专题03乘法公式与整式除法期中复习讲义(14大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题03乘法公式与整式除法期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 吃透核心，不模棱两可 1.牢记平方差、完全平方公式的结构特征 + 几何意义 2.掌握单项式 ÷ 单项式、多项式 ÷ 单项式的运算法则 3.理清科学记数法除法的运算规则 熟练运算，零失误通关 1.用乘法公式速算、变形求值、求参数，灵活不卡壳 2.整式除法计算符号准、不漏项、步骤规范 3.搞定乘除混合运算，运算效率拉满 直击考点，一分不丢 1.避开公式混淆、符号错误、漏项三大高频坑，基础题稳拿分 2.秒杀公式应用、除法计算、混合运算等期中常考题型 3.搞定完全平方变形、科学记数法除法等难点，冲刺高分 题型1.乘法公式计算 题型2.乘法公式几何验证 题型3.整式乘法混合运算 题型4.整式乘法化简求值 题型5.完全平方公式拓展求值 题型6.整式除法运算 题型7.科学记数法除法运算 题型8.整式四则混合运算 题型9.乘法公式的整体代换求值 题型10.乘法公式的逆用与综合变形 题型11.完全平方式中参数问题 题型12.整式乘除中的参数确定问题 题型13.幂的运算与整式乘除综合 题型14.整式背景下的新定义运算 解答题7题 乘法公式（核心考点，期中拉分关键） 知识点01.平方差公式 ✅ 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 ✅ 核心特征：一项完全相同，一项互为相反数 ✅ 文字表述：两数和与两数差的积，等于两数的平方差 ✅ 关键要点： 1.相同项平方在前，相反项平方在后，符号不可颠倒 2.a.b可代表数、字母、多项式（整体思想） 3.逆用：a2−b2=(a+b)(a−b)，用于简便运算 4.几何意义：大正方形剪去小正方形，割补成长方形（面积相等） 知识点02.完全平方公式 ✅ 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2（和的平方）(a−b)2=a2−2ab+b2（差的平方） ✅ 核心口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方 ✅ 关键要点： 1.中间项系数为2，不可遗漏；符号与原式中间符号一致 2.a.b可代表数、字母、多项式 3.几何意义：大正方形面积 = 两个小正方形 + 两个长方形面积之和 高频变形公式（期中必考）： a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2=(a−b)2+4ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 知识点03. 乘法公式易错点（避坑指南） ❌ 常见错误 1：(a±b)2=a2±b2（漏中间项2ab） ❌ 常见错误 2：(a+b)(a−b)=a2+b2（符号错误） ❌ 常见错误 3：完全平方式求参数漏解（如x2+kx+9，k=±6） 整式的除法（基础运算，期中送分必拿） 知识点04.单项式除以单项式 ✅ 运算法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母，连同指数作为商的因式 ✅ 步骤拆解： 1.系数：按有理数除法，先定符号，再算绝对值 2.同底数幂：am÷an=am−n（底数不变，指数相减，a0） 3.单独字母：直接保留在商中，指数不变 知识点05.多项式除以单项式 ✅ 运算法则：多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加（乘法分配律逆用） ✅ 关键要点： 逐项相除，不漏项、不跳步 每一项带符号运算，注意符号变化 结果按字母降幂排列，合并同类项（若有） 知识点06.科学记数法的除法运算 ✅ 运算法则：(a×10m)÷(b×10n)=(a÷b)×10m−n（1≤∣a∣,∣b∣<10） ✅ 关键要点： 结果需化为标准科学记数法（1≤∣a∣<10） 指数运算：m−n，注意正负号 知识点07.整式除法易错点（避坑指南） ❌ 常见错误 1：多项式除以单项式漏除某一项 ❌ 常见错误 2：同底数幂相除，指数相减算成相加 ❌ 常见错误 3：忽略被除式中单独字母，遗漏在商中 ❌ 常见错误 4：科学记数法结果不规范（a 不在110之间） 综合运算核心（期中压轴考点） ✅ 运算顺序：先乘方（公式）→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 ✅ 核心思想：乘法公式优先用，简化运算；整式除法转化为单项式除法 ✅ 高频考法： 乘法公式 + 整式除法混合运算（如[(x+2)2−(x+1)(x−1)]÷2x） 完全平方公式变形求值、科学记数法除法实际应用 题型01.乘法公式计算 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题点关键．将原式变形为，然后应用平方差公式计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则的值是__________． 【答案】32 【分析】通过换元法将所求代数式转化为含已知代数式的形式，利用完全平方公式展开化简，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：设，则． 由题意可得，． ∴ ． 【跟踪专练3】若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性，解题的关键是掌握平方差公式．依据平方差公式求得，结合，可求得 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 题型02.乘法公式几何验证 【典例】有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与图形面积、多项式乘多项式与图形面积，解题关键是从图中提取出正确信息． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，求出后可得、，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题得：， 得， 即， ， ，， ， ． 即正方形、的面积之和是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则图中阴影部分的面积为（      ） A．144 B．72 C．68 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过对完全平方公式变形可得，再利用阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12． （1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到______； （2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为______． 【答案】 1 29 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键． （1）图甲中阴影面积等于所在大正方形面积减去正方形的面积，再减去两个长方形面积； （2）图丙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去3个正方形A的面积，再减去2个正方形B的面积，据此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可；． 【详解】解：（1）图甲阴影面积可以表示为：， 为正方形边长，， ， ， 故答案为：； （2）图乙中阴影部分面积可以表示为：， ， 图丙中阴影部分面积为： ， ，， ， ， ，（舍去）， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 题型03.整式乘法混合运算 【典例】若，，，则___________． 【答案】 【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 【跟踪专练2】如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为_______． 【答案】8 【分析】此题主要考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，最接近300的倍数为289，设则令进而即可求解． 【详解】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形的边长为L，它必须是整数．同时也为整数， ∴也为整数， ∵最接近300的平方数为， 。 ∴， ∴x+y的最小值为8， 故答案为：8． 【跟踪专练3】对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 题型04.整式乘法化简求值 【典例】已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的化简求值． 先化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则的值是________． 【答案】58 【分析】本题考查了整式乘法的化简求值，熟练掌握整式乘法的化简求值是解题的关键．先将变形为，再将代入即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：58． 【跟踪专练3】若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 题型05.完全平方公式拓展求值 【典例】若，则代数式的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了公式法化简和代数式代入求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先将根据公式法化简为，然后把代入，即可求解； 【详解】解：， ∵， ∴； 故答案为：6； 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若m，n，k满足，则的最小值为______． 【答案】8 【分析】本题的考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键，根据，代入，得，根据，得，要想取得最小值取最小值即可解答． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， 当取得最小值0时，取得最小值8， 即取得最小值8， 故答案为：． 【跟踪专练3】如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 题型06.整式除法运算 【典例】计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题关键是掌握多项式除以单项式的计算方法，多项式每一项除以单项式，然后将结果相加，注意同底数幂相除底数不变指数相减． 【详解】原式 ． 故答案为：（或）． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，掌握其运算法则是关键．根据整式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C ． 【跟踪专练2】计算________． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式．用多项式的每一项除以单项式，即可求解．熟练掌握多项式除以单项式法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列四个算式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则和多项式除以单项式法则． ①②③小题均根据单项式除以单项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； ④小题根据多项式除以单项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴①的计算错误； ∵， ∴②的计算错误； ∵， ∴③的计算正确； ∵， ∴④的计算错误， 综上可知：计算正确的有③，共1个， 故选：B． 题型07.科学记数法除法运算 【典例】光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要______秒． 【答案】 【分析】根据时间=路程速度，列式计算即可． 【详解】解：秒． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查科学记数法的实际应用，同底数幂的除法，解题的关键是根据题意列出算式． 【跟踪专练1】海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练2】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 【跟踪专练3】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可； （2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）10亿， ∴10亿元的总张数为张， （厘米）； 答：大约高厘米； （2）， ， （天）． 答：点钞机大约要点25天 【点睛】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数． 题型08.整式四则混合运算 【典例】边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据图列出代数式并掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 由图可知，阴影部分的面积=两个正方形的面积之和-两个三角形的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可得阴影部分的面积= =． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 【跟踪专练2】计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式求出即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：． 【跟踪专练3】已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】把和的值代入式子中进行计算，即化简，再根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后代入化简式计算即可． 【详解】解： ，， ； ， ，， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型09.乘法公式的逆用与综合变形 【典例】若x满足，则的值为________． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 【跟踪专练1】已知，都是实数，观察表中的运算： ，的运算           运算的结果 3 7 则代数式的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，先求出，的值，然后代入计算． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据，推出，求出，结合，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先求得，再求得，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 设， ∴， ∵x，y为实数， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对于，当时，S有最大值， 当时，S有最小值， ∴的最大值与最小值的和为． 故答案为：． 题型10.乘法公式的逆用与综合变形 【典例】若，，则（    ） A．3 B．4 C．12 D．36 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 运用平方差公式代入原式计算即可求出值． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由条件推导出，得到，通过求的最小值，代入计算即可得到答案．本题考查完全平方公式的性质与应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 故选：D． 【跟踪专练3】已知，，，，则的值等于_______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式变形，将已知式子的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ， ， ． 故答案为：． 题型11.完全平方式中参数问题 【典例】若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可得到常数的值． 【详解】解：完全平方公式的结构为，将多项式变形可得，对比完全平方公式的结构，可得， ， 【跟踪专练1】若关于的多项式是完全平方式，则的值为________ 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的结构特征作答即可． 【详解】解：由于多项式是完全平方式，且常数项， 因此该多项式可以写成的形式， 因为， 通过比较与的一次项系数， 可得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】形如：的式子叫做完全平方式，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 【跟踪专练3】关于的整式是个完全平方式，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式，将整式与的形式比较系数，求出与的关系，进而得到的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由整式是一个完全平方式， 设， ∴比较系数得，即，，即，又， ∴，即或， 当时，，当时，， 故答案为：或． 题型12.整式乘除中的参数确定问题 【典例】已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 【跟踪专练1】设，其中，当时，求_______． 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由，可得，，，，结合以及式子，可计算出其值． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则 故答案为：12． 【跟踪专练2】若的结果中不含x项与项，则代数式的值为______________． 【答案】0 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，再化简代数式，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵的积中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴ ； 【跟踪专练3】已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 题型13.幂的运算与整式乘除综合 【典例】将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（    ） A．3 B．23 C．25 D．29 【答案】D 【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案． 【详解】解： =； ∵， ∴，，， ∴，，， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 【跟踪专练1】已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】将展开得到，得到，，化简求值可得t的值． 【详解】， 由题意， ，， ， ， 得， ， 或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【跟踪专练2】已知9x＝25y＝15，那么代数式（x﹣1）（y﹣1）＋xy＋3的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先根据已知条件得到x+y＝2xy，再整体代入到整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵9x＝25y＝15， ∴9xy＝15y，25xy＝15x， ∴15x+y＝（9×25）xy＝（3×5）2xy， ∴x+y＝2xy， （x﹣1）（y﹣1）+xy+3 ＝xy﹣（x+y）+1+xy+3 ＝2xy﹣（x+y）+4 ＝4 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则，整式的混合运算求值，根据已知条件得出x+y＝2xy是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，这是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是（    ） （1）； （2）； （3）； （4）； A．60分 B．45分 C．30分 D．15分 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键，根据整式的运算法则即可逐步判断答案． 【详解】解：（1），故（1）错误，的0分； （2），故（2）正确，得15分； （3），故（3）错误，得0分； （4），故（4）正确，得15分； ∴小刚同学的分数为：分， 故选：C． 题型14.整式背景下的新定义运算 【典例】现定义运算“”，对于任意有理数，，都有． 例如：，由此可知___________． 【答案】 【分析】利用题中的新定义对进行化简计算即可解答． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，理解和运用新定义是解本题的关键． 【跟踪专练1】已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 【跟踪专练2】新定义一种运算，其法则为，则__________ 【答案】 【分析】按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照同底幂除法运算法则计算可得． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查定义新运算，解题关键是根据题干定义的运算规则，转化为我们熟知的形式进行求解． 【跟踪专练3】设，是实数，定义一种新运算：．下面推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可． 【详解】解：∵a*b=（a-b）2， A、（-a）*b=（-a-b）2=（a+b）2，a*（-b）=（a+b）2，故正确； B、a*b=（a-b）2，a*（-b）=（a+b）2，故错误； C、（a*b）2=[（a-b）2]2=（a-b）4，a2*b2=（a2-b2）2=（a+b）2（a-b）2，故错误； D、a*（b+c）=（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，a*b+a*c=（a-b）2+（a-c）2=a2-2ab+b2+a2-2ac+c2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【跟踪专练4】．定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 【解答题】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 2．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)20 (2)18 【分析】（1）根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出xy的值； （2）由计算可得，把和看作整体，根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出的值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 3．乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）； (4)运用你所得到的公式，计算下列题： 【答案】(1) (2)，, (3) (4) 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟悉相关性质是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； （2）解：由图可知长方形的宽是，长是，所以面积是； （3）解：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4）解： ； 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时， 原式． 5．计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1），根据平方差公式计算，再合并同类项； （2），根据完全平方公式和整式乘法法则计算，再根据整式的加减法计算； （3），先根据积的乘方计算，再根据单项式的乘法和除法计算； （4），先整理为平方差公式的形式，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘法运算法则展开原式，再合并同类项化简式子，然后根据绝对值的非负性求出 a 和 b 的值，代入化简后的式子计算即可得到最终结果； 【详解】解： ， ， ∴， 解得：， 将代入得，原式． 7．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)13 【分析】（1）利用阴影两部分求和、总面积减去空白部分面积计算即可； （2）由（1）的两种方法即可得出； （3）利用，将变形为，再计算即可． 【详解】（1）解：由图可得阴影两部分求和为：， 总面积减去空白部分面积为：， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）可得： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03乘法公式与整式除法期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 吃透核心，不模棱两可 1.牢记平方差、完全平方公式的结构特征 + 几何意义 2.掌握单项式 ÷ 单项式、多项式 ÷ 单项式的运算法则 3.理清科学记数法除法的运算规则 熟练运算，零失误通关 1.用乘法公式速算、变形求值、求参数，灵活不卡壳 2.整式除法计算符号准、不漏项、步骤规范 3.搞定乘除混合运算，运算效率拉满 直击考点，一分不丢 1.避开公式混淆、符号错误、漏项三大高频坑，基础题稳拿分 2.秒杀公式应用、除法计算、混合运算等期中常考题型 3.搞定完全平方变形、科学记数法除法等难点，冲刺高分 题型1.乘法公式计算 题型2.乘法公式几何验证 题型3.整式乘法混合运算 题型4.整式乘法化简求值 题型5.完全平方公式拓展求值 题型6.整式除法运算 题型7.科学记数法除法运算 题型8.整式四则混合运算 题型9.乘法公式的整体代换求值 题型10.乘法公式的逆用与综合变形 题型11.完全平方式中参数问题 题型12.整式乘除中的参数确定问题 题型13.幂的运算与整式乘除综合 题型14.整式背景下的新定义运算 解答题7题 知识点01.平方差公式 ✅ 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 ✅ 核心特征：一项完全相同，一项互为相反数 ✅ 文字表述：两数和与两数差的积，等于两数的平方差 ✅ 关键要点： 1.相同项平方在前，相反项平方在后，符号不可颠倒 2.a.b可代表数、字母、多项式（整体思想） 3.逆用：a2−b2=(a+b)(a−b)，用于简便运算 4.几何意义：大正方形剪去小正方形，割补成长方形（面积相等） 知识点02.完全平方公式 ✅ 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2（和的平方）(a−b)2=a2−2ab+b2（差的平方） ✅ 核心口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方 ✅ 关键要点： 1.中间项系数为2，不可遗漏；符号与原式中间符号一致 2.a.b可代表数、字母、多项式 3.几何意义：大正方形面积 = 两个小正方形 + 两个长方形面积之和 高频变形公式（期中必考）： a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2=(a−b)2+4ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 知识点03. 乘法公式易错点（避坑指南） ❌ 常见错误 1：(a±b)2=a2±b2（漏中间项2ab） ❌ 常见错误 2：(a+b)(a−b)=a2+b2（符号错误） ❌ 常见错误 3：完全平方式求参数漏解（如x2+kx+9，k=±6） 知识点04.单项式除以单项式 ✅ 运算法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母，连同指数作为商的因式 ✅ 步骤拆解： 1.系数：按有理数除法，先定符号，再算绝对值 2.同底数幂：am÷an=am−n（底数不变，指数相减，a0） 3.单独字母：直接保留在商中，指数不变 知识点05.多项式除以单项式 ✅ 运算法则：多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加（乘法分配律逆用） ✅ 关键要点： 逐项相除，不漏项、不跳步 每一项带符号运算，注意符号变化 结果按字母降幂排列，合并同类项（若有） 知识点06.科学记数法的除法运算 ✅ 运算法则：(a×10m)÷(b×10n)=(a÷b)×10m−n（1≤∣a∣,∣b∣<10） ✅ 关键要点： 结果需化为标准科学记数法（1≤∣a∣<10） 指数运算：m−n，注意正负号 知识点07.整式除法易错点（避坑指南） ❌ 常见错误 1：多项式除以单项式漏除某一项 ❌ 常见错误 2：同底数幂相除，指数相减算成相加 ❌ 常见错误 3：忽略被除式中单独字母，遗漏在商中 ❌ 常见错误 4：科学记数法结果不规范（a 不在110之间） ✅ 运算顺序：先乘方（公式）→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 ✅ 核心思想：乘法公式优先用，简化运算；整式除法转化为单项式除法 ✅ 高频考法： 乘法公式 + 整式除法混合运算（如[(x+2)2−(x+1)(x−1)]÷2x） 完全平方公式变形求值、科学记数法除法实际应用 题型01.乘法公式计算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值是__________． 【跟踪专练3】若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 题型02.乘法公式几何验证 【典例】有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是_____． 【跟踪专练1】如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则图中阴影部分的面积为（      ） A．144 B．72 C．68 D．3 【跟踪专练2】已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12． （1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到______； （2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练3】如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 题型03.整式乘法混合运算 【典例】若，，，则___________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为_______． 【跟踪专练3】对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型04.整式乘法化简求值 【典例】已知，，则_____． 【跟踪专练1】若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【跟踪专练2】已知，则的值是________． 【跟踪专练3】若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 题型05.完全平方公式拓展求值 【典例】若，则代数式的值为___________． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若m，n，k满足，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A． B． C． D． 题型06.整式除法运算 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算________． 【跟踪专练3】下列四个算式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型07.科学记数法除法运算 【典例】光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要______秒． 【跟踪专练1】海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【跟踪专练2】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【跟踪专练3】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 题型08.整式四则混合运算 【典例】边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 _______． 【跟踪专练1】如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的结果是______． 【跟踪专练3】已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 题型09.乘法公式的逆用与综合变形 【典例】若x满足，则的值为________． 【跟踪专练1】已知，都是实数，观察表中的运算： ，的运算           运算的结果 3 7 则代数式的值为______． 【跟踪专练2】已知，，则______． 【跟踪专练3】已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为_____． 题型10.乘法公式的逆用与综合变形 【典例】若，，则（    ） A．3 B．4 C．12 D．36 【跟踪专练1】已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【跟踪专练2】若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】已知，，，，则的值等于_______________． 题型11.完全平方式中参数问题 【典例】若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【跟踪专练1】若关于的多项式是完全平方式，则的值为________ 【跟踪专练2】若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练3】关于的整式是个完全平方式，则______． 题型12.整式乘除中的参数确定问题 【典例】已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【跟踪专练1】设，其中，当时，求_______． 【跟踪专练2】若的结果中不含x项与项，则代数式的值为______________． 【跟踪专练3】已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型13.幂的运算与整式乘除综合 【典例】将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（    ） A．3 B．23 C．25 D．29 【跟踪专练1】已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 【跟踪专练2】已知9x＝25y＝15，那么代数式（x﹣1）（y﹣1）＋xy＋3的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练3】如图，这是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是（    ） （1）； （2）； （3）； （4）； A．60分 B．45分 C．30分 D．15分 题型14.整式背景下的新定义运算 【典例】现定义运算“”，对于任意有理数，，都有． 例如：，由此可知___________． 【跟踪专练1】已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【跟踪专练2】新定义一种运算，其法则为，则__________ 【跟踪专练3】设，是实数，定义一种新运算：．下面推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】．定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【解答题】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 3．乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）； (4)运用你所得到的公式，计算下列题： 4．先化简，再求值：，其中，． 5．计算 (1) (2) (3) (4)． 6．先化简，再求值：，其中． 7．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 试卷第1页，共3页 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