第3章 第3节 三角函数的图像与性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第3节三角函数的图像与性质 ★[课程标准]1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶 性、最大（小）值.2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图 像与x轴的交点等)，正切函数在 ππ -22 上的性质。 夯实)必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1.对称与周期的关系 正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像中，五个关 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻 键点是.00，受1，x,0(-12x,0), 的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对 余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图像中，五个关 称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期； 正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个 键点是：0，D,,0,x,-1,(经0(2x,1)。 周期 2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质（下表中k∈Z) 2.与三角函数的奇偶性相关的结论 函数 y=sin x y-cos x y=tan x 1)若y=Asin(x十)为偶函数，则有9=x+罗 (k∈Z);若为奇函数，则有9=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(wx十9)为偶函数，则有o=kπ(k∈ 图像 0 Z):若为奇函数，则有9=x十受（∈Z). {xx∈R且x≠ (3)若y=Atan(x十p)为奇函数，则有g(k∈. 2 R R x叶受，k∈Z 自主诊断 值域 [-1,1] [-1,1] R ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 周期性 2元 里打“√”，错误的打“×”. (1)函数y=sinx的图像介于直线y=1与y= 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 一1之间. () 递增 (②)将余弦曲线向右平移交个单位就得到正弦 区间 曲线 ( ) 递减 无 区间 (3)函数y=sin(2x+) 是奇函数. ( 对称 中心 (） (④函数y一nx的对桥称轴方程为x=x+受∈2》 () 对称轴 方程 (5)正切函数在整个定义域内是增函数.() ·86· 第三章三角函数、解三角形 ◆[小题查验] 3(22·新高考卷，6)i记函数f)=sma+)+6 1.(教材改编)函数f()=sim2x+】 的最小正周 >0)的最小正周期为T若管<T<,且y一f) 期为 ( A.4π B.2π C.π 的图像关于点 ，2中心对称，则()() 2.(教材改编)已知函数f(x)=2sin 〔ar-w> A.1 B.3 C. D.3 0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为 4.函数y=tan (2+)的图像与x轴交点的坐标 A[k+]∈刀 是 5.(2022·全国乙卷，15)记函数f(x)=cos(wx+ B[kx-石，2kx+]k∈D )(w>0,0<<π)的最小正周期为T.若f(T) C[kx-号kx+若]k∈z 号x=晋为(x)的零点，则的最小值为 D[kr石，kx+5]k∈☑ 跃升>关键能力 层级突破素养提升 吉点1) 三角函数的定义域、值域问题 题后反思 1.求三角函数的定义域实际上就是解简单的三 ◆[命题角度]三角函数的定义域问题 角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图 (基础点) 像来求解 (1)函数y=√/sin x一cosx的定义域为 2.求三角函数的值域（最值）的常见题型及求解 策略： (I)形如y=asin x十bcos x十c的三角函数化为 (2)函数y=lg(sin2x)+√9-x的定义域为 y=Asin(wx十p)十k的形式，再求最值 题后反思 (值域)； 求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角 (2)形如y=asin2x十bsin x十c的三角函数，可 不等式，常借助于三角函数线或三角函数图像来 先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域 求解 (最值)； [命题角度2]三角函数的值域（最值）问题 (3)形如y=asin xcos x十b(sinx士cosx)十c的 三角函数，可先设t=sinx士cosx,化为关于 (基础点) t的二次函数求值域（最值）. (1)(2023·上海卷)已知a∈R,记y=sinx在区 间[a,2a]上的最小值为sa,在区间[2a,3a]上的 春点2 三角函数的单调性（重难点） 最小值为t。,则下列情况不可能的是( [典例] (1)y=m-2z的单调递减区间为 A.sa>0,ta0 B.sa<0,la<0 C.sa>0,la< D.sa<0,la>0 (2)函数y=sinx十cosx十sin xcos x的值域为 2)若fx)=2sinr+1w>0)在区间[-受，号] 上是增函数，则ω的取值范围是 ·87· 高考总复习人教数学B版（新教材） 核心素养 1跟踪训练 逻辑推理 三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表： 1.(2022·北京卷，5)已知函数f(x)=c0s2x- 信息提取 信息解读 逻辑推理 sin2x,则 解读 [吾受]是 推理一：由函数y sinx在区间 A.f(x)在 - 6 上单调递减 函数f(x)单调递增区 [2x受2m+] 已知f(x)= 间的子区间。 (k∈Z)上单调递增， B.f(x)在 2sin wr+1(w> 解读二：ωx的取值范 一至)上单调递增 求得f(x)=2sinw.x十 0）在区间 围是[一受受]的子 1(ω>0)的单调递增 区间. 上单调递减 [] .f)在0， 区间. 推理二：由不等式的 上是增函数 解读三：原点到区间 基本性质求出虹的 【号]两端点的 取值范围。 D.f)在（任）上单调递增 推理三：由正弦函数 距离不超过号 y=sinx的图形与性 质知原点到区间 2.(2024·湖南六校2月联考)将函数y=3im。一石 [受受]两端点 求参数ω的取 建立关于ω的不等 的图像向右平移9(0<<π)个单位长度后得到 值范围 式组 的距离等于子 f(x)的图像.若f(x)在 上单调递增，则 [尝试解答] (1) (2) 。[互动探究] Φ的取值范围为 在本例(1)中函数不变，求函数在[一π，0]上的单 调递减区间， A[] B[,] c[昏] D[贤] 专点3三角函数的奇偶性周期性和对称性（重难点） ◆[命题角度1]三角函数的周期性 1.设函数f(x)=cos x+)在[-，]的图像 大致如下图，则f(x)的最小正周期为 方法指导 求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后 的整体当作一个角u(或t),利用基本三角函 数的单调性来求所要求的三角函数的单调 A.0x 9 B.x 6 C.4x 3 区间. (2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左 2.(2023·天津卷)已知函数f(x)图像的一条对称 到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间， 轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4，则f(x)的 图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出 解析式可能为 三角函数的图像，结合图像易求它的单调 区间. A.)-sin B.f(r)-cos 提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数 为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身 C.f() sin D.f)=cos( 的定义域. ·88· 第三章三角函数、解三角形 方法点拨 跟踪训练 求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； 2.设函数f(x)=√3sin(2x十p)+cos(2.x十p)(|p (2)利用公式：y=Asin(ux十p)和y=Acos(a+p) <受)，且其图像关于直线x=0对称，则( 的最小正周期为 2π ,y=tan(awx十p)的最小正 Ay=fx)的最小正周期为，且在(0，受)上为 周期为品： 增函数 (3)利用图像：对含绝对值的三角函数的周期问 By-f()的最小正周期为x,且在0，上为 题，通常要画出图像，结合图像进行判断 减函数 跟踪训练 C.y-(x)的最小正周期为受，且在0，)上为 1.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( 增函数 A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 D.y-f(x)的最小正周期为受，且在〔0，)上为 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 减函数 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 ◆[命题角度3]三角函数奇偶性、对称性的 ◆[命题角度2】三角函数的对称轴或对称中心 应用 3.当x=平时，函数f(x)=sin(x十o)取得最小值， 5.(2024·拉萨市模拟)使函数f(x)=√3sin(2x十 则函数=（- 0)十cos(2x+0)是偶函数，且在[0，]上是减函 数的0的一个值是 A.是奇函数且图像关于点（受，0]对称 A晋 B骨 c D. 6 B.是偶函数且图像关于点（π，0）对称 6(2024·雅安市模拟)函数fu)=5sim2x+的 C.是奇函数且图像关于直线x-受对称 D.是偶函数且图像关于直线x=π对称 图像在区同0，受上的对称辅方程为 方法点拨 4.(多选)函数f(x)=cos( 函数f(x)=Asin(w.x十o)的奇偶性、对称性的应用 +g)。>0,e<号)的部 (1)若f(x)=Asin(wx十o)为偶函数，则当x=0 分图像如图所示，则下列 时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)= Asin(wx十o)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0. 结论正确的是 (2)对于函数y=Asin(wx十p),其对称轴一定经 A.w=π 过图像的最高点或最低点，对称中心一定是 B9=若 函数的零点，因此在判断直线x=x0或点 (x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时， Cx一子是函数的一条对称轴 可通过检验f(xo)的值进行判断. D.(k+子0]是函数的对称中心 跟踪训练 3.已知曲线f(x)=sin2x+√3cos2x关于点(xo,0) 方法点拨 若求f(x)=Asin(wx十o)的对称轴，只需令wz 成中心对称，若∈[0，]则一 十g-受+x∈Z》:泉r:若求f八r)=-Asin(x A B晋 c D. 十o)的对称中心的横坐标，只需令ωx十o=kπ(k C温馨提弱 学习至此，请完成配套训练 课时冲关26 ∈Z),求x即可. ·89[子题1]解析：当a<0时，sina= 子：当a>0时=a,血a= 3 答案：-是或号 [子题2]解：设α终边上任一点为 P(-4a,3a), 当a>0时，r=5a,sina= 5:cos a= 5 ,tan a=- 3 9 当a<0时，r=-5a,sina=一 3 5,cos a =号am=- 3 「子题3]解：由题设知x=一√3，y =71, r2=0P2=(-√5)2+m(0为 原点)，r=√3十m. ∴sina==2m=m r42√2 .r=√3+m=22, 即3十m2=8,解得m=士√5. 当m=√5时，r=2√2，x=-√5， y=W5, .'cos a= 2√2 41 tan a= 压， 3 当m=-√5时，r=2√2，x=-√5， y=-√5， 'cos a= 3 =- 2√2 4 tan a √5 3 考点4命题角度1 1.D2.D 命题角度2 3.D 4.解：如图所 示，画出2 P 与的正放 P2 M2M 线、余弦线、 正切线，由 图观察可 得，的正 弦线为MP1 ,4π的正弦线为M,P2: 5 二的正切线为A,号的正切线为 3 AT:要的余弦线为O,悟的余弦 线为OM;又|MPI>|MP2, -AT1<-AT2|<0,0> -OM>-1OM,1,所以 (1)sin>sin 31 (2)tan 5 2r∠tan 号：(3cas号>os号 .4π 参考答案 跟踪训练 (2)sin'a 2sin acos a- sin'a+2sin acos a 1.C2.二 sin a cos a 第2节 16_8 8 夯实·必备知识必备知识 -tan'a+2tan a-9 3 1+tan'a 251 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a sin a [子题3] 解：由如a+3cs0=5,得 tan a -tan a -tan a 3cos a-sin a 思考辨析(1)×(2)× (3)× tama+3=5,即ana=2, (4)/(5)× 3-tan a 小题查验 考点2 1.A2.B3.号 4.25.-1 (1)一3 2w53)-是 跃升·关键能力考点1 考点3 [母题][解](1)联立方程 [典例门 [解析])：(+a)十 1 sina+cosa=5，① (-a）=x, (sina十cos2a=1, ② 1 由①得c0sa= 一sina,将其代入 tam(答+a）-a[x-(骨-a] ②，整理得 m(借-） 25sin'a-5sin a-12=0. (2)因为日是第四象限角， ,a是三角形内角， 4 sin a= 且血(+)是 4 .tana= cos a=-3 3 所以叶平是第一象限角， 1 (2) =sin'a+cos'a 所以cos(0+平)=手 cos'a-sin'a cos'a-sin'a sin2a土cosa 所以m(9-至) cosa tan a-l cos'a-sin'a 1-tan'a' -sm[-受+(+)] cos a sim[受-(+)] .tan a= 3 tana1 =o(+)=-台 cos'a-sin'a 1-tana (0)-or[受+(-)] o[登-(+)] 1-(号) =血(+）=寻， [子题1] 解：由tana= 1 sm(9平) = 3cos a, 所以(-) eo(0-) 将其代入sina十cos2a=1, 得号cos时a=1. 3 ∴.c0s2a= 0,易知c0sa<0, [答案](1)- ③ (2)- 跟踪训练 2.A .'cos a= 3√10 10 sin a= y10 10 √10 第3节 故sina十cosa= 5 夯实·必备知识必备知识 [子题2] 解：由母题可知：tana= 2.2π 4 「2x-号2+受] [2k元-元，2kπ] (1)sin a-4cos a 2k+，2km+ 2 tan a-4 5sin a+2cos a 5tan a+2 [2k元，2k元十元] (kπ，0) -4 (x+受，0) x=kπ 3 5×()+2 7 思考辨析(1)√(2)√ (3)× (4)×(5)× 429 高考总复习人教数学B版（新教 小题查验 1.C2.D3.A 4.(管-0）k∈D5.3 跃升·关键能力 考点1命题角度1 1{x 4 4 3≤x<- 吾减或0<受} 命题角度2 (1)D (2) -12+] 考点2 [典例](1)[解析]y=- ) 的减区间是 y=sim(2x-晋)的增区间。 由2-受≤2x-号≤2kx+受 k∈Z,得一是≤<km+ 5π k∈Z.故所给函数的减区间为 [x意x+]z [答案] [km2k+12】 5π1 ,k∈Z (2)[解析] 第一步，求出f(x)= 2 sin wx十l(w>0)的单调递增区间. 由2kπ ≤ar≤2kx十 ，k∈Z 2 得f(x)的增区间是 [元+]6z 第二步，转化为集合之间的关系，即 [受等]是西故单调远培区 间的子区间. “x)[-受]上是增通数， 第三步，利用数轴，列出关于仙的不 等式组，解不等式组得“的取值 范围. 2 且 ae(o,] [答案] (o] 互动探究 解：x∈R时，y=sin(-2a）的减 区间为[kx一登k十]k π 5π 令k=0得-12≤x≤2 令=-1得<- 故x∈[-π，0]时， 如（答一2x)的诚区间为 [-]危] 材) 跟踪训练1.C2.B 命题角度3 考点3命题角度11.C2.B 跟踪训练1.B 5.AC[因为sina=-子，所以a 命题角度23.C4.ACD 跟踪训练2.B -吾+2km或a 7红+2kx,k∈Z.因 命题角度35.B6.2-是 为c0sa一0=，所以c0s(g-a) 跟踪训练3.C 第4节 号，所以月-a=吾十2k元或月-a 夯实·必备知识必备知识 -号十26x,k:∈Z,所以B=a十晋 1.sin acos B-cos asin B sin acos B- cos asin B cos acos B-sin asin B 十21x或B=a-号十2k1x,k∈Z cos acos B+sin asin B 2.2sin acos a cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a 当a=一若+2论，k∈乙时，若月=Q 3.(1)tan(a-B)(1-tan atan B)tan(a -B)(1+tan atan B) 十号+2x,则月=-晋+号+2 思考辨析(1)/(2)×(3)/ (4)×(5)× 十2kx=否+2(k+k)π，k,k∈Z,令 小题查验 1D2.D3.C4.-是 质十k1=n,则n∈Z,得月答十2m,n ∈Z:若月=a-号+2，x,则B=-后 跃升·关键能力 考点1 号+2mx=-受十2m,n∈7.同理 1.A2.-cos 1 可得，当a=7+2kπ，k∈7时，B= 6 3.解： tan 2 匹+2mm或g=5还+2m,n∈Z.综 2 6 /1+tana·tan2) 上，g吾十2m浅B=受+2m或月 -号十2m,n∈Z结合遂项可知， sin 2 cos 2) 选AC.] 6.解：：'tana=tan[(a-B)十B] tan(a-B)十tan3 1-sin a 1-tan(a-B)tan B cos a 1 27 0 3 2 -sin2号 1+2×号 sin合os号 0a<受， cos acos 2sin asin2 2X3 又，'tan2a 2tan a cos acos2 1-tan'a 1 3 =2cos a cos 2 2 =>0… sin a cos acos2 sin a' 0<2a<受， 考点2 命题角度1 1.D ∴.tan(2a-B)= tan 2a-tan B 1+tan 2atan B 2.解：sin50°(1十√3tan10) 3+1 =sin501+5·010） 4十7 cos10° =1. =sin50°Xcos10°+W5sim10 c0s10° 1 'tan B=-- 7 0, 2 1 =sin50°X 2 c0s10 受<K,-<2a-BK0, 2sin50°·cos50°_sin100 2a-g=-3x cos 10 c0s109 4 =c0s10° 考点3 c0s10 =1. [典例][解](1)函数f(x)= 命题角度23.D 4. 】c0S= ·430·