第五章 数列（复习课件）数学人教B版选择性必修第三册

单元复习课件 第五章 数列 人教B版选择性必修第三册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理数列的概念、通项公式、递推公式，掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质；熟练运用数列的基本公式和性质解决求值、证明、求和等问题，掌握数列求和的常用方法（公式法、裂项相消法、错位相减法）；能解决数列与函数、不等式结合的综合问题，提升知识综合运用与逻辑推理能力。 2.等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及核心性质；数列通项公式的求解、数列求和的常用方法。 3.数列性质的灵活运用，递推数列求通项的方法技巧；数列与函数、不等式的综合问题解题思路梳理。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：数列基础 1.数列的基本概念 （1） 定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列可以看成以正整数集N∗（或它的有限子集{1,2,…,n}）为定义域的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的函数值构成的序列。 （2）项：数列中的每一个数都称为这个数列的项.各项依次称为这个数列的第1项(或首项),第2项…… （3）项数：组成数列的数的个数称为数列的项数. 2.数列的分类 （1）项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列. （2）按项变化趋势分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 考点串讲 考点一：数列基础 3.数列的表示方法 （1）通项公式法： 用公式表示第n项 an 与序号 n 的关系，即 an = f(n)。这是最常用的表示方法，能精确反映数列规律。 （2）列表法： （3）图象法： 列出数列的前几项，直观展示数值变化。通过表格形式，清晰呈现序号与项的对应关系。 以序号为横坐标，项为纵坐标在坐标系中描点。数列的图象表现为一系列孤立的点。 考点串讲 5.递推公式：已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始，任一项an与它的前一项an−1（或前几项）间的关系式，是表示数列的重要形式。 6.数列的前n项和：Sn=a1+a2+…+an，核心关系：an，注意n=1的验证。 4.通项公式：数列an的第n项an与项数n之间的关系式，记作an=f(n)，并非所有数列都有通项公式，有通项公式的数列通项公式也不一定唯一。 考点一：数列基础 考点串讲 考点二：等差数列 定义式：an-an-1=d (n≥2,n∈N*) 1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示， 2.通项公式：an=a1+(n-1)d，推广：an=am+(n-m)d，公差 3.前n项和公式：，可看成关于n的二次函数(d≠0时)，无常数项。 考点串讲 （2）片段和性质：数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，……仍成等差数列，公差为n2d （1）下标和性质：若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq 考点二：等差数列 4.等差数列的性质 特别地，若m+n=2p，则am+an=2ap （3）等差中项：若a,A,b成等差数列，则2A=a+b，A为a,b的等差中项。 考点串讲 考点三：等比数列 1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q表示(q≠0)， 定义式：=q (n≥2,n∈N*,an≠0) 2.通项公式：an=a1∙qn-1，推广：an=am∙qn-m， 3.前n项和公式： ，注意公比q=1的特殊情况。 考点串讲 考点三：等比数列 4.等比数列的性质 （1）下标和性质：若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am∙an=ap∙aq 特别地，若m+n=2p，则am+an=ap2 （2）片段和性质：数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，……仍成等比数列（Sn≠0），公比为qn （3）等比中项：若a,G,b成等比数列，则G2=ab(ab>0)，G为a,b的等比中项。 考点串讲 考点四：数列通项公式的求法 1.观察法：通过观察数列的前几项找出规律，写出数列的一个通项公式。 例如：写出数列的一个通项公式：_______________. 2.公式法：直接利用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d或等比数列的通项公式an=a1∙qn-1或Sn与an的关系，即an，这种方法叫公式法． 3.累加或累乘法：形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如的递推式，可用累乘法求通项公式． 考点串讲 考点四：数列通项公式的求法 4.构造法：形如an+1=pan+“尾巴”的递推式，其中“尾巴”可以是常数，也可以是一次型函数或二次型函数或其他类型函数，此时就构造新的等差或等比数列求解。 5.取倒数法：适用于分式型递推式两边取倒数变成当时，可转化为可转化为“尾巴是常数”结构，再用待定系数构造等比数列即可. 6.取对数法：适用于高次幂型递推式 ，当数列an+1和an的递推关系涉及到高次时，一般先对已知递推关系式进行适当的变形（同加减、同乘除）整理成类似kan+1+b=(kan+b)2形式，将等式两边分别取对数降次得到 lg(kan+1+b)=2lg(kan+b)，数列{lg(kan+b)}即为等比数列. 考点串讲 考点五：数列求和 1.公式法：等差、等比数列的前n项和公式 常见的求和公式： ①1+2+3+...+n= ②12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1) ③13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2 2.分组求和法：同一类型的数列放在一起，分组求和。 3.倒序相加法：与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。 考点串讲 考点五：数列求和 4.错位相减法：适用于等差数列与等比数列对应项相乘构成的差比数列求和。 关键在于“错位对齐”，确保同次幂项相减；最后一项的符号极易出错，需特别注意。 5.裂项相消法：将数列的通项拆成两项之差，求和时中间项相互抵消。 核心要点： 常见裂项： 考点串讲 考点六：数列实际应用 分期还款 贷款购房或购车时，每月的还款额通常构成一个等差数列。 体育赛事得分 运动员在多轮比赛中的稳定得分增长，往往可以抽象为等差数列模型。 零存整取储蓄计算 每月定期定额存款，本息和随着时间推移，通常构成等差数列。 复利计算 本金和利息之和构成等比数列，即“利滚利” 人口增长 理想条件下，人口数量随时间按等比数列增长 放射性衰变 放射性物质的剩余量随时间按等比数列衰减 拉面制作 拉面的根数随拉伸次数按等比数列倍增 等差数列的实际应用 等比数列的实际应用 考点串讲 考点七：数学归纳法 【温馨提示】我们可以借助多米诺骨牌来理解数学归纳法——如图所示,一列排好的多米诺骨牌,如果推倒第一张,而且后续的每一张倒下时,能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下. 一般地，一个与自然数有关的命题,如果      (i)当n=n0时,命题成立;      (ii)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立.        那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.        这种证明与自然数有关的命题成立的方法叫做数学归纳法. 考点串讲 题型一、数列基本量计算 例1 在等差数列an中，a2=3，a5=9，求数列an的通项公式及前10项和S10。 解： 分析：利用等差数列通项公式列方程组，求出首项a1和公差d，再代入通项公式和前n项和公式求解。 设等差数列an公差为d， 由 解得 ⸫通项公式：an=1+2(n-1)=2n-1 ⸫前10项和： 题型剖析 规律方法　 题型一、数列基本量计算 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量,a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量.“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d(或q),an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量.在求解中若能运用等差(比)数列的性质可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用. 题型剖析 等比数列an中，a1=1，a3=4，求a5和S5。 练习1： 题型一、数列基本量计算 解： q2= 当q=2时， 当q= -2时， 设{an}的公比为q， 题型剖析 题型二、已知Sn求an 例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an； (2)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝Sn，求an. 分析：　(1)已知Sn求an时，应分n＝1与n≥2讨论； (2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解． 解：　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式． ∴an＝ 题型剖析 解： ∴3an＋1＝4an，∴， 又a2＝S1＝a1＝. ∴n≥2时，an＝×，不适合n＝1. ∴an＝ (2)∵Sn＝3an＋1，　　　　① ∴n≥2时，Sn－1＝3an.    ② ①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an， 题型二、已知Sn求an 题型剖析 若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列{an}的通项公式an可用公式an=求解. 题型二、已知Sn求an 规律方法　 题型剖析 题型二、已知Sn求an 已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋＝2Sn，求an. 解： 将an＋＝2Sn变形为an2+1=2Snan 将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简， 得Sn2－Sn－12＝1. 由已知可求得S1＝a1＝1. ∴数列{Sn2}是等差数列，公差为1，首项为1. ∴Sn2＝1＋(n－1)·1＝n.∵an>0，∴Sn>0. ∴Sn= ∴ 而n＝1时，a1＝1也适合上式． ∴数列{an}的通项公式为 练习2: 题型剖析 题型三、等差、等比数列的性质 例3   已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=25，a3+a7=18，求a9。 分析：利用等差数列前n项和性质S5=5a3求出a3，再结合等差中项性质a3+a7=2a5求出a5，进而求公差d和a9。 解：由S5=5a3=25，得a3=5； 由a3+a7=2a5=18，得a5=9； 公差d=，则 a9=a5+4d=9+8=17 题型剖析 题型三、等差、等比数列的性质 规律方法　 灵活运用数列性质，可简化计算，避免复杂方程运算，优先考虑项数和的关系。 题型剖析 题型三、等差、等比数列的性质 练习3: 【分析】根据等比数列下标和性质“若m+n=p+q=2k，则 am·an=ap·aq=ak2 解： 已知{an}为等比数列 (1)若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5； (2)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+...+log3a10的值 (1) a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=25 ⸪an>0 ⸫a3+a5>0 ⸫a3+a5=5 (2)根据等比中项的性质a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6 ⸫a1a2...a9a10=(a5a6)5=95 ⸫log3a1+log3a2+...+log3a10=log3(a1a2...a9a10)=log395 =log3310=10 题型剖析 题型四、等差、等比数列的判定 例4 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*). (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列． 【分析】：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明． 证明：　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an. ＝＝2. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． 题型剖析 (2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以＝3. 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2. 题型四、等差、等比数列的判定 题型剖析 判定一个数列是等差或等比数列的常用方法： (1)定义法:an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列.,＝q(q为非零常数，n∈N＋)⇔{an}是等比数列. (2)中项法:2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列.＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列. (3)通项公式法:an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列.,an＝c·qn(c，q均为非零常数，n∈N＋)⇔{an}是等比数列. (4)前n项和公式法:Sn＝An2＋Bn(A，B均为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列.,Sn＝kqn－k(k为常数，q≠1且q≠0，n∈N＋)⇒{an}是等比数列. 题型四、等差、等比数列的判定 规律方法　 题型剖析 ①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定． ②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可． 题型四、等差、等比数列的判定 特别提醒： 题型剖析 设数列{an}是首项为1的正项数列,且an+1-an+an+1·an=0(n∈N+),求{an}的通项公式. 练习4: 解:∵an+1-an+an+1·an=0, 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 题型四、等差、等比数列的判定 题型剖析 将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4. 将n=2代入,得a3=3a2,所以,a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. 解:(1)由条件可得an+1= 又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 所以an=n·2n-1. (2)由条件,可得，即bn+1=2bn, (3)由(2),可得， 练习5: 题型四、等差、等比数列的判定 题型剖析 已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3, (1)求an; (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 题型五、数列求和 例5 【分析】用an=Sn-Sn-1(n≥2)求出通项an并验证n=1时也成立，数列{an}是等比数列，因此数列{nan}用错位相减法求和。 解：(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)，则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2), ∵a2=4,即k(c2-c1)=4，解得k=2，∴an=2n. 当n=1时，a1=S1=2,适合上式. 综上所述，an=2n(n∈N+). ∴ ∴c=2 题型剖析 (2)由(1),得nan=n·2n, 则Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n, 2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1, 两式作差,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1, Tn=2+(n-1)·2n+1. 题型五、数列求和 题型剖析 规律方法:　 (1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式. (2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. (4)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (5)倒序相加法:例如等差数列前n项和公式的推导. 题型五、数列求和 题型剖析 已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn=log3an，求数列的前n项和Sn. 练习6 【分析】等比数列取对数后是等差数列，因此所求数列前n项和用裂项相消法求解。 【详解】设等比数列{an}的公比为q，则 解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n， 题型五、数列求和 故bn＝log3an＝n， 所以 则Sn= 题型剖析 题型六、数列的实际应用 例6 某人每月月初存入银行1000元，银行月利率为0.5%，按单利计算，求一年后的本息和。 分析：这是一个等差数列求和问题。第一个月的存款到年底会产生12个月利息，本息和为 1000×(1+0.5%×12)；第二个月为 1000×(1+0.5%×11)；以此类推，最后一个月本息和为 1000×(1+0.5%×1)。 模型：可看作首项a₁ = 1000×1.06，末项a₁₂ = 1000×1.005，项数 n=12 的等差数列求和。 解：单利计算是等差数列求和， 其中a1=1000+1000×0.5％×12， a2=1000+1000×0.5％×11， a3=1000+1000×0.5％×10，......... a12=1000+1000×0.5％×1， a11=1000+1000×0.5％×2， ∴一年后的本息和为a1+a2+...+a12=12000+1000×0.5％×(1+2+...+12) =12000+5×12390元 题型剖析 题型六、数列的实际应用 将1000元存入银行，年利率为5%，按复利计算，求5年后的本息和。 分析：这是一个典型的等比数列模型。首项 a₁ = 1000（本金），公比 q = 1 + 5% = 1.05。 要求第5年的本息和，即求数列的第 6 项（a₆）：a₆ = a₁ × q⁵ = 1000 × (1.05)⁵。 例7 解：复利计算是等比数列模型， 其中a1=1000， q=1+5％=1.05 第5年的本息和，即求数列的第6项a6=a1×q5=1000×(1.05)⁵=1276.28156251276.28元 题型剖析 题型七、数学归纳法 例8 用数学归纳法证明时,(i)与(ii)缺一不可.         事实上,(i)是(ii)的基础,即只有确定了n=n0时命题成立,后续的推导才会有意义. 求证:当n是大于或等于5的正整数时，2n≥n2 ,显然25≥52， 所以此时命题成立. 因此2k+1=2·2k>2·k2≥k2+5k>k2+2k+1=(k+1)2 可知不等式当n=k+1时也成立. 综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立. 证明：(i)当n=5时，25=32，52=25 (ii)假设n=k(其中k≥5)时命题成立,即2k≥k2， 因为k≥5，所以k2≥5k>2k+1， 题型剖析 1．数列2 ,4 ,8 ,16 ,⋯ 的通项公式为(　　) A.an = 2n B.an = n2 C.an = 2n D.an = 2n + 2 　【解析】∵a1=21，a2=22，a3=23，a4=24，....... 故选C． C 针对训练 2.通项公式为an = 2n − 3 的数列，其单调性为(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.先增后减数列 【解析】 一次函数an=2n−3斜率为2＞0，数列单调递增。 A 针对训练 3.已知等差数列{an} 中，a1 = 1，公差d = 3，则a5 =(　　) A.10 B.13 C.16 D.7   【解析】 . B 由等差数列通项公式an = a1 + (n − 1)d，得a5 = 1 + 4 × 3 = 13。 针对训练 4.等比数列{an}中，a1 = 1，公比q = 2，则前四项和S4 =(　　) A.8 B.15 C.16 D.31 【解析】 B 等比数列前n项和公式Sn=，代入得S4= 针对训练 5.已知数列前n 项和Sn = n2 + 2n，则a5 =(　　) A.11 B.13 C.15 D.9 B 【解析】 由an=Sn−Sn−1(n≥2)，a5=S5-S4=(25+10)−(16+8)=13。 针对训练 6.数列{an} 满足 a1 = 1，an+1 = 2an + 1，则a3 =(　　) A.5 B.7 C.9 D.3 B 【解析】 a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7。 针对训练 7.数列2 ,3 ,4 ,5 ,⋯ 的通项公式an = 【解析】 ∵a1=2，a2=3，a3=4，a4=5，....... ⸫an=n+1 n+1 针对训练 8.数列-3，-6，-9，-12,......的通项公式an= 【解析】 数列{an}是以-3为首项，-3为公差的等差数列 所以an=-3+(n-1)×(-3)= -3n -3n 针对训练 9.已知数列an 满足 a1 = 2，an+1 − an = 2n，则an = 【解析】 形如an+1-an=f(n)的递推式，用累加法求通项 a2-a1=2 a3-a2=22 a4-a3=23 ......... an-an-1=2n-1 这n-1个式子累加得an-a1=2+22+23+...2n-1 ⸫an=2n 2n 针对训练 10.等差数列{an} 中，S3 = 3，S6 = 9，则S12 = 【解析】 等差数列片段和性质：S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成新等差数列 ⸫S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9) =3+6+9+12 =30 30 针对训练 11.裂项求和：Sn = = 【解析】 针对训练 12.数列{an}满足 a1 = 3， = 1，则a6 = 【解析】 数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 所以 ⸫ ⸫ 针对训练 13.已知等差数列{an} 满足 a1 + a3 + a5 = 9，a9 = 11，求数列的通项公式an 及前n 项和Sn。 【解析】 设等差数列an公差为d， 由题意列方程组 解得：a1=3，d=1 通项公式：an=3+(n-1)=n+2 前n项和Sn=n×3+ 针对训练 14.已知等比数列{an} 满足 a1 + a2 + a3 = 1，a2 + a3 + a4 = 2，求a6 + a7 + a8 的值。 【解析】 设等比数列公比为q，两式作商得： 由等比数列性质，a6+ a7+ a8= (a1+ a2+ a3)⋅ q5= 1 × 25= 32 针对训练 15.用错位相减法求数列的前n 项和：Sn = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋯ +n ⋅ 2n。 【解析】 Sn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n① 2Sn=1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1② ①−②得：−Sn=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1 化简得：Sn= (n − 1)2n+1+ 2 针对训练 16.已知实数a,b,c 成等差数列，a,c,b 成等比数列，且a,b,c 不全相等，求a : b : c 的比值。 【解析】 由等差数列性质：2b=a+c；由等比数列性质：c2=ab 联立消去c，整理得：a2−5ac+4c2=0 解得a=c（舍去，不全相等）或a=4c，代入得b= 故a : b : c = 4 : 1 : (−2) 针对训练 核心概念体系 • 定义：按一定顺序排列的一列数 • 分类：有穷/无穷数列，递增/递减数列 • 表示：通项公式法、递推公式法、图像法 两大特殊数列 • 等差数列：定义、通项公式、前n项和、性质 • 等比数列：定义、通项公式、前n项和、性质 • 重点：公式的灵活变形与应用 常用求和方法 • 基本公式法：直接套用等差/等比求和公式 • 错位相减法：适用于“等差×等比”型数列 • 裂项相消法：适用于分式型数列求和 实际应用场景 • 等差数列模型：银行利息、产品规格、堆放问题 • 等比数列模型：人口增长、复利计算、产值增长率 • 解题关键：建立数列模型，确定首项与公差/公比 课堂总结 感谢聆听! $