专题03乘法公式 期中复习讲义(复习重点+核心题型+巩固提升)-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题03乘法公式 期中复习讲义 期中复习◆重点 1. 理解掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，明晰公式本质，彻底杜绝公式混淆、用错的问题。 2. 熟练掌握公式正用、逆用、变用技巧，灵活解决整式运算、化简求值、简便计算等基础题型。 3. 掌握乘法公式数形结合思想，理解公式在几何图形中的面积推导与实际应用。 4. 攻克整式乘法混合运算、整体变形求值、综合拓展题，掌握高效解题思路与答题规范。 核心题型◆归纳 题型1运用平方差公式进行运算 题型2运用完全平方公式进行运算 题型3平方差公式与几何图形 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 题型5多项式乘多项式-化简求值 题型6通过对完全平方公式变形求值 题型7求完全平方式中的字母系数 题型8整式乘法混合运算 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01乘法公式 1.平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=- 文字:两数和与两数差的积，等于这两数的平方差. 核心提示：左边为两项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数；右边为两项式，仅含平方项。 2.完全平方公式 和的完全平方:=+2ab+ 差的完全平方：(a-b)2=-2ab+ 核心提示：左边为二项式的平方，右边为二次三项式，切勿漏写中间2ab项！ 知识点02平方差公式与几何图形（数形结合） 1.几何意义：通过面积割补法验证公式 (1)将边长为a的大正方形，剪去边长为b的小正方形，剩余面积为-; (2)将剩余图形拼接为长(a+b)、宽(a-b)的长方形，面积为(a+b)(a-b)， 数形验证:(a+b)(a-b)=-. 2.解题应用：利用图形面积和差关系，快速列等式求解边长、面积等几何问题。 知识点03完全平方公式与几何图形（数形结合） 1.几何意义： （1）边长为(a+b)的大正方形，可分割为两个小正方形（面积、）+两个全等长方形（面积ab），总面积满足(a+b)2=a2+2ab+b2； （2）边长为(a-b)的正方形面积，可通过大正方形减去多余部分面积推导，验证(a-b)2=-2ab+ 2.解题应用：解决正方形边长变化、面积增减、图形拼接等几何计算题。 知识点04整式乘法混合运算 1.运算顺序：先乘方（完全平方）→再乘法（单项式/多项式乘法）→最后加减（合并同类项） 2.运算技巧：优先判断能否用乘法公式简化运算，减少繁琐展开，提升运算速度； 3.注意事项：去括号、添括号严格遵循符号法则，合并同类项只变系数、不变字母。 题型解析◆精准备考 题型1运用平方差公式进行运算 1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，符合平方差公式的特点，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，相反项为，符合平方差公式的特点，可以用平方差公式计算； C、，两项均互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算； D、，符合平方差公式的特点，可以用平方差公式计算. 2．一个长方形的面积是，其长为，用含有的整式表示它的宽为________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式推得宽等于面积除以长，对面积的多项式利用平方差公式因式分解后，进行整式除法运算即可得到结果. 【详解】由长方形面积公式可得 将面积，长代入得利用平方差公式对分子因式分解，得 ，代入得（其中）. 故答案为：. 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】原式，值为4 【分析】根据乘法公式先化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 题型2运用完全平方公式进行运算 1．下列运算正确的是：（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：选项：与不是同类项，不能合并，错误； 选项：，正确； 选项：，错误； 选项：，错误． 2．若，则代数式的值为________． 【答案】6 【分析】先将所求代数式配方变形，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．化简求值：，其中． 【答案】5 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式将所求式子化简，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 题型3平方差公式与几何图形 1．如图，边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形后，把剩余的阴影部分拼成一个平行四边形，根据阴影部分面积相等，我们可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是通过等面积法寻找到等量关系． 原来阴影部分面积为边长为的大正方形减去边长为的小正方形的面积，拼成后的阴影面积是底为，高为的平行四边形的面积，根据两图形阴影面积相等即可得解． 【详解】解：∵边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形， ∴原来阴影部分的面积为：， ∵拼成后的图形是平行四边形，且平行四边形的底为，高为， ∴平行四边形的面积为， ∵阴影部分面积相等， ∴． 2．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 3．计算阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：阴影部分的面积 ． 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，将图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得． 故选项A符合题意． 2．如图，两个正方形边长分别是、，已知，，则阴影部分的面积为_____. 【答案】14 【分析】根据正方形的性质，利用完全平方公式进行求解． 【详解】解：阴影部分的面积为， 将，代入上式得， 原式． 3．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 题型5多项式乘多项式-化简求值 1．已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】B 【分析】利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 2．已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，多项式乘以多项式，解题关键是利用多项式乘以多项式正确计算． 先利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，然后整体代入求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 3．化简求值：，其中． 【答案】 【分析】先根据整式乘法法则计算，再根据整式的加减法合并，然后代入求值即可． 【详解】解：原式， 把代入，原式． 题型6通过对完全平方公式变形求值 1．若，则的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，整理后即可得到所求式子的值．本题要求熟练掌握完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴将等式两边同时平方得， 展开左边得，， 化简得，， 移项计算得，． 2．已知，则的值是___________． 【答案】727 【分析】利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值； （2）解：，且， 当时，代数式的最大值为； （3）解：， ， ， 当时，的最小值为． 题型7求完全平方式中的字母系数 1．若是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．或3 B．或4 C．5或3 D．5或 【答案】D 【分析】根据题意可得两平方项为，据此根据完全平方式的特点得到一次项系数满足的条件，解对应的方程即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴一次项系数满足， 当时，解得； 当时，解得； 因此的值为或． 2．如果多项式是个完全平方式，那么常数的值为___________． 【答案】11或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：多项式是完全平方式， 是的平方，，根据完全平方公式的结构，可得 ， 当时，解得； 当时，解得． 3．对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8整式乘法混合运算 1．计算（1+3x）(3x-1)+9(-x)(x+)的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．通过平方差公式进行化简，再合并即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．若实数满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的乘法，由已知等式通过代数变形对降次思想计算． 【详解】解：由， 可得，， 则， 故答案为：． 3．化简． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不能合并，，该选项运算错误，不符合题意． 2．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 3．若，则m的值为（） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，多项式的系数，掌握知识点是解题的关键． 展开左边多项式，与右边比较y的系数，即可求出m，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴比较系数得：， ∴． 故选A． 4．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构得到中间项系数的关系，列方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵完全平方公式为，多项式是完全平方的展开式， ∴，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值是或． 二、填空题 5．已知，则代数式的值是______． 【答案】8 【分析】将代数式化简后，利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 . 6．已知，则的值是___________． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 7．已知，，则的值为______； 【答案】9 【分析】先将所求多项式展开，再通过完全平方公式变形，将已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 8．已知，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先由已知得到，代入第二个等式后对式子配方，利用偶次方的非负性求出，，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将其代入中， 得 ， ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴，， 解得，， 将代入得， 将，，代入得：． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据多项式乘多项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式和多项式乘法运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，14 (2)，2 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入的值计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入的值计算即可． 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解： ； 当时，原式． 11．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_____，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（_____） A．数形结合    B．分类讨论    C．类比推理    D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 (2)若，，则_____． (3)若，求的值 【知识迁移】 (4)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，则的长度为_____． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）图中大正方形的面积可用“边长的平方”和“各部分面积之和”两种不同的方法来表示，通过数形结合的数学思想验证一个乘法公式；（2）根据（1）中得到的等式计算即可；（3）设，，则，，，根据（1）中得到的等式计算的值即可；（4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据阴影部分的面积得，根据的面积得，计算出，从而求出的值． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积用“边长的平方”表示为，用“各部分面积之和”表示为，利用数形结合的数学思想验证了公式． （2）解：，， ， ； （3）解：设，，则，，， ， ， ； （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ，， ， 整理得：， ， ， ， 或（舍去）， ． 12．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景、平方差公式的应用以及规律型运算，熟练掌握平方差公式的推导与运用是解答本题的关键． （1）通过分别计算图和图中阴影部分的面积，利用面积相等验证平方差公式； （2）①将变形为平方差公式的形式，代入已知条件求解； ②利用平方差公式对原式逐项分解，再通过等差数列求和计算结果． 【详解】（1）解：图阴影部分面积可表示为，图阴影部分面积可表示为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ； ②原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03乘法公式 期中复习讲义 期中复习◆重点 1. 理解掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，明晰公式本质，彻底杜绝公式混淆、用错的问题。 2. 熟练掌握公式正用、逆用、变用技巧，灵活解决整式运算、化简求值、简便计算等基础题型。 3. 掌握乘法公式数形结合思想，理解公式在几何图形中的面积推导与实际应用。 4. 攻克整式乘法混合运算、整体变形求值、综合拓展题，掌握高效解题思路与答题规范。 核心题型◆归纳 题型1运用平方差公式进行运算 题型2运用完全平方公式进行运算 题型3平方差公式与几何图形 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 题型5多项式乘多项式-化简求值 题型6通过对完全平方公式变形求值 题型7求完全平方式中的字母系数 题型8整式乘法混合运算 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01乘法公式 1.平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=- 文字:两数和与两数差的积，等于这两数的平方差. 核心提示：左边为两项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数；右边为两项式，仅含平方项。 2.完全平方公式 和的完全平方:=+2ab+ 差的完全平方：(a-b)2=-2ab+ 核心提示：左边为二项式的平方，右边为二次三项式，切勿漏写中间2ab项！ 知识点02平方差公式与几何图形（数形结合） 1.几何意义：通过面积割补法验证公式 (1)将边长为a的大正方形，剪去边长为b的小正方形，剩余面积为-; (2)将剩余图形拼接为长(a+b)、宽(a-b)的长方形，面积为(a+b)(a-b)， 数形验证:(a+b)(a-b)=-. 2.解题应用：利用图形面积和差关系，快速列等式求解边长、面积等几何问题。 知识点03完全平方公式与几何图形（数形结合） 1.几何意义： （1）边长为(a+b)的大正方形，可分割为两个小正方形（面积、）+两个全等长方形（面积ab），总面积满足(a+b)2=a2+2ab+b2； （2）边长为(a-b)的正方形面积，可通过大正方形减去多余部分面积推导，验证(a-b)2=-2ab+ 2.解题应用：解决正方形边长变化、面积增减、图形拼接等几何计算题。 知识点04整式乘法混合运算 1.运算顺序：先乘方（完全平方）→再乘法（单项式/多项式乘法）→最后加减（合并同类项） 2.运算技巧：优先判断能否用乘法公式简化运算，减少繁琐展开，提升运算速度； 3.注意事项：去括号、添括号严格遵循符号法则，合并同类项只变系数、不变字母。 题型解析◆精准备考 题型1运用平方差公式进行运算 1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．一个长方形的面积是，其长为，用含有的整式表示它的宽为________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型2运用完全平方公式进行运算 1．下列运算正确的是：（    ） A．B． C．D． 2．若，则代数式的值为________． 3．化简求值：，其中． 题型3平方差公式与几何图形 1．如图，边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形后，把剩余的阴影部分拼成一个平行四边形，根据阴影部分面积相等，我们可以验证公式（   ） A． B． C． D． 2．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 3．计算阴影部分的面积． 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，将图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个正方形边长分别是、，已知，，则阴影部分的面积为_____. 3．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 题型5多项式乘多项式-化简求值 1．已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 2．已知，则的值是_____． 3．化简求值：，其中． 题型6通过对完全平方公式变形求值 1．若，则的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 2．已知，则的值是___________． 3．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 题型7求完全平方式中的字母系数 1．若是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．或3 B．或4 C．5或3 D．5或 2．如果多项式是个完全平方式，那么常数的值为___________． 3．对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 题型8整式乘法混合运算 1．计算（1+3x）(3x-1)+9(-x)(x+)的结果是（   ） A． B． C．0 D． 2．若实数满足，则_______． 3．化简． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 3．若，则m的值为（） A．3 B． C．7 D． 4．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 二、填空题 5．已知，则代数式的值是______． 6．已知，则的值是___________． 7．已知，，则的值为______； 8．已知，，则的值是______． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 11．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_____，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（_____） A．数形结合    B．分类讨论    C．类比推理    D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 (2)若，，则_____． (3)若，求的值 【知识迁移】 (4)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，则的长度为_____． 12．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $