精品解析：2026年黑龙江佳木斯市富锦市二中铁中联考一模数学试题

数学一模试卷 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示为由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 体育教师调查了某校6名运动队队员的年龄情况，分别是 10，10，11，12，13，9， 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 10，10.5 B. 9，11.5 C. 10，13 D. 12，12.5 5. 2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 为紧急安置100名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，每个帐篷都住满，则搭建方案有（ ） A. 7 种 B. 8种 C. 9种 D. 10 种 8. 如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如下图，在正方形 中， 连接， 将含的三角板放在如图 的位置上，，，将三角板绕点B 顺时针旋转到△的位置，旋转角是一个锐角，并且使 ， 交 于点F， 求 的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长，交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于点G．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10 小题，每小题3分，共30分） 11. 为黑龙江迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市冰雪大世界以“冰雪同梦亚洲同心”为主题，总体规划面积达到110万平方米，创下历史之最，将数据万用科学记数法表示为________________ 12. 函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 13. 一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个 14. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 15. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 16. 如图，△ABC内接于半径为5 cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为_________cm． 17. 手工课上小明要用一个底面直径为6，高为4的圆锥，则该圆锥的表面积为__________ 18. 如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 19. 如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 20. 如图， 正方形 的顶点，延长交x轴于点，作正方形 ，延长交x轴于点，作正方形…按照这样的规律， 则点的坐标为_________________ 三、解答题（本大题共 8小题，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的， 并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的， 并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段旋转到线段所扫过的面积（结果保留）． 23. 如图，抛物线 与x轴分别交于，B 两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）线段下方的抛物线上是否存在一点E，使 ?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 某校开展“打造平安校园”活动，随机抽查了部分学生进行校园安全知识测试，测试结果分：A级一优秀；B级一良好：C级一一般：D级一及格：E级一不及格，并将测试结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）本次测试共抽取________名学生 （2）补全条形统计图；扇形统计图中，A级圆心角的度数________度； （3）该校有2000 名学生，估计及格以上的人数有多少． 25. A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象． （1）客车的速度为_______，货车的速度为_______； （2）求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出货车出发多长时间，两车相距． 26. 已知：四边形是菱形，点分别在边上，，． （1）如图①，时，易证（不需要证明）； （2）如图②，时，线段之间有怎样的数量关系，并加以证明； （3）如图③，时，线段之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不用证明． 27. 某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元． （1）A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元? （2）文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案? （3）在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大． 28. 如图，直线 与x轴，y轴分别交于B，A两点，直线交 y轴正半轴于点C，且线段的长是一元二次方程的一个根． （1）求直线的解析式： （2）动点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发，沿的路线向点A以每秒2个单位长度的速度运动（不与点C，A重合），连接，．设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）M为x轴上一点，在第三象限内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学一模试卷 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2. 如图所示为由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由俯视图确定底层小正方体的个数和位置，由主视图确定每一列的最高层数，要使小正方体个数最少，则每一列中只需有一个位置达到最高层数，其余位置层数为1即可． 【详解】解：俯视图中共有5个小正方形， 该几何体最底层有5个小正方体． 主视图从左到右各列的高度分别为1，2，3， 第一列（左）只有1个位置，高度必为1；第二列（中）有2个位置，要使个数最少，则一个位置高度为2，另一个位置高度为1，共个； 第三列（右）有2个位置，要使个数最少，则一个位置高度为3，另一个位置高度为1，共个． 组成这个几何体的小正方体的个数最少为． 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式和同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算错误，不符合题意； D、，原式运算正确，符合题意． 4. 体育教师调查了某校6名运动队队员的年龄情况，分别是 10，10，11，12，13，9， 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 10，10.5 B. 9，11.5 C. 10，13 D. 12，12.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，先将数据从小到大排序，再根据定义分别计算众数和中位数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得： ∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中10出现次数最多，共2次 ∴ 这组数据的众数是. ∵ 这组数据共个，为偶数个，中位数为排序后中间两个数的平均数，中间两个数是第3个的和第4个的. ∴ 中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是和． 5. 2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得，即. 6. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 7. 为紧急安置100名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，每个帐篷都住满，则搭建方案有（ ） A. 7 种 B. 8种 C. 9种 D. 10 种 【答案】B 【解析】 【分析】设容纳人的帐篷个，容纳人帐篷个，得出，是偶数，则是偶数，同时，即，找出的值，即可求解． 【详解】解：设容纳人的帐篷个，容纳人帐篷个，则 ，且为正整数， ，即是偶数， ∵是偶数，则是偶数，同时，即 ∴，共个取值，即对应种方案 8. 如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再通过面积关系，推导出，设，求出，最后用含有k的代数式表示，最后求出k值． 【详解】解：连接，过点B作轴于点E． ∵轴，轴， ∴， ∵的面积为 ，D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵A是双曲线 上的点， ∴设， ∵轴，交于点D，垂足为C， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴，即C为的中点， ∴， ∵B是双曲线 上的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如下图，在正方形 中， 连接， 将含的三角板放在如图 的位置上，，，将三角板绕点B 顺时针旋转到△的位置，旋转角是一个锐角，并且使 ， 交 于点F， 求 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，根据正方形的性质得，再根据平行线的性质得，结合旋转的性质和解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，四边形 是正方形，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵三角板绕点B 旋转至△， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 即， 解得：． 10. 如图，在正方形中，O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长，交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于点G．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，过点B作，交于N，连接，利用全等三角形的性质证明即可判断①．若成立，则，需，无法证明，可判断②；将绕点A顺时针旋转得到，利用全等三角形的性质证明即可判断③；过点作于点，于点，证明，可得，再证出，可判断④． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，过点B作，交于N，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴C，B，M共线， 又， ∴， ∴； ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 若成立，则， 需， 但，而， 无法得到，故②错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 设， ∴， 过点作于点，于点，如图， ∴四边形是矩形， 在正方形中，是对角线，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∵，， 又 ∴, ∴, ∵点是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论是①③④． 二、填空题（本大题共10 小题，每小题3分，共30分） 11. 为黑龙江迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市冰雪大世界以“冰雪同梦亚洲同心”为主题，总体规划面积达到110万平方米，创下历史之最，将数据万用科学记数法表示为________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．正确的确定的值即可. 【详解】解：万. 12. 函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公共部分即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得， 解不等式得， 解不等式得， 取两个解集的公共部分，得． 13. 一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，思路是设出黑球的个数，根据摸到白球的概率结合概率公式列出方程，求解方程得到黑球个数． 【详解】解：设黑球有个，则袋子中球的总个数为个． 根据概率公式可得 解得 经检验是原方程的解． 14. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 15. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 16. 如图，△ABC内接于半径为5 cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为_________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】连接BO,CO根据圆周角定理得到∠BOC=60°，故△OBC为等边三角形，故可求出BC的长. 【详解】连接BO,CO， ∵∠BAC＝30° ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC，∴△OBC为等边三角形， ∴BC=BO=5cm, 故填：5. 【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的运用. 17. 手工课上小明要用一个底面直径为6，高为4的圆锥，则该圆锥的表面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出圆锥的底面半径与母线长，再分别计算圆锥的底面积与侧面积，求和得到圆锥的表面积． 【详解】解：∵该圆锥的底面直径为6， ∴该圆锥的底面半径为3， ∵该圆锥的高为4， ∴该圆锥的母线长为， ∴该圆锥的表面积为． 18. 如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 【答案】 【解析】 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，根据菱形的性质推出N是中点，P与O重合，推出，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴N在上，且N为的中点， ∵， ∴， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴， 即P为中点， ∵O为中点， ∴P、O重合， 即过O点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：， 所以，的最小值为． 19. 如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先在中，由已知角度和边长求出及，再依据翻折性质得到等关键等量关系；随后分两种情况，利用平行线性质、等腰三角形判定及解直角三角形的知识，分别推导出两种情况下的长度，最终综合得的长为或． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵为的中点， ∴ 由翻折性质得： 分两种情况讨论： 当时 ∵，内错角相等得， 结合翻折性质， ∴，由等腰三角形等角对等边得， 当时，延长交于点， ∵， ∴， 由翻折得， ∴在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 综上，的长为或． 20. 如图， 正方形 的顶点，延长交x轴于点，作正方形 ，延长交x轴于点，作正方形…按照这样的规律， 则点的坐标为_________________ 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，，，根据已知可得，即可得，然后根据正方形的性质可得，，从而求出点的坐标，同理可求得点，，的纵坐标，通过数字规律得到的纵坐标，结合直线的解析式求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 同理可得：， ∴点、、、的纵坐标分别是：、、、， 以此类推， ∴点的纵坐标为， 又，，则直线的解析式为， 当时，即，解得， 故点的坐标为． 三、解答题（本大题共 8小题，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】首先进行分式的运算，把分式化为最简分式，再根据特殊角的三角函数值，求得x的值，最后把x的值代入化简后的式子即可求解 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的， 并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的， 并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段旋转到线段所扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 如图，即为所求，则； （2） 如图，即为所求，； （3） 【解析】 【分析】（）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，再顺次连接点、O即可； （）根据网格的特点和旋转方式确定点的位置，描出点，再顺次连接点、O，最后写出点的坐标即可； （）根据旋转的性质和勾股定理得到，，，再根据线段旋转到线段所扫过的面积列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由题意得，， ， ∴线段旋转到线段所扫过的面积 ． 23. 如图，抛物线 与x轴分别交于，B 两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）线段下方的抛物线上是否存在一点E，使 ?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，过作轴交于点，求出直线的函数解析式，求出的表达式，根据题意得到，据此列方程进行解答即可． 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点 和点两点，所以， 解得 ， 所以抛物线解析式为：． 【小问2详解】 解：令，则，解得，， ∴， 设，过作轴交于点， 设直线的函数解析式为． 因为直线经过点和，所以 ， 解得， 所以，直线的函数解析式为：． ∴， ∴， ∵ ∴， 即， ∴， 解得或， ∴或 24. 某校开展“打造平安校园”活动，随机抽查了部分学生进行校园安全知识测试，测试结果分：A级一优秀；B级一良好：C级一一般：D级一及格：E级一不及格，并将测试结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）本次测试共抽取________名学生 （2）补全条形统计图；扇形统计图中，A级圆心角的度数________度； （3）该校有2000 名学生，估计及格以上的人数有多少． 【答案】（1）20 （2） 补全统计图为： （3）人 【解析】 【分析】（1）根据题意得：E级人数及其所占比例求出答案即可； （2）求出C级人数补全统计图，根据A级占比求出圆心角即可； （3）利用总人数乘以样本中及格以上的占比即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：E级人数为3人，E级所占比例为， （人）， 即本次测试共抽取20名学生； 【小问2详解】 解：C级人数为（人）， 扇形统计图中，A级圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计及格以上的人数有人． 25. A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象． （1）客车的速度为_______，货车的速度为_______； （2）求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出货车出发多长时间，两车相距． 【答案】（1）60；45 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意并结合图象可知，货车从地驶向站花费了2小时，行驶了，根据“速度路程时间”即可求出货车的速度；再算出地与站的距离，由图象可知客车从地驶向站花费了9小时，根据“速度路程时间”即可求出客车的速度； （2）根据“路程速度时间”即可求解； （3）分两种情况：当两车相遇前相距时，当两车相遇后相距时，分别列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由图象可得：货车从地驶向站花费了2小时，行驶了， 则货车的速度为， 地与站的距离为， 客车的速度为； 【小问2详解】 解：由（1）知，货车的速度为， 货车从地驶向站所需时间为（小时）， 2小时后货车的行驶时间为小时， ； 【小问3详解】 解：设货车出发后，两车相距， 当两车相遇前相距时， ， 解得：； 当两车相遇后相距时， ， 解得：； 综上，当货车出发或后，两车相距． 26. 已知：四边形是菱形，点分别在边上，，． （1）如图①，时，易证（不需要证明）； （2）如图②，时，线段之间有怎样的数量关系，并加以证明； （3）如图③，时，线段之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不用证明． 【答案】（1） 证明：连接，交于N，过点F作直线于H， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ， 证明：连接，交于N，过点F作直线于H，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于N，过点F作直线于H，由“”可证，可得，，可证垂直平分，由直角三角形的性质可求，即可求解． （2）连接，交于N，过点F作直线于H，由“”可证，可得，，可证垂直平分，由直角三角形的性质可求，即可求解． （3）由“”可证，可得，，由直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元． （1）A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元? （2）文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案? （3）在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大． 【答案】（1）A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元 （2）该文具店共有3种进货方案 （3）购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大 【解析】 【分析】（1）设A种文具每件的进价为x元，根据“用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同”列分式方程，求解即可； （2）设购进A种文具a件，则购进B种文具件，根据资金的范围列出一元一次不等式，求出a的取值范围，取正整数即可得到进货方案数； （3）表示出总利润与a的关系式，根据一次函数的增减性，即可求出利润最大对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设A种文具每件的进价为元，则B种文具每件的进价为元． 由题意得， 解得，  经检验 是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元； 【小问2详解】 解：设购进A种文具a件，则购进B种文具件． 由题意得： ，  整理得 ，  解得：， ∵a为正整数， ∴a的取值为18，19，20，共3种情况， 答：该文具店共有3种进货方案； 【小问3详解】 解：设总利润为W元，A种文具每件的利润为（元），B种文具每件的利润为（元）， 则：， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，此时． 答：购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大． 28. 如图，直线 与x轴，y轴分别交于B，A两点，直线交 y轴正半轴于点C，且线段的长是一元二次方程的一个根． （1）求直线的解析式： （2）动点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发，沿的路线向点A以每秒2个单位长度的速度运动（不与点C，A重合），连接，．设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）M为x轴上一点，在第三象限内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出点的坐标，即可得出结论； （2）分点在和上，求出和，利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）分三种情况利用菱形和平移以及对称的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，得，故； 令，则，解得：​，故， 解一元二次方程， 因式分解得， 解得：或， ∵C在y轴正半轴，∴，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 解得：， ， 因此，直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ． 当点在上时，即：，如图1， 过点作于， ， ， ， 由运动知，， ， ， 由运动知，， ； ②当点在上时，即：，如图2， 过点作于， ， ， ， 由运动知，， ， ， ， ； 综上，； 【小问3详解】 解：如图3， 由（2）知，， ∵以为顶点的四边形是菱形， ①和为菱形的边时，， ∵点在轴上， ， ∴由平移得，（舍去）； ②为边，为对角线时，关于x轴对称，则（舍去）； ③为对角线，为边时，，作的中垂线交轴于，交于， ， ， ， ， ， ， ∴， 由平移知， 综上，满足条件的点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $