4.3　公式法第1课时　运用平方差公式因式分解课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“运用平方差公式因式分解”，通过乘法公式逆向填空导入，引导学生从(x+3)(x-3)=x²-9等算式中观察规律，建立整式乘法与因式分解的联系，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过观察多项式特点、归纳公式特征培养抽象能力，结合分层练习（判断、基础分解、综合应用）发展推理意识，融入正方形面积计算等实际问题渗透模型意识。学生能在过程中掌握分解步骤，教师可借助清晰的环节设计提升教学效率。

北师版-数学-八年级下册 第四章 因式分解 3　公式法 第1课时　运用平方差公式因式分解 1 导入新课 1．填一填． (1)(x＋3)(x－3)＝_________； (2)(4x＋y)(4x－y)＝___________； (3)(1－2x)(1＋2x)＝_________； (4)(3m＋2n)(3m－2n)＝_________． x2－9 16x2－y2 16x2－y2 9m2－4n2 2．根据第1题填一填． (1)x2－9＝____________； (2)16x2－y2＝_____________； (3)1－4x2＝_______________； (4)9m2－4n2＝_________________． (x＋3)(x－3) (4x＋y)(4x－y) (1－2x)(1＋2x) (3m＋2n)(3m－2n) 你有什么发现? 探究新知 探究1 【探究因式分解的平方差公式】 问题1：观察多项式(1)x2－25，(2)9x2－y2，(3)9m2－4n2的特点，并尝试把它们分别写成两个因式的乘积的形式． 解：问题1：(1)(x＋5)(x－5)；(2)(3x＋y)(3x－y)； (3)(3m＋2n)(3m－2n). 问题2：a2－b2＝(a＋b)(a－b). 问题2：如果把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，你能发现有什么特点？ 4 公式特点： 【归纳】因式分解的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b). ①公式左边：是一个多项式，含有两项，且这两项异 号，并且能写成a2－b2的形式； ②公式右边：是分解的结果，是乘积的形式，是两个底数的和乘两个底数的差． 归纳总结 事实上，把乘法公式(a+b)(a-b) = a2-b2反过来就得到 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. a2 - b2 = (a+b)(a-b) 做一做： 判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式． ①x2－1；②x2＋y2；③－x2＋y2；④－x2－y2； ⑤m2－n2；⑥(a＋b)2＋(c＋d)2；⑦(a＋b)2－(c＋d)2. 观察思考，能用平方差公式来分解因式的是__________． ①③⑤⑦ 探究2 【利用平方差公式进行因式分解】 1．把下列各式因式分解： (1)25－16x2；(2)9a2－b2. 分清公式中的a和b，再应用公式进行因式分解． 解：(1)25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x). (2)9a2－b2＝(3a)2－(b)2＝(3a＋b)(3a－b). 2．把下列各式因式分解： (1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2)2x3－8x. 因式分解的一般步骤：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止． 解：(1)　9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)] ＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n). (2)2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2). 应用举例 例1 因式分解： (1)a4－b4；(2)x3y2－xy4. 【方法指导】 (1)a4－b4可以写成(a2)2－(b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行因式分解，而其中因式a2－b2仍可以继续用平方差公式因式分解； (2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步因式分解． 解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2) ＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b). (2)原式＝xy2(x2－y2) ＝xy2(x＋y)(x－y). 例2 因式分解： (1)(a＋b)2－4a2; (2)m4－1. 【方法指导】将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式因式分解． 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b). (2)原式＝(m2＋1)(m＋1)(m－1). 跟踪训练 1 分解因式4x2－y2的结果是 ( ) A．(4x＋y)(4x－y) B．4(x＋y)(x－y) C．(2x＋y)(2x－y) D．2(x＋y)(x－y) 2 将(a＋1)2－1分解因式，结果正确的是( ) A．a(a－1) B．a(a＋2) C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1) C B 3 因式分解： (1)a3－ab2＝___________； (2)a－ax2＝____________； (3)x2(a－b)＋(b－a)＝_________________． a(a－b)(a＋b) a(1－x)(1＋x) (a－b)(x＋1)(x－1) 5 将边长分别为(a＋b)和(a－b)的两个正方形按如图所示的方式摆放，则阴影部分的面积化简后的结果是____． B 4ab 6 如图，将一边长为a cm的正方形纸片的四个角剪去一个边长为b cm(b＜)的小正方形．用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并用分解因式法求当a＝10，b＝1.5时，剩余部分的面积． 解：剩余部分的面积是(a2－4b2)cm2. 当a＝10，b＝1.5时，a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(10＋2×1.5)×(10－2×1.5)＝13×7＝91. 答：当a＝10，b＝1.5时，剩余部分的面积为91 cm2. 随堂练习 1．下列各式：x2－y2，－x2－y2，(－x)2＋(－y)2，－x2＋y2，x4－y4，其中能用平方差公式因式分解的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 2．把代数式3x2－27因式分解，结果正确的是( ) A．3(x2－9) B．3(x－3)2 C．3(x＋3)(x－3) D．3(x＋9)(x－9) 3．计算752－252的结果为________． C 5000 1．这节课你有什么收获？ 2．在探究因式分解的平方差公式时，我们运用了哪些方法？什么样的式子可以用平方差公式进行因式分解？ 课堂小结 课本P121习题4.3中的T1、T4、T5、T6、T7. 课后作业 21 4 若＝8×10×12，则k的值为 ( ) A．12 B．10 C．8 D．6 $