精品解析：2026年湖南长沙市长郡双语实验中学春季九年级毕业会考模拟练习卷（四）数学

2026年春季九年级毕业会考模拟练习卷（四） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列各组代数式中，属于同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与． 3. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 4. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，四个点在同一直线上，若，则的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 6. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 如果每个评委打分都高，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 7. 如图，已知是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则_____． 12. 已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4，则另一个根为_____． 13. 在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 15. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 16. 生态学家用“捉放捉”的方法（也称为标记重捕法）估计某池塘中鲫鱼数量．先捕捉50条鲫鱼，分别给它们做上记号，然后放回；一段时间后，重新捕捉一些鲫鱼作为样本．多次这样捕捉到的鲫鱼中平均每10条有2条带有记号．该池塘中鲫鱼的总数约为_____条． 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： （1）连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ① ② ③ ④ （2）若，的面积为，过点作于点，求的长． 20. 四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．学校开展读书节，为了解学生对这四部名著的喜好进行了抽样调查（A．西游记，B．三国演义，C．水浒传，D．红楼梦）．某班随机抽取部分学生进行调查后，王老师将自己班调查数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共抽取学生_____人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中类别D所对应的圆心角的度数为_____； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生选择《水浒传》； （4）为了交流读书心得，王老师从被调查的类别B和类别D的学生中分别选取一名学生参与活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． （1）求证：； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 23. 如图，在中，，，分别为，中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）过点作交于点，若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． （1）已知点为“镜像点”，求的值； （2）根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． （3）关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 25. 如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）将，，的面积分别记为，，，若，求的值； （3）若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季九年级毕业会考模拟练习卷（四） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义判断，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数，据此判断各选项即可得到结果. 【详解】解：∵ 有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数， 是开方开不尽的数，是无理数， 是无限不循环小数，是无理数， 是整数，属于有理数， 是开立方开不尽的数，是无理数， 故只有0是有理数. 2. 下列各组代数式中，属于同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与． 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意． 3. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式根据同分母分式加减法则计算，再对结果因式分解约分，得到最简结果． 【详解】解：． 4. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，中间有一条竖线，即 5. 如图，，四个点在同一直线上，若，则的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=8，计算即可． 【详解】∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， 又BC=8， ∴EF=8， ∵EC=5， ∵CF=EF-EC=8-5=3． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 如果每个评委打分都高，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计量的性质，需掌握各统计量的变化规律，重点理解方差反映数据波动程度的特性． 【详解】解：∵每个评委打分都增加 ∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，每个数据加相同的数，数据的波动幅度不变 ∴方差不会发生变化 故选：D. 7. 如图，已知是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理得，再通过直角三角形性质可得，最后再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 8. 如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数可求河宽的长度． 【详解】解：根据题意可知， ， 米，， （米）． 9. 已知点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可推出y值的大小关系. 【详解】解：∵直线的一次项系数. ∴随的增大而减小. ∵，可得. ∴， 即. 10. 小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据时，；时，得出函数的图象分别在第一、第三象限，再根据时，即可判断出对应的函数图象． 【详解】解：函数中， 当时，； 当时，； ∴函数的图象分别在第一、第三象限， 又∵当时，， ∴只有选项C的图象符合题意． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数． 【详解】解：∵， ∴． 12. 已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4，则另一个根为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】设另一个根为m，则根据一元二次方程根与系数的关系可知m+4＝6，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4， ∴设另一个根为m，则有m+4＝6， ∴m＝2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，灵活利用根与系数的关系成为解答本题的关键． 13. 在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 【答案】岳麓山 【解析】 【分析】根据概率的定义，分别计算抽到各地名卡片的概率，比较概率大小，概率最大的就是最有可能抽出的地名. 【详解】解：总共有10张等可能的卡片， 抽到岳麓山的概率为， 抽到铜官窑的概率为， 抽到橘子洲头的概率为， 比较大小得，抽到岳麓山的概率最大，因此卡片上的地名最有可能是岳麓山. 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 15. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，点扫过的弧长为． 16. 生态学家用“捉放捉”的方法（也称为标记重捕法）估计某池塘中鲫鱼数量．先捕捉50条鲫鱼，分别给它们做上记号，然后放回；一段时间后，重新捕捉一些鲫鱼作为样本．多次这样捕捉到的鲫鱼中平均每10条有2条带有记号．该池塘中鲫鱼的总数约为_____条． 【答案】250 【解析】 【分析】 根据样本中带标记个体的比例估计总体比例，计算即可得到结果. 【详解】解: 根据题意，该池塘中鲫鱼的总数约为（条）. 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、单项式乘多项式、多项式除以单项式把原式化简，由得，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： （1）连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ① ② ③ ④ （2）若，的面积为，过点作于点，求的长． 【答案】（1）④ （2） 【解析】 【分析】（）连接，根据全等三角形的判定定理“”即可求解； （）过点作于点，由角平分线的性质得，再利用的面积解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由作图可知，，， ∵， ∴， ∴证明的依据是； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ． 20. 四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．学校开展读书节，为了解学生对这四部名著的喜好进行了抽样调查（A．西游记，B．三国演义，C．水浒传，D．红楼梦）．某班随机抽取部分学生进行调查后，王老师将自己班调查数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共抽取学生_____人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中类别D所对应的圆心角的度数为_____； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生选择《水浒传》； （4）为了交流读书心得，王老师从被调查的类别B和类别D的学生中分别选取一名学生参与活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20，见解析 （2） （3）500名 （4） 【解析】 【分析】（1）根据类别A的人数和占比求解即可．然后分别求出类别C和类别D的人数，然后补全条形统计图即可． （2）用360度乘以类别D的占比求解即可． （3）用样本估计总体即可． （4）根据B组和D组的男女人数画出树状图，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人） 则类别C的人数有：（人）， 则类别D的人数有：（人）， 则补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：（名） 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种， 恰好选中一名男生和一名女生的概率为． 21. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． （1）求证：； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由切线长定理易得，则可得，即可得证； （2）先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，然后根据扇形的面积公式计算即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵分别与相切于三点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元 （2）应购买34个篮球、66个足球 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． 【小问2详解】 解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 23. 如图，在中，，，分别为，中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）过点作交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形的性质推出，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形推出为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质推出，即可得出结论； （2）过点作于，由，设，则，则，再由勾股定理得，证明得，即可求解． 【小问1详解】 证明： 在中，点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 在中，，点为的中点， ， ， 平行四边形为矩形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ，点为的中点， ， 四边形为矩形， ∴， ， ． ， 设，则，则， ， ， ， ， ， ∴， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． （1）已知点为“镜像点”，求的值； （2）根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． （3）关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②；③ （3） 【解析】 【分析】（1）根据“镜像点”的定义将点关于直线的对称点代入即可求出的值； （2）设点是“镜像点”，将关于直线的对称点代入，即可判断①；通过函数图象的翻折变换，函数图象的平移变换，即可判断②；由“镜像点”的定义可求出直线，即可判断③； （3）由“镜像点”的定义可求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数的最值可求出，代入可求出，最后利用不等式的性质可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点为“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把代入，得， 解得． 【小问2详解】 解：①设点是“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把点代入，得， ∵， ∴， ∴点在函数的图象上，即符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， ∴①错误； ②由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 由函数图象的平移变换可得：函数可由向右平移个单位长度得到， ∵的图象与的图象关于轴对称，即将函数的图象沿轴翻折后即是函数的图象， ∴②正确； ③由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 把点代入，得， 把代入直线，得，解得：， 令，则；令，则，解得：， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为， ∴③正确． 【小问3详解】 解：由题意知，点为“镜像点”，其横坐标为， ∴关于直线的对称点横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 由（2）得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上，且， 令， 整理得，， ∴， 解得或或， ∵，且点异于点， ∴，都舍去， 将，代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，抛物线开口向上， ， ∴当时，有最小值，即；当时，有最大值，即， ∵， ∴， ∴， ∴与是矛盾的，故不符合题意，舍去， ②当时，抛物线开口向下， ， ∴当时，有最大值，即；时，有最小值，即， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 综上所述，的取值范围是． 25. 如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）将，，的面积分别记为，，，若，求的值； （3）若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，即可证明； （2）先证明，根据相似三角形的性质得，再由、求解出、的等量关系，然后代入计算即可； （3）①先证明，得到点与点重合，根据垂径定理得到，设，则，由勾股定理得，根据得到； ②在中，，在中，，由①知，，则，代入整理得，由得，，结合，即可求出． 【小问1详解】 证明：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 为公共角， ， 根据已知得， ， ， 解得或（舍）， ； 【小问3详解】 解：①， ， ， ， 为直径， ， ，即点与点重合， 如图， ， ∴， ，设，则， 由勾股定理得， ， ， ， ； ②在中，， 在中，， 由①知，， ， ， 整理得， ， ， ， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $