第1章 第5节 不等式的解集-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 专点3 不等式的性质及应用 ◆[命题角度2]求某些代数式的取值范围 ◆[命题角度]判断或证明不等式是否成立 (综合点) [典例]设f(x)=a.x2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤ (基础点) f(1)≤4，则f(一2)的取值范围是 1.(2022·上海卷)若a>b>c>d,则下列不等式恒 破题关键点了一是将f(=2)用f(=1)和 成立的是 f(1)表示出来；二是求f(-2)=4a-2b在 A.a+d>b+c B.a+c>b+d 11≤f(-1)≤2， 1≤a-b≤2， C.ac>bd 即在 D.ad>bo 2≤a+b≤4 条件下的 2≤f(1)≤4， 2.若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论：①ad> 最值. c,②分+2<0：®u-c>6-d,④ad-c) [尝试解答] 方法指导 b(d一c)中成立的个数是 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但 A.1 B.2 C.3 D.4 应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二 题后反思 是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判 的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体 与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性” 断或反例说明.常用的推理判断需要利用不 不等关系的运算求解范围， 等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把 跟踪训练 要判断的命题和不等式性质联系起来考虑， 已知一1<x<4,2<y<3,则x一y的取值范围 是 ,3.x十2y的取值范围是 找到与命题相近的性质，并应用性质判断命 题真假，当然判断的同时还要用到其他知识， C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关4 比如对数函数，指数函数的性质等」 第5节 不等式的解集 ★[课程标准]1.会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集.2.能借助绝对值的几何意义求解 含绝对值的不等式的解集. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 3.数轴上两点间的距离及中点坐标公式 1.不等式的解集与不等式组的解集 (1)距离公式：一般地，如果实数a,b在数轴上对应 (1)不等式的解集：不等式的 组成的集合. 的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的 (2)不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得 长为 到的不等式组来说，这些不等式的解集的 (2)中点坐标公式：A(a),B(b),线段AB的中点M 称为不等式组的解集。 对应的数为x,则x 微思考 自主诊断 若不等式无解，其解集怎么表示？ ◆[思考辨析] 提示：若不等式无解，则其解集可表示为心 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里 2.绝对值不等式 打“√”，错误的打“X” (1)一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不 (1)在数轴上从点A(一2)引一线段到B(1),再 等式 同向延长同样的长度到C,则点C的坐标为4. (2)当m>0时， ( 关于x的不等式|x|>m的解集为 (2)不等式-2.x-4>0, 的解为x<一2. x-3≤0 关于x的不等式|x|<m的解集为 14 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 (3)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1<1”的充分 A.{x|0<x≤2，x∈R} 而不必要条件 ( ) B.{x|0<x≤2，x∈Z} ◆[小题查验] C.{-1,-2,1,2} 1.不等式组 2x-15, 的解集在数轴上表示为( D.{1,2,3} 8-4x<0 3.不等式|x十1<5的解集为 0123x 0123 4.不等式|x一2|≤|x的解集是 A B 22x_4一3xx一2 0123元 0123￥ 5.不等式组 3 2’ 的解集为 D 2.x-7≤3(x-1) 2.集合M={xlx>0,x∈R},N={x|x-1|≤2，x ∈Z},则M∩N= ) 跃升>关键能力 层级突破素养提升 春点1 不等式组的解集 跟踪训练 [典例门] 解不等式组，并把解集在数轴上表示 解下列不等式组： 出来： 1)/-5>1+2, ① 2x+3>1, x-x+11 3x+2≤4x; ② (1) (2) 22 2 x-2<0; ① x+8<4x-1. x+5>1-x, (2) [尝试解答] 4x一 8 ② 专点2 解绝对值不等式 ◆[命题角度1]含有一个绝对值号不等式的 解法 [典例1]解下列不等式： (1)12x+5l<7;(2)|2x+5>7+x: (3)2≤|x-2≤4. [尝试解答] 题后反思 一 元一次不等式组的求解策略 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大 大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键 ·15 高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[命题角度2]含有两个绝对值号不等式的 专点3数轴上的基本公式及应用 解法 [典例]已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为 [典例2]解下列不等式： A(-1),B(3),P(x) (1)|x-1|>|2x-3|:(2)|x-1|+|x-2|>2; (1)点P到A,B两点的距离都是2时，求P(x), (3)|x+1|+|x+2|>3+x. 此时P与线段AB是什么关系？ [尝试解答] (2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到 A和B的距离都是3？若存在，求P(x),若不存 在，请说明理由。 [尝试解答] 题后反思 题后反思 含有绝对值的不等式的解题策略 解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为 数轴上基本公式的应用 不含绝对值的不等式，但要根据所求不等式的结 (1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公 构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号， 式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离 故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨 公式求相应点的坐标； 论法求解，还可构造函数利用函数图像求解. (2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中 已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标。 日跟踪训练 跟踪训练 1.解不等式3≤|x-2|<4. 已知数轴上有点A(一2)，B(1),D(3),点C在射 线BA上，且有瓷-子问在线段CD上是否存 在点E使需-？如存在，求点E坐标，如不 存在，请说明理由 2.不等式|x+3|一|x-3|>3的解集是 A{>} B{<≤3 ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关5 C.{x|x≥3} D.{x|-3<x≤0 ·16将它们代入②中，得3k一4k十10k= 18,解得k=2. 所以x=6,y=8,x=10, 所以原方程组的解集为{(6,8,10)}. (2)[解]将②代入①，整理得x x一2=0，解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2;x=一2 时，y=一1. 所以原方程组的解集为{(1,2)， (-2,-1). (3)[解]由①得(x-4y)(x+y) =0, 所以x一4y=0或x十y=0, 由②得(x+2y)2=1, 所以x十2y=1或x十2y=-1. 原方程可化为以下四个方程组： x-4y=0,x-4y=0, 1x+2y=1,{x+2y=-1, x十y=0,x十y=0, x十2y=1,x十2y=-1 解这四个方程组，得原方程组的四个 解是： 2 2 x13 x= 3 x3 1 y3=1, y=6,y2= 6 x1=1, y1=-1 所以方程组的解集为 {(得)(÷-吉）) （-1D.1.-D} 跟踪训练 1.解：由②×6，得 3(x+y)+(x-y)=6.③ ③-①，得5(x-y)=2, 申号 把x一y= 代入@，得x十y得 28 x17 解方程组 x十y 15 得 11 y=1 所以原方轻组的解桑为{（贵局）} 2.解：由②得x=2y十5③ 将③代入①，得(2y十5)2+2y(2y 5)+y2=4. 整理，得3y2十10y十7=0. 7 解得y=一了=一1 把y=- 子代入®，得x= 1 把y2=-1代入③，得x2=3. 所以原方程组的解是 1 x1=3 2=3, 7.y=-1. y1=一3’ 所以方程组的解集为 参考答案 3.解：由②得(x-y-3)(x-y十1)=跟踪训练 A 0.所以x-y-3=0或x-y十1=0.考点3命题角度1 所以原方程组可化为两个方程组： 1.B2.C x2-y=1,1x2-y2=1, 命题角度2 典例][解析]法一：设f(一2)= (x-y-3=0,{x-y+1=0. mf(一1)十nf(1)(m,n为待定系 用代入消元法解方程组，分别得 数)，则4a一2b=m(a-b)十n(a十 5 x1= b), 3 ∫x2=-1, 即4a-2b=(m十n)a十(n-m)b. y 4y2=0. 3 于是得m十n=4。解得{m=3, n-m=-2, n=1, 所以原方程组的解集为 .f(-2)=3f(-1)+f(1). {(停号)(-10 又.1f(-1)2,2f(1)4, .5≤3f(-1)十f(1)≤10， 第4节 故5≤f(-2)≤10. 夯实·必备知识必备知识 法二：由f1)=a-6, f(1)=a+b, 1.(1)>= (2)> a= 2.> > <> > 2-1D+1], 得 b=2f1)-f(-1D], 思考辨析(1)× (2)× (3)× ∴.f-2)=4a-2b=3f-1)+f(1). (4)/(5)/ 又.1f(-1)2,2f(1)4, 小题查验 .53f(-1)十f(1)10, 1.A2.D3.C 4.(-π，0) 故5≤f(-2)10. 5√>√E [答案][5,10] 跟踪训练 (-4.2)(1.18) 跃升·关键能力考点1 第5节 「x十y100 夯实·必备知识必备知识 6x+7y≥560 1.(1)所有解(2)交集 1. 2.x+y≥155 2.(2)(-o,-m)U(m,十o) x≥0，y≥0 (-m,m） 3.1Da-6(2空 2.x2-28.x+190≤0(10x≤20) 思考辨析 (1)/(2)/(3)X 考点2 小题查验 [典例](1)B[因为M-N=a1a2 1.C2.D3.{x-6x<4}4.{xx≥ a1-a,+1=a1(a2-1)-(a2-1)= 1}5.[-4,1 (a1-1)(a2-1),又a1,a2∈(0,1)， 跃升·关键能力考点1 所以a1-1<0,a2-1<0, [典例][解]分别求出各不等式的 所以(a1-1)(a2-1)>0, 解集，再求出各个解集的交集，并在 所以M>N.] 数轴上表示出来即可， (1)解不等式2x十3>1，得x>-1, (2)[解]“1a 1 (1十a)=1-a} a 解不等式x-2<0,得x<2, 0当=0时。=0心 则不等式组的解集为{x一1<x<2. 1=1十a. 将解集表示在数轴上如图所示： ②当a<1,且a≠0时，2a>0, -1012x _>1十a. .1-a 2)解不等式1-宁> 2 a 1-∠1十a. 得x>2, ③当a>1时已a<0… 解不等式x十8<4x-1,得x>3, 互动探究 则不等式组的解集为{xx>3}, 解：作差，即M-N=(a1-1)(a-1). 将不等式组的解集表示在数轴上如 图所示： ①当a1,a2∈(-o∞，1)时， (a1-1)(a2-1)>0,即M>N; ②当a1,a2∈(1，十∞)时， -10 12 345x (a1-1)(a2-1)>0,即M>N; 跟踪训练 ③当a1,a2中一个小于或等于1，另 解：(1)解不等式①，得x<一6，解不 一个大于或等于1时，(a1-1)(a2 等式②，得x≥2.把不等式①和②的 1)0,即MV 解集在数轴上表示出来： 综上，当a1,a2∈(-o∞，1)或a1,a2 (1,十o∞)时，M>N,当a1,a2中一个 -6 0 2 x 小于或等于1，另一个大于或等于1 由图可知，解集没有公共部分，不等 时，MV. 式组无解，即不等式组的解集为⑦. ·411· 高考总复习人教数学B版（新教材） (2)解不等式①，得x>- ,解不等跟踪训练 5 1.解：此题的不等式属于绝对值的连不 式@，得≤子，把不等式①和②的 等式，求解时可将其化为绝对值的不 等式组再求解」 解集在数轴上表示出来： 原不等大等价于{任：8 由①，得x-2≤-3，或x-2≥3， 0 .x一1，或x≥5. 由②，得一4<x一2<4， 由图可知不等式组的解集 .-2<x<6. 为（是] 如图所示，原不等式的解集为{x一2 <x一1，或5x6} 考点2命题角度1 [典例1][解](1)原不等式等价于 -7<2x十5<7. -4-3-2-10123456 2.A 所以一12<2x2,所以-6<x<1, 考点3 所以原不等式的解集为（一6,1）. (2)由不等式|2x十5>7+x, [典例][解]根据数轴上两点间的 距离公式及中点坐标公式求解 可得2x十5>7十x或2x十5-(7 十x),所以x>2或x一4. (1)由题意知{x十1=？可以化为 所以原不等式的解集为(2，十∞)U {x-3=2, (-0∞，-4). 6源不#式等价于{任二经9 22 1x-3=-2 或{士=二名或{红+1=2， 由①得x-2≤-2，或x-2≥2， 0x-3=-2 x-3=2. 所以x≤0，或x≥4. 解得x=1. 由②得-4≤x-2≤4，所以一2≤x 点P的坐标为P(1),此时P为 ≤6.所以原不等式的解集为[一2,0] AB的中点. U[4,6]. (2)不存在这样的P(x),理由如下： 命题角度2 .AB=3-(-1)=4<6, [典例2][解] (1)因为x一1 在线段AB上找一，点P使PA十 >2x-3, PB=3十3=6是不可能的 所以(x-1)2>(2x-3)2, 跟踪训练 即(2x-3)2-(x-1)2<0, 解：这C(.E(),则C = 所以(2x-3十x-1)(2x-3-x十1) 0,即(3x-4)(x-2)0, x-（-22= x-1 2x=-5, 所以4<x<2 3 所以C(一5)， 即原不等式的解集为（号，2） 心E在线段CD上，所以票 (2)原不等式台≤1， x-(-5)1 ,4z'+20=3-x',x {1-x+2-x>2 3-x 1f (-53),在线段CD上 或∫⊙2， 在点E()- {x-1+x-2>2 s1, 1或1<x<2, 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.a.x2+bx+c>0 2.(x1,x2)(-∞，x1)U(x2,十∞) 21 3.(x-h)2>k(x-h)2<k 思考辨析(1)/(2)/(3)X 所以原不等式的解集为 (4)×(5) (-,)(受，+）月 小题查验 (3)原不等式台 1.D2.D3.C4.{x-3≤2≤1} x一2， 5.(-o∞，-√2)U(√2，+o∞) -x-1-x-2>3十x 跃升·关键能力考点1 命题角度1 [典例1][解](1)原不等式可化为 或≥一1 x≤-2， 3x2+2x-8≤0， 1x+1十x十2>3+xx-2 即(3x-4)(x十2)0， 或{2-1或之。1 4 0x<-2 (x>0 解得-2≤x≤3， 台x<一2或x>0. 所以原不等式的解集为 所以原不等式的解集为（一∞，一2） U(0,十∞). {-2≤号} ·412· (2)原不等式等价于 {-x-2>0台-x-2>0 {x2-x-2≤4{x2-x-6≤0 台x-2)(x+1)八0 1(x-3)(x十2)0 台x>2或x<-1, 1-2x≤3. 借助于数抽，如图所示， 月101含 原不等式的解集为{x一2≤x<一1 或2<x3}. 命题角度2 [典例2][解]原不等式可化为(x -1)(ax-1)<0, .①当a=0时，可解得x>1, ②当a>0时，不等式可化为 -D(-日)0， .当a=1时，不等式可化为(x-1) <0,解集为⑦； 当0<a<1时，>1，不等式的解条 为{1} 当a>1时，工<1，不等式的解集 当a<0时，不等式可化为 -D(-）>0 不等式的解集为 {>1成<} 综上，可知，当a0时， 不等式的解集为 {>1 a了 当a=0时，解集为{xx>1}; 当0<a<1时，不等式的解集 为{1 1) 当a=1时，不等式的解集为☑； 当a>1时，不等式的解集 跟踪训练 解：原不等式可化为12x2-ax-a >0, 即(4x十a)(3.x-a)>0, 令(4x十a)(3x-a)=0,解得x1= 当a>0时，不等式的解集为 (o,-是)U(导+∞）： 当a=0时，不等式的解集为（一∞， 0)U(0,+∞)； 当a<0时，不等式的解集为 (∞，号)U(-÷,+）