专题01 特殊平行四边形中的几何模型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题01 特殊平行四边形中的几何模型 题型一：正方形内十字架模型 基本 模型 若AE⏊BF则AE=BF 若EF⏊MNF则EF=MN 反之也成立 模型 演变 AE⏊MN于点G，若G点在BD上 AE=MN→AG=NG 题型二：正方形内半角模型 正方形内 半角模型 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 题型三：菱形内半角模型 菱形内 半角模型 若∠EDF=∠ADC=60，则DE=DF（若∠EQF=∠ADC=60，则GE=HF） 题型四：手拉手模型 图例 G 两个正方形共顶点，则△ABE≌△CBG，所以AE=DG，AE⏊CG若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 题型五：对角互补模型 图例 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 题型01 正方形内的十字架模型 【典例1】如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为______．    【答案】5 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键． 【变式1】如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 【变式2】如图，正方形的边长为3，E为边上一点，．将正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】过点作交于点，交于点，由勾股定理得，再证明，可得，再求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 可得四边形是矩形， ， 正方形的边长为3，， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 【变式3】综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，垂足求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点E作，过点H作，则，根据矩形和正方形的性质得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即可求解． （2）过点E作，过点H作，则，根据矩形的性质和得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即，结合，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ． （2）如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 又， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握作辅助线构造全等和相似是解题的关键． 【变式4】如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【答案】①＝；②见解析； 【分析】（1）过点C作，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得，从而可证； （2）由平移得，，证出，根据证明，得，在上截取，连接，即是等腰直角三角形，，得，得出是的中位线，由三角形中位线性质可得结论； 【详解】解：（1）过点C作，交于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； （2）证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∴点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ， ，即． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 题型02 正方形内的半角模型 【典例1】【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 【变式1】如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了“正方形的性质”“全等三角形的性质与判定”“勾股定理”，熟练掌握半角模型的辅助线构造是解题关键． 本题是典型的半角模型，将旋转到正方形的上方，构造出与全等的三角形，从而得到，再通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴如图，将绕点D顺时针旋转90°，得到，点F在直线上． 由旋转的性质，得，，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴在中，，即． 解得． 故选： C． 【变式2】如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 【答案】45 【分析】本题考查了正方形各内角均为直角，全等三角形的判定与性质，延长使得，易证，可得，进而求证可得，再求出即可解题． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ， ，即． ， ，即． 在和中， ， ， ． 【变式3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； （2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； 【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ； （2），理由如下： 如图，在BM上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ∴， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 【变式4】如图，点，分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）5 【分析】（1）由正方形得，，由得：，得； （2）根据得：，那么可得，则可证，所以，根据勾股定理即可求得EM的长度． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴（SAS）， ∴． （2）解：由，得 ∴， 在与中， , ∴（SAS）， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键． 题型03 菱形内的半角模型 【典例1】在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q， 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60，P、Q分别在BC、CD上，且∠PAQ=60，求证：PA=AQ. 证明：连接AC ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC ∵∠ABC=60 ∴AB=BC=AC，∠BCD=120 ∴∠ACB=∠BAC=60 ∴∠ACD=60 ∵∠PAQ=60 ∴∠PAB=∠CAQ=60-∠PAC ∴△BAP≌△CAQ ∴PA=AQ 【变式2】综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： 【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得； （2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有； 【详解】解：（1）画出图形如解图， ∵在菱形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟悉菱形的性质． 【变式3】如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°,点 E,F分别在AB,AD 上，且∠ECF=60° . (1)求证：△ECF为等边三角形； (2)连接AC,若AC 将四边形AECF的面积分为1:2两部分，当AB=6时，则△BEC的面积为 【答案】（1）见解析（2）3或6 【详解】(1)连接AC ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴CF=CE， ∴△ECF为等边三角形； (2) 过点C作CH⏊AB于点H， ∵AB=AC=6,∠B=60 ∴BH=3 ∴HC= ∴ 若△ACF与△ACE面积比为1：2，则AF:AE=BE:AE=1:2 ∴=3 若△ACE与△ACF面积比为1：2， 则=6 【变式4】如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，推出和都是等边三角形，再证，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ． 题型04 手拉手模型 【典例1】 【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 【变式1】）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝3，求CG的长度； 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2两个正方形共顶点属于典型的手拉手图形，所以可证△AED△CGD； 【详解】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在△EQF和△EPD中， ， ∴△EQF≌△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）在Rt△ABC中，AC＝AB＝4， ∵CE＝3， ∴AE= ∵∠ADC=∠EDG=90 ∴∠ADE=∠CDG ∵AD=CD,ED=DG ∴△ADE≌△CDG ∴CG=AE=. 【变式2】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE． （1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由． （2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）CF＝FE'，证明见解析； 【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形； （2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可证得结论； 【详解】解：（1）四边形BE′FE是正方形． 理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形， 由旋转得，BE′＝BE， ∴四边形BE′FE是正方形． （2）CF＝FE'， 证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°， ∵DA＝DE， ∴AG＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAG＝90°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°， ∴∠ADG＝∠BAE， 在△ADG和△BAE中 ， ∴△ADG≌△BAE（AAS）， ∴AG＝BE； ∵四边形BE′FE是正方形， ∴BE＝FE′， ∴AG＝FE′， 由旋转得，AE＝CE′， ∴AE＝CE′， ∴FE′＝AE＝CE′， ∴CF＝FE'． 【变式3】综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； 【答案】(1)相等（或）；相等（或） (2)见解析 1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明，得出，结合，即可得证； 【详解】（1）； ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴ ∴； 故答案为：相等（或）；相等（或）． （2）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； 【变式4】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）    (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】(1)菱形、正方形 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论和勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）解：，理由如下， 如图所示，设与交于点O，   四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理，得：，，，， ∴，， ； （3）解：如图，连接，．   ， ， 即． 又∵，， ， ， 又， ． 又， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知， ∵，， 由勾股定理，得，，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型05 对角互补模型 【典例1】如图，在四边形中，于，则的长为__________    【答案】 【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示， ∵， ， ∴≌ ， ， ， 即， ， 故答案为． 【变式1】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动． 【答案】①证明见解析；②；； 【分析】本题主要考查了正方形的性质三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据证明即可；②根据，得出，根据，求出结果即可，根据，得出，根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； 【详解】解：（1）①证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【变式2】【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________； 背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①等边；② 【分析】（1）根据正方形，得到，，证，得到，由图形得，相加可得，故，根据勾股定理，即可求解． （2）①过点P作于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质，得到，由得，故是等边三角形；②设，先证，得到，再结合，，，列方程，求得，再求出和的长度，运用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）①如图，过点P作于点E，于点F，连接， 平分， ， ， ， 是等边三角形； ②设， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，解得， ， ， 由勾股定理得． 【变式3】我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由“完美四边形”定义可求解； （2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论； 想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论； ②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补， 正方形是“完美四边形”． 故答案为：④； （2）解：①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【变式4】回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 1．【问题情境】 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 2．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． 【点睛】本题属于四边形综合题，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 3．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，利用判定定理可直接证明，再依据对应线段相等可求． （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，证全等即可到结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， ， ， ， ． （2），证明如下： 如下图，把绕点逆时针旋转，与重合， ，， ，， ， ； ； 在和中， ， ∴；    ∴； ∵； 即． 【点睛】本题主要考查正方形中的半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键． 4.（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明； （2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证 ，再证，最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得      连接      ∵四边形是正方形      ∴，      又∵      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ （2） 证明：延长到，使得      连接      ∵，      ∴      又∵，      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键． 5．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交CB的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过点E作交CB的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 6．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； 7．已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，根据证明得，再证明四边形是正方形，由勾股定理进一步得出结论． 【详解】证明：过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，如图． 易知． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴ 又，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，由勾股定理得出是解答本题的关键． 8.放在的斜边的中点处，设. （1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______，周长为______. （2）将如图1所示中的绕顶点逆时针旋转，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______. （3）如果将绕旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______. （4）在如图3所示情况下，若，求出重叠部分图形的周长. 【答案】（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4） 【分析】根据，，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长； 【详解】易得重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为 过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、求得≌，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积 先过点M作于点E，于点H，根据，，得出≌，从而得出，，最后根据AD和DF的值，算出，即可得出答案 解：，， ， 是AB的中点， ， ， ， 重叠部分的面积是， 周长为：； 故答案为4，； 重叠部分是正方形， 边长为，面积为， 周长为． 故答案为4，8． 过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E， 是斜边AB的中点，， ， ， ， 又， ，， ， 在和中， ， ≌， 阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积， 正方形CEMH的面积是； 阴影部分的面积是4； 故答案为4． 如图所示， 过点M作于点E，于点H， 四边形MECH是矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌ ， ， ， ， ． 四边形DMGC的周长为： ． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形中的几何模型 题型一：正方形内十字架模型 基本 模型 若AE⏊BF则AE=BF 若EF⏊MNF则EF=MN 反之也成立 模型 演变 AE⏊MN于点G，若G点在BD上 AE=MN→AG=NG 题型二：正方形内半角模型 正方形内 半角模型 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 题型三：菱形内半角模型 菱形内 半角模型 若∠EDF=∠ADC=60，则DE=DF（若∠EQF=∠ADC=60，则GE=HF） 题型四：手拉手模型 图例 G 两个正方形共顶点，则△ABE≌△CBG，所以AE=DG，AE⏊CG若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 题型五：对角互补模型 图例 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 题型01 正方形内的十字架模型 【典例1】如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为______．    【变式1】如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】如图，正方形的边长为3，E为边上一点，．将正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．6 D．5 【变式3】综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，垂足求的长． 【变式4】如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 题型02 正方形内的半角模型 【典例1】【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【变式1】如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【变式2】如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 【变式3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 【变式4】如图，点，分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 题型03 菱形内的半角模型 【典例1】在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60，P、Q分别在BC、CD上，且∠PAQ=60，求证：PA=AQ. 【变式2】综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： 【变式3】如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°,点 E,F分别在AB,AD 上，且∠ECF=60° . (1)求证：△ECF为等边三角形； (2)连接AC,若AC 将四边形AECF的面积分为1:2两部分，当AB=6时，则△BEC的面积为 【变式4】如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 题型04 手拉手模型 【典例1】 【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【变式1】）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝4，CE＝3，求CG的长度； 【变式2】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE． （1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由． （2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明． 【变式3】综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； 【变式4】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）    (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 题型05 对角互补模型 【典例1】如图，在四边形中，于，则的长为__________    【变式1】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动． 【变式2】【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________； 背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 【变式3】我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式4】回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 1．【问题情境】 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 2．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； 3．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． 4.（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 5．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 6．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； 7．已知：，求证：． 8.放在的斜边的中点处，设. （1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______，周长为______. （2）将如图1所示中的绕顶点逆时针旋转，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______. （3）如果将绕旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______. （4）在如图3所示情况下，若，求出重叠部分图形的周长. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $