5.1 复数的概念及其几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§1 复数的概念及其几何意义 第五章 复数 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 数系的扩充与复数的相关概念 1 复数的引入 为了解决像这样的方程在实数系中无解的问题，我们引进一个新数 ， 叫作虚数单位，并规定： ①它的平方等于，即 ； ②实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 6 2 复数的概念及复数集 形如（其中,）的数叫作复数，通常用字母 表示，即 ，其中称为复数的实部，记作，称为复数 的虚部，记作 ，可用图5-1-1表示. 图5-1-1 全体复数构成的集合称为复数集（目前中学阶段接触到的最大数集），记作C. . . . . 7 3 复数的分类 对于复数 ,当且仅当 时, 它是实数; 当且仅当时, 它是实数0;当 时, 叫作虚数; 当且 时, 叫作纯虚数. 根据复数中, 的取值不同，复数可以有以下的分类： 复数 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图5-1-2表示. 图5-1-2 8 典例详解 例1-1 (2025·浙江省宁波市期末)复数 的虚部为( ) B A. B. C. D. 【解析】复数的虚部为的系数.（此处易误认为虚部为 ） 9 例1-2 ［教材改编P177例1］指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯 虚数: ,,,, ,0. 【解析】实数: ,0； 虚数：，，， ； 纯虚数： . 10 【想一想丨牛刀小试】 判断下列说法是否正确. （1） 不是复数，因为没有虚部； 提示错误，是复数，可以写成 的形式，因此它的虚部是0； （2） 不是复数，因为没有实部. 提示错误，是复数，可以写成 的形式，因此它的实部是0. 11 知识点2 复数相等 两个复数与 相等定义为：它们的实部相等且虚部相等， 即当且仅当且 . （复数相等的充要条件） 发散讨论 虚数为什么不能比较大小？ 引入虚数单位后，规定，但 与0的大小关系不能确定，理由如下. 若，则,两边同乘，得,即 ,这与实数中的大小规定是 矛盾的；若，则 ,这与实数中的大小规定也是 矛盾的.因此虚数不能比较大小，但却有相等与不相等之分. . . 12 典例详解 例2-3 (2025·广东省江门市段考)复数，若，则实数 的 值是( ) B A. B. C. D.1 【解析】由题意得复数是实数，所以，解得,又 ， 所以 . 点评 对于复数，当 时，复数为实数，可以比较大小；当 时，不能比较大小. 13 知识点3 复数的几何意义 1 复数与复平面内的点的对应 图5-1-3 任何一个复数 ，都可以由一个有序实数对 唯一确定.因为有序实数对 与平面直角坐标系中的点 一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对 应的. 如图5-1-3，点的横坐标是，纵坐标是 ，复数 可以用点 表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数 的平面称为复平面，轴称为实轴，轴称为虚轴. 复数 与复平面内的点 是一一对应的，这是复数的一种几何意义. 14 特别提醒（1）复平面内各象限内的点都表示虚数，且点的坐标是 ,而不是 ． （2）点所在象限由,的符号决定，特别地，当时，点 在虚轴上；当 时，点 在实轴上. （3）复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是 ． （4）实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数. 15 2 复数与复平面内的平面向量的对应 因为复平面内的点与平面向量（ 是坐标原点）是一一对应的，所以 一个复数与复平面内的向量 也是一一对应的. 为了方便,常把复数说成点或向量 ，并且规定，相等向量表 示同一个复数． . . . . 16 3 复数的模 向量的模称为复数 的模（两个复数一般不能比较大小， 但可以比较它们模的大小），记作或 由向量模的定义可知， . 如果，那么是一个实数，它的模 （ 的绝对值）. . . 17 典例详解 例3-4 复数 在复平面内对应的点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由复数的几何意义知，复数 在复平面中对应点 ， 又，所以， ， 所以点 位于第一象限. 18 【想一想丨教材深挖】 复平面内表示复数的点的位置与复数实、虚部的关系 （对教材P179第2题的探究） 如果是复平面内表示复数 的点，则 点的位置 实、虚部的条件 第一象限 , 第二象限 , 第三象限 , 第四象限 , 虚轴 实轴 19 例3-5 (2025·湖北省黄冈市期末)已知在复平面内，为原点，向量, 对应的复数 分别为，，那么向量 对应复数的虚部为( ) B A.1 B.9 C. D. 【解析】由题意可知，, ， 可得 ， 所以向量对应的复数为 ， 所以向量 对应复数的虚部为9. 20 例3-6 ［教材改编P179例4］求下列复数的模： （1） ； 【解析】 . （2） ； 【解析】 . （3） . 【解析】 . 21 知识点4 共轭复数 1 共轭复数的定义 若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复 数的共轭复数用表示.当时， . 2 共轭复数的几何意义 在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等. 22 特别提醒 1.由共轭复数的定义可知，， . 2.实数的共轭复数是它本身，即 ,利用这个性质可证明一个复数为 实数. 3.若且，则 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数. 23 典例详解 例4-7 [多选题](2025·江西省宜春市期中)下列命题中正确的是( ) ABD A.若是实数，则 B.若，则 是实数 C.若，则是纯虚数 D.若是纯虚数，则 【解析】设，则.对于A，若是实数，则 ，所以 ，故A正确；对于B，若，则，即，所以 是实数，故B正 确；对于C，若，得， 可能是纯虚数，也可能是实数0，故C错误；对 于D，若是纯虚数，则且，可得 ，故D正确. 24 重难拓展 知识点5 复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数 在复平面内对应的点 到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足条件 的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆， 表示圆的内部， 表示圆的外部. 25 典例详解 例5-8 ［教材改编P178例3］复数在复平面内对应的点为 ， 若，则满足条件的点 的集合是什么图形？ 【解析】，， 点 的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及 其内部. 26 题型解析 03 题型1 复数概念的考查 1 复数的分类 例9 [教材改编P180 A组 T1](2025·山东省实验中学月考)已知 ,复数 ,当为何值时，复数 满足下列条件？ （1） 为实数； 【解析】要使为实数,需满足,且有意义，即 , （【注意】分母不为0，保证分式有意义）解得 . . 28 （2） 为虚数； 【解析】要使为虚数,需满足,且有意义，即 ,解 得且 . （3） 为纯虚数. 【解析】要使为纯虚数,需满足,且,解得 或 . 29 30 求解复数分类问题的关键 （1）复数为纯虚数的充要条件是且 . （2）复数为实数的充要条件是 . （3）复数为虚数的充要条件是 . 依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论 求解. 31 【变式题】 1.(2025·重庆市调研)“”是“复数 为纯虚数”的 ( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】若，则复数是纯虚数，若复数 是纯虚数， 则且，所以，因此“ ”是“复数 为纯虚数”的充要条件. 32 2 复数相等的充要条件 例10（1）若,求实数, 的值. 【解析】由复数相等的充要条件， 得解得 （2）已知，求实数 的值. 【解析】因为,,所以由， 可得解得或 所以 . . . . . 33 （3）若关于的方程有实根，求实数 的值. 【解析】设方程的实根为 , 则原方程可变为 ,（复数问题“实数化”） 所以解得或 . 34 解决复数相等问题的一般步骤 35 题型2 复数的几何意义 1 复数与点的一一对应 例11 ［教材改编P180 B组T1］当实数 为何值时，复数 在复平面内对应的点位于： （1） 轴正半轴上; 【解析】若复数在复平面内对应的点位于 轴正半轴上， 则解得 . 36 （2） 轴负半轴上； 【解析】若复数在复平面内对应的点位于 轴负半轴上， 则解得 . （3）第四象限的平分线上. 【解析】若复数在复平面内对应的点位于第四象限的平分线上， 该平分线方程为 则解得 . . . 37 【解析】 为实数， , 都是实数, 复数 在复平面内对应的点的坐标为 . 思路点拨 根据复平面内的点与复数的对应关系，列出不等式（组）、方程（组） 解答即可. 38 例12（1）(2025·四川省简阳中学模拟)已知 在复平面内对应的 点在第四象限，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】由已知可得复数在复平面内对应的点的坐标为 ，且该点在 第四象限，所以解得 . 39 （2）(2025·上海财经大学附属中学期末)在复平面内，复数， 对应的点 分别为，，若为线段的中点，则点 对应的复数是( ) C A. B. C. D. 【解析】复数对应的点为，复数对应的点为 ． 利用中点坐标公式得线段的中点 ， 故点对应的复数为 ． 40 （3）新情境 欧拉公式 (2025·重庆市第一中学校入学考试)欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数 的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它被誉为“数学中的天桥”. 根据欧拉公式可知, 表示的复数对应的点在复平面中位于( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 , 因为是第二象限的角，所以， ， 所以 表示的复数对应的点位于第二象限. 41 求复数对应的点 的坐标中参数范围的一般步骤 42 【变式题】 2.(2025·湖南省株洲市期末)已知复数，则 在复平面内对应的点关于虚轴对 称的点是( ) D A. B. C. D. 【解析】由复数，可知在复平面内对应的点 关于虚轴对称 （关于谁对称谁不变）的点是 . . 43 3.(2025·贵州省贵阳市段考)“”是“复数 在复平面内 对应的点位于第四象限”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由复数 在复平面内对应的点位于第四象限，得 解得 . 因为集合 , 故“”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限” 的充分不必要条件． 44 2 复数与平面向量的一一对应 例13（1）已知,,,,为复平面的原点，试写出 ， ，， 所表示的复数； 【解析】表示的复数为（切勿写成）； 表示的复数为 ；表示的复数为；表示的复数为 . . . 45 （2）已知复数1,,, ,在复平面内画出这些复数对应的向量； 【解析】复数1对应的向量为，其中 ； 复数对应的向量为，其中 ； 复数对应的向量为，其中 ； 复数对应的向量为，其中 . 46 如图5-1-4所示. 图5-1-4 47 （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复数分别是 ,,,求点 对应的复数. 【解析】 记为复平面的原点，由题意得，， . 设,则, . 由题知，，所以解得 故点对应的复数为 . 48 根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对 应的复数即向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的 有向线段即复数对应的向量. 49 【变式题】 图5-1-5 4.如图5-1-5，在平行四边形中，顶点，， 对应的复数 分别为0，，，则点 对应的复数为( ) A A. B. C. D. 【解析】由已知，得, ,则 点 对应的复数为 . 50 题型3 复数的模 1 复数的模的有关计算 例14 已知复数,则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得， , 因为,所以 . 51 例15 已知，复数的实部为，虚部为1，则 的取值范围是________. 【解析】依题意，可知，则 . 因为，所以，即 . 52 例16 已知,求复数 . 【解析】 设，则 , . 因为,所以 . 根据复数相等的充要条件， 得解得 所以 . 因为，复数的实部为，虚部为5，所以 , ， 即，得 ， 所以 . 53 2 复数的模的几何意义 例17 已知复数满足，则复数 在复平面内对应的点的轨迹是 ( ) B A.一个圆 B.两个圆 C.两个点 D.线段 【解析】因为复数满足 ， 即，所以或 ， 它表示以原点为圆心，半径为2和1的圆． 54 例18 ［教材改编P180 T5］若复数满足，则复数 在复平面上对 应的点构成的图形的面积为_____. 【解析】由，解得，则满足的复数 在复平 面上对应的点构成的图形是以原点为圆心，分别以2和4为半径的圆所夹的圆环，其 面积为 . 55 对复数的模的理解 （1）数的角度理解：首先应将复数化为标准的代数形式 ，得到 实部与虚部，再利用模的公式 求解,两个复数不全是实数不能比较大小， 但它们的模表示实数，可以比较大小． （2）几何角度理解：表示点到原点的距离，也是向量 的模，要善于应用数形 结合的思想方法，把模的问题转化为几何问题来解决． 56 【变式题】 5.［多选题］(2025·陕西省咸阳市武功县普集高级中学月考)已知复数 ， ，，在复平面内对应的点分别为， ，则( ) BD A.， 两点在以原点为圆心的同一个圆上 B.，两点之间的距离为 C.满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D.满足的复数对应的点形成的图形的面积是 57 【解析】对于A，，，所以 ，所 以， 两点不在以原点为圆心的同一个圆（圆上的点到原点的距离相等）上，故 A错误； 对于B，，两点之间的距离为 ，故B正确； 对于C，满足的复数对应的点 形成的图形是以原点为圆心，以5为半 径的圆，所以其周长为 ，故C错误； 对于D，满足的复数对应的点 形成的图形是以原点为圆心，分别以 ， 为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为 ，故D正确． 故选 . . . 58 知识测评 04 建议时间:20 分钟 1.复数 的虚部是( ) C A.3 B. C.1 D. 【解析】注意虚部是1而不是 ，对于初学者，此题容易错选D. 60 2.(2025·江西师范大学附属中学期末)在复平面内，复数 是纯 虚数，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】 复数 是纯虚数， 且， . 3.(2025·安徽省阜阳市调考)已知复数在复平面内对应的点为，则 ( ) C A.1 B. C. D.0 【解析】根据题意可得，则 . 61 4.(2025·云南省昭通一中期末)已知复数的模为5，实部为4，则复数 为( ) B A. B.或 C. D.或 【解析】已知复数的模为5，实部为4，则复数的虚部为 ，即复数 为或 .故选B. 62 5.(2025·北京市朝阳区期中)设是原点，向量，对应的复数分别为 ， ，那么向量 对应的复数是( ) B A. B. C. D. 【解析】 向量，对应的复数分别为， ， ， ， ， 向量对应的复数是 ． 63 6.[多选题](2025·湖南省郴州市期末)已知复数（其中 为虚数单位），则以下 说法正确的有( ) BCD A.复数的虚部为 B. C.复数的共轭复数 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限 【解析】 复数， 复数的虚部为1，故A错误； ，故B正确；复 数的共轭复数，故C正确；复数在复平面内对应的点的坐标为 ，在第 一象限，故D正确． 64 7.为虚数单位,设复数,在复平面内对应的点关于原点对称,若,则 ________. 【解析】根据复数的几何意义可得复数在复平面内对应的点为 ，此点关于 原点对称的点为，因此 . 65 8.[教材改编P180习题5-1 A组 T1]已知复数 ， 当实数取什么值时，复数 满足下列条件？ （1） 是实数； 【答案】当，即或时， 是实数. （2） 是虚数； 【答案】当，即且时， 是虚数. （3） 是纯虚数； 【答案】当即时， 是纯虚数. 66 （4）在复平面内对应的点在 轴的上方； 【答案】当，即或时，在复平面内对应的点在 轴的上方. （5）在复平面内对应的点在直线 上. 【答案】当（复数 在复平面内对应的点 的坐标为 ） ，即，即或时， 在复平面内对应的点在直线 上. . . 67 高考模拟 05 建议时间:20 分钟 9.复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转 ，所得点对应的复 数是( ) C A. B. C. D. 图D 5-1-1 【解析】如图D 5-1-1，复数 在复平面内对应的点为 ，因为，所以 . 将点绕着原点逆时针旋转 ，得到的点与点关于 轴对称， 即点，因此，所求复数为 ． 69 10.(2025·山东省青岛市期末)若复数，， ， 在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】由于复数，，， 在复平面内 对应的点在同一个圆上（不在同一条直线上的三个点确定一个圆），且 ,所以该圆以原点为圆心，则 ，故 ， 由于为正实数，故 ． . . 70 11.［多选题］(2025·辽宁省抚顺市期末)已知复数 ，则下列说法正确的是( ) BCD A.复数 的模的最大值为2 B.若，是纯虚数，则 C. 时，复数对应的点在第一象限 D.复数 的模为定值 71 【解析】对于A，D， ，故 ，A错 误，D正确； 对于B，且，即，又，故 ， B正确； 对于C，当时， ， 故且，复数对应的点在第一象限，C正确.故选 . 72 12.新考法 数学文化[多选题]18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点 来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数 的模的 几何意义为复数对应的点到原点 的距离．下列说法正确的是( ) BCD A.若，则或 B.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C.若点的坐标为，则 在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 73 【解析】令（举反例），满足 ，故A错误； 复数与分别对应向量与 ， 则, , , 向量对应的复数为 ，故B正确； 点的坐标为 ， 在复平面内对应的点 在第三象限，故C正确； 设，， ， 复数满足， ， 复数 在复平面内对应的点所构成的图形（该图形为圆环）面积为 ，故D正确．故选 ． . . . . 74 13.[开放题](2025·江苏省苏州市期中)写出一个同时满足下列条件①②的复数： ______________________． ① ； ② 在复平面内对应的点在第二象限． （答案不唯一） 【解析】设复数，，且 在复平面内对应的点在第二象限， 可以取,,故 . 75 谢谢观看 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 76 $