专题03 平行四边形中的动点问题（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题03 平行四边形中的动点问题 题型一：动点最值问题 题型二：运动路径长度问题 题型三：存在性问题 题型四：面积变化问题 题型01 动点最值问题 动点最值问题常从根本上可分为两种基本题型： 1. 两点之间线段最短问题 2. 垂线段最短问题 【典例1】（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； 【分析】（1）这是典型的“将军饮马问题”，连接，交于，当点在处时，最小（两点之间线段最短）； （2）连接CM，要使CM+MN最小，首先要保证C、M、N三点共线，其次保证CN⏊AD，根据“垂线段最短”即可找符合条件的动点M、N；题目中说此时最小值与（1）中结果相同，说明CN既是AD边上的高又是AD边上的中线,所以△ACD是等边三角形. 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为_______． (2)【思维运用】如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值． (3)【问题拓展】如图3，，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上．，，分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为______．（直接写出结果，不需要写过程） 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短得到答案； （2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，仿照（1）的方法解答； （3）连接、，延长交于，连接，证明四边形是矩形，得出，仿照（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：当时，线段取得最小值． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的最小值为． （2）解：连接，如图所示： ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， 当时，最短， ， ∴线段的最小值为； 故答案为：． （3）如图3，连接、，延长交于，连接， 四边形，四边形是菱形，， ，，，，与互相垂直平分，与互相垂直平分， 、分别是对角线、的中点， 点是的中点，点是的中点，，， ， 又，， 四边形是矩形， ，， 当时，有最小值， 此时，，， ，， ，， ， 的最小值为． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； 【分析】（1）这也是“将军饮马”问题，取中点记作点，连接，求的最小值，即求的长； （2）将AG向下平移一个单位，A点落到AB上点H处，G落在点F处，进而得到AG+EF的最小值就是HF+EF的最小值，用将军饮马问题即可求解。 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 【变式3】（24-25八年级下·山东淄博·期中） 如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【分析】延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． 【详解】解：延长至点G，使得，连接，连接 ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； 【变式4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______． （2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，的最小值为______； （3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值． 【分析】（1）这是典型的将军饮马问题，作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长，即可； （2）作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，根据对称性可得，然后作于H，可得的最小值为的长， 再利用勾股定理求出的长，即可；（3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值， 由对称性知， ， ∴， 作于H， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为∶； （3）如图，连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 在正方形中，， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉将军饮马基本模型是解决问题的关键． 【变式5】（24-25八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）． 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论，再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用菱形的性质和平行线的性质得到，则为等边三角形，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得EF的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，则结论可求． 【详解】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：，； （3）解：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴, 根据勾股定理可得：, ， ∴的最小值为， 周长， 周长的最小值为， 故答案为：． 题型02 运动路径长度问题 动点路径问题核心就两件事：先定路径形状，再算路径轨迹长度。 初中阶段动点路径只有 2 类：线段型、圆弧型，其中考试高频是线段型。 【典例1】（2026八年级上·上海·专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，是高CE上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点E的运动过程中，点所经过的路径长是（   ） A．2 B． C． D． 【分析】取的中点，连接，证明，进而得到HN=EM，再计算出CE，即可求出点所经过的路径长． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ∵CE⏊AB，∠ABC=60°， ∴， ∴BH=BE， ∵是等边三角形，四边形ABCD是菱形 ，， ， ， ， ，， ， 又点在处时，， 点在E处时，点与点重合， 点所经过的路径的长为从C点运动到E点运动的路径长． 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定方法，本题的关键是求出点N的运动轨迹的路径长等于线段EM的长． 【典例2】（25-26八年级上·上海黄浦·练习）如图,在平面直角坐标系中,面积为100的正方形ABCD的两个顶点A、B在坐标轴上滑动,点B由原点O出发沿x轴正方向移动,点A沿y轴正半轴向原点O移动,当∠ABO=36°时,边AB的中点E经过的路径长是_________; 【分析】根据题意，可知OE为定值，E经过的路径即为以OE为半径的圆弧，根据弧所对的度数即可求出弧长. 【详解】根据题意，得 当∠ABO=36°时,∠AOE=54° ∵面积为100的正方形ABCD ∴AB=10 又∵E为AB的中点 ∴OE=EB=EA=5 ∴E经过的路径长是 【点睛】此题主要考查正方形的性质以及直角三角形斜边中线性质和弧长，熟练掌握，即可解题. 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点在线段上运动，分别以、为边在轴上方作等边和等边，连接，为的中点，当点从运动至点时，点运动的路径长为 __． 【答案】5 【分析】如图，延长，交于点，连接．说明点的运动轨迹是的中位线． 【详解】解：如图，延长，交于点，连接． ，都是等边三角形， ，， ，，是等边三角形， 四边形是平行四边形， 与互相平分， 点是的中点， 当点从运动至点时，点的运动轨迹是的中位线， 当点从运动至点时，点运动路径的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轨迹，等边三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确判断出点的运动轨迹． 【变式2】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，已知C、D是线段上两点，且，P是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，若G为线段的中点，当点P由点C移动到点D时，则点G移动的路径长度y与线段的长之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，延长交于H，连接，由等边三角形的性质可得，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形，则可推出点为的中点，分别取的中点M、N，连接，则由三角形中位线定理可得，据此可证明三点共线，点G的运动路径即为线段，由三角形中位线定理可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解；如图所示，延长交于H，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点G为的中点， ∴点为的中点， 如图所示，分别取的中点M、N，连接， ∴分别为的中位线， ∴， ∴三点共线， ∴点G的运动路径即为线段， 同理可得是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，由矩形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，，由等边三角形的性质推出，，得到，推出，判定，推出，因此点F运动的路径是的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点F运动的路径是， ∵∠ACB=30°，BC=4 ∴， ∴， ∴点F运动的路径长是． 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·河南·期末）如图，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【详解】解：①结论：；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以为直径的圆的 ∴点P的运动路径长为． 题型03 存在性问题 常见的与动点相关的存在性问题包括：是否存在平行四边形？矩形？菱形？正方形？等腰三角形和直角三角形. 【典例1】如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，，，把矩形 沿着对角线所在直线翻折，点C落在点D处，交于点E． (1)求点E的坐标； (2)如图2，过点D作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的一点，直线上是否存在一点N，使以点O，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明，时，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． （2）四边形是菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （3）以OD为边、对角线分类讨论，共有种情形，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图中， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折可知，， ∴， ∴，设，则， 在中，， ∴， ， ， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （3）解：当点与重合，点与重合，四边形是平行四边形， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，， 当四边形是平行四边形时，， 当四边形是平行四边形时， ∵， ∴，即， 当四边形是平行四边形时，同理， 当四边形是平行四边形时，同理， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解直角三角形，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式1】已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不可能，证明见解析 【分析】（1）联结DF，求出EF，DE，EF，利用勾股定理的逆定理可得∠FED=90°，即可得证； （2）过E作EH⊥AD于H，联结AE，证明∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA即可得到∠DEF=3∠CDE． （3）结论：四边形AFEG不可能是菱形，利用反证法证明EF＞AF即可． 【详解】解：（1）证明：如图1中，联结DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=8， ∵点E是BC边的中点， ∴BE=CE=4， ∵BF=2， ∴AF=6， ∴DF==10，EF==，DE==， ∴， ∴∠FED=90°， ∴EF⊥DE． （2）证明：如图中，过E作EH⊥AD于H，联结AE． ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠CDE=∠DEH， ∵E是BC中点， ∴AH=DH， ∴EH垂直平分AD， ∴∠AEH=∠DEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH， Rt△BEF中，BF=3，BE=4， ∴EF==5， ∴AF=AB-BF=5， ∴EF=AF， ∴∠FAE=∠FEA， 而∠FAE=∠AEH， ∴∠FEA=∠AEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA， ∴∠DEF=3∠CDE． （3）结论：四边形AFEG不可能是菱形． 理由：联结AE．假设四边形AFEG是菱形，则AE⊥DF， ∴∠BAE+AFD=90°，∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∵AB=DA，∠B=∠DAF=90°， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴BE=AF， ∵BE=EC，BC=AB， ∴AF=BF， 在Rt△BEF中，EF＞BF， ∴EF＞AF，这与假设矛盾， ∴四边形AFEG不可能是菱形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握四边形的性质，属于中考压轴题． 【变式2】如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，周长的最小值为8 (3)存在，或 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，即的周长最小值为，由直角三角形的性质可求，的长，可求点，点坐标，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：点， ， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠可知：， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 点的坐标； （2）解：如图2，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于， ，， 的周长为，则点四点共线时最小值为， 由（1）可得， 点，点关于轴对称，点，点关于对称， ，， 点，点， ， 的周长最小值为8； （3）解：存在点使得△为等腰三角形， 若，如图3， ，， ， ， 若时，如图4， ， ， ； 若，如图5， ， ， 此时点与点重合， 不存在这样的点． 综上所述：的度数为或． 题型04 面积变化问题 四边形动点面积问题，核心思想是：以静制动、动中找定、分段表示、公式求解。 点在边上运动变化时，图形形会发生变化，但通常情况下一定有不变的底或不变的高； 抓住动中不变的底或高，结合割补法利用面积公式解决问题。动点若跨顶点要分段讨论。 【典例1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，，F是对角线，的交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（    ）    A．仅①②③ B．仅①②④ C．仅②③④ D．①②③④ 【分析】先证可得，然后说明可判断①； 当G，E为中点时，四边形为正方形，可判断②； 先说明当最小时，最小，时，最小为4，然后运用勾股定理求得的最小值； 根据全等三角形的性质可得，即，据此即可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴为等腰直角三角形， 又∵F为斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形．故①正确， 当G，E为中点时，四边形为正方形，故②正确； ∵为等腰直角三角形， ∴当最小时，最小， 当时，最小为， ∴最小值为，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积保持不变， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形及正方形的性质是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)不发生变化， 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）连接，证明，推出 可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）是，理由如下： 如图，连接，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）四边形的面积不发生变化， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积， ∴不发生变化，    过点A作于点H， 由（1）得：是等边三角形，则有：， 在中，由勾股定理得：， ∴ 【变式2】（24-25八年级下·山西大同·期中） 如图，矩形的边上有一动点，以为边作，且边过矩形的顶点，在点从点移动到点的过程中，的面积如何变化？ 小亮的观点：过点作于点，连接．与的乘积始终等于，所以的面积不变． 小明的观点：在点的运动过程中，的长度在变化，而与两条平行线间的距离不变，所以的面积变化． 任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程． 【答案】小亮的观点正确，理由见解析 【分析】连接DE，过点E作EM⊥CD于M，则是矩形，求出EC·DH为定值，又，所以值不变． 【详解】解：小亮的观点正确． 如图：连接DE，过点E作EM⊥CD于M，则是矩形， ∴EM=AD， ∵， ∴EC·DH为定值， 又， ∴值不变， 故同意小亮的观点． 【点睛】本题考查四边形的综合问题，根据题中给出的条件进行解答即可． 【变式3】（24-25八年级下·河北·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②12； (2)①当时，四边形是正方形；②不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再证，可得，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得，由勾股定理可求的长，可求，即可求解； （2）①由题意可证四边形是矩形．由正方形的性质可得，可得，可得，即可求解； ②由，可得结论． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； （2）①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 【变式4】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，点在边运动，连接、，以为一边向左下方作正方形，请探究以下问题： (1)如图1，当为中点时，求线段的长度； (2)如图2，连接，取线段的中点，在运动过程中，点经过的轨迹长为_________； (3)如图3，连接交于点， 随着点在边运动，的面积变化吗？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)随着点在边运动，的面积；的面积为； 【分析】（1）延长，过点F作于点M，证明，得出，，根据勾股定理求出； （2）取的中点N，连接、，，证明，说明平分，得出点M在的平分线上，当点E与点D重合时，点M在点，当点E与点A重合时，点M在点，分别求出，，根据勾股定理求出，即可得出答案； （3）延长，过点G作于点M，证明，得出，求出三角形面积即可； 【详解】（1）解：延长，过点F作于点M，如图所示： 则， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点E为的中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：取的中点N，连接、，，如图所示： ∵点M为的中点，正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵点N为的中点，和为直角三角形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴平分， ∴点M在的平分线上， 当点E与点D重合时，点M在点，当点E与点A重合时，点M在点，如图所示： ∵四边形为正方形，且此时正方形的边长为3， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴正方形的边长为5，对角线的长为， ∵点为正方形对角线的中点， ∴， 根据勾股定理得：， ∴在运动过程中，点经过的轨迹长为； （3）解：随着点在边运动，的面积不变； 延长，过点G作于点M，如图所示： 则， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形面积计算，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行四边形中的动点问题 题型一：动点最值问题 题型二：运动路径长度问题 题型三：存在性问题 题型四：面积变化问题 题型01 动点最值问题 动点最值问题常从根本上可分为两种基本题型： 1. 两点之间线段最短问题 2. 垂线段最短问题 【典例1】（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； 【分析】（1）这是典型的“将军饮马问题”，连接，交于，当点在处时，最小（两点之间线段最短）； （2）连接CM，要使CM+MN最小，首先要保证C、M、N三点共线，其次保证CN⏊AD，根据“垂线段最短”即可找符合条件的动点M、N；题目中说此时最小值与（1）中结果相同，说明CN既是AD边上的高又是AD边上的中线,所以△ACD是等边三角形. 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为_______． (2)【思维运用】如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值． (3)【问题拓展】如图3，，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上．，，分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为______．（直接写出结果，不需要写过程） 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短得到答案； （2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，仿照（1）的方法解答； （3）连接、，延长交于，连接，证明四边形是矩形，得出，仿照（2）的方法即可求解． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； 【变式3】（24-25八年级下·山东淄博·期中） 如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【变式4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______． （2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，的最小值为______； （3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值． 【变式5】（24-25八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 题型02 运动路径长度问题 动点路径问题核心就两件事：先定路径形状，再算路径轨迹长度。 初中阶段动点路径只有 2 类：线段型、圆弧型，其中考试高频是线段型。 【典例1】（2026八年级上·上海·专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，是高CE上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点E的运动过程中，点所经过的路径长是（   ） A．2 B． C． D． 【分析】取的中点，连接，证明，进而得到HN=EM，再计算出CE，即可求出点所经过的路径长． 【典例2】（25-26八年级上·上海黄浦·练习）如图,在平面直角坐标系中,面积为100的正方形ABCD的两个顶点A、B在坐标轴上滑动,点B由原点O出发沿x轴正方向移动,点A沿y轴正半轴向原点O移动,当∠ABO=36°时,边AB的中点E经过的路径长是_________; 【分析】根据题意，可知OE为定值，E经过的路径即为以OE为半径的圆弧，根据弧所对的度数即可求出弧长. 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点在线段上运动，分别以、为边在轴上方作等边和等边，连接，为的中点，当点从运动至点时，点运动的路径长为 __． 【变式2】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，已知C、D是线段上两点，且，P是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，若G为线段的中点，当点P由点C移动到点D时，则点G移动的路径长度y与线段的长之间的函数关系式为_______． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【变式4】（24-25八年级下·河南·期末）如图，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 题型03 存在性问题 常见的与动点相关的存在性问题包括：是否存在平行四边形？矩形？菱形？正方形？等腰三角形和直角三角形. 【典例1】如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，，，把矩形 沿着对角线所在直线翻折，点C落在点D处，交于点E． (1)求点E的坐标； (2)如图2，过点D作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的一点，直线上是否存在一点N，使以点O，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明，时，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． （2）四边形是菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （3）以OD为边、对角线分类讨论，共有种情形，画出图形分别求解即可． 【变式1】已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． 【变式2】如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 题型04 面积变化问题 四边形动点面积问题，核心思想是：以静制动、动中找定、分段表示、公式求解。 点在边上运动变化时，图形形会发生变化，但通常情况下一定有不变的底或不变的高； 抓住动中不变的底或高，结合割补法利用面积公式解决问题。动点若跨顶点要分段讨论。 【典例1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，，F是对角线，的交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（    ）    A．仅①②③ B．仅①②④ C．仅②③④ D．①②③④ 【分析】先证可得，然后说明可判断①； 当G，E为中点时，四边形为正方形，可判断②； 先说明当最小时，最小，时，最小为4，然后运用勾股定理求得的最小值； 根据全等三角形的性质可得，即，据此即可判定④． 【变式1】（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·山西大同·期中） 如图，矩形的边上有一动点，以为边作，且边过矩形的顶点，在点从点移动到点的过程中，的面积如何变化？ 小亮的观点：过点作于点，连接．与的乘积始终等于，所以的面积不变． 小明的观点：在点的运动过程中，的长度在变化，而与两条平行线间的距离不变，所以的面积变化． 任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程． 【变式3】（24-25八年级下·河北·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【变式4】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，点在边运动，连接、，以为一边向左下方作正方形，请探究以下问题： (1)如图1，当为中点时，求线段的长度； (2)如图2，连接，取线段的中点，在运动过程中，点经过的轨迹长为_________； (3)如图3，连接交于点， 随着点在边运动，的面积变化吗？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由； 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $