第5章 §2 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法几何意义初探（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件系统涵盖复数的乘法、除法、乘方运算及几何意义，从定义出发，通过运算律、共轭复数性质构建知识链，以学习支架形式衔接前后内容，帮助学生逐步掌握复数运算逻辑。 其亮点在于融合数学思维与几何直观，通过复数积商模的证明培养推理能力，结合向量旋转阐释几何意义，典例与知识辨析强化应用。助力学生提升运算与建模能力，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

2.2　复数的乘法与除法    *2.3　复数乘法几何意义初探 必备知识 清单破 复数的乘法 知识点 1 1.定义:设a,b,c,d∈R,则(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.乘法的运算律 　　对任意z1,z2,z3∈C,有 结合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) 交换律 z1·z2=z2·z1 乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 第五章　复数 高中同步 3.乘方的运算性质 　    zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n= · (其中m,n∈N+). 4.虚数单位i的幂的周期性 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(其中n∈N). 5.互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,它等于这个复数(或其共轭复数)模的平方,即若z= a+bi(a,b∈R),则z· =|z|2=| |2=a2+b2. 第五章　复数 高中同步 复数的除法 知识点 2 1.复数的倒数 　　给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z=1,则称z是z2的倒数,记作z= . 2.复数的除法 　　对任意的复数z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复数的除法: =z1· ,即 除以一个复数,等于乘这个复数的倒数.因此 = =(a+bi)·  - i = -  i. 　　在进行复数除法运算时,实际上是将分母“实数化”. 第五章　复数 高中同步 　共轭复数的常用性质 (1)若z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,z· =|z|2= =a2+b2,利用此性质,在复数集中可以将a2+b2分解为 (a+bi)(a-bi); (2)  = ± ; (3)  =  , = (z2≠0); (4) = (z≠0). 知识点 3 第五章　复数 高中同步 　复数乘法的几何意义 　　在复平面内,设复数z1=a+bi(a,b∈R)所对应的向量为 . 若z2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为 ,则 是 与c的数乘,即 是将 沿原方向伸长 (c>1)或压缩(0<c<1)c倍得到的. 　    z3=(a+bi)·i所对应的向量为 ,则 是将 逆时针旋转 得到的. 知识点 4 第五章　复数 高中同步 知识辨析 1.若z1,z2∈C,且 + =0,则z1=z2=0,对吗? 2.若z∈C,则z2=|z|2,对吗? 3.若 >1,则z1>z2,对吗? 4.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减吗? 第五章　复数 高中同步 一语破的 1.不对.如z1=1+i,z2=1-i,满足(1+i)2+(1-i)2=0,但z1≠0,z2≠0. 2.不对.设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,当b≠0时,z2≠|z|2. 3.不对.如z1=2+2i,z2=1+i, =2>1,但z1,z2不能比较大小. 4.是.复数加减乘除的混合运算和实数一样,先乘除后加减.关键能力定点破 第五章　复数 高中同步 　复数的乘除运算  关键能力 定点破 定点 1 1.两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 (1)按多项式的乘法展开; (2)将i2换成-1; (3)进行复数的加、减运算. 　　常用公式: ①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. 第五章　复数 高中同步 2.两个复数代数形式的除法运算的一般步骤 (1)在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R)写成 的形式. (2)复数的除法的实质是分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数(若分母是纯虚数,则 只需同乘i). (3)将分子、分母分别进行乘法运算,并化简. 　　常用结论: =-i; =i; =-i. 第五章　复数 高中同步 3.复数的积、商的模 　　两个复数积、商的模等于它们模的积、商.证明如下(a,b,c,d∈R): (1)|(a+bi)(c+di)| =|(ac-bd)+(bc+ad)i| =  =  =  =|a+bi||c+di|. (2) =  =  第五章　复数 高中同步 =  = = (c+di≠0). 第五章　复数 高中同步 典例 计算 + = (　    ) A.0　　　    B.1　　　    C.i　　　    D.2i D 解析    原式= +  = + = +i= +i=i+i=2i. 第五章　复数 高中同步 　虚数单位“i”的幂的周期性  　　计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,有如下结论:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中i0=1, i-n= (n∈N). 　　说明:(1)上述公式说明i的乘方运算的结果具有周期性,且最小正周期是4,即有i4n+i4n+1+i4n+2 +i4n+3=0(n∈N).(2)n可推广到整数集. 定点 2 第五章　复数 高中同步 典例 求1+i+i2+i3+…+i2 025的值. 解析    因为in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N,所以1+i+i2+i3+…+i2 025=1+i+i2+i3+(i4+i5+i6+i7)+(i8+i9+i10+i11)+ …+(i2 020+i2 021+i2 022+i2 023)+(i2 024+i2 025)=0+0+0+…+0+1+i=1+i. 第五章　复数 高中同步 　在复数范围内解一元二次方程  对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R),若Δ=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的 实数根;若Δ=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若Δ=b2-4ac<0,则方程没有实数根,但有两 个虚根,分别是x1= ,x2= ,且这两个虚根以共轭复数的形式“成对” 出现. 注意:根与系数的关系在复数范围内仍然成立. 定点 3 第五章　复数 高中同步 典例 已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a+4=0(a∈R)在复数范围内的两根分别为α,β. (1)若该方程没有实根,求实数a的取值范围,并在复数范围内对x2-2ax+a2-4a+4进行因式分解; (2)若|α|+|β|=3,求实数a的值. 解析    (1)若该方程没有实根, 则Δ=4a2-4(a2-4a+4)<0,解得a<1. x2-2ax+a2-4a+4=(x-a)2-4(a-1) =(x-a)2-  =(x-a+2 i)(x-a-2 i). 第五章　复数 高中同步 (2)当Δ=4a2-4(a2-4a+4)≥0,即a≥1时,α,β都是实数, 由根与系数的关系可得  故α,β都是非负实数, 所以|α|+|β|=α+β=2a=3,所以a= ; 当Δ=4a2-4(a2-4a+4)<0,即a<1时,方程有两个共轭虚根, 分别设为m+ni,m-ni(m,n∈R,n≠0), 由根与系数的关系可得αβ=(a-2)2=m2+n2, 故|α|+|β|=2 =2|a-2|=3, 解得a= 或a= (舍去). 综上所述,a的值为 或 . 第五章　复数 高中同步 $