽象能力（重点） 2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，体现逻辑推理能力（重点） 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，体现数学计算能力（重难点） 课程引入 数是人类文明进程中的伟大创造.随着实际和运算的需要，经过长时间的发展，人们逐步把数从自然数扩充到有理数、实数.要使像x2=2这样的二次方程的解，就需要引入无理数，无理数与有理数构成实数. 然而，即使实数也无法满足求解二次方程的需要，所以需要引入一个新数i. 新课学习 虚数单位i的概念 像x2=-1这样一个简单的方程就没有实数解，因为任意实数的平方都不可能是负数，为此，我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 新课学习 复数的相关概念 我们把形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记作Im z. 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数，当且仅当a=b=0时，它是实数0，当b≠0时，叫作虚数，当a=0且b≠0时，叫作纯虚数. 新课学习 复数集的概念 根据复数中的a,b的取值不同，复数可以由以下几类： 当a=0时为纯虚数 全体复数构成的集合称为复数集，记作C，显然RC. 新课学习 思考交流：写出自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R和复数集C之间有什么关系，并用Venn图表示. C Q R Z N 新课学习 例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数： (1)1－i 1-i 的实部与虚部分别是1和-1，它是虚数，但不是纯虚数 (2) 的实部与虚部分别是0和 ，它是虚数，而且是纯虚数 新课学习 例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数： (3)-7 -7 的实部与虚部分别是-7 和 0，它是实数 新课学习 复数相等的概念 两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即 a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d 注意：两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是复数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.例如：2+i和3+i之间无大小关系. 新课学习 例2：设x，y∈R，(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i，求x，y的值. 由复数相等的定义，得 x+2=-3y，-2x=y-1 解得 x=1，y=-1 新课学习 思考一下：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，可以用数轴上的点来表示实数.复数z=a+bi(a,b∈R)由实部a和虚数b两个实数确定，复数有什么几何意义？ 任何一个复数z=a+bi(a，b∈R)，都可以由一个有序数对(a，b)唯一确定.因为有序数对(a，b)与平面直角坐标系中的点(a，b)一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对应的. 如图，点Z的横坐标是a，纵坐标为b，复数z=a+bi(a，b∈ R)可以用点Z(a，b)表示. O x y a b Z(a，b) 新课学习 复平面的相关概念 建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴. 实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数. O x y a b Z(a，b) (a，0) (0，b) 实轴 虚轴 新课学习 复数的几何意义 复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，即 复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b) 一一对应 例如：复平面内的原点(0,0)表示复数0，实轴上的点(3,0)表示复数3，虚轴上的点(0,-1)表示复数-i，点(-3,2)表示复数-3+2i. 新课学习 复数的几何意义 在平面直角坐标系中，平面向量与有序实数对一一对应，而有序数对与复数也是一一对应的.于是，还可以用平面向量来表示复数，如图，复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量 =(a，b)也是一一对应的，即 复数z=a+bi平面向量 一一对应 O x y a b Z(a，b) 新课学习 复数的模的概念 如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模|z|= 性质：虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小. 新课学习 例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|=2; 复数z的模等于2表明，向量 的模等于2，即点Z到原点O的距离等于2，因此满足条件|z|=2的点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆． x y –1 –2 1 2 –1 –2 1 2 O |z|=2 新课学习 例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？ (2)2≤|z|≤3. 不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组 满足|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合；满足|z|≥2的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其外部所有的点构成的集合； x y –1 –2 –3 1 2 3 –1 –2 –3 1 2 3 O 2≤|z|≤3 新课学习 因此，满足2≤|z|≤3的点Z的集合是这两个集合的交集，即以原点O为圆心，以和为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界． 例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？ (2)2≤|z|≤3. x y –1 –2 –3 1 2 3 –1 –2 –3 1 2 3 O 2≤|z|≤3 新课学习 共轭复数的概念 若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 新课学习 例4：在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数： (1)z1=3-2i；(2)z2=-1+i 在复平面内作图如图. 课程练习 D 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 C 课程练习 B 课程练习 C 课程练习 课程练习 2 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.复数的概念 2.复数集的概念 3.复数相等 4.复数的几何意义 5.复数模的概念 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $