第1章 第7节 均值不等式及其应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 跟踪训练 (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能 (2024·安徽工业大学附属中学校考)为响应国 源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多 家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展， 少万元？ 而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某 企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇， 决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设 备的年固定成本为200万元，每生产x台(x∈ N+)需要另投入成本a(x)(万元)，当年产量x 不足45台时，a(u)=号2+30x-300万元，当 年产量x不少于45台时，a(x)=61x+2500 x+1 900万元.若每台设备的售价与销售量的关系式 为(60+19） 万元，经过市场分析，该企业生产 新能源电池设备能全部售完。 (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关6 关系式： 第7节 均值不等式及其应用 ★[课程标准]1.字握均值不等式/≤a十b(a,b≥0).2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的 最大值或最小值问题， 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.算术平均值与几何平均值 几个重要的不等式 (1)a2+b≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算术 等号」 平均值；数√ab称为a,b的几何平均值. (2)ab≤ a+b)2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 2.均值不等式 、2 等号 如果a,b都是正数，那么 ,当且仅当a= (3)a2+2、 b时，等号成立 2 、2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号 3.均值不等式与最值 已知x>0,y>0,则 (4名十号≥2(a,6同号)，当且仅当a=6时取 (1)若x十y=s(和为定值)，则当x=y时，积xy取 等号 得最 鲜 自主诊断 ◆[思考辨析] (2)若xy=(积为定值)，则当x=y时，和x+y取 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“√”，错误的打“×” 得最 值2√p (1)函数y=x十上的最小值是2. 即：两个正数的积为常数时，它们的和有 值； a+b 两个正数的和为常数时，它们的积有 值 (2)ab≤ 2 成立的条件是ab>0.( 20 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 (3).x>0且y>0是乙+y≥2的充要条件.( 2.(教材改编)若函数fx)=x+二2>2)在 =a处取最小值，则a等于 () （④若a>0,则。十的最小值是2.( A.1+√2 B.1+3 C.3 D.4 3.若x>0,y>0,且x+y=18,则Wxy的最大值为 (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). () ◆[小题查验 A.9 B.18 C.36 D.81 4.(2022·全国甲卷，16)已知△ABC中，点D在边 1.设a>b>0,下列不等式不正确的是 A.abatb2 BC上，∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当AC AB 2 B.ab< 取得最小值时，BD= 5.(教材改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边 c画 D.Vab> 2ab 靠墙的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形的长为 a+b m,宽为 m时菜园面积最大. 跃升>关键能力 层级突破素养提升 春点1利用均值不等式求最值（重难点） 续表 ◆[命题角度1]配凑法 信息提取 信息解读 数学运算 [典例1](1)(2024·泉州检测)已知0<x<1,则 x(3一3.x)取得最大值时x的值为 ) A 由lga+lgb B.2 C. D. 着眼点一（对数的运 已知条件 =1g(a+b), 算性质)：由1ga+ (2)函数y=2+2 a>0,b> 得lg(ab)= lgb=lg(a+b),得 x-1 x>1)的最小值为 0,1g a+ (2) lg(a+b),即 [尝试解答](1) 1g(ab)=1g(a+b), 1g b= 方法指导 ab=a十b,则 即ab=a+b. 1g(a+b) 拼凑法求最值的实质及关键点 有+61 着眼点二（等式的恒 a 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过 等变形)：再由ab=a 添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形 +6得+片1 式，然后利用均值不等式求解最值的方法.拼凑 法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数 着眼点三(“1”代 是关键. 利用常数“1” 换)：a 十b= 代换的方法， [命题角度2]常数代换法 将a+b的变 日+8a+b)=2 [典例2]若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),则 a+b的最小值为 ) 形为a十b= ++号 A.8 B.6 C.4 D.2 求a+b a+ a 着眼点四（均值不等式 核心素养 的最小值 +b)=2+ 0 的应用：2+2+号> 数学运算一均值不等式应用中的核心素养 =4,当 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依 +分，在利用 + 据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理 均值不等式求 且仅当a=b=2时 解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择 其最小值 等号成立 运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.应用 均值不等式求最值就极大地提升了数学运算的 核心素养 [尝试解答] 21· 高考总复习人教数学B版（新教材） 方法指导 专点2均值不等式的实际应用（重难点） 常数代换法求解最值的基本步骤 [典例]如图，有一块边长为1D (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）； (单位：百米)的正方形区域 (2)把确定的定值（常数）变形为1； ABCD,在点A处有一个可 (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或 转动的探照灯，其照射角 相除，进而构造和或积为定值的形式； ∠PAQ始终为45°（其中点 45 (4)利用均值不等式求解最值. P,Q分别在边BC,CD上)， ◆[命题角度3]消元法 设∠PAB=0,tan0=t. [典例3](1)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 (1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周 x+3y的最小值为 长1是否为定值： [尝试解答] (2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的 (2)(2024·天津静海一中模拟)若a,b∈R,且一 面积S最大为多少？ a=1,则a+2一d的最大值为 汇破题关键点](1)先用t表示出CP和CQ, 再利用勾股定理表示出PQ;(2)根据S [尝试解答] S正方形ABCD一S△ABP一S△ADQ,用t表示出面积 方法指导 S,再利用均值不等式求出S的最大值 消元法求最值的策略 [尝试解答] 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是 考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为 常数”或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值. ◆[命题角度4]利用两次均值不等式求最值 [典例4]已知a>b>0,那么a2+ (a-b)的最小 1 值为 [尝试解答] 方法指导 利用两次均值不等式求最值的注意点 当连续多次使用均值不等式时，一定要注意每次 是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的 一致性。 :跟踪训练 1.(2024·济宁模拟)已知实数a,b满足ab>0,则 a平6a平2的最大值为 a ( A.2-√2 B.2+√2 C.3-2√2 D.3+2√2 2.函数y=loga(x十3)-1(a>0,且a≠1)的图像 恒过定点A,若点A在mx+y十2=0上，其中 m>0,则1+1的最小值为 m 方法指导 3.(2024·许昌、洛阳质量检测)已知x>0,y>0, 在利用均值不等式解决实际问题时，一定要注意 且上+号=1，则十x十y的最小值 所涉及变量的取值范围，即定义域.若使均值不 y 等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研 为 究函数的单调性，利用单调性求最值 ·22· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 日跟踪训练 (2)已知函数f()=2+a十卫(a∈R),若对 x+1 (2024·杨浦区模拟) 如图所示，用总长为定 于任意x∈N+,f(x)≥3恒成立，则a的取值范 值1的篱笆围成长方形 围是 的场地，以墙为一边，并 [尝试解答](1) (2) 用平行于一边的篱笆隔开！ 方法指导 (1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用 综合应用均值不等式的重点题型与求解策略 解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的 定义域； 题型 求解策略 (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积 是多少？ 对所给不等式（或式 判断或证明不等式或 子)变形，然后利用均 比较大小 值不等式求解 观察题目特点，利用均 值不等式确定相关成 求参数的值或范围 立条件，从而得参数的 值或范围 与函数、数列、解析几 利用已知条件进行转 何等其他知识结合的 化，再利用均值不等式 问题 求解 跟踪训练 1.若不等式2+9 t+2 在t∈(0,2]上恒成立， 则a的取值范围是 A[哈 B[哈2] c哈 D后 2.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6十 2若存在两项a4,使得a,-如则品十 m 专点3)均值不等式的综合应用（重难点） 的最小值为 () [典例]（1)(2024·临汾模拟)若m>n>0,a= A c √em·e,b- 2(em+e"),c=evam,则 1 ( C温馨提 A.b>a>c B.a>c>b 学习至此，请完成配套训练 课时冲关7 C.c-b-a D.6>c>a ·23考点2命题角度1 [典例][解](1)由题意得y=[12 [典例1]D[2kx2十kx- <0对 (1十0.75x)-10(1十x)]×10000× 8 (1十0.6x)(0<x<1),整理得y= 一切实数x都成立， -6000x2+2000x+20000(0<x 因为2kx2十kx- <0是一元二次 1). 8 (2)要保证本年度的年利润比上年度 不等式，所以k≠0 有所增加，必须有 12k0, 则必有 5y-(12-10)×10000>0, △=k-4X2×(- 8 0, 10x<1, 解得一3k<0.] 命题角度2 中{60200… [典例2][解析]要使f(x)<-m 解得0<r<子， 十5在[1,3]上恒成立，则mx一mz 所以投入成本增加的比例应在 +m-60, 即m(x-2) 1 3 十4m-6<0在x∈ (0,子）范国内。 [1,3]上恒成立 跟踪训练 解：(1)当x<45,x∈N时， 有以下两种方法： 法一：令g(x)=m(-立) 1 y=(60+100 -200-a(x)=60z -6,x∈[1,3]. +100-200- (2x2+30x-300 1 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增 x2+30x+200: 1 函数， 所以g(x)mx=g(3)=7m-6<0. 当x≥45，x∈N+时， 所以m<号，则0<m<号。 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减 y=(60+g-20-a6) 函数， =60z十100-200- 61+2500 x+1-900） 所以g(x)max =g(1)=m-6<0. 2500 所以m<6,所以m<0. =一x +800: x十1 综上所述，m的取值范围是 综上所述，y= 7x2+30z+200,z<45 法二：因为x2-x十1=（- (x∈N). 一x 2500 x+1 +800,x≥45 ￥>0 (2)当x<45,x∈N+时，y= 又因为m(x-x十1)-6<0， 6 十30x十200= 所以m< x2-x十1 合a301+650, 则当x=30时，y的最大值为650： 因为函数y= 6 当x≥45，x∈N+时， x2-x十1 6 y=-x- 在[1,3]上的最小值 2500+800 x+1 ()+ (x+1)+25001 +801 x+1 为号，所以只需m<号即可。 2,/x+10.2500+801 因为m≠0，所以m的取值范围是 x+1 {mp<a<号或m<} =701(当且仅当x+1=2500 x+1 即x=49时等号成立) [答案] 0<m<号或m<0} 当年产量为49台时，该企业在这 款新能源电池设备的生产中获利最 命题角度3 大，最大利润是701万元. [典例3]C[把不等式的左端看成 关于a的一次函数， 第7节 记f(a)=(x-2)a十x2-4x十4， 夯实·必备知识必备知识 则由f(a)>0对于任意的a∈[-l, 1]恒成立， 1学2学≥历大 所以f(-1)=x2-5.x十6>0， (2)小最小最大 且f(1)=x2-3x十2>0即可，解不思考辨析(1)×(2)×(3)× 等式组{-51十6≥0得1成x (4)X(5) 1x2-3x+2>0, 小题查验 >3.1 1.C2.C3.A4.√5-1 跟踪训练A 考点3 5,1515 ·413· 参考答案 跃升·关键能力考点1命题角度1 [典例1][解析](1)因为0x1, 所以x(3-3x)=3.x(1-x) ≤[中g2]- 2 当且仅当1=1一x,即x=之时等号 成立 (2)y=+2 x-1 =（x2-2x十1)十(2x-2)十3 x-1 =(x-1)2+2(x-1)+3 x-1 =-10+3+2 ≥2√5+2. 当且仅当x-1=3,即x=后+1 时，等号成立 [答案](1)B(2)25+2 命题角度2 [典例2]C[由lga十lgb=lg(a十 b),得lg(ab)=lg(a十b),即ab=a十 6:对有日十古=1，所以a中6 (日+)a+)=2++号≥2 合·号=4，当且仪当a=2 时等号成立，所以a十b的最小值为4.] 命题角度3 [典例3](1)[解析]法一（换元消 元法)：由已知得x十3y=9一xy, 因为x>0,y>0,所以x十3y 2√/3xy, 所以≤（空），当且仅当 3y,即x=3,y=1时取等号， 即(x十3y)2+12(x+3y)-108≥0. 令x十3y=t,则t>0且t十12t-108 ≥0， 得t≥6，即x十3y的最小值为6. 法二（代入消元法）：由x十3y十xy =9, 得x=93,所以x十3y=93 1+y 1+y +3y =9-3y+3y(1+y) 1十y =9十3y2=3(1+y)2-6(1土y)+12 1十y 1十y 12 =3(1十y)十1十y -6 ≥2√31+)·-6 1+y =12一6=6.即x十3y的最小值 为6. [答案]6 (2)[解析]由题知，a,b∈R,且b a2=1.即b2=a2+1. 所以la+B-a=la十1， b b 当a=0时，b=1,即b=士1，此时 a+1=士1， b 高考总复习人教数学B版（新教材） 所以a十方-口的最大值为1： 它的面积y=x(l-3x), b 由x>0,且l-3x>0,可得函数的定 义城为(@，言) 。2+2a+1=1 2a≤1+2a (2)y=x(l-3x)= 1 a2+1 3 X3x(1-3x) =2,当且仅当a=1时取等号，此 3x十-3z 时-2≤a中1≤； 2 2,当x b 所以a十龙一a的最大值为反. 台时，这块长方形场地的面积最大， b 这时的长为1一3x= 之，最大面积 综上，a十方Q的最大值为2. [答案]√2 为2 考点3 命题角度4 [解析] 由a>b>0,得a [典例][解析](1)m>n>0,,∴.m [典例4们 b0, 十n>2√mm,mtn>√nmn, (+a-b 2 ∴.b(a-b)≤ 2 4 a=√em+n=e>em,又b .a2 a-≥a+ 1 a 号e+e>Fe-a>a> (2)对任意x∈N,f(x)≥3恒成立， 即+ax十山>≥3恒成立， x十1 ,即a 当且仅当b=a-b且a?=4 即知a≥- (+)十8. E6号对取学号. 设g()=1十8. EN: 1 a2+6a—万的最小值为4 [答案]4 到2=6，g43)=号：x2>3. 跟踪训练 1.C2.3+22 3.7+4√5 8 2 a≥-号故的取值范国 考点2 [典例][解](1)由tan9=AB BP t,得 BP=t(0≤t≤1)， [答案]1A2)[-号+） 可得CP=1-t. 跟踪训练1.D2.A ∠DAQ=45°-8， DQ-an(45-0-}号 第二章 第1节 夯实·必备知识必备知识 CQ=1- 1-t2t 1.唯一确定y=f(x),x∈A自变量 1+t1+t1 因变量定义域{y∈By=f(x), x∈A}2.定义域对应关系4.不 ∴.PQ=√Cp+CQ 同的对应方式6.只有一个 -P+() 思考辨析(1)/(2)×(3)/ (4)×(5)×(6)× =1+ 小题查验 1十t1 1.B2.B3.C ∴.△CPQ的周长l=CP+CQ+PQ 4.[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U 2t1+t =1一计1t 1+t =2为定值 (4,5] 7 (2)S=SE芳形ABCD -SAABP -S△ADQ 5.2 3+3 跃升·关键能力考点1 =1 t1×1-t 2 2X1+ 1.B 2.BC 3.AD =2- （+1+名)2 考点2 [典例][解析](1)法一：设t=√ 2 当且仅当t十1=千，即t=-1 十1，则x=(t-1),t≥1，代入原式 时等号成立 有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=2-2t ,探照灯照射在正方形ABCD内部 十1十2t-2=t一1.故f(x)=x2 1,x1. 区域的面积S最大为(2一√2)平方 百米. 法二：，x十2√Z=(WE)2+2√Z+1-1 跟踪训练 =(WE+1)2-1, 解：(1)设场地面积为y,垂直于墙的 .fG+1)=(WE+1)2-1,WE+1≥ 边长为x, 1,即f(x)=x2-1,x≥1. ·414· (2)法一（利用一般式）： 设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0). 「4a十2b十c=-1, 由题意得 a-b+c=-1, 4ac-62 =8, Aa 1a=-4, 解得b=4, c=7. 所求二次函数的解析式为f(x)= -4x2十4x十7. 法二（利用顶点式）： 婆+ ,抛物线的对称轴为 x-21 2 m=之，又根据题意函数有最大值 8,.n=8. ∴y=fx)=a(-)+8 :f(2)=-1, a(2-立) 1 +8=-1, 解得a=一4， f(x)=-4(x-2) 1)+8=-4x2 +4x+7. 法三（利用零，点式）： 由已知f(x)十1=0两根为x1=2, x2=-1, 故可设f(x)十1=a(x-2)(x十1)， 即f(x)=ax2-a.x-2a-1. 又函数有最大值ymx=8, 即4a(-2a-1)-a=8. Aa 解得a=-4或a=0(舍). .所求函数的解析式为f(x)= -4x2+4x+7. (3)当x∈(-1,1)时， 有2f(x)-f(-x)=lg(x十1).① 以-x代替x得，2f(-x)-f(x)= 1g(-x十1). ② 由①②消去f(一x)得， fx)=号gx+1D+号1g1-)7 ∈(-1,1). [答案](1)x2-1(x≥1) (2)f(x)=-4x2十4x+7 (3)f(x)= 号1gx+1)+吉g1- x),x∈(-1,1) 跟踪训练 2 1.2x+72.f(x)=lgxx>1) 3号+号 考点3命题角度1 1.(-∞，0)U(0,1] 2.{x-3<x<2且x≠1} 命题角度2 [典例1]B[由函数f(x)的定义域 为（一1,0），则使函数f(2x十1)有意 义，需满足-1<2x十1<0，解得-1 <I<- ，即所求函数的定义城 1 为(1，-)门