第2章 第13节 第1课时 利用导数证明不等式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 由上表可得，x=4时，函数f(x)在 区间(3,6)内的极大值点，也是最大 台（停-≥2 值点.所以，当x=4时，函数f(x)取 得最大值，且最大值等于42.所以， 整里得0>5r,故0<≤2.所以建 当销售价格为4元/千克时，商场每 日销售该商品所获得的利润最大· 造费用y=2πrlX3十4元rc=2πrX 考点4 专(2)×8+4r 1.ACD 2.ABC 第13节 第一课时 因此y=4π(c-2)r2+ 160x,0<r 考点1 ≤2. [典例][解](1)因为∫(x)=a(e 十a)-x,定义域为R,所以(x)= (2)由(1)得y'=8π(c-2)r 160π r ae-1, _8x(c-2( 当a0时，由于e>0,则ae0,故 f(x)=ae'-1<0恒成立， 由于c>3,所以c-2>0, 所以f(x)在R上单调递减； 当3-20 20 当a>0时，令f'(x)=ae-1=0,解 c-2 =0时，r=√-2 得x=-lna, 令=0 当x<-lna时，f(x)<0,则f(x)在 (一o∞，-lna)上单调递减； 所以y=8x(C-2(r-m)(,+rm 当x>-na时，f(x)>0,则f(x)在 r2 (-lna,十o∞)上单调递增； 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调 十m2). 递减； ①当0Km<2,中e>号时，当r=m 当a>0时，f(x)在(-oo,一lna)上 时，y=0; 单调递减， 当r∈(0，m)时，y'<0;当r∈(m,2) f(x)在(-lna,十o∞)上单调递增. 时，y>0. (2)证明：方法一：由(1)得，f(x) 所以r=m是函数y的极小值点，也 =f(-lna)=a(em“十a)+lna=1 是最小值点， +a'+In a, ②当m≥2，中3<c≤号时， 卖注x)>2na十号，即注1+a 当r∈(0,2]时，y<0,函数单调 3 递减， +lna>21na+2,即证。-之 所以r=2是函数y的最小值点。 lna>0恒成立，令g(a)=a2- 2 综上所递，当3<（≤号，建造费用最 lna(a>0),则g'(a)=2a- 小时r=2; 9 2a2-1 当c>之，建造衡用最小时， 320 =√-21 令g'(a)<0,则0<a< 2:令g'(a) 跟踪训练 解：1)因为x=5时，y=11,所以之 >0则。>9， 十10=11，即a=2. 所以g@)在号)上单论减，在 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 为y=, x-3 十10(x一6).所以商场 (，+上单延。 每日销售该商品所获得的利润 为f(x)= 所以a=()-（号）-号 红-[3+1o-61 -1n=1n>0,别ga)>0证 =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 成立， 从而，(x) =10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] 所以当a>0时，fu)>2na十号恒 =30(x-4)(x-6). 成立，证毕. 于是当x变化时，f(x),f(x)的变 方法二：令h(x)=e一x-1, 化情况如下表： 则h'(x)=e-1, x (3,4) 4 (4,6) 由于y=e在R上单调递增，所以 h'(x)=e-1在R上单调递增，又 '(x) h'(0)=e-1=0, 所以当x<0时，h'(x)<0;当x>0 f(x)单调递增极大值42单调递减 时，h'(x)>0: ·422· 所以h(x)在（一o,0)上单调递减， 在(0，十∞)上单调递增，故h(x)≥ h(0)=0,则e≥x十1，当且仅当x= 0时，等号成立， 因为f(x)=a(e十a)-x=ae十a -x=e+ae十a2-x≥x十lna十1十 a2-x, 当且仅当x十lna=0,即x=-lna 时，等号成立， 3 所以要证f(x)>2血a十2，即证x +lna+1十a-2>2na+号，即注 d--lna>0, 令g(a)=d-子-lna(a>0),则 g'(a)=2a- 1=2a2-1 a 令g(a)<0,则0<a<:令g(a》 >0,则a> 2 所以ga)在(0号)上单羽递减，在 所以xa(号)-() -In =ln√2>0，则g(a)>0恒 成立， 所以当。>0时，f(x)>2a十多恒 成立，证毕」 跟踪训练 [解] (1)由题意：f(x)= 工+1-1，得 e f(x)=2ax+1)e-(am2+x-1)e (e)2 --ax2十2ax-x十2」 e 2=2 f(0)= 即曲线y=f(x)在点(0，一1)处的切 线斜率为2， y=f(x)在点(0，-1)处的切线方 程为y-(-1)=2(x-0), 即2x-y-1=0. (2)证明：当a≥1时，f(x)十e ≥十x-1+e4 e 令g(x)=x2十x-1十e+1,则g'(x) =2x+1十e+1,g'(-1)=0,g'(x) 在R上为增函数. 当x<-1时，g(x)<0,g(x)单调 递减； 当x>-1时，g(x)>0,g(x)单调 递增. 所以g(x)≥g(-1)=0. 因此当a≥1，fx)十e≥0. 考点2 [典例][解](1)将x=-1代入切 线方程得y=一2， 所以-1)==-2，化黄得6 -a=-4.① f(x)=a(x+1)-(ax+b)·2z (x2+1)9 f(-1)=2a+26-a=-1,② 联立①②，解得a=2,b=-2.所以 f(.x)=2.x-2 x2+11 (2)证明：由题意知要证1n≥2-2在 x2+1 [1,十∞)上恒成立， 即证明(x2十1)lnx≥2x-2,xlnx 十lnx-2x十2≥0在[1，+∞)上恒 成立， 设h(x)=xlnx十lnx-2x十2，则 r(x)=2xnx+工+1-2，因为x x ≥1，所以2xlnx≥0，x+1≥2， ,工=2（当且仅当x=1时等号 成立)，即h'(x)≥0， 所以h(x)在[1，十o∞)上单调递增，h (x)≥h(1)=0, 所以g(x)≥f(x)在[1，十o∞)上恒 成立 (3)证明：因为0<a<b,所以么>1， 2· b-2 由(2)知1n a ，整理得 a ()+1 In b-In a 2a b-a a2+6 所以当0<a<b时， In b-ln a b-a 2a a2+b21 跟踪训练 解：(1)f(x)=xnx-之mx-x (m∈R)在(0，十∞)上是减函数， .f(x)=lnx-mx≤0在定义域 (0,十∞)上恒成立， m≥（工），设h()=血x, x 则'()=1-nz 由h(x)>0,得x∈(0，e),由h'(x) <0,得x>e, .函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e, 十∞)上单调递减， 1 ∴h(x)mx=h(e)= e.m≥ e 故宾载m的取值范润关[日中)】 (2)证明：由(1)知f(x)=lnx -mx, 函数f(x)在(0，十∞)上存在两个极值 点，x2,且<x2, 化m 参考答案 m=n十ln飞 x1十xg 从而(1+)(1+安)… 则 In z -In z2 x1一Tg (+)c ln西+ln_nx-ln, 而2<e<3,所以m的最小值为3. x1十xg x1一x2 跟踪训练 解：(1)由题，f(x)=e·ln(1十x) .ln+lnx2=-·ln 红一1 =e(1+)+) 故fo)=e·(1+o)+0)=1, 设t=4∈(0,1)，则1n西十nx f(0)=eln(1+0)=0, -=(t+1)·lnt 因此，曲线y=f(x)在(0，f(0)处的 t-1 切线方程为y=x. 要证lnx1+lnx2>2, (2)由(1)知，g(x)=f(x) 只需证中）：lnt>2,只需证1nt t-1 =e:(1++)片 <2只需n2=》 x∈[0，十∞)， t+1 则g(x)= 0,构造函数g(t)=lnt一2t-1D t十1 e·1+aa) 则g'(t)=1-4 =(1)9 2 五-(t+1)t(t+1) 设h(x)=ln(1十x)十1千z >0, 1 g()=1nt-2gD在te(0,1) (1+x)2, t+1 x∈[0，+o∞)， 上单调递增， 2 .g(t)<g(1)=0,即g(t)=lnt- 则h(x)=千z 十 2(t-1)<0, (1+x) t+1 x2+1 'In z +In z2>2. 1十x)1+>0, 考点3 故h(x)在[0，十o∞)上单调递增， [典例][解](1)f(x)=x-1-alnx, 故h(x)≥h(0)=1>0, x>0,则(x)=1-a=一0，且 因此g'(x)>0对任意x∈[0，十∞) x x 上恒成立， f(1)=0, 故g(x)在[0，十∞)上单调递增. 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在(0，十 (3)证明：设m(s)=f(s十t)一f(s) 0∞)上单调递增，所以0<x1时， f(t)=eIn(1+s+t)-e'ln(1+s) f(x)f(1)=0,不满足题意； -e‘ln(1+t), 当a>0时， 则m'(s)= 当0<x<a时，f(x)<0,则f(x)在 (0,a)上单调递减； e*[n)1] 当x>a时，f(x)>0,则f(x)在(a, 十∞)上单调递增. ①若0<a<1,f(x)在(a,1)上单调递 =g(s十t)-g(s), 增，所以当x∈(a,1)时，f(x)<f(1) 由(2)g(x)在[0，十∞)上单调递增， =0,不满足题意： 故>0，t>0时，m'(s)=g(s十t) ②若a>1,f(x)在(1，a)上单调递 g(s)>g(t)-g(0)> 减，所以当x∈(1，a)时，f(x)<f(1) g(0)-g(0)=0, =0,不满足题意； 因此，(s)在(0，十o)上单调递增， ③若a=1,f(x)在(0,1)上单调递 故m(s)>m(0)=f(0十t)-f(0) 减，在(1，十∞)上单调递增，所以 f(t)=-f(0)=0, f(x)≥f(1)=0满足题意. 因此，对任意的s,t∈(0，十∞)， 综上所述a=1. 有f(s十t)>f(s)十f(t). (2)由(1)知当x∈(1，十o∞)时，x-1 -lnx>0,令x=1十 品，容 第二课时 考点1 [典例][解](1)f(x)= (+安)， a-cos cos3sin rcos'sin cos'x 所以血（+)+n（1+)十 -a- cos'x+3sin'x cos'x =a- 3-2cos'x 1-<1 cos'x 令cos°x=t,则t∈(0,1)， ·423·第二章函数、导数及其应用 第13节导数的综合应用 ★[课程标准]1.理解并掌握利用导数解决不等式的恒成立、能成立问题.2.理解并掌握利用导数比较 大小、证明不等式.3理解并掌握利用导数研究函数的零点问题 第一课时 利用导数证明不等式 专题概述 利用导数证明不等式是高考考查的重点和热点，常转化为函数的单调性、最值问题求证. 跃升>关健能力 层级突破素养提升 吉原1 构造法证明一元不等式 跟踪训练 [典例](2023·新课标I卷)已知函数f(x)=a(e 已知函数f(x)=ax2+x一1 十a)-x. (1)讨论f(x)的单调性； (1)求曲线y=f(x)在点(0，-1)处的切线方程； (②)证明：当a>0时，x)>21na+号 (2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0. [尝试解答] 方法指导 利用导数法证明不等式f(x)>g(x)在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h(x)=f(x)一 g(x),然后根据函数h(x)的单调性或最值证明 h(x)>0.若函数f(x)与g(x)的最值易求出，可 直接转化为证明f(x)min>g(x)max;若函数f(x） 与g(x)的最值不易求出，可对h(x)=f(x)一 g(x)适当变形后进行转化. ·69 高考总复习人教数学B版（新教材） 春点2 等价转化法证明二元不等式 1跟踪训练 [典例](2024·青岛市模拟)已知函数f(x)= (2024·濮阳市模拟)已知函数f(x)=xlnx一 a士也在点(-1，f(-1)处的切线方程为x十y x2+1 m.x2-x(m∈R). 1 十3=0. (1)若函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，求实数 (1)求函数f(x)的解析式； m的取值范围； (2)设g(x)=lnx,求证：g(x)≥f(x)在[1，十o∞)上 (2)若函数f(x)在(0，+∞)上存在两个极值点 恒成立； x1,x2,且x1<x2,证明：lnx1+lnx2>2. (3)若0<a<b,求证：lnb-lna>2a b-a a2+b21 [尝试解答] 吉点3 赋值法证明正整数不等式 [典例]已知函数f(x)=x一1一alnx. (1)若f(x)≥0，求a的值； (2)设m为整数，且对于任意正整数n 〔++-+ <m,求m的最小值 [尝试解答] 方法指导 证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最 值、单调性证明。 (1)证明不等式f(x)<g(x),可构造函数F(x) =f(x)一g(x),利用导数求F(x)的值域，得 到F(x)<0即可； (2)对于证明含有两个变量a,b的不等式时， 种方法是通过变形构造成不等式f(a)> f(b),然后利用函数f(x)的单调性证明，另 一种方法是通过换元构造成单变量不等式， 如本例令x一么，然后再利用已知关系证明 即可. 70 第二章函数、导数及其应用 (3)证明：对任意的s,t∈(0，十o∞)，有f(s+t)> 方法指导 f(s)+f(t). 证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实 数的范围内，通过构造正实数的不等式进行证 明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的 函数不是可导函数，使用导数就是错误的」 跟踪训练 (2022·北京卷，20)已知函数f(.x)=eln(1十x). (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 方程； (2)设g(x)=(x),讨论函数g(x)在[0，+o∞) C温馨提 上的单调性； 学习至此，请完成配套训练 课时冲关20 第二课时 利用导数研究不等式的恒（能）成立问题 专题概述 利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点，常转化为函数的最值问题求解， 跃升>关键能力 层级突破素养提升 春点1 分离参数法求参数范围 第二步，利用导数求出函数f2(x)(x∈D)的 [典例](2023·全国甲卷)已知函数f(x)=a.x 最大（小）值： sin x 第三步，解不等式f1(入)≥f2(x)max或f(入) (1)当a=8时，讨论f(x)的单调性； ≤f2(x)min从而求出参数入的取值范围. (2)若f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围. 跟踪训练 [尝试解答] (2024·南昌市模拟)已知函数f(x)=ln(a.x)+ bx在点(1，f(1)处的切线是y=0. (1)求函数f(x)的极值： ②)当mz≥fx)+ez(m<0)恒成立时，求 e 实数m的取值范围(e为自然对数的底数)， 方法指导 已知不等式f(x,λ)≥0（入为实参数）对任意的 x∈D恒成立，求参数入的取值范围.利用导数 解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步 骤如下： 第一步，将原不等式f(x,)≥0(x∈D,λ为实 参数)分离，使不等式的一边是参数，另一边不 含参数，即化为f1(入)≥f2(x)或f1(入)≤ f2(x)的形式； 71