2026年山东省枣庄市台儿庄区中考一模数学试题

2025~2026学年度第一次调研考试 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号涂在答题纸上。 1.下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）第2题图 3.一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（　　） 第7题图 4.依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024﹣2026年）》， 预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用 科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5.现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着，，的三张声母卡片，乙盒装有分别写着，，的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ） A． B． C． D． 6. 已知是方程的解，则代数式的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026第8题图 7.如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C． AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 8. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（＞0）的图象上， 点A，B在轴上，且PA⊥PB，PA交轴于点C，AO＝BO＝BP．若△ABP的面积是4，则的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 9.《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程 （组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地， 方程的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10.已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题纸上． 11.若，则的值为　　．第14题图 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根， 则实数的取值范围是　　 ． 13.不等式组的解集为_________． 第15题图 14. 如图，已知直线∥，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°， 若∠1+∠B＝60°，则∠2的度数为_______． 15. 如图，在△OAB中，已知OA＝OB＝8，∠AOB＝120°， 点C为OB的中点，过点C作CD⊥轴，垂足为D．将 △OCD向右平移，当点C的对应点C′落在AB边上时， 点D的对应点D′的坐标为_______．第16题图 16.如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A， OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F， F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4， 则PE+PF的最小值是_______． 三、解答题：（满分72分） 17. （本题满分6分）先化简，再求值：，其中． 18. （本题满分6分）计算：； 19. （本题满分8分）如图，已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交直线AB于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．第19题图 （1）求∠AME的度数； （2）求点M到射线AC的距离． 20. （本题满分12分）2025年4月23日是第30个世界读书日，主题为“阅读：通往未来的桥梁”．为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息： a：将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110…； b：将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：（分为4组：A：≤60；B：60＜≤90；C：90＜≤120；D：＞120） 调查问卷 请根据实际情况答题： 1．您周末的读书时间为_____分钟． 2．请您为学校的读书活动打分（最满意为5分）（_____） A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 E．5分 c：不完整的读书活动打分统计表： 1分 2分 3分 4分 5分 人数 1 10 24 占比 6% 20% 48% 根据以上信息回答下列问题： （1）请补全条形统计图，并判断本次调查属于　 　 （填“抽样调查”或“普查”）； （2）扇形统计图中D组对应扇形的圆心角为　 　 度； （3）随机抽取学生的周末读书时间的中位数为　 　 分钟； （4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分． 21. （本题满分8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为A′、C′，此时测得∠CA′B＝37°（点C、A、A′在同一直线上，且直线CA′与地面平行，图3中所有点在同一平面内）．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60、cos37°≈0.80、tan37°≈0.75、 第21题图 （1）求绳子的总长； （2）求物体上升的高度CC′（结果精确到0.1m）． 22. （本题满分8分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积． 第22题图 23. （本题满分12分）（1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　　 ； ②∠AMB的度数为　　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1， OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 第23题图 24.（本题满分12分）已知二次函数（）． （1）若二次函数的图象与轴交于点C（0，），求二次函数的解析式； （2）若二次函数的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）若二次函数（）经过点A（，），B（，）， 当时，求的取值范围． 改卷前一定通一遍答案 2026年九年级数学一调试题参考答案 一、选择题;下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里。每小题3分，共36分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D A D C B C B 第18题图 二、填空题（每题3分，共18分） 11．；12．；13． ；14．30°；15．（，）；16. 6． 三、解答题：（满分72分） 17. （2025•广安）先化简，再求值：，其中． 解：原式 ……4分 当时 原式……6分 18. （2025•齐齐哈尔）计算：； 解：原式 ……6分 19.（2022•西藏）如图，已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交直线AB于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M． （1）求∠AME的度数；（2）求点M到射线AC的距离． 解：（1）由作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线， ∵AB＝6，∠BAC＝60°， ∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝30°，AD＝AB＝3， ∵EF⊥AB ∴∠AMD＝60° ∠AME＝120°……4分 （2）在Rt△ADM中， ∠DAO＝30° ∴AM＝2MD， （2MD）2＝MD2+AD2， 即4MD2＝MD2+32， ∴MD＝， ∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB， ∴点M到射线AC的距离为．……8分 20. 2025年4月23日是第30个世界读书日，主题为“阅读：通往未来的桥梁”．为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息： a：将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110…； b：将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：（分为4组：A：x≤60；B：60＜x≤90；C：90＜x≤120；D：x＞120） 调查问卷 请根据实际情况答题： 1．您周末的读书时间为_____分钟． 2．请您为学校的读书活动打分（最满意为5分）（_____） A.1分 B.2分 C.3分 D.4分 E.5分 c：不完整的读书活动打分统计表： 1分 2分 3分 4分 5分 人数 1 10 24 占比 6% 20% 48% 根据以上信息回答下列问题： （1）请补全条形统计图，并判断本次调查属于　 　 （填“抽样调查”或“普查”）； （2）扇形统计图中D组对应扇形的圆心角为　 　 度； （3）随机抽取学生的周末读书时间的中位数为　 　 分钟； （4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分． 解：（1）本次调查的学生人数为20÷40%＝50（人）， A组人数为50×8%＝4， D组人数为50﹣（4+20+11）＝15（人）， 补全图形如下： 图正确……2分 本次调查属于抽样调查； 故答案为：抽样调查；……4分 （2）扇形统计图中D组对应扇形的圆心角为360°108°， 故答案为：108；……6分 （3）随机抽取学生的周末读书时间第25、26个数据分别为100，100， ∴随机抽取学生的周末读书时间的中位数为100分钟； 故答案为：100；……8分 （4）打分总人数为10÷20%＝50（人）， 打2分人数为50×6%＝3（人）， 打5分人数为50﹣（1+3+10+24）＝12（人）， ∴随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分为（1+2×3+3×10+4×24+5×12）＝3.86（分）． 答：随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分为3.86分．……12分 21.如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为A′、C′，此时测得∠CA′B＝37°（点C、A、A′在同一直线上，且直线CA′与地面平行，图3中所有点在同一平面内）．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60、cos37°≈0.80、tan37°≈0.75、 （1）求绳子的总长； （2）求物体上升的高度CC′（结果精确到0.1m）． 解：（1）由题意得，∠BCA＝90°， ∵AC＝3m，∠CAB＝60°，∠BCA＝90° ∴∠B＝30°，AB＝6 BC ∴绳子总长＝AB+BC＝（m），……4分 （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝3， 在Rt△BCA′中，sin∠CA′B， ∴sin37°0.6， ∴BA′＝5， 由题意得，BC+AB＝BC′+BA′， ∴BC′＝BC+AB﹣BA′＝36﹣56﹣2， ∴CC′＝BC﹣BC′＝3（6﹣2）＝56≈2.7m， 故答案为：物体上升的高度约为2.7m．……8分 22.（2025•武汉）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵CE∥BD， ∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线．……4分 （2）解：作BF⊥CE于点F，则∠BFE＝∠BFC＝90°， ∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°， ∴四边形BOCF是矩形， ∵BD是⊙O的直径，且BD＝4， ∴OC＝OBAB＝2， ∴四边形BOCF是正方形， ∴BF＝OB＝2， ∵∠E＝∠ABD，tan∠ABD＝2， ∴tanE＝tan∠ABD＝2， ∴EFBF＝1， ∴S阴影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC1×2+225﹣π， ∴阴影部分的面积为5﹣π．……8分 23.（2018•河南）（1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　　 ； ②∠AMB的度数为　　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 解：（1）问题发现 ①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB， ∵OC＝OD，OA＝OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC＝BD， ∴＝1， ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO， ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°， 在△AMB中，∠AMB＝180°－（∠CAO＋∠OAB＋∠ABD）＝180°－（∠DBO＋∠OAB＋∠ABD）＝180°－140°＝40°， 故答案为：①1；②40°；……4分（每空2分） （2）类比探究 如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴， 同理得：， ∴， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴＝，……8分 ∠CAO＝∠DBO， 在△AMB中，∠AMB＝180°－（∠MAB＋∠ABM） ＝180°－（∠OAB＋∠ABM＋∠DBO）＝90°；……10分 （3）拓展延伸 ①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，， 设BD＝x，则AC＝x， Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1， ∴CD＝2，BC＝x－2， Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝， ∴AB＝2OB＝2， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2， ， x2－x－6＝0， （x－3）（x＋2）＝0， x1＝3，x2＝－2， ∴AC＝3； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，， 设BD＝x，则AC＝x， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2， ＋（x＋2）2＝ x2＋x－6＝0， （x＋3）（x－2）＝0， x1＝－3，x2＝2， ∴AC＝2； 综上所述，AC的长为3或2．……10分 24.（本题满分12分）已知二次函数（）． （1）若二次函数的图象与轴交于点C（0，），求二次函数的解析式； （2）若二次函数的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）若二次函数（）经过点A（，），B（，）， 当时，求的取值范围． 解：（1）∵二次函数与轴交于点C（0，）， ∴， ∴ ∴……3分 （2）∵ ∴ 解得：或 ∵ ∴ ∴……6分 ∵函数的图象向右平移2个单位， ∴ ∵ ∴当时，最小值是，当时，最大值是是0， ∴最大值与最小值的和为……8分 （3）∵ ∴对称轴为直线 ∵A（，），B（，） ∴点B一定在对称轴的右侧 ①当点A在对称轴的右侧时 ∵抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大 ∴ ∴ ∵ ∴……10分 ①当点A在对称轴的左侧时 ∵ ∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离 ∴ ∴ ∴的取值范围是或……12分 （这一步方法不唯一，只要答案正确、过程合理均得分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度九年级第一次调研考试 数 学 试 题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号涂在答题纸上。 1. 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． ( 第2题图 )2. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） 3. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（　　） ( 第7题图 ) 4. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024﹣2026年）》， 预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用 科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着的三张声母卡片，乙盒装有分别写着的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ） A． B． C． D． 6. 已知是方程的解，则代数式的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C． AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 8. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（＞0）的图象上， 点A，B在轴上，且PA⊥PB，PA交轴于点C，AO＝BO＝BP． 若△ABP的面积是4，则的值是（　　） ( 第8题图 )A．1 B．2 C． D． 9.《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程 （组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地， 方程的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 ( 第14题图 )10. 已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题纸上． 11. 若，则的值为　　． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根， 则实数的取值范围是　　 ． ( 第15题图 )13.不等式组的解集为_________． 14. 如图，已知直线∥，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°， 若∠1＋∠B＝60°，则∠2的度数为_______． 15. 如图，在△OAB中，已知OA＝OB＝8，∠AOB＝120°， ( 第16题图 )点C为OB的中点，过点C作CD⊥轴，垂足为D． 将△OCD向右平移，当点C的对应点C′落在AB边上时， 点D的对应点D′的坐标为_______． 16. 如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C， AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点， P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是_______． 三、解答题：（满分72分） 17. （本题满分6分）先化简，再求值：，其中． 18. （本题满分6分）计算：； 19. （本题满分8分）如图，已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交直线AB于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M． ( 第19题图 )（1）求∠AME的度数； （2）求点M到射线AC的距离． 20. （本题满分12分）2025年4月23日是第30个世界读书日，主题为“阅读：通往未来的桥梁”．为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息： 将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110…； 将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：（分为4组：A：≤60；B：60＜≤90；C：90＜≤120；D：＞120） 调查问卷 请根据实际情况答题： 1．您周末的读书时间为_____分钟． 2．请您为学校的读书活动打分（最满意为5分）（_____） A.1分 B.2分 C.3分 D.4分 E.5分 不完整的读书活动打分统计表： 1分 2分 3分 4分 5分 人数 1 10 24 占比 6% 20% 48% 根据以上信息回答下列问题： （1）请补全条形统计图，并判断本次调查属于　 　 （填“抽样调查”或“普查”）； （2）扇形统计图中D组对应扇形的圆心角为　 　 度； （3）随机抽取学生的周末读书时间的中位数为　 　 分钟； （4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分． 21. （本题满分8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为A′、C′，此时测得∠CA′B＝37°（点C、A、A′在同一直线上，且直线CA′与地面平行，图3中所有点在同一平面内）．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60、cos37°≈0.80、tan37°≈0.75、 ( 第2 1 题图 ) （1）求绳子的总长； （2）求物体上升的高度CC′（结果精确到0.1m）． 22. （本题满分8分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°， 过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积． ( 第22题图 ) 23. （本题满分12分） （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°， 连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　　 ； ②∠AMB的度数为　　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M， 若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． ( 第23题图 ) 24.（本题满分12分）已知二次函数（）． （1）若二次函数的图象与轴交于点C（0，），求二次函数的解析式； （2）若二次函数的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）若二次函数（）经过点A（，），B（，）， 当时，求的取值范围． 2025-2026学年度九年级第一次调研考试 数学试题 第8页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $