精品解析：福建省厦门市松柏中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

松柏中学2025——2026学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算正确的是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 5. 已知方程，利用根的判别式判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（ ） A. 甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B. 若，则甲地小麦长得比较整齐 C. 甲、乙两地小麦高度的众数相等 D. 甲、乙两地小麦高度的平均值相等 7. 一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（ ） A. 分组非常成功 B. 组间差异很明显 C. 同一组内的数据差异很大 D. 分组数目太多了 8. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 9. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 不等式解集是 10. 数学课上，老师提出一个问题：如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴正半轴上一动点，以为边作等腰直角三角形，使，点在第一象限，设点的横坐标为，设……为，与之间的函数图象如图②所示．题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ） A. 点的横坐标 B. 点的纵坐标 C. 的周长 D. 的面积 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的值可以为_______．（写出一个满足条件的即可） 12. 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为________. 13. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为和，则的长为________． 14. 八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 15. 如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则___________． 16. 定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 三．解答题（本题共9小题，共86分．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 已知一次函数，完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）当时，求的取值范围． 20. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上． （1）直接写出的长； （2）仅用无刻度的直尺，在上找一点，连接，使得线段平分的面积．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 21. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：每个蛋黄粽的进价比肉粽的进价贵元；购进个肉粽和个蛋黄粽时，总费用为元． （1）求每个肉粽和蛋黄粽的进价； （2）超市将肉粽的售价定为元/个，蛋黄粽的售价定为元/个．超市计划购进这两种粽子共个，根据市场需求，在不超过元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 22. 为迎接区体育节，需根据身高选拔男生参加列队展示，以下是校、校男生的身高信息： 信息1：如表是从两校共名男生中随机抽取名男生的身高统计表． 身高/米 1.63 1.66 1.68 1.70 1.73 1.78 1.82 人数 2 4 4 5 2 2 1 信息2：两校全体男生身高的箱线图如图所示． （1）随机抽取的名男生中，身高米的男生来自_________校（填“”或“”）．依据样本，估计两校名男生中高于米的男生共有_________名； （2）校男生身高的第三四分位数为_________米；校男生身高在米的人数占比为_________； （3）现要从两校中选拔一个学校的半数男生参加列队展示，要求身材高挑、队列整齐，你会推荐哪个学校？请说明理由． 23. 某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．学习小组通过查阅资料并进行了多次实验，获得如下信息： ①水瓶不同水位高度与对应的振动频率的部分数据如下表（表）： 水位高度 频率 ②七个音阶与频率的对照表．（表）： 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： （1）求水瓶乐器的频率与水位高度的函数关系式（不要求写出的取值范围）． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 24. 如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． （1）如图，点在线段上，若，则________． （2）如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． （3）当时，求与的数量关系． 25. 在平面直角坐标系中，点，在直线：上． （1）当时，求直线的解析式； （2）若对于任意，总有，求的值； （3）已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松柏中学2025——2026学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； B、对于任意的一个x，y有两个值与其对应，故不是的函数，故选项符合题意； C、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； D、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意． 2. 计算正确的是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：， 故选：B 3. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各选项两较短边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 4. 一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握“多边形的外角和等于”是解决问题的关键． 【详解】解：∵多边形外角和等于， ∴， 则此多边形为八边形， 故选：D． 5. 已知方程，利用根的判别式判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般形式，对应找出各项系数，注意系数要包含本身的符号． 【详解】解：∵原方程为 ，符合一元二次方程的一般形式， ∴对应可得 ，，． 6. 为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（ ） A. 甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B. 若，则甲地小麦长得比较整齐 C. 甲、乙两地小麦高度的众数相等 D. 甲、乙两地小麦高度的平均值相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差公式的结构特征，提取样本容量与平均数信息，结合方差的意义、众数的定义判断各选项． 【详解】解：∵，， ∴甲、乙两组样本容量均为10，平均数均为25， ∴A、D选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴若，则甲地小麦长得比较整齐，B选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出众数一定相等，存在平均数相同但众数不同的情况， ∴C选项表述不一定正确． 7. 一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（ ） A. 分组非常成功 B. 组间差异很明显 C. 同一组内的数据差异很大 D. 分组数目太多了 【答案】C 【解析】 【分析】组内离差平方和是同一组内各数据与该组平均数的差的平方和，反映同一组内数据的离散程度． 【详解】解：组内离差平方和越大，说明同一组内的数据差异越大． 8. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴， 故选：B． 9. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 不等式解集是 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，，故选项A，B错误； 当时，，故选项C错误； 不等式解集是，故选项D正确. 10. 数学课上，老师提出一个问题：如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴正半轴上一动点，以为边作等腰直角三角形，使，点在第一象限，设点的横坐标为，设……为，与之间的函数图象如图②所示．题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ） A. 点的横坐标 B. 点的纵坐标 C. 的周长 D. 的面积 【答案】B 【解析】 【分析】从图②可以看出，当时，，此时点C的纵坐标为1；△ADC≌△BOA(AAS)，当时，，即可求解． 【详解】从图②可以看出，当时，， 此时点C的纵坐标为1； 当时，过点C作CD⊥y轴于点D， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=90°，AB=AC， ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠DAC+∠OAB=180°-∠BAC=180°-90° =90°， ∴∠OAB=∠DCA， ∠ADC=∠BOA=90°， ∴△ADC≌△BOA(AAS)， ∴BO=AD，OA=CD， 则OD=AD+OD=1+2=3， 即：点C纵坐标为3； ∴设点的横坐标为，点C纵坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象问题，涉及到三角形全等，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的值可以为_______．（写出一个满足条件的即可） 【答案】6（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是6， 故答案为：6（答案不唯一）． 12. 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为________. 【答案】-4 【解析】 【详解】试题分析：把代入方程即可求出m的值. 解：∵是一元二次方程x2+mx+3=0的一个根， ∴ 解得 故答案为－4. 13. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为和，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等可得，利用刻度尺上、两点的读数差求出的长，即可得出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 顶点，对应的刻度分别为和， ， ． 14. 八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 【答案】 【解析】 【分析】从频数分布直方图中读出各组的频数，取各组的组中值作为该组数据的代表值，利用加权平均数公式进行计算． 【详解】解：由图可知，各组的组中值分别为：，，，， 对应的频数分别为，，，， ∴这若干名学生平均分钟跳绳的次数是：． 15. 如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则___________． 【答案】40° 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和与外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握等边对等角以及三角形的内角和与外角的性质是解题的关键． 如图：连接，根据斜边上的中线的性质得到，根据三角形的外角得到，再根据等边对等角进行求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“和谐点”定义得到和谐点满足，联立直线方程得到与的关系，结合的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：∵“和谐点”满足坐标关系，直线上存在“和谐点”， ∴联立方程得 整理得 ， ∵， ∴ ，即． 三．解答题（本题共9小题，共86分．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 已知一次函数，完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：对于一次函数， 当时，； 当时，； 画出该函数的图象略； 【小问2详解】 解：对于一次函数， 当时，； 当时，； 结合函数图象，当时，的取值范围为． 20. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上． （1）直接写出的长； （2）仅用无刻度的直尺，在上找一点，连接，使得线段平分的面积．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取格点，连接与交点即为点，此时四边形是矩形，则，故线段平分的面积． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得，； 【小问2详解】 略 21. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：每个蛋黄粽的进价比肉粽的进价贵元；购进个肉粽和个蛋黄粽时，总费用为元． （1）求每个肉粽和蛋黄粽的进价； （2）超市将肉粽的售价定为元/个，蛋黄粽的售价定为元/个．超市计划购进这两种粽子共个，根据市场需求，在不超过元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个肉粽的进价为元，每个蛋黄粽的进价为元 （2）购进肉粽个、蛋黄粽个时，售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设未知数，根据总价条件列出二元一次方程组求解． （2）先求出单个粽子利润，设购进肉粽数量，写出利润函数；结合总费用限制求出自变量取值范围，利用一次函数增减性求最大利润． 【小问1详解】 解：设每个肉粽进价为元，每个蛋黄粽进价为元．根据题意，得 ， 解得， 答：每个肉粽进价元，每个蛋黄粽进价元． 【小问2详解】 解：单个肉粽利润：（元）； 单个蛋黄粽利润：（元）． 设购进肉粽个，则蛋黄粽个，总利润为元． ， 由总费用不超过元列不等式： ， 解得， 又， 所以自变量范围：． 在中，，随增大而减小． 因此当时，取得最大值． 此时蛋黄粽数量：（个）， 最大利润：， 答：购进肉粽个、蛋黄粽个时利润最大，最大利润为元． 22. 为迎接区体育节，需根据身高选拔男生参加列队展示，以下是校、校男生的身高信息： 信息1：如表是从两校共名男生中随机抽取名男生的身高统计表． 身高/米 1.63 1.66 1.68 1.70 1.73 1.78 1.82 人数 2 4 4 5 2 2 1 信息2：两校全体男生身高的箱线图如图所示． （1）随机抽取的名男生中，身高米的男生来自_________校（填“”或“”）．依据样本，估计两校名男生中高于米的男生共有_________名； （2）校男生身高的第三四分位数为_________米；校男生身高在米的人数占比为_________； （3）现要从两校中选拔一个学校的半数男生参加列队展示，要求身材高挑、队列整齐，你会推荐哪个学校？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）推荐校；理由如下： 选拔半数男生，即选取身高较高的一半，看中位数以上部分：校男生的中位数、上四分位数都比校高，身材更高挑；校上半部分（中位数到最大值）箱体更窄，说明高个子男生身高差距小，队列更整齐． 【解析】 【小问1详解】 解：观察箱线图可知，校男生身高最小值高于米；校男生身高最小值低于米； 身高米的男生来自校； 样本中名男生高于米的人数有（名）； 估计两校名男生中高于米的男生共有（名）； 【小问2详解】 解：观察箱线图可知，校男生身高的第三四分位数为米； 校箱线图第三四分位数为，中位数为， 校男生身高在米的人数占比为； 【小问3详解】 略 23. 某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．学习小组通过查阅资料并进行了多次实验，获得如下信息： ①水瓶不同水位高度与对应的振动频率的部分数据如下表（表）： 水位高度 频率 ②七个音阶与频率的对照表．（表）： 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： （1）求水瓶乐器的频率与水位高度的函数关系式（不要求写出的取值范围）． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 【答案】（1） （2）毫升 【解析】 【分析】（1）先确定频率与水位高度满足一次函数关系，再由待定系数法求解即可； （2）先求出音阶为所对应的，再求出与的函数关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：，再计算其余各组数据可得，每增加，大约减少，故频率与水位高度满足一次函数关系， 设， ∵； ∴ 解得 ∴频率与水位高度的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当发出的音阶为，则， 则， 解得， 由题意得，， 当时，（毫升） 答：应该在玻璃杯中装毫升的水． 24. 如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． （1）如图，点在线段上，若，则________． （2）如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． （3）当时，求与的数量关系． 【答案】（1） （2）证明：如图所示： 在菱形中，，则由菱形的对称性可得， 四边形是菱形， ， ， 是的一个外角， ， 则由菱形的对称性可得， ， 是等边三角形， ， ， 即，，三点共线； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对称性可得，又是等边三角形，，即得； （2）由菱形性质、等腰三角形性质、外角和性质及等边三角形性质得出即可得证； （3）根据题意，分两种情况：点在线段上或点在线段延长线上，由菱形性质及勾股定理求出与的长度即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，点是射线上的动点， ∴由菱形的对称性可得， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，，分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图所示： 是等边三角形， ， ， 由菱形的对称性可知， 是的一个外角， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ∴； 当在线段延长线上时，连接交于，如图所示： ， 是等边三角形，即， 是等边三角形， ， ， 由对称性可知， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． 25. 在平面直角坐标系中，点，在直线：上． （1）当时，求直线的解析式； （2）若对于任意，总有，求的值； （3）已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，平行四边形的周长最小 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入关系式可表示出，再将的值代入可得答案； （2）先整理不等式可得，即可得，且时不等式对任意恒成立，进而得出答案； （3）根据与的中点重合可得点的坐标，再根据平行四边形的周长最小可得答案． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， 有， 解得， ∴直线的关系式为∶， 将代入直线的关系式，则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于任意x，总有， ∴恒成立， ∴，且， 解得，且， ∴， ∵， 由（1）得， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴与的中点重合． 设， ∵点，， ∴， 解得， ∴点． ，． 平行四边形的周长为． 点在直线上运动，，为定点． 该问题可转化为在直线：上找一点，使其到两点的距离之和最小． 作点关于直线：的对称点，则， ，当点三点共线时，取最小值， 即当为线段与直线的交点时平行四边形的周长最小． 设的解析式为， 有， 解得， ， ， 则点坐标为， ，解得． 存在，当时，平行四边形的周长最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $