第2章 第9节 函数模型及应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

[子题1]解析：由母题解析知a= 根据图像可解得f(x)=0.25x(x≥0). 或a≥0. g(x)=2√E(x≥0). e (2)(i)由(1)得f(9)=2.25, 答案：[0，十∞)U g(9)=29=6. [子题2]解析： 所以总利润y=8.25万元. 函数f(x)= (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投 lnx-x-a的 入(18一x)万元，该企业可获总利润 零点，即为关 为y万元. 于x的方程ln x-x-a=0的 则=子18-)+2E,0≤≤18 实根，将方程lnx一x一a=0化为方 令√元=t,t∈[0,3√2]， 程lnx=x十a,令y=lnx,y2=x十 a,由导数知识可知，直线y2=x十a 期y=子(-f+81+18) 与曲线y1=lnx相切时有a=一1， 所以关于x的方程lnx-x一a=0 =-子4-40+号 2 有两个不同的实根，实数Q的取值范 围是(-∞，一1). 所以当1=4时y号 8.5, 答案：(-∞，-1) [子题3]解析：令g(x) 此时x=16,18-x=2. fzln z,x>0, 所以当A,B两种产品分别投入2万 {-x2-2x,x≤0， h(x)=a,则问题 元、16万元时，可使该企业获得最大 转化为g(x)与 利润，约为8.5万元. h(x)的图像有 g (x) 命题角度2 三个交点， h(x) 2.解：(1)若m=2,则v=2·2'+21- g(x)图像如 图.由图像知 2(+) ∠a<1. 当u=5时，2十 5 = e 2 2 答案(-日1）】 令2二≥1》则叶是-是 2 跟踪训练BC 即2x2-5.x十2=0， 第9节 夯实·必备知识必备知识 解得x=2或x=2(舍去)，此时t 2.单调递增单调递增 单调递增 =1. y轴x轴 所以经过1分钟，物体的温度为5摄 思考辨析(1)×(2)/(3)× 氏度 (4)×(5)/ (2)物体的温度总不低于2摄氏度， 小题查验 即U≥2恒成立， 1.C2.25003.204.2ln21024 跃升·关键能力考点1 亦m·2+号≥2设成立，亦即m≥ 1.B2.②3.①②③ 考点2 (位)成立 [典例]ACD[·L-L,=20X gg-20×g2=20×1g ≥0· 令2=，期0<<1， Po m≥2(y-y)恒成立， ≥1，p1≥2，所以A正确； 由于y了≤m≥2 L,-L,=20X1g2>10, 因此，当物体的温度总不低于2摄氏 是≥10，所以B g2≥号， 度时m的取值范图是[合，十∞） 错误； 命题角度3 3.解：(1)第一步分别列出0<x≤40 :L,=20×1g2=40,.2=100, 和x>40时对应的利润W.当0<x 所以C正确； 40时，W=xR(x)-(16x+40)= L-L%=20X1g2≤90-50 -6x2+384x-40,当x>40时，W= xR(x)-(16.x+40)=- 40000 =40lg会≤2， 16.x+7360. 第二步列出利润W的分段函数 .≤100，所以D正确.] -6x十384x-40,0x40, 跟踪训练B 所以W= 40000 -16z+7360,x>40. 考点3命题角度1 x 1.解：(1)设A,B两种产品分别投资x (2)第三步 计算0<x≤40时的利 万元，x万元，x≥0，所获利润分别为 润W的最大值 f(x)万元、g(x)万元. ①当0<x≤40时，W=-6(x-32)2 由题意可设f(x)=k1x,g（x)= +6104. k2√E. 所以Wmx=W(32)=6104; ·419· 参考答案 第四步计算x>40时的利润W的 最大值 ②当x>40时，W=- 40000-16x x +7360, 由于40000 +16x≥2 40000×16x x x =1600, 当且仅当40000=16x,即x=50∈ (40,十∞)时，取等号，所以W取最 大值为5760. 第五步得出本题的利润W的最 大值 综合①②，当x=32时，W取最大值 为6104万元. 跟踪训练 解：(1)G(x) 3.x2+20x,0≤x≤40，x∈N, 20ir+1800-3350,40<≤80x∈N. .当0x40时， P(x)=200x-(3x2+20x)-1500 =-3.x+180x-1500. 当40<x80时， P(.x)=20.x-205x-18000+3350 -1500=-5z-1800+1850. x 综上所述，P(x) -3.x+180x-1500,0≤x40, ）-5. _18000+1850,40<x≤80. (2)由(1)得P(x)= -3x2十180x-1500,0≤x≤40(x∈)， -5x 1800+1850,40<≤80ze0, .当0x≤40时，P(x)=一3x2+ 180x-1500=-3(x-30)2+1200, ∴.当x=30时，P(x)mx=1200(万元)： 当40<x80时， P(x)=-5x-18000+1850 x =1850-5x 3600 x 3600 ≤1850-5×2/红· =1250(万元)， 当且仅当x=3600,即工=60时等 x 号成立， 又1250>1200. 故当年产量为60百台时，公司获利 最大，且最大年利润为1250万元. 第10节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)切线的斜率y-f(xo)=了(xo) (x-x)3.0ax2-1 cos x -sin x e*a"ln a4.(1)f(x)士g(x) (2)f(z)g(z)+f(z)g(x) 5.(2)yu' 思考辨析(1)√(2)×(3)√ (4)×(5)/第二章函数、导数及其应用 第9节函数模型及应用 ★[课程标准]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情 境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具， 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术 语的现实含义」 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (2)建模：将文字语言、图形（或数表）等转化为数学 1.常见的函数模型 语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实 际问题化为数学问题； 函数模型 函数解析式 (3)求解：求解数学问题，得出数学结论： 一次函数型 f(x)=a.x+b(a,b为常数，a≠0) (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原 f(x)=a.x2十bx+c(a,b,c为常 为实际问题的答案. 二次函数型 数，a≠0) 重要结论 f(x)=bax+c(a,b,c为常数，a 指数函数型 形如f(x)=x十4(a>0)的函数模型称为“对勾” >0且a≠1，b≠0) 函数模型： f(x)=blogax+c(a,b,c为常 对数函数型 数，a>0且a≠1，b≠0) (1)该函数在（一o∞，一√a)和[√a,十o∞）上单调递 幂函数型 f(x)=a.x”+b(a,b为常数，a≠0) 增，在[-√a,0)和(0，√a]上单调递减. (2)当x>0时，x=√a时取最小值2√a,当x<0 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像 与性质 时，x=一√a时取最大值一2√a. 函数 自主诊断 y=ar y=logax y=xn 性质 (a>1) (a>1) (n>0) ◆[思考辨析] 在(0，十∞) 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 上的增减性 里打“√”，错误的打“×”. 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 (1)函数y=2r的函数值在(0，+∞)上一定比y 随x的增大 随x的增大 =x2的函数值大 随n值 逐渐表现为 逐渐表现为 (2)在(0，+o∞)上，随着x的增大，y=a(a>1) 图像的变化 变化而 与 与 的增长速度会超过并远远大于y=x“(a>0)的 各有不同 平行 平行 增长速度， ) 存在一个x0,当x>x0时，有logax (3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b+c(a≠ 值的比较 <x"<a 0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻. ) 3.解决应用问题的基本步骤 (4)幂函数增长比直线增长更快. ( ) (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关 (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时 系，恰当选择模型： 间内变化量较大的实际问题中. ( ) ·53· 高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[小题查验] 2.(教材改编)某工厂生产某种产品固定成本为 1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵 2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加 塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行 10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数， 驶.与以上事件吻合得最好的图像是 ( K(Q)=40Q- 六Q,则总利润L(Q)的最大值是 ◆距学校的距离 补距学校的距离 万元 3.在如图所示的锐角三角形空地 中，欲建一个面积最大的内接矩 时间 时间 形花园（阴影部分），则其边长x A B 为 (m). 个距学校的距离 距学校的距离 40m 4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知 病毒的繁殖规律为y=e:(其中k为常数，t表示 时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则 时间 时间 ,经过5小时，1个病毒能繁殖为 个 跃升>关键能力 层级突破素养提升 吉点1果函数图像刻画实际问题中两变量的 3.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相 变化过程（基础点） 关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期 1.(2024·云南师大附中校考期末)如图是根据原 卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童 整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为 生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身 w=f),用-fb)二f@的大小评价在[a,b] b-a 高（长）的中位数散点图，下列可近似刻画身高y 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改 随年龄x变化规律的函数模型是 期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系 ◆身高/cm 120 110 如图所示. 100 90 80 W 70 甲企业 50--------年龄/岁 00.511.522.533.544.555.566.5 乙企业 乙企业 A.y=mx+n(m>0) 污水达标排放量 甲企业 B.y=m√a+n(m>0) 0 C.y=ma*+n(m>0,a>1) 给出下列四个结论： D.y=mlogax+n(m>0,a>1) ①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力 2.一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示， 比乙企业强； 其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼 ②在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企 缸水深为h时的水的体积为V,则函数V=f(h) 业强； 的大致图像可能是图中的 ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已 达标； ④甲企业在[0，t1],[t1t2],[t2,13]这三段时间 中，在[0，t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是 54 第二章函数、导数及其应用 题后反思 虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的 两种方法 得的信息素浓度y满足1ny=一n1一冬，2十 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 a,其中k,a为非零常数.已知释放信息素1秒 型时，先建立函数模型，再结合模型选图像. 后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则 m;若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置， 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点， 信息素浓度为受，则 ( ) 结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排 A.3 B.4 C.5 D.6 除不符合实际的情况，选择出符合实际情况 的答案. 点3)构建函数模型解决实际问题（应用点） 专点2)应用所给函数模型解决实际问题（重难点） ◆[命题角度1]构建二次函数模型 1.某企业生产A,B两种产品，根据市场调查与预 [典例]（多选）(2023·新课标I卷)噪声污染问 测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1： 题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强 B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关 弱，定义声压级L。一20X1g名其中常数0( 系如图2（注：利润和投资单位：万元）. >0)是听觉下限阈值，力是实际声压.下表为不 ty利润涧) y利润涧 同声源的声压级： 0.45 6 0.25 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 0 1.8 x(投资) 04 9x(投资) 燃油汽车 10 60~90 图1 图2 混合动力汽车 10 50~60 (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的 电动汽车 10 40 函数关系式。 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部 处测得实际声压分别为1,2,3，则 ( ) 投入A,B两种产品的生产 A.p1≥p2 B.P2>10P3 (ⅰ)若平均投入生产两种产品，可获得多少 C.p3=100po D.p1≤100p2 利润？ [尝试解答] (ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投 [追踪教材]本题以噪声污染为背景与物理知 资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约 识交汇，定义声压级，考查对数函数的实际运用， 为多少万元？ 参照人教B版《必修第二册》第44页例4命制. 方法指导 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待 定系数 (3)利用该模型求解实际问题」 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取 值范围. 跟踪训练 (2024·河北高三校联考)昆虫信息素是昆虫用 来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物 质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆 虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协 同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏 散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素 在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病 虫害的预报和防治中较多使用.研究发现，某昆 55 高考总复习人教数学B版（新教材） 规律总结 核心素养 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型 数学建模一在分段函数中应用的核心素养 可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化 问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配 信息提取 信息解读 数学建模 方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的 年固定成本为 固定成本，与产量、销 模型1：求利润最大 关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处 40万美元 量无关 模型 取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值； 每生产1万只 变动成本，与产量正相 着眼点：利润=销售 若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端 还需另投入16 关，每生产x万只手机 收入一成本.成本包 万美元 增加成本16x万美元 点处取得， 含固定成本、变动成 每万只的销售 年利润=年销售总收 本等所有题干涉及的 ◆[命题角度2]构建指数函数模型 收入为R(x)万 入一固定成本一变动 成本 2.已知某物体的温度o(单位：摄氏度)随时间t(单 美元 成本，则W=xR(x) 模型2：分段函数模型 位：分钟)的变化规律是v=m·2十21-1(t≥0， (16.x+40) 着眼点：分段函数的 年利润W(万美 注意：R(x)为每万只 最值是其每个区间段 并且m>0). 元)关于年产量 的销售收入，年销售总 上的最值中的最大者 (1)如果m=2,求经过多长时间，物体的温度为5 x(万只)的函数 收入应该为xR(x),x 或最小者，应分别求 摄氏度； 解析式 为年产量（万只） 解后进行比较 (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取 注意：实际问题中，工 R(x)是分段函数，那么 所获得的利润 的取值不仅要使函数 值范围 W(x)也是分段函数，需 最大时的年 有意义，也要有实际 要分别求出每段上的最 产量 意义 值，比较后取其大者 规律总结 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函 数模型y=N(1+p)r(其中N是基础数，p为增 长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1十x)”(其 规律总结 中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解 1.本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于 题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中 自变量在不同范围内，对应的函数解析式不 给定的值对应求解. 同，因此，此类问题最值的求解是必须先求出 ◆[命题角度3]构建分段函数模型 函数在每个区间内的最值，然后将这些区间内 3.已知华为公司生产某款华为手机的年固定成本 的最值进行比较确定最值】 为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美 2.解函数应用题的一般程序 元.设华为公司一年内共生产该款华为手机x万 第一步：审题一弄清题意，分清条件和结论， 只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万 理顺数量关系； 400一6x,0x40, 第二步：建模—将文字语言转化成数学语 美元，且R(x) 740040000 言，用数学知识建立相应的数学模型； 22 ,x>40. 第三步：解模—求解数学模型，得到数学 (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只) 结论； 的函数解析式； 第四步：还原一将用数学方法得到的结论还 (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款华 原为实际问题的意义； 为手机的生产中所获得的利润最大？并求出最 第五步：反思一对于数学模型得到的数学结 大利润. 果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 ·56· 第二章函数、导数及其应用 跟踪训练 (1)求企业获得年利润P(x)(万元)关于年产量x “硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光 (百台)的函数关系式（利润=销售收入一成本）； 电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等 (2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润 为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物 最大？并求最大年利润. 理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原 创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被 复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的 企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主 研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从 2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x 百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固定成 本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百 台高级设备需要另投成本G(x)万元，且G(x)= 3.x2+20x,0≤x≤40，x∈N, 205x+180-3350,40<x≤80，x∈N, 每台 高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关16 备能够全部售出. 第10节 导数的概念与计算 ★[课程标准]1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背 景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.2.通过函数图像直 观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=x2,y=x2,y=x3,y= )厅的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导教的四则运算法则，求简单函数的导 1 数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax十b))的导数， 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 在f(x)的定义域内，f(x)是一个函数，这个函数 1.函数y=f(x)在x=xo处的导数 通常称为函数y=f(x)的导函数 (1)定义：一般地，设函数y=f(x)在xo附近有定 记作f(x)(或y,yx),即f(x)=y=yx= 义，自变量在x=xo处的改变量为△x,当△x imf(x十△)一fx),导函数通常也简称为 △x→0 △x 无限接近于0时，若平均变化率 导数 △x =fo+△x)-f(xo) 3.基本初等函数的导数公式 △.x 基本初等函数 导函数 无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数 f(x)=c(c为常数)》 f'(x)= f(x)在x=xo处的瞬时变化率.此时，也称 f(x)= f(x)在xo处可导，并称k为f(x)在x=xo处 f(x)=x“(a∈Q*) 的导数，记作f'(xo)=k. f(x)=sin x f(x)= (2)几何意义：f(x)就是曲线y=f(x)在点(xo, f(x)=cos x f(x)= f(xo))处（也称在x=xo处）的 .相应 f(x)-ex f(x)= 地，切线方程为 f(x)=a"(a>0) f'(x)= 2.函数y=f(x)的导函数 一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一 f(x)=In x ()-I 点x都可导，则称(x)可导，此时，对定义域内的 f(x)=logax(a>0,a≠1) f'(x)= 1 每一个值x,都对应一个确定的导数子(x),于是， xIn a ·57