第2章 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

3.解析：y=a-1的图像是由y=a跃升·关键能力考点1 先向下平移1个单位，再将x轴下方 的图像沿x轴翻翩折过来得到的， 1.AD2.-73.-2 43 atb 当a>1时，两图像只有一个交点，不考点2 合题意，如图(1)； [母题] B[法一： 当0<a<1时，要使两个图像有两个 构造函数f(x)=4 2 交点，则0<2a<1,得到0<a<2, 和g(x)=logx,当f) a>1时不满足条 如图(2) 件，当0<a<1时， re2a [y 画出两个函数在 g(x) (,]上的图徐 图(1) 图(2) 可知，（）<（）脚< 综上，a的取值范围是 0,2) 1 og,则a>兰，所以a的取值范 答案：(0,2) 跟踪训练1.D2.1 用为( 考点3命题角度1 1.C 1 法二：r0<≤21<4≤2， 命题角度22.A 命题角度33.ACD .logx>4>1, 4.解：(1)当a=-1时， ∴.0<a<1,排除选项C,D: 1 1 f(x) () x2-4x+3 取a=x= 令g(x)=-x2-4x十3， 则有位=2，lg合=1，显然华< 由于g(x)在(-∞，一2)上单调递 logx不成立，排除选项A.] 增，在（一2，十∞）上单调递减，而y [子题1]解析：由x2-log。x<0,得 =(仔)在R上单调递减， 2<log, 所以f(x)在(-∞，-2)上单调递 f()=x2,f (x)=logI, 减，在（一2，十○）上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是（一2，十∞），单 要使x∈(@，合）时，不等式t< 调递减区间是（一∞，一2）. logx恒成立， (2)令g(x)=a.x2-4x十3， 只需f(x)=x在(0，)上的图像 在f2(x)=logx图像的下方即可. 由于∫(x)有最大值3，所以g(x)应 当a>1时，显然不成立； 有最小值一1， 当0<a<1 y f(x)=x2 a0. 时，如图所示， 因此必有 3a-4 要使x2< =-1, logx在x∈ 0 解得a=1,即当f(x)有最大值3时， 2f(x)=logx a的值等于1. (0,)上恒 (3)由指数函数的性质知， 成立，需（合）下（合） 要使y=（3) 的值域为(0，十∞)， 应使g（x)=az一4x十3的值域 所以有（合）≤，解得a≥ 为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R).故a的值为0. 即实数a的取值范周是[品)月 第5节 答案：[61) 夯实·必备知识必备知识 [子题2]解析：若 3.(1)0 1 N b (2)log,M+log N log M-log,N nlog,M (3)log,N √E<logx在x∈ log,N log d 4.(2)(0,+∞) R (0,]成立，0 20 log b 011 (1,0) y>0y<0y0y>0 <a<1,且y=√E 4 的图像在y=logx y=log,x 增函数减函数 思考辨析(1)× (2)× (3)× 图像的下方，如图所示， (4)/(5) 由圈你期√F<bg子 1 小题查验 1.C2.C3.D 4(学] 0a<1, 1 1.解得6<a<1. 5.(3,2) a> 4 ·417 参考答案 即实数a的取值范国是（品。1） 答案：（品）】 [子题3]解析：如 图，在同一坐标系 中分别作出y= f(x)与y=-x十 a的图像，其中a 表示直线在y轴 上的裁距，由图可知，当a>1时，直 线y=一x十a与y=f(x)只有一个 交点。 答案：a>1 考点3命题角度11.A2.B 命题角度2 命题角度3 [j 命题角度4 5【-1,2] 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)y=x°(3)[0，+∞)[0，+∞) {yy≠0}奇奇在(-o∞，0]上单 调递减，在[0，十∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，十∞)上单调递增 在（一○，0）和(0，十∞)上单调递减 (1,1)2.(1)反函数(2)y=1(x) 值域定义域y=x(3)存在增函 数减函数 思考辨析(1)×(2)/(3)X (4)×(5)×(6)× 小题查验 1.C2.B3.A4.C5.1或2 跃升·关键能力 考点1 1.C2.D3.B (-,-1U(台受)】 考点2命题角度1 [典例1][解](1)y=lgx的底数为 10,它的反函数为指数函数y=10. (2)由y=5x+1,得x=1,所以反函 5 数为y写号E (3)y=(√2)的底数为√2，它的反函 数为对数函数y=log(x>0). (4)由y=x得x=士√. 因为x0,所以x=一√y.所以反函数 为y=-√(x≥0). 命题角度2[典例2](1)C[由 f(x)=3-1,可得f1(x)=logx十 1,.图像为C.] (2)[解]因为y=a十b的图像过 点(1,4)， 所以a十b=4.① 又因为y=a"十b的反函数图像过，点 (2,0), 所以点(0,2)在原函数y=a十b的 图像上. 所以a°十b=2.② 联立①②得a=3,b=1. 高考总复习人教数学B版（新教材） 跟踪训练 1.D2.(1,4) (3)y (0<a1), 考点3 x0 [典例](1)[解] ∴只需作出0<a<1时函数y=a 将方程整理 (x≥0)和y (日) (x<0)的图像， 得2=-x十3， l0g2x=-x十 合起来即得函数y=a(0<a<1) 3.如图可知， 的图像.如图(3)所示. /123 a是指数函数y =2的图像与直线y=一x十3交点 A的横坐标，b是对数函数y=log2x 的图像与直线y=一x十3交，点B的 -10 横坐标 -2-10123x -u 由于函数y=2与y=1og2x互为反 图(3) 图(4) 函数，所以它们的图像关于直线y x对称， (4)y=2十 故函数图像可由 由题意可得出A、B两，点也关于直线 y=- y=x对称， 的图像向右平移1个单位，再 于是A、B两，点的坐标为A(a,b), 向上平移2个单位而得，如图(4) B(b,a).而A、B都在直线y=一x十 所示 3上， 考点2命题角度1 所以b=一a十3(A点坐标代入)， [典例1](1)B[:y=f(x)= 2x8 或a=一b十3(B,点坐标代入)，故a +b=3. 2+2x∈[-6,6]， (2)[解]①要使函数f(x)=log(1 f(-x)=2-x) 2x+2 2-x+2 -2)有意义， =-f(x), 则1-2>0，即2<1. ∴f(x)是奇函数，排除选项C. 故x<0,此时0<1-2<1， =128 ∴.f(x)=1og2(1-2)0, 当x=4时，y=,2X4 21+27 故函数∫(x)的定义域为（一∞，0）， 16十16 值域为（一∞，0）. (7,8),排除选项A,D.] ②证明：由y=f(x)=log2(1-2), (2)A[设f(x)=(3-3)cosx, 可得1-2=2，解得x=log2(1一 f(-x)=(3x-3)cos(-x)= 2),故原函数的反函数为y=f(x) 一f(x),所以f(x)为奇函数，排除B、D, =log2(1一2)，与原函数相同，所以 令x=1,则f(1)=(3-31)cos1> 函数y=f(x)的图像关于直线y=x 0,排除C.] 对称 跟踪训练1.D2.D 第7节 命题角度2 [典例2]B[当，点P位于边BC上 夯实·必备知识必备知识 2.(1)f(x)-k(2)-f(x)f(-x) 时，∠0P=,0≤≤圣，则器 -f(-x)logx(a>0且a≠1) tanx,∴.BP=tanx,.AP= (3)f(az)af(z)(4)f(z)f() √4+tanx,∴.f(x)=tanx+ 思考辨析(1)/(2)× (3)X (4)/(5)X V4中amz(0<r≤平）可见y 小题查验 f(x)图像的变化不可能是一条直线 1.A2.D3.C4.上3 或线段，排除A,C.当点P位于边 5.(0,十∞) CD上时，∠BOP=,子<≤要 跃升·关键能力考点1 则BP十AP 解：(1)函数的定义域为{xx>0}, 且y=ex=x(x>0), =√BC+CP+√AD+DP 其图像如图(1)所示 /1+(1- 1 tan x 1 1+(（1+az 012x 当点P位于边AD上时，∠BOP= -1 图(1) 图(2) ,3≤x≤， x, (2)将函数y=1og,x的图像向左平 移一个单位，再将x轴下方的部分沿 、则分tan(元一x)=tamx x轴翻折上去，即可得到函数y ..AP=-tan x, l0g2(x十1)的图像，如图(2)所示. .BP=√4十tanx, ·418· .f (x)=-tan x v4+tanx (≤≤x)根据画数的解折式可 排除D.] 跟踪训练3.C 考点3命题角度11.B 命题角度22.D3.ABC 命题角度34.B 第8节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)交点的横坐标零点2.{xx1 <x<x2}00 思考辨析(1)×(2)×(3)/ (4)/(5)/ 小题查验 1.C2.B3.1.56 4(号) 跃升·关键能力 考点1 1.A2.B3.D 考点2 [典例门[解析] 第一步作 函数y=f(x) 的图像 作出函数y= f(x)的图像， 如图. 第二步解方程2(x)-3f(x)十1 =0 由2f(x)-3f(x)+1=0, 得fx)=或fx)=1 第三步观察)y一之和)=1与y广f 的图像交，点个数 由图像知y=合与y=∫x)的图像 有2个交点，y=1与y=f(x)的图像 有3个交点. 第四步得出函数的零，点个数 因此函数y=2f(x)-3f(x)十1的 零点有5个. [答案]5 跟踪训练1.C2.2 考点3 [母题][解析] 令g(x)=znx, g(x) h(x)=a,则问 题可转化成函0 数g(x)与h(x)- h(x) 的图像有两个 交点.g(x)=lnx十1，令g'(x)<0, 即1nx<-1,可解得0<x<:令 g'(x)>0,即lnx>-1,可解得x> 是，所以，当0<x<时，函数g(四 单调递减；当x>上时，函数g()单 e 调递增，由此可知当x= 时 e g(x）nin=- 在同一坐标系中作 1 出函数g(x)和h(x)的简图如图所 示，据图可得-1<a<0. e [答案]高考总复习人教数学B版（新教材） 2.若2a+1og2a=4+21og4b,则 规律总结 A.a26 B.a<26 对数函数性质及应用中应注意的问题 C.ab2 D.a<62 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的 ◆[命题角度2]解简单的对数不等式 对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可 3.已知f(x)=logax(a>0且a≠1)，如果对于任 以找中间量，也可以用换底公式化成同底的 意的x∈[宁2]都有1f)1≤1成立，则a的取值 对数再比较 范围为 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算 ◆[命题角度3]与对数有关的复合函数问题 性质化为同底数的对数值，再利用对数函数 4.若函数f(x)=1og:(-x2+4x+5)在区间(3m 的单调性转化为一般不等式求解 2,m十2)内单调递增，则实数m的取值范围为 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三 ◆[命题角度4]利用对数函数的性质求参数 方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在 5.已知函数f(x)=log(x2-a.x-a)对任意两个 定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三 是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等 不相等的实数x1,x2日 ,都满足不 函数复合而成的. 等式f2)-f) >0,则实数a的取值范围 x2一x1 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关12 为 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数 大[课程标准】1.了解家画数的概念，会求累函教的解行式.2钻合家函数)=y=y=,y y=x的图像，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.4.了解反函数的概念，知 道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系.5.利用指数、对数函数的图像与性 质解决一些简单问题， 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必以备知识 (3)常见的5种幂函数的性质 1.幂函数 函数 y=x2 y=z3 y=rt y=x-l (1)幂函数的定义 定义域 R R R {xx≠0} 一 般地，形如 的函数称为幂函数，其中 值域 R R [0,十∞) x是自变量，a为常数 (2)常见的5种幂函数的图像 奇偶性 偶 非奇非偶 奇 Y= 在R上 单调性 单调 递增 公共点 ·42… 第二章函数、导数及其应用 2.反函数的概念 (3)当n<0时，幂函数y=x”是定义域上的减 (1)一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任 函数 意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是 (4)函数y 的反函数是y=logx之： y的函数，这个函数称为y=f(x)的 (2)一般地，函数y=f(x)的反函数记作 ( y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的 相 (5)函数y=log3x的反函数的值域为R.( ) 同，y=f(x)的值域与y=f-1(x)的 (6)函数y=ex的图像与y=lgx的图像关于直 相同，y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线 线y=x对称. ( ) 对称. ◆[小题查验] (3)如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函数一定 1.(2024·济南市诊断)已知幂函数f(x)=k·x 如果y=f(x)是增函数，则y=广1(x) 的图像过点 则k十a= 也是 ;如果y=f(x)是减函数，则y= 2 2 f1(x)也是 3 A.2 B.1 C.2 D.2 重要结论 2.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大 1.有关幂函数的几个结论 致对应是 对于形如f(x)=x÷(其中m∈N+,n∈Z,m与n 互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图像关于y轴 对称； A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x- (2)当m,n都为奇数时，f(x)为奇函数，图像关于 B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x 原点对称： (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶 C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x1 函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处. D.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=x1 2.指数函数y=ar(a>0且a≠1)与对数函数y 3.若函数f(x)是函数y=ar(a>0,且a≠1)的反 logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关 函数，且f(2)=1,则f(x)= 于直线y=x对称， A.log2x b.2 C.log克x D.2x-2 自主诊断 4.已知y 的反函数为y=f(x),若f(xo) ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 ,则x0= ( 2 里打“/”，错误的打“×” A.-2 B.-1 C.2 (1)函数y=2x是幂函数」 n号 (2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一 5.若幂函数y=(m2-3m十3)xm-m-2的图像不经 定是原点 过原点，则实数m的值为 ·43· 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升>关键能力 层级突破素养提升 吉点1) 幂函数的图像与性质（基础点） 春点2 反函数的概念与性质 1.幂函数y=f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y ◆[命题角度1]求反函数 =f(x)的图像是 [典例1]写出下列函数的反函数： (1)y=lgx;(2)y=5.x+1;(3)y=(W2)x; (4)y=x2(x≤0)： [尝试解答] 2若a=(台)6=（）=()则e,e的 大小关系是 A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 3.已知幂函数f(x)=(n+2n-2)x”-3"(n∈Z)的图 像关于y轴对称，且在(0，十o∞)上是减函数，则n的 值为 ( ) A.-3 B.1 C.2 D.1或2 4.若(a十1)一<(3-2a)一，则实数a的取值范围是 ◆[命题角度2]反函数的图像及性质 [典例2](1)如图，已知函数f(x)=3-1,则它的 题后反思 反函数y=f-1(x)的大致图像是 L暴函数的解析式：y=x(a∈R),其中只有参 数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.幂函数的图像特征：①在(0,1)上，幂函数中指 012 D 数越大，函数图像越靠近x轴（简记为“指大图 (2)已知函数y=a'+b(a>0且a≠1)的图像过 低”)，在(1，十∞)上，幂函数中指数越大，函数 点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a,b 图像越远离x轴.②曲线在第一象限的凹凸 的值 性：a>1时，曲线下凸；0<a<1时，曲线上凸： [尝试解答] (1) a<0时，曲线下凸. (2) 3.幂函数的性质： (1)若a为偶数，则幂函数y=x“(a∈R)是偶函 数；若a为奇数，则幂函数y=x“(a∈R)是奇 函数.反之，不成立.当α是分数时，一般将其 先化为根式，再判断奇偶性， (2)若幂函数y=x在(0，十∞)上单调递增，则 a>0;若在(0，十o∞)上单调递减，则a<0. 4.幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当 的函数，借助其单调性进行比较， 44 第二章函数、导数及其应用 规律总结 (2)已知函数f(x)=1og2(1-2r). 1.求反函数的一般步骤 ①求函数(x)的定义域和值域； (1)求值域：由函数y=f(x)求y的范围， ②求证函数y=f(x)的图像关于直线y=x (2)解出x:由y=f(x)解出x=f-1(y).若求出 对称。 的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取 [尝试解答] 舍，只取一个. (3)得反函数：将x,y互换得y=f1(x),注意 定义域 2.互为反函数的函数图像关于直线y=x对称 是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的 函数图像上任一成对的相应点也关于直线y =x对称，所以若点(a,b)在函数y=f(x)的 图像上，则点(b,a)必在其反函数y=f-1(x) 、 的图像上. ①跟踪训练 1.已知函数y=log3(3-x)(0≤x<3),则它的反函 数是 ( A.y=3-3x(x≥0) B.y=3+3r(x≤1) C.y=3+3r(x≥0) D.y=3-3r(x≤1) 2.若函数y=f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x) f(4一x)的反函数的图像过点 点3)指数、对数函数图像与性质的应用 [典例](1)设方程2x+x一3=0的根为a,方程 1og2x+x-3=0的根为b,求a+b的值. [尝试解答] 规律总结 形如a十kx=b(a>0且a≠0)或logax十kx=b (a>0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图 像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的 横坐标问题。 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练课时冲关13 45