第1章 第6节 一元二次不等式的解法-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 第6节一元二次不等式的解法 ★[课程标准]1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义， 2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图 像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (2)若不等式a.x2+bx+c>0的解集是(-∞， 1.一元二次不等式的概念 x1)U(.x2,+o∞)，则方程a.x2+bx十c=0的两个 一般地，形如 的不等式称为一 根是x1和x2. ( ) 元二次不等式，其中a,b,c为常数，而且a≠0. (3)若方程a.x2十bx十c=0(a≠0)没有实数根， 2.用因式分解法解一元二次不等式 则不等式a.x2+bx十c>0的解集为R.( ) 般地，如果x1<x2,则不等式(x一x1)(x一x2) (4)不等式a.x2十bx+c≤0在R上恒成立的条件 <0的解集是 ,不等式(x-x1)(x一x2) 是a<0且△=b2-4ac≤0. () >0的解集是 (5)若二次函数y=a.x2+bx十c的图像开口向 3.用配方法解一元二次不等式 下，则不等式ax2+bx十c<0的解集一定不是 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配 空集 ( 方总是可以变为 或 的形式，然 ◆[小题查验] 后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的 1.函数f(x) 的定义域是() ln(-x2+4x-3) 解集 A.(-∞，1)U(3,+∞) 重要结论 B.(1,3) 简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 C.(-o∞，2)U(2,+∞) 1.X二>0等价于(x-a)(x-b)>0. x-67 D.(1,2)U(2,3) 2.二<0等价于(x-a)(x-b)<0. 2.(教材改编)不等式二2≤0的解集是() x-b x+1 (x一a)(x-b)≥0， A.(-∞，-1)U(-1,2] 3.二≥0等价于 x-b x-b≠0. B.[-1,2] (x-a)(x-b)≤0， C.(-∞，-1)U[2,+∞) 4.二a≤0等价于 x-b b≠0 D.(-1,2] 3.(教材改编)若不等式a2+bx一2<0的解集为 自主诊断 ◆[思考辨析] {-2<<}则山等于 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 A.-28 B.-26 C.28 D.26 里打“√”，错误的打“×”. 4.不等式(x十3)(1一x)≥0的解集为 (1)若不等式a.x2+bx十c<0的解集为(x1,x2), 5.(教材改编)已知不等式x2一2x十2一1>0对一切 则必有a>0. ( 实数x恒成立，则实数k的取值范围为 ·17 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1 一元二次不等式的解法 方法指导 ◆[命题角度1]不含参数的一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式的步骤 的解法（基础点） (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等 [典例1]解下列不等式：(1)-3x2-2x十8≥0： 于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 (2)0<x2-x-2≤4. 为二次项系数为正的形式； [尝试解答] (2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的 关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两 个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不 等式的解集 [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 含参二次不等式，有无实根判别式； 题后反思 或为负，或为零，配方法，解自明： 解一元二次不等式的4个步骤 若为正，求两根，两种题型要区分； 把不等式变形为二次项系数大于零的标 变 首项系数无参数，根的大小定胜负； 准形式 首项系数含参数，先论系数零正负； 判一计算对应方程的判别式 系数化一是旨要，负数变换不等号. 求出对应的一元二次方程的根，或根据 求 跟踪训练 判别式说明方程有没有实根 求不等式12x2-a.x>a2(a∈R)的解集。 利用“大于取两边，小于取中间”写出不 等式的解集 [口诀助解] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式，图像交点是标志： 首项系数先化正，判别式，符号定； 若为正，记口诀，小于中间大于侧； 或为负，或为零，配方观察解自明， ◆[命题角度2]含参数的一元二次不等式 (应用点) [典例2]解不等式a.x2-(a+1)x+1<0. [尝试解答 春点2)与一元二次不等式有关的恒成立问题 ◆[命题角度1]在实数R上的恒成立（基础点》 [典例1]若一元二次不等式2kx2+kx一 <0对 一切实数x都成立，则k的取值范围为 A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0) [尝试解答] ·18 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 [命题角度2]在给定区间上的恒成立问题（重 专点3)一元二次不等式的实际应用（应用点） 难点) [典例]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成 [典例2]设函数f(x)=m,x2-mx-1(m≠0)，若 本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售 对于x∈[1,3]，f(x)<-m+5恒成立，则m的 量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提 取值范围是 高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入 [破题关键点]函数f(x)<一m十5在[1,3] 成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应 地提高比例为0.75.x,同时预计年销售量增加的 比例为0.6x,已知年利润=（出厂价一投入成 上恒成立方法一：构造函数g)=m(-) 本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加 4m一6，x∈[1,3]，分m>0与m<0两种情 的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则 况判断g(x)在[1,3]上单调性，由g(x)max<0 投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 求出m的取值范围； [关键突破点了“(1)由年利润=（出厂价一投 方法=：由于-x+1=（e-)+子>0，所 入成本)×年销售量，建立年利润y与投入成 本增加的比例x的关系式；(2)由本年度的年 6 以将参数m分离出来，即m< x2-x+1 转化 利润比上年度有所增加，建立关于投入成本增 加的比例x的不等式组求x的取值范围. 为求函数y= 6 在[1,3]上的最小值. x2-x十1 [尝试解答] [尝试解答] ◆[命题角度3]给定参数范围的恒成立问题 (基础点) [典例3]已知a∈[-1,1时不等式x2+(a-4)x +4一2a>0恒成立，则x的取值范围为( A.(-o∞，2)U(3,+∞) B.(-∞，1)U(2,+∞) C.(-∞，1)U(3,+∞) D.(1,3) [尝试解答] 规律总结 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范 围，谁就是参数。 方法指导 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式 求解不等式应用题的四个步骤 △解题，一元二次不等式在给定区间上恒成 阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量， 第1步 立，一般不能用判别式△处理，而应用分离 找准不等关系 参数求最值或分类讨论求解. 第2步 引出数学符号，将文字信息转化为符号语言，用 :跟踪训练 不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 若对任意的x∈[-1,2]，都有x2-2x十a≤0(a 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中 第3步 为常数)，则a的取值范围是 自变量的实际意义 ( A.（-∞，-3] B.（-∞，0] 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的 第4步 C.[1,+o∞) D.(-∞，1] 结果 ·19 高考总复习人教数学B版（新教材） 跟踪训练 (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能 (2024·安徽工业大学附属中学校考)为响应国 源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多 家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展， 少万元？ 而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某 企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇， 决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设 备的年固定成本为200万元，每生产x台(x∈ N+)需要另投入成本a(x)(万元)，当年产量x 不足45台时，a(u)=号2+30x-300万元，当 年产量x不少于45台时，a(x)=61x+2500 x+1 900万元.若每台设备的售价与销售量的关系式 为(60+19） 万元，经过市场分析，该企业生产 新能源电池设备能全部售完。 (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关6 关系式： 第7节 均值不等式及其应用 ★[课程标准]1.字握均值不等式/≤a十b(a,b≥0).2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的 最大值或最小值问题， 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.算术平均值与几何平均值 几个重要的不等式 (1)a2+b≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算术 等号」 平均值；数√ab称为a,b的几何平均值. (2)ab≤ a+b)2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 2.均值不等式 、2 等号 如果a,b都是正数，那么 ,当且仅当a= (3)a2+2、 b时，等号成立 2 、2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号 3.均值不等式与最值 已知x>0,y>0,则 (4名十号≥2(a,6同号)，当且仅当a=6时取 (1)若x十y=s(和为定值)，则当x=y时，积xy取 等号 得最 鲜 自主诊断 ◆[思考辨析] (2)若xy=(积为定值)，则当x=y时，和x+y取 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“√”，错误的打“×” 得最 值2√p (1)函数y=x十上的最小值是2. 即：两个正数的积为常数时，它们的和有 值； a+b 两个正数的和为常数时，它们的积有 值 (2)ab≤ 2 成立的条件是ab>0.( 20高考总复习人教数学B版（新教材） (2)解不等式①，得x>- ,解不等跟踪训练 5 1.解：此题的不等式属于绝对值的连不 式@，得≤子，把不等式①和②的 等式，求解时可将其化为绝对值的不 等式组再求解」 解集在数轴上表示出来： 原不等大等价于{任：8 由①，得x-2≤-3，或x-2≥3， 0 .x一1，或x≥5. 由②，得一4<x一2<4， 由图可知不等式组的解集 .-2<x<6. 为（是] 如图所示，原不等式的解集为{x一2 <x一1，或5x6} 考点2命题角度1 [典例1][解](1)原不等式等价于 -7<2x十5<7. -4-3-2-10123456 2.A 所以一12<2x2,所以-6<x<1, 考点3 所以原不等式的解集为（一6,1）. (2)由不等式|2x十5>7+x, [典例][解]根据数轴上两点间的 距离公式及中点坐标公式求解 可得2x十5>7十x或2x十5-(7 十x),所以x>2或x一4. (1)由题意知{x十1=？可以化为 所以原不等式的解集为(2，十∞)U {x-3=2, (-0∞，-4). 6源不#式等价于{任二经9 22 1x-3=-2 或{士=二名或{红+1=2， 由①得x-2≤-2，或x-2≥2， 0x-3=-2 x-3=2. 所以x≤0，或x≥4. 解得x=1. 由②得-4≤x-2≤4，所以一2≤x 点P的坐标为P(1),此时P为 ≤6.所以原不等式的解集为[一2,0] AB的中点. U[4,6]. (2)不存在这样的P(x),理由如下： 命题角度2 .AB=3-(-1)=4<6, [典例2][解] (1)因为x一1 在线段AB上找一，点P使PA十 >2x-3, PB=3十3=6是不可能的 所以(x-1)2>(2x-3)2, 跟踪训练 即(2x-3)2-(x-1)2<0, 解：这C(.E(),则C = 所以(2x-3十x-1)(2x-3-x十1) 0,即(3x-4)(x-2)0, x-（-22= x-1 2x=-5, 所以4<x<2 3 所以C(一5)， 即原不等式的解集为（号，2） 心E在线段CD上，所以票 (2)原不等式台≤1， x-(-5)1 ,4z'+20=3-x',x {1-x+2-x>2 3-x 1f (-53),在线段CD上 或∫⊙2， 在点E()- {x-1+x-2>2 s1, 1或1<x<2, 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.a.x2+bx+c>0 2.(x1,x2)(-∞，x1)U(x2,十∞) 21 3.(x-h)2>k(x-h)2<k 思考辨析(1)/(2)/(3)X 所以原不等式的解集为 (4)×(5) (-,)(受，+）月 小题查验 (3)原不等式台 1.D2.D3.C4.{x-3≤2≤1} x一2， 5.(-o∞，-√2)U(√2，+o∞) -x-1-x-2>3十x 跃升·关键能力考点1 命题角度1 [典例1][解](1)原不等式可化为 或≥一1 x≤-2， 3x2+2x-8≤0， 1x+1十x十2>3+xx-2 即(3x-4)(x十2)0， 或{2-1或之。1 4 0x<-2 (x>0 解得-2≤x≤3， 台x<一2或x>0. 所以原不等式的解集为 所以原不等式的解集为（一∞，一2） U(0,十∞). {-2≤号} ·412· (2)原不等式等价于 {-x-2>0台-x-2>0 {x2-x-2≤4{x2-x-6≤0 台x-2)(x+1)八0 1(x-3)(x十2)0 台x>2或x<-1, 1-2x≤3. 借助于数抽，如图所示， 月101含 原不等式的解集为{x一2≤x<一1 或2<x3}. 命题角度2 [典例2][解]原不等式可化为(x -1)(ax-1)<0, .①当a=0时，可解得x>1, ②当a>0时，不等式可化为 -D(-日)0， .当a=1时，不等式可化为(x-1) <0,解集为⑦； 当0<a<1时，>1，不等式的解条 为{1} 当a>1时，工<1，不等式的解集 当a<0时，不等式可化为 -D(-）>0 不等式的解集为 {>1成<} 综上，可知，当a0时， 不等式的解集为 {>1 a了 当a=0时，解集为{xx>1}; 当0<a<1时，不等式的解集 为{1 1) 当a=1时，不等式的解集为☑； 当a>1时，不等式的解集 跟踪训练 解：原不等式可化为12x2-ax-a >0, 即(4x十a)(3.x-a)>0, 令(4x十a)(3x-a)=0,解得x1= 当a>0时，不等式的解集为 (o,-是)U(导+∞）： 当a=0时，不等式的解集为（一∞， 0)U(0,+∞)； 当a<0时，不等式的解集为 (∞，号)U(-÷,+） 考点2命题角度1 [典例][解](1)由题意得y=[12 [典例1]D[2kx2十kx- <0对 (1十0.75x)-10(1十x)]×10000× 8 (1十0.6x)(0<x<1),整理得y= 一切实数x都成立， -6000x2+2000x+20000(0<x 因为2kx2十kx- <0是一元二次 1). 8 (2)要保证本年度的年利润比上年度 不等式，所以k≠0 有所增加，必须有 12k0, 则必有 5y-(12-10)×10000>0, △=k-4X2×(- 8 0, 10x<1, 解得一3k<0.] 命题角度2 中{60200… [典例2][解析]要使f(x)<-m 解得0<r<子， 十5在[1,3]上恒成立，则mx一mz 所以投入成本增加的比例应在 +m-60, 即m(x-2) 1 3 十4m-6<0在x∈ (0,子）范国内。 [1,3]上恒成立 跟踪训练 解：(1)当x<45,x∈N时， 有以下两种方法： 法一：令g(x)=m(-立) 1 y=(60+100 -200-a(x)=60z -6,x∈[1,3]. +100-200- (2x2+30x-300 1 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增 x2+30x+200: 1 函数， 所以g(x)mx=g(3)=7m-6<0. 当x≥45，x∈N+时， 所以m<号，则0<m<号。 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减 y=(60+g-20-a6) 函数， =60z十100-200- 61+2500 x+1-900） 所以g(x)max =g(1)=m-6<0. 2500 所以m<6,所以m<0. =一x +800: x十1 综上所述，m的取值范围是 综上所述，y= 7x2+30z+200,z<45 法二：因为x2-x十1=（- (x∈N). 一x 2500 x+1 +800,x≥45 ￥>0 (2)当x<45,x∈N+时，y= 又因为m(x-x十1)-6<0， 6 十30x十200= 所以m< x2-x十1 合a301+650, 则当x=30时，y的最大值为650： 因为函数y= 6 当x≥45，x∈N+时， x2-x十1 6 y=-x- 在[1,3]上的最小值 2500+800 x+1 ()+ (x+1)+25001 +801 x+1 为号，所以只需m<号即可。 2,/x+10.2500+801 因为m≠0，所以m的取值范围是 x+1 {mp<a<号或m<} =701(当且仅当x+1=2500 x+1 即x=49时等号成立) [答案] 0<m<号或m<0} 当年产量为49台时，该企业在这 款新能源电池设备的生产中获利最 命题角度3 大，最大利润是701万元. [典例3]C[把不等式的左端看成 关于a的一次函数， 第7节 记f(a)=(x-2)a十x2-4x十4， 夯实·必备知识必备知识 则由f(a)>0对于任意的a∈[-l, 1]恒成立， 1学2学≥历大 所以f(-1)=x2-5.x十6>0， (2)小最小最大 且f(1)=x2-3x十2>0即可，解不思考辨析(1)×(2)×(3)× 等式组{-51十6≥0得1成x (4)X(5) 1x2-3x+2>0, 小题查验 >3.1 1.C2.C3.A4.√5-1 跟踪训练A 考点3 5,1515 ·413· 参考答案 跃升·关键能力考点1命题角度1 [典例1][解析](1)因为0x1, 所以x(3-3x)=3.x(1-x) ≤[中g2]- 2 当且仅当1=1一x,即x=之时等号 成立 (2)y=+2 x-1 =（x2-2x十1)十(2x-2)十3 x-1 =(x-1)2+2(x-1)+3 x-1 =-10+3+2 ≥2√5+2. 当且仅当x-1=3,即x=后+1 时，等号成立 [答案](1)B(2)25+2 命题角度2 [典例2]C[由lga十lgb=lg(a十 b),得lg(ab)=lg(a十b),即ab=a十 6:对有日十古=1，所以a中6 (日+)a+)=2++号≥2 合·号=4，当且仪当a=2 时等号成立，所以a十b的最小值为4.] 命题角度3 [典例3](1)[解析]法一（换元消 元法)：由已知得x十3y=9一xy, 因为x>0,y>0,所以x十3y 2√/3xy, 所以≤（空），当且仅当 3y,即x=3,y=1时取等号， 即(x十3y)2+12(x+3y)-108≥0. 令x十3y=t,则t>0且t十12t-108 ≥0， 得t≥6，即x十3y的最小值为6. 法二（代入消元法）：由x十3y十xy =9, 得x=93,所以x十3y=93 1+y 1+y +3y =9-3y+3y(1+y) 1十y =9十3y2=3(1+y)2-6(1土y)+12 1十y 1十y 12 =3(1十y)十1十y -6 ≥2√31+)·-6 1+y =12一6=6.即x十3y的最小值 为6. [答案]6 (2)[解析]由题知，a,b∈R,且b a2=1.即b2=a2+1. 所以la+B-a=la十1， b b 当a=0时，b=1,即b=士1，此时 a+1=士1， b