第2章 第7节 函数的图像-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第7节函数的图像 ★[课程标准]1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表法、解析法表示函数.2.会运用函 数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.3.会结合函数性质判断或选择 函数的图像 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.利用描点法作函数的图像步骤 1.函数图像自身的轴对称 (1)确定函数的定义域； (1)f(一x)=f(x)台函数y=f(x)的图像关于y (2)化简函数解析式； 轴对称： (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称 (2)函数y=f(x)的图像关于x=a对称台f(a十 性等)； x)=f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x) (4)列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 f(2a+x); 点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。 (3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x) 2.利用图像变换法作函数的图像 =f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x= (1)平移变换 十比对称， 2 y=f(x)+k 2.函数图像自身的中心对称 上k(k>O) (1)f(一x)=一f(x)台函数y=f(x)的图像关于原点 移个单位 对称； 左移 右移 y=f(x+a) y=f(a) a(a>0) a(a>0) y=f(x-a) (2)函数y=f(x)的图像关于(a,0)对称台f(a+x) 个单位 下kk>0) 个单位 -f(a-x)台f(x)=-f(2a-x)台f(-x) 移个单位 -f(2a+x); (3)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称 (2)对称变换 台f(a+x)=2b-fa-x)台fx)=2b-f(2a-x). 关于x轴对称 ①y=f(x)- y 3.两个函数图像之间的对称关系 关于y轴对称 (1)函数y=f(a十x)与y=f(b-x)的图像关于直 ②y=f(x) y= 关于原点对称 ③y=f(x)H y 线x=。对称（由a十x=一x得对称轴 ④y=ax(a>0且a≠1) 关于y=x对称 方程)； (2)函数y=f(x)与y=f(2a一x)的图像关于直线 y= x=a对称； (3)伸缩变换 (3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图像关于点 Q>1,横坐标缩短为原来的一倍，纵坐标不变 (0,b)对称； ①y=f(xH (4)函数y=-f(.x)与y=2b-f(2a一x)的图像关于 0<a,横坐标伸长为原来的】倍，纵坐标不变 点(a,b)对称. 自主诊断 a>l,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 ②y=f(x) 0<a1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 y- (4)翻转变换 里打“√”，错误的打“X” 保留x轴上方图像 (1)函数y=2x的图像关于直线x=0对称. ①y=f(x) 将x轴下方图像翻折上去广y一 ( 保留y轴右边图像，并作其 (2)当x∈(0，十∞)时，函数y=|f(x)|与y= ②y=f(x) 关于y轴对称的图像 y- f(x)的图像相同. ) ·46· 第二章函数、导数及其应用 (3)函数y=f(x)与y=一f(x)的图像关于原点 2.(教材改编)函数f(x)的图像向右平移1个单位 对称. ( 长度，所得图像与曲线y=ex关于y轴对称，则 (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1一x),则 f(x)的解析式为 函数f(x)的图像关于直线x=1对称.() A.f(.x)=e+1 B.f(x)=ez-1 (5)将函数y=f(一x)的图像向右平移1个单位 C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=e-x-1 得到函数y=f(-x-1)的图像. ( 3.函数f(x)= 一x的图像关于 ) x ◆[小题查验] A.y轴对称 B.直线y=一x对称 1.函数y=x|x|的图像经描点确定后的形状大 C.原点对称 D.直线y=x对称 致是 4.(教材改编)为了得到函数f(x)=log2x的图像， 只需将函数g(x)=1og:专的图像向 平移 个单位 5.若关于x的方程|x=a一x只有一个解，则实数 a的取值范围是 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题后反思 吉点1) 作函数的图像（基础点） 分别作出下列函数的图像： 画函数图像的一般方法 (1)y=elnz; (1)直接法.当函数表达式（或变形后的表达式） (2)y=|1og2(x+1)|; 是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的 (3)y=ax(0<a<1); (4)y= 2.x-1 特征直接作出 x-1 (2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数 的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图 像变换作出，但要注意变换顺序.对不能直接 找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意 平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解 析式的影响。 易错警示：可先化简函数解析式，再利用图像的变 换作图。 专点2 函数图像的识别（重难点） ◆[命题角度1]由函数解析式选图 [典例1] 2.x3 4)函数y=2十2在[-6,6]的图像 大致为 f 47 高考总复习人教数学B版（新教材） (2)(2022·全国甲卷，5)函数y=(3一3x)cosx 2.(2023·天津卷)函数y=1十 在区间[一受，受]的图像大致为 x+函数f(x)的图像如图所 示，则f(x)的解析式可能为 -2 A.f(x)=5(er-e-x) x2+2 B B.f(x)= 5sin x x2+1 1 C.f(z)= 5(eztez) x2+2 D.f(x)= 5cos a x2+1 D [尝试解答](1) (2) [命题角度2]用函数的变化趋势及特殊值选图 [典例2]如图，长方形ABCD的边AB=2,BC 方法指导 1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA 知式选图的策略 运动，记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离 (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函 之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像 数的值域，判断图像的上下位置； 大致为 (2)从函数的单调性（有时可借助导数判断），判 断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点（与坐标轴的交点、经过的定 点、极值点等)，排除不合要求的图像。 易错警示：注意联系基本函数图像的模型，当 T 3πTx 0TT3πTx 选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻 4 424 找突破口. 跟踪训练 1.函数y=一x4+x2+2的图像大致为 D 破题关键点了“解本题关键是抓住动点P的几个 :不同位置，确定其不同的函数形式，从而求出解析 式，并进而确定函数图像，同时要注意结合函数的 某一性质或特殊点进行排除. [尝试解答] ·48· 第二章函数、导数及其应用 方法总结 A.(-∞，-1] B.(0,十∞) 1.解决动点的函数问题思路：采用“以静观动”，即 C.(-1,0) D.(-∞，0) 将动点处于某些特殊的位置处考查图像的变化 3.(多选)已知直线y=-x十2分别与函数y=e 特征，从而作出选择」 和y=lnx的图像交于点A(x1,y1),B(x2y2) 2.知式选图的解题思路：根据解析式结合所给图 则下列结论正确的是 像，灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错 A.x1+x2=2 B.eri+e">2e 误的选项，快速选择 C.x1In x2+x2In 1<0 D12>9 2 跟踪训练 ◆[命题角度3]求参数的取值或范围 3.如图，圆O的半径为1，A是圆 4.(2024·陕西宝鸡校考模拟预测)已知函数f(x) 上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA,终边为射线 log2x(0<x<2), 若关于x的方程f(x) OP,过点P作直线OA的垂线， x2+8.x-15(x≥2) 垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x =kx一2有三个互不相等的实根，则实数k的取 的函数f(x),则y=f(x)在[0，π]上的图像大 值范围是 致为 A,) B.(2,-2+8】 C.(-2√13+8,1) n(合 规律总结 春点3 函数图像的应用 (1)利用函数的图像研究函数的性质，一定要注 ◆[命题角度1]研究函数的零点或方程解的 意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义 个数 域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应 1.如图，函数f(x)的图像为两 单调性，对称性对应奇偶性. 条射线CA,CB组成的折线， 如果不等式f(x)≥x2-x一a4 (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参 -10 2八x 的解集中有且仅有1个整数， 数的值（范围）：构造函数，转化为两函数图像 的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出 则实数a的取值范围是 两函数的图像，数形结合求解. A.{a|-2<a<-1} B.{a|-2≤a<-1} (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数 C.{a|-2≤a<2} D.{aa≥-2} 法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将 [命题角度2]求不等式的解集或判断不等式是 不等式问题转化为两函数图像的上、下关系 否成立 问题，从而利用数形结合求解， x,x0 2.设函数f(x》 则满足f(x+1)< 1,x>0, C温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关14 f(2x)的x的取值范围是 49高考总复习人教数学B版（新教材） 跟踪训练 1.D2.(1,4) (3)y (0<a1), 考点3 x0 [典例](1)[解] ∴只需作出0<a<1时函数y=a 将方程整理 (x≥0)和y (日) (x<0)的图像， 得2=-x十3， l0g2x=-x十 合起来即得函数y=a(0<a<1) 3.如图可知， 的图像.如图(3)所示. /123 a是指数函数y =2的图像与直线y=一x十3交点 A的横坐标，b是对数函数y=log2x 的图像与直线y=一x十3交，点B的 -10 横坐标 -2-10123x -u 由于函数y=2与y=1og2x互为反 图(3) 图(4) 函数，所以它们的图像关于直线y x对称， (4)y=2十 故函数图像可由 由题意可得出A、B两，点也关于直线 y=- y=x对称， 的图像向右平移1个单位，再 于是A、B两，点的坐标为A(a,b), 向上平移2个单位而得，如图(4) B(b,a).而A、B都在直线y=一x十 所示 3上， 考点2命题角度1 所以b=一a十3(A点坐标代入)， [典例1](1)B[:y=f(x)= 2x8 或a=一b十3(B,点坐标代入)，故a +b=3. 2+2x∈[-6,6]， (2)[解]①要使函数f(x)=log(1 f(-x)=2-x) 2x+2 2-x+2 -2)有意义， =-f(x), 则1-2>0，即2<1. ∴f(x)是奇函数，排除选项C. 故x<0,此时0<1-2<1， =128 ∴.f(x)=1og2(1-2)0, 当x=4时，y=,2X4 21+27 故函数∫(x)的定义域为（一∞，0）， 16十16 值域为（一∞，0）. (7,8),排除选项A,D.] ②证明：由y=f(x)=log2(1-2), (2)A[设f(x)=(3-3)cosx, 可得1-2=2，解得x=log2(1一 f(-x)=(3x-3)cos(-x)= 2),故原函数的反函数为y=f(x) 一f(x),所以f(x)为奇函数，排除B、D, =log2(1一2)，与原函数相同，所以 令x=1,则f(1)=(3-31)cos1> 函数y=f(x)的图像关于直线y=x 0,排除C.] 对称 跟踪训练1.D2.D 第7节 命题角度2 [典例2]B[当，点P位于边BC上 夯实·必备知识必备知识 2.(1)f(x)-k(2)-f(x)f(-x) 时，∠0P=,0≤≤圣，则器 -f(-x)logx(a>0且a≠1) tanx,∴.BP=tanx,.AP= (3)f(az)af(z)(4)f(z)f() √4+tanx,∴.f(x)=tanx+ 思考辨析(1)/(2)× (3)X (4)/(5)X V4中amz(0<r≤平）可见y 小题查验 f(x)图像的变化不可能是一条直线 1.A2.D3.C4.上3 或线段，排除A,C.当点P位于边 5.(0,十∞) CD上时，∠BOP=,子<≤要 跃升·关键能力考点1 则BP十AP 解：(1)函数的定义域为{xx>0}, 且y=ex=x(x>0), =√BC+CP+√AD+DP 其图像如图(1)所示 /1+(1- 1 tan x 1 1+(（1+az 012x 当点P位于边AD上时，∠BOP= -1 图(1) 图(2) ,3≤x≤， x, (2)将函数y=1og,x的图像向左平 移一个单位，再将x轴下方的部分沿 、则分tan(元一x)=tamx x轴翻折上去，即可得到函数y ..AP=-tan x, l0g2(x十1)的图像，如图(2)所示. .BP=√4十tanx, ·418· .f (x)=-tan x v4+tanx (≤≤x)根据画数的解折式可 排除D.] 跟踪训练3.C 考点3命题角度11.B 命题角度22.D3.ABC 命题角度34.B 第8节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)交点的横坐标零点2.{xx1 <x<x2}00 思考辨析(1)×(2)×(3)/ (4)/(5)/ 小题查验 1.C2.B3.1.56 4(号) 跃升·关键能力 考点1 1.A2.B3.D 考点2 [典例门[解析] 第一步作 函数y=f(x) 的图像 作出函数y= f(x)的图像， 如图. 第二步解方程2(x)-3f(x)十1 =0 由2f(x)-3f(x)+1=0, 得fx)=或fx)=1 第三步观察)y一之和)=1与y广f 的图像交，点个数 由图像知y=合与y=∫x)的图像 有2个交点，y=1与y=f(x)的图像 有3个交点. 第四步得出函数的零，点个数 因此函数y=2f(x)-3f(x)十1的 零点有5个. [答案]5 跟踪训练1.C2.2 考点3 [母题][解析] 令g(x)=znx, g(x) h(x)=a,则问 题可转化成函0 数g(x)与h(x)- h(x) 的图像有两个 交点.g(x)=lnx十1，令g'(x)<0, 即1nx<-1,可解得0<x<:令 g'(x)>0,即lnx>-1,可解得x> 是，所以，当0<x<时，函数g(四 单调递减；当x>上时，函数g()单 e 调递增，由此可知当x= 时 e g(x）nin=- 在同一坐标系中作 1 出函数g(x)和h(x)的简图如图所 示，据图可得-1<a<0. e [答案]