6.1.4求导法则及其应用（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第六章 导数及其运用 6.1 导数 6.1.4求导法则及其应用 学 习 目 标 经历问题探究，认识与理解复合函数的概念，理解与掌握函数的和与差、积、商与复合函数的求导法则，并能运用其求解相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理、数学运算、•重难点）. 一、问题引入 我们知道,由基本初等函数经过加、减、乘、除等运算可以构造出新的函数.例如,由与相加可以得到新函数 . 那么,构造出的新函数的导函数与原有函数的导函数之间是否有联系呢?这就是这一小节我们要讨论的问题. （一）问题探究 二、函数和与差的求导法则 设,且,猜测与的关系,并尝试给出证明. 探究：可以猜测得出 事实上,设,则 ∴, 即. （二）函数和与差的求导法则 二、函数和与差的求导法则 一般地,如果都可导,则 即两个函数之和的导数,等于这两个函数的导数之和. 类似地，有 即两个函数之差的导数,等于这两个函数的导数之差. 上述法则可以推广到任意有限个函数,即 （三）实例运用 二、函数和与差的求导法则 解： （1）. （2） . 例1 求下列函数的导数. （1）；（2）. （一）问题探究 三、函数积的求导法则 如果都可导，你认为的导数与有什么关系？用实例验证你的猜想. 探究：猜测,验证如下 例如,当时,,因此 即. 事实上,可以证明,当都可导时,有 . （二）函数积的求导法则 一般地,如果都可导,则 . 即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一 个函数乘以第二个函数的导数. 三、函数积的求导法则 特别地,当是常数函数,即时,因为,所以由上述法则立即可以得出 即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数. 思考：这一法则可以推广到任意有限个函数吗？ 即 如何求导？你能试着写出它的求导公式吗. （三）实例运用 解： （1）； （2）; （3）; （4）； （5）; 例3 求下列函数的导数. （1）； （2）; （3）; （4）； （5）; 三、函数积的求导法则 （一）问题探究 四、函数商的求导法则 如果都可导，且，你认为的导数与有什么关系？用实例验证你的猜想. 探究：猜测,验证如下 例如,当时,,因此 显然. 事实上,可以证明,当都可导，且时,有 . （二）函数商的求导法则 一般地,如果当都可导，且时,则 . 即两个函数之商的导数,等于分母的平方分之分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数. 特别地,当时,因为,所以由上述法则立即可以得出 四、函数商的求导法则 （三）实例运用 解： （1）； （2）； 例4 求下列函数的导数. （1）； （2）. 四、函数商的求导法则 （一）情景引入 五、简单复合函数的求导法则 假设某商品的利润是销售量的函数,销售量是销售售价格的函数,且 , 那么,不难看出,利润是销售价格的函数,且有 , 上式也可这样得到 . （二）复合函数的概念 五、简单复合函数的求导法则 像上面情景这样，一般地,已知函数与,给定的任意一个值,就能确定的值,如果此时还能确定的值,则可以看成的函数,此时称有意义,且称 为函数与的复合函数,其中称为中间变量. （三）问题探究 已知. (1)可以由与得到吗? (2)分别求出,并总结它们之间的关系. 五、简单复合函数的求导法则 探究：如果在中,令,则有 . 另一方面,因为,所以 又因为,因此 . （四）简单复合函数的求导法则 一般地,如果函数与的复合函数为 则可以证明,复合函数的导数与之间的关系为 . 这一结论也可以表示为 . 五、简单复合函数的求导法则 证明：设的改变量为,对应的的改变量分别为, 则形式上我们有， 从而 即成立. （五）实例运用 解： 可以看成与的复合函数, 又因为 , 所以 . 例4 求函数的导数. 五、简单复合函数的求导法则 六、提升演练 练习1 求下列函数的导数： (1)； (2).   【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】直接用导数的运算法则计算即可. 【详解】 （1） . （2） .   六、提升演练 练习2 求曲线在处的切线方程. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求导，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式方程求解即可 【详解】因为 ， 所以所求切线的斜率为， 又因为，所以切点为， 从而可知所求切线方程为， 即. 所以曲线在处的切线方程为   六、提升演练 练习3 求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4).   【知识点】简单复合函数的导数 【分析】根据复合函数求导法则直接运算可得结果. 【详解】（1）可以看成与的复合函数， . （2）可以看成与的复合函数， . （3）可以看成函数与的复合函数， . （4）可以看成函数与的复合函数， .     六、提升演练 温馨提示： 由例3可以看出,求复合函数的导数,关键是找出合适的中间变量,本质上也就是将函数的某些部分看成一个整体,因此,当大家对复合函数的求导规则熟悉之后,也可不写出中间变量. 例如,求的导数时, 可以将当成一个整体, 从而有 今天我们都学习了什么知识？ 经历问题探究，认识与理解了复合函数的概念，理解与掌握了函数的和与差、积、商与复合函数的求导法则，并能运用其求解相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理、数学运算、•重难点）. 七、课堂小结 感谢聆听! $